"Miten puolittaa kinkkuvoileipä"

Matemaattis-luonnontieteellinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Markus Lehto

Miten puolittaa kinkkuvoileipä Matematiikka

Pro gradu -tutkielma Marraskuu 2018 20 s.

Topologia, homotopiateoria, Borsukin-Ulamin lause

Työn keskeisenä tavoitteena on osoittaa, että kolme kappaletta kolmeulotteisia objekteja on mah- dollista jakaa kahteen osaan tasolla siten, että jokaisen objektien tilavuus puolittuu. Tämä tulos tunnetaan yleisemmin nimellä Kinkkuvoileipälause. Nimi juontaa juurensa ajatuksesta, että kinkku- voileipä koostuu matemaattisesti ajateltuna kolmesta objektista: kahdesta voileivästä joiden välissä on kinkkuviipale. Tämän analogian mukaan on olemassa veitsen leikkaus, jolla kolmesta ainekses- ta tehty voileipä voidaan jakaa yhdellä leikkauksella kaikkien ainesten osalta kahteen yhtä suureen osaan. Tulos on itse asiassa tätä analogiaa vahvempi, sillä objektien ei tarvitse sijaita missään eri- tyisessä järjestyksessä (esimerkiksi kinkkuviipale kiinni kahdessa leivän palasessa), vaan objektien keskinäinen sijainti on mielivaltainen. Toisaalta tuloksen ja analogian yhteinen piirre on vaatimus siitä, että objektien tulee olla rajoitettuja sekä yhtenäisiä.

Teoriapohjana kinkkuvoileipälauseen todistuksessa käytetään homotopiateorian alkeiden (luku 3) lisäksi Borsukin-Ulamin lausetta (luku 4), joka tunnetaankin eräänä algebrallisen topologian tär- keimpinä lauseina. Todistamme Borsukin-Ulamin lauseesta ainoastaan kaksiulotteisen version, sillä se riittää tarpeisiimme. Tutkielma lähtee liikkeelle määrittelemällä tarvittavia struktuureita sekä peruslauseita, mutta joitain asioita oletetaan kuitenkin tunnetuksi. Tällaisia asioita ovat esimerkik- si joukko-opin alkeet, jatkuvuuskäsite tai avoin joukko. Ymmärtääkseen tutkielmaa, lukijalla tulee olla rutiinia matemaattisien tekstien lukemisesta, lisäksi perustiedot analyysistä sekä topologiasta ovat tarpeen.

Tutkielman päätulos, eli kinkkuvoileipälause on todistustehtävänä Jussi Väisälän Topologia II -kurssikirjassa ja tarvittavat lauseet sekä määritelmät, jotka myös itse tekstissä esitellään, löy- tyvät tästä kirjasta. Kinkkuvoileipälause pätee myös n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, mutta tämän yleisen version todistaminen on huomattavasti haastavampaa kolmiulotteiseen versioon ver- rattuna.

Tiedekunta/Osasto — Fakultet/Sektion — Faculty Laitos — Institution — Department

Tekijä — Författare — Author

Työn nimi — Arbetets titel — Title

Oppiaine — Läroämne — Subject

Työn laji — Arbetets art — Level Aika — Datum — Month and year Sivumäärä — Sidoantal — Number of pages

Tiivistelmä — Referat — Abstract

Avainsanat — Nyckelord — Keywords

HELSINGIN YLIOPISTO — HELSINGFORS UNIVERSITET — UNIVERSITY OF HELSINKI

Helsingin Yliopisto

Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen osasto

Pro gradu tutkielma

Miten puolittaa kinkkuvoileipä

Markus Lehto

Ohjaaja: Erik Elfving 17.11.2018

Sisältö

1 Johdanto 2

2 Merkintöjen ja sanaston selitykset 4

3 Hieman homotopiateoriaa 7

4 Borsukin-Ulamin lause 12

5 Kinkkuvoileipälause 15

Luku 1 Johdanto

Pro gradu -tutkielmani tarkoituksena on todistaa niin sanottu Kinkkuvoileipälause, jon- ka mukaan kolmesta komponentista (leipä, kinkku ja leipä) koostuva kinkkuvoilepä on mahdollista puolittaa yhdellä viillolla. Tutkielman tavoitteena oli alusta alkaen syven- tää matemaattisen ajattelun tasoa sekä vahvistaa identiteettiäni matematiikan taitajana.

Tutkielmassa on viisi lukua, joista tärkeimmät kulevat apulauseista aina Borsukin-Ulamin lauseen kautta Kinkkuvoileipälauseeseen. Suurin osa toisen luvun todistuksista löytyy Jus- si Väisälän Topologia II-kirjasta. Luvut 4 ja 5 johdattavat lukijan kahteen tutkielman pää- tuloksista, Borsukin-Ulamin lauseen kaksiulotteiseen versioon sekä Kinkkuvoileipälausee- seen. Tutkielma vaatii esitietoina täsmällisen matemaattisen ajattelun lisäksi perustiedot topologiasta, lisäksi homotopiateorian ymmärtäminen auttaa lukijaa. Seuraavat asiat ole- tetaan tunnetuiksi:

-Joukko-opin alkeet

-Reaalilukujen perusominaisuudet, mm. lukujoukon supremum ja infimum -Jatkuvuuskäsite metrisissä avaruuksissa

Antipodi on piste, joka sijaitseen-ulotteisen pallon toisella puolella katsottaessa jostain pallon pinnan pisteestä halkaisijaa pitkin, esimerkiksi kaksiulotteisen pallopinnan vastak- kaiset pisteet (x,−x) ovat antipodipisteitä. Neljännessä luvussa todistettavan Borsukin- Ulamin lauseen mukaan jokaisella jatkuvalla kuvauksellan-pallolta euklidiseenn-avaruuteen on ainakin yksi antipodinen pistepari siten, että molemmat pisteistä kuvautuvat tälla ku- vauksella samaan kohtaan.

Viidennessä luvussa pääsemme käsittelemään tutkielman päätulosta. Verrattuna Borsukin-Ulamin lauseeseen, Kinkkuvoilepälause on intuitiivisesti helpompi ymmärtää.

Kinkkuvoileipälauseen mukaan on olemassa veitsen leikkaus, jolla kahdesta leivän pala- sesta ja niiden välissä olevasta kinkkuviipaleesta muodostuva leipä voidaan jakaa yhdellä viillolla siten, että leipäpalaset sekä kinkkuviipale puolittuvat yhtä suuriin osiin. Formaa-

limmin: josU, V jaW ovat rajoitettuja epätyhjiä avaruuden alueita, niin on olemassa taso, joka puolittaa U:n,V:n sekä W:n tilavuudet. Tutkielma käsittelee Kinkkuvoileipälauseen kaksiulotteista versiota, mutta yleisesti lause ei rajoitu pelkästään toiseen ulottuvuuteen.

Yleisemmin Kinkkuvoileipälause sanoo, että on olemassa(n−1)-ulotteinen hypertaso, joka puolittaa n-ulotteisen euklidisen avaruuden n:n rajoitetun epätyhjän alueen Lebes- guen mitat.

Kinkkuvoileipälause on pitkälti Borsukin-Ulamin lauseen seuraus, mutta sen todista- miseen tarvitaan myös monia Topologia II -kirjassa todistettuja lauseita, kuten esimerkiksi Nostolause, myös perustietoja lineaarialgebrasta sekä mittateoriasta tarvitaan. Päätulos todistetaan näyttämällä, että kun s on piste origokeskeisellä yksikköpallolla, niin on täs- mälleen yksi sellainen joukosta U sekä pisteestä s riippuva reaaliluku t, että pisteen ts kautta asetettu vektoria s vastaan kohtisuora taso puolittaa joukon U Lebesguen mitan, eli U:n tilavuuden. Tämän jälkeen muodostetaan vastaava funktio joukoilleV sekä W ja sovelletaan Borsukin-Ulamin lausetta.

Luku 2

Merkintöjen ja sanaston selitykset

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen muutama Topologia I -kurssilta tuttu määritel- mä joita tarvitsemme tutkielmassa. Tutustumme lisäksi muutamaan homotopiateorian tärkeimmistä määritelmistä. Tämän kappaleen asiat auttavat lukijaa merkintöjen ja sa- nastojen ymmärtämisessa ja lisäksi tarvitsemme määritelmiä tulevien kappaleiden todis- tuksissa.

2.1. Topologinen avaruus.

Topologinen avaruus on järjestetty pari (X, T) missä X on joukko ja T on sellainen osajoukkojen kokoelma, jonka jäseniä ovat

1. tyhjä joukko ja joukko X itse,

2. kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet sekä 3. kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset.

Oletamme tässä tutkielmassa, että (X,T) ja (Y,T⁰)ovat topologisia avaruuksia.

2.2. Sulkeuma.

Joukon A ⊂X sulkeuma sisältää kaikki ne pisteet x∈ X, joiden jokainen ympäristö kohtaa A:n. JoukonA sulkeumaa merkitäänA¯={x∈X |x:n jokainen ympäristö U ∈ T kohtaa A:n}. Yhtäpitävästi sulkeuma voidaan määritellä pienimmäksi suljetuksi joukoksi, joka sisältää annetun joukon.

2.3. Separaatio.

JoukonE ⊂Xseparaatio on kaksio {A, B}, jossa joukotAjaB toteuttavat seuraavat ehdot:

1. E =A∪B, 2. A6=∅ 6=B,

3. A¯∩B =∅=A∩B.¯

Jos{A, B}on E:n separaatio, kirjoitamme E =A|B 2.4. Yhtenäinen avaruus ja joukko.

Sanomme, että avaruus (X,T) on yhtenäinen, jos se ei sisällä sellaisia osajoukkoja A, B, että

1. X =A∪B, 2. A6=∅ 6=B 3. A∩B =∅

4. joukotA ja B ovat avoimiaX:ssä.

Muutoin X onepäyhtenäinen.

Siis avaruusX on yhtenäinen, jos ja vain jos sitä ei voida lausua kahden erillisen epätyhjän avoimen osajoukon yhdisteenä. Osajoukko E ⊂ X on yhtenäinen, jos se on yhtenäinen topologinen avaruus relatiivitopologiassa.

2.5. Alue.

Avoin yhtenäinen joukkoG⊂X onX:n alue.

2.6. Kompakti avaruus.

Metrinen avaruus on kompakti jos sen jokaisella jonolla on suppeneva osajono. Ava- ruuden X osajoukkoA on kompakti, jos jokaisella A:n jonolla on osajono, joka suppenee kohti jotakin A:n pistettä.

2.7. Joukko I

Merkitään I tarkoittamaan reaalilukuväliä nollasta ykköseen, eliI = [0,1].

2.8. Polku

Jatkuvaa kuvaustaα :I →X sanotaan X:n poluksi.

2.9. Konveksi joukko

Joukko E ⊂Rⁿ on konveksi joukko jos kaikilla x, y pätee:

x, y ∈E ⇒tx+ (1−t)y∈E, t∈[0,1].

2.10. Kantapisteavaruus.

Josx₀ ∈X,paria(X, x₀)sanotaankantapisteavaruudeksi. Pistex₀ on(X, x₀):nkanta- piste. Kantapisteavaruus on siis avaruus, jossa yksi piste on asetettu erikoisasemaan. Jos (Y, y₀)on toinen kantapisteavaruus, merkitsemme f : (X, x₀)→(Y, y₀), josf :X →Y ja f(x₀) =y₀.

2.11. Joukko Ω(X, x₀).

Merkintä Ω(X, x₀) tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat polkuja α : I → X, joilla α(0) =α(1) =x0. JoukonΩ(X, x0)alkiot ovat siis suljettuja polkuja elisilmukoita, joiden alku- ja loppupisteet ovat samat, nimittäin x₀. Vakiopolkua π_x0 merkitsemme lyhyesti :llä.

2.12. Kuvauksen nosto.

Olkoon annettuna avaruudet X, Y, Z ja jatkuvat kuvaukset g :X →Y ja f :Z →Y.

Sanomme, että jatkuva kuvaus fe:Z →X onf :ng-nosto tai lyhyestinosto, josg◦fe=f.

Luku 3

Hieman homotopiateoriaa

Tässä luvussa esittelemme peitekuvauksen sekä peiteympäristön, jotka toimivat pohja- na myöhemmin todistettaviin apulauseisiin joita tarvitsemme Borsukin-Ulamin lauseen todistamisessa.

Määritelmä 3.1. Kuvaus f :X →Y onhomeomorfismi, jos 1. f on bijektio,

2. f on jatkuva,

3. f⁻¹ :Y →X on jatkuva.

Määritelmä 3.2. Kuvaus p:X →Y on peitekuvaus, jos 1. p on surjektio,

2. jokaisella y ∈ Y on sellainen ympäristö V, että p⁻¹V voidaan lausua muodossa p⁻¹V =S{U_j :j ∈J}, jossa joukot U_j ovat erillisiä ja avoimia, ja p kuvaa jokaisen U_j:n homeomorfisestiV:lle. Sanomme, että V on y:n peiteympäristö p:n suhteen.

Seuraavaksi todistamme erään separaatioon ja yhtenäisyyteen liittyvän lauseen, jota seuraa Lebesguen peitelauseen todistus. Nämä lauseet johdattavat meitä kohti myöhem- min todistettavaa Borsukin-Ulamin lausetta. Tutustumme lisäksi polkuhomotopian käsit- teeseen, jota tarvitaan myöhemmin tässä kappaleessa.

Lause 3.3. Jos X =A|B ja jos E ⊂X on yhtenäinen, niinE ⊂A tai E ⊂B.

Todistus. Jos väite ei olisi tosi, niin E = (A∩E)∪(B ∩E), jossa joukot A∩E ja B∩E ovat erillisiä, epätyhjiä ja E:ssä avoimia. Tästä seuraaE:n epäyhtenäisyys, joka on ristiriita oletuksen kanssa, joten lause pätee.

Lause 3.4. Lebesguen peitelause.

OlkoonA ⊂(X, d) kompakti, ja olkoonD A:n avoin peite. Tällöin on olemassa sellai- nen λ >0, että jos x∈A, niin B(x, λ)⊂U jollain U ∈ D.

Lisäksi, jos B ⊂A ja d(B)< λ, niin B ⊂U jollakinU ∈ D.

Todistus.Osoitamme, ettäλ = 1/n toteuttaa lauseen alkuosan jollakin n∈N. Teem- me vastaoletuksen: Mikään λ = 1/n ei sitä toteuta. Jokaista n ∈ N kohti voidaan siis valita sellainen piste x_n ∈ A, että kuula B(x_n,1/n) ei sisälly mihinkään D:n jäseneen.

Koska A on kompakti, niin jonolla (x_n) on jokin kasautumisarvoa ∈A. Koska D onA:n peite, niinakuuluu johonkinD:n jäseneenU. KoskaU on avoin, niin se sisältääa:n jonkin kuulaympäristön B(a, r).

Valitsemme luvunk ∈N, jollak >2/reli2/k < r. Koskaaon(x_n):n kasautumisarvo, niin voidaan valita sellainen n > k, että x_n ∈ B(a,1/k). Nyt B(x_n,1/n) ⊂ B(a, r), sillä jos y ∈B(x_n,1/n), niin

d(y, a)≤d(y, x_n) +d(x_n, a)<1/n+ 1/k <2/k < r.

Siis B(x_n,1/n) ⊂ U ∈ D, mikä on ristiriidassa x_n:n valinnan kanssa. Siis lauseen alkuosa pätee jollakin λ= 1/n.

Lauseen loppuosa on selvä, jos B =∅. Jos B 6= ∅, valitsemme pisteen x ∈ B, jolloin B ⊂B(x, λ), ja väite seuraa lauseen alkuosasta.

Seuraavaksi määrittelemme polkuhomotopian, joka on tärkeässä osasassa seuraavaksi todistettavassa nostolauseessa.

Määritelmä 3.5. Polkuhomotopia.

Polku α on homotooppinen polun β kanssa jos löytyy kuvaus H : I² → X jolla on seuraavat ominaisuudet kaikilla s, t ∈I:

1. H(s,0) =α(s), 2. H(s,1) =β(s),

3. H(0, t) = α(0) =β(0), 4. H(1, t) = α(1) =β(1).

Tällöin merkitsemme lyhyesti H :α ∼β. Polkuhomotopia muuttaa siis yhden polun toiseksi polkuksi jatkuvalla kuvauksella.

Nyt todistettava Nostolause koskee tapausta, jossa g on peitekuvaus. Tällöin tietyin edellytyksin nosto on olemassa ja lisäksi yksikäsitteinen.

Lause 3.6. Nostolause.

Olkoon p :X → Y peitekuvaus, x₀ ∈ X, f :Z →Y jatkuva, z₀ ∈ Z ja f(z₀) = p(x₀).

Lisäksi oletamme, että ainakin yksi seuraavista ehdoista on voimassa:

(1) Z on yhtenäinen, ja f Z sisältyy johonkin peiteympäristöön.

(2) Z =I ja z₀ = 0.

(3) Z =I² ja z₀ = (0,0).

Tällöin f:llä on täsmälleen yksi sellainen p-nosto fe:Z →X, että f(ze ₀) = x₀.

Kuva 3.1: Peitekuvaus p kuvaa jokaisen U_j homeomorfisesti V:lle

Todistus.

(1) Olkoon V ⊂ Y peiteympäristö, joka sisältää f Z:n. Olkoon p⁻¹V = S{U_j : j ∈ J} kuten peitekuvauksen määritelmässä 3.2. Joukko p⁻¹V on siis yhdiste erillisistä ja avoimista X:n joukoista, seuraavaksi valitsemme näistä joukoista sen tietyn jossa x0 on

määrittelee homeomorfismin p_k :U_k →V, voidaan määritellä jatkuva kuvaus fe:Z →X asettamalla fe(z) = p⁻¹_k (f(z)). Nyt p◦f(z) =e p◦p⁻¹_k ◦f(z) = f(z) joten määritelmän mukaan feon vaadittu f:np-nosto.

Todistaaksemme noston yksikäsitteisyyden oletamme, että f^∗ : Z → X on myös f:n nosto, jolla f^∗(z₀) =x₀. Koska pf^∗Z =f Z ⊂V, niin f^∗Z ⊂ p⁻¹V. Lisäksi x₀ ∈f^∗Z. Jos p⁻¹V 6=Uk,niinp⁻¹V:llä on separaatiop⁻¹V =Uk|(p⁻¹V\Uk).Joukkof^∗Z on yhtenäisen joukon kuvana yhtenäinen, joten Lauseen 3.3. nojallaf^∗Z ⊂U_k.Kunz ∈Z, niinf^∗(z) = p⁻¹_k (p_k(f^∗(z))) =p⁻¹_k (f(z)) =fe(z), ja siis f^∗ =f .e

(2) Olkoonf :I →Y.Joukotf⁻¹V muodostavatI:n avoimen peitteen, kunV käy läpi kaikki peiteympäristöt. Valitaan Lebesguen peitelauseen avulla tälle peitteelle Lebesguen luku λ > 0. Jaetaan I pisteillä 0 = a₀ < a₁ < · · · < a_n = 1 osaväleihin ∆_i = [ai−1, a_i], joiden pituudet ovat ai−ai−1 < λ. Tällöin jokainen f∆i sisältyy johonkin peiteympäris- töönV. Kohdan (1) nojalla on täsmälleen yksi sellainenf|∆₁:n nosto fe₁, että fe₁(0) =x₀; merkitään x₁ = fe₁(a₁). Jälleen kohdan (1) nojalla on täsmälleen yksi sellainen f|∆₂:n nosto fe2, että fe2(a1) = x1; merkitään x2 =fe2(a2). Jatkamalla näin pala palalta saadaan konstruoiduksi kuvauksen f|∆_i nostot fe_i : ∆_i → X, jotka yhdessä muodostavat halutun noston fe:I →X. Samalla tulee todistetuksi noston yksikäsitteisyys.

(3) Olkoonf :I² →Y. Kuten edellisessä tapauksessa, valitaan peiteympäristöjen al- kukuvien f⁻¹V muodostamalle I²:n peitteelle Lebesguen luku γ > 0. Jaetaan I² vaaka- ja pystysuorilla janoilla yhtäsuuriin neliöihin Q₁, ..., Q_n, joiden läpimitat ovat pienem- mät kuin λ. Valitaan numerointi vasemmasta alakulmasta. Merkitään Qi:n vasemmassa alanurkassa olevaa pistettä z_i:llä, jolloin z₁ = (0,0).

Tapauksen (1) nojalla on täsmälleen yksi sellainenf|Q₁:np-nostofe₁,ettäfe₁(z₁) =x₀. Merkitään Ak = Q1 ∪ · · · ∪Qk ja oletetaan todistetuksi, että on olemassa täsmälleen yksi f|A_k:n nosto fe_k : A_k → X, jolla fe_k(z₁) = x₀. Jos k < n, niin tapauksen (1) nojalla on olemassa tarkalleen yksi sellainen f|Q_k+1:n nosto f_k+1^∗ , että f_k+1^∗ (z_k+1) = fe_k(z_k+1).

Joukko Ek=Ak∩Qk+1 on joko Qk+1:n sivu tai kahden vierekkäisen sivun yhdiste, joten E_kon yhtenäinen. Kuvauksetfe_k|E_kjaf_k+1^∗ |E_kovat samat, sillä molemmat ovat kuvauksen f|E_k:n nostoja, jotka saavat saman arvon pisteessä z_k+1,ja (1):n nojalla tällaisia on vain yksi. Siis fek ja f_k+1^∗ määrittelevät f|Ak+1:n noston fek+1 : Ak+1 → X. Jatkamalla pala palalta saadaan osoitetuksi noston feolemassaolo ja samalla myös sen yksikäsitteisyys.

3.7. Asetelma.Sovimme merkinnöistä, joita käytetään tästä eteenpäin. Oletamme, että on annettu peitekuvaus p : (X, x₀) → (Y, y₀). Jos α ∈ Ω(Y, y₀), merkitsemme aina α:lla sitä 3.6.(2):n antamaae α:np-nostoa, jollaα(0) =e x₀. Huomattakoon, että polunαeei tarvitse olla umpinainen, ts. on mahdollista, että α(1)e 6=x₀.

Seuraavaksi todistamme lauseen johon koko tämä kappale on tähdännyt. Itse lause

on sinänsä pieni ja sen todistus onnistuu helposti nojautuen nostolauseeseen, mutta lause on kuitenkin tärkeässä osassa myöhemmin todistettavan Borsukin-Ulamin lauseen erään lemman (ks. lause 4.3.) todistuksessa.

Lause 3.8. Olkoot α, β ∈Ω(Y, y₀) ja α∼β. Tällöin α(1) =e β(1)e ja αe∼β.e

Todistus. Olkoon H : α ∼ β polkuhomotopia. Tällöin H(0,0) = α(0) = y₀. Nosto- lauseen kohdan (3) nojalla H:lla on täsmälleen yksi nostoHe :I² →X,jollaH(0,e 0) =x₀. KoskaH(s,0) =α(s),niin H(s,e 0) = α(s).e KoskaHkuvaa neliönI² pystysivut pisteeseen y₀, niinHe kuvaa ne joukkoon p⁻¹{y₀}, joka on diskreetti. Koska pystysivut ovat yhtenäi- siä, He on kummassakin vakio. Siis H(0,e 1) = H(0,e 0) = x0 ja H(1,e 1) = H(1,e 0) = α(1).e Lisäksi H(s,e 1) =β(s).e Siis β(1) =e α(1)e ja He :αe∼β.e

Luku 4

Borsukin-Ulamin lause

Tutustumme tutkielman ensimmäiseen päätulokseen, Borsukin-Ulamin lauseeseen, joka tunnetaan myös Antipodilauseena. Borsukin-Ulamin lause on yksi algebrallisen topologian keskeisimpiä lauseita ja sillä onkin lukuisia seurauksia, kuten Kinkkuvoileipälause johon tutustumme seuraavassa luvussa.

Kaksiulotteisen pallopinnan vastakkaisia pisteitä (x,−x) kutsutaan antipodipisteik- si. Borsukin-Ulamin lauseen kaksiulotteista versiota havainnollistetaan usein sillä, että maapallon pinnalla on aina olemassa kaksi vastakkaista pistettä, joissa lämpötila ja il- manpaine ovat täsmälleen samat. Borsukin-Ulamin lausetta pidetään eräänä algebrallisen topologian merkittävimmistä tuloksista.

Ennenkuin pääsemme Borsukin-Ulamin lauseen todistukseen, todistammelauseen 4.3., josta Borsukin-Ulamin lauseen tapaus n = 2 helposti seuraa. Katsotaan kuitenkin ensin nollahomotooppisen polun määritelmä sekä eräs tarvittava lause Topologia I -kurssilta.

Määritelmä 4.1. Nollahomotooppinen polku.

Josα ∈Ω(X, x₀) ja α∼, sanomme, että α onnollahomotooppinen.

Huomautus.Joukko B¯² on selvästi konveksi, sillä josx, y ∈B¯² niin tx+ (1−t)y∈B¯² kaikilla t ∈[0,1]. Janahomotopia I² →Ω( ¯B², x₀), h(i, t) = (1−t)α(i) +t(i) on jatkuva kuvaus, jolla on seuraavat ominaisuudet kaikilla i, t∈I:

1. h(i,0) =α(i), 2. h(i,1) =(i),

3. h(0, t) = (1−t)α(0) +t(0) = (1−t)x₀+tx₀ =x₀ =α(0) =(0), 4. h(1, t) = (1−t)α(1) +t(1) = (1−t)x₀+tx₀ =x₀ =α(1) =(1),

joten määritelmän nojalla kuvaush on polkuhomotopia.

Olemme siis päätelleet, että kaikki Ω( ¯B², x₀):n alkiot ovat nollahomotooppisia. Käy- tämme tätä huomiota lauseen 4.3.todistuksessa.

Lause 4.2. Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen.

Todistus.Olkoon X yhtenäinen ja f :X →Y jatkuva. Jos f X ei ole yhtenäinen, niin löytyy funktio g siten, että g : f X → {0,1}, missä g jatkuva surjektio. Tällöin kuvaus g ◦f₁: X → {0,1} on jatkuva surjektio, missä f₁ :X →f X on f:n määrittelemä. Tästä seuraa, että X ei ole yhtenäinen, mikä on vastoin oletusta.

Lause 4.3.Olkoong : ¯B² →R² sellainen jatkuva kuvaus, ettäg(−x) =−g(x)kaikilla x∈S¹. Tällöin g saa arvon ¯0.

Todistus.Teemme vastaoletuksen:g(x)6= ¯0kaikillax∈B¯². Käytämme kompleksimer- kintöjä ja merkitsemme esim. tason pistettä e₁ 1:llä. Määrittelemme jatkuvan kuvauksen f : ¯B² →S¹ lausekkeella

f(x) = |g(1)|g(x)

|g(x)|g(1),

jossa on käytetty kompleksilukujen jakolaskua. Vastaoletuksen nojalla |g(x)|g(1) 6= 0 ja kuvausf on hyvin määritelty. Tällöinf(−x) = −f(x)kaikillax∈S¹, jaf(1) = 1. Olkoon p:R →S¹ peitekuvaus p(x) =e^2πix. Olkoon γ :I →B¯² silmukka γ(s) =e^2πis, α =f ◦γ ja αe:I →R α:n p-nosto, jolla α(0) = 0, kuten kohdassa 3.7. Koskae B¯² on konveksi, niin γ on nollahomotooppinen B¯²:ssä, joten α on nollahomotooppinen S¹:ssä. Olkoon lisäksi πe : I → R vakiokuvaus π:n nosto jolla eπ(0) = 0. Koska eπ on vakiokuvaus, niin pätee π(0) =e eπ(1) ja nyt lauseen 3.8. nojalla edelleen α(1) =e eπ(1) = 0. Johdamme ristiriidan osoittamalla, että α(1)e on pariton kokonaisluku.

Määritellään jatkuva kuvausu: [0,¹₂]→R yhtälöllä u(s) =α(se +1

2)−α(s)e −1 2 Koska

α(s+ 1

2) = f(γ(s+ 1

2)) = f(−γ(s)) =−f(γ(s)) =−α(s)

ja koska ptoteuttaa yhtälöt p(a+b) =p(a)p(b) ja p(−a) = 1/p(a)kaikilla a, b∈R, niin p(u(s)) =−α(s+¹₂)

α(s) = 1.

p(u(s)) =e^2πiu(s) = 1

⇔

cos(2πu(s)) +isin(2πu(s)) = 1

⇒

cos(2πu(s)) = 1

⇒ u(s)∈Z.

Koska u on jatkuva, niin lauseen 4.2. mukaan sen arvo välillä [0,¹₂] on oltava vakio m ∈Z. Tarkennuksena, jos löytyisi n ∈Z\{m} siten, että u(s) =n jollain s∈[0,¹₂] niin u:n kuva ei olisi enää yhtenäinen.

Nyt

2m =u(0) +u(1

2) =α(1)e −α(0)e −1 = α(1)e −1,

joten α(1) = 2me + 1 on pariton, mikä on vastoin aiempaa tulostaα(1) = 0.e Nyt olemme valmiita todistamaan tutkielman ensimmäisen päätuloksen.

Borsukin-Ulamin lause. (n = 2) Jos f : S² → R² on jatkuva, niin f(−x) = f(x) jollakin x∈S².

Todistus.Määritellään kuvaush:S² →R² yhtälöllä h(x) =f(x)−f(−x). Väitämme, että h(x) = ¯0 jollakinx∈S². Olkoonq : ¯B² →S² kuvaus

q(a, b) = (a, b,√

1−a²−b²), ts. q nostaa B¯²:n pisteet ylemmälle pallonpuoliskolle.

Tutkitaan kuvaustag =h◦q: ¯B² →R²ja oletetaan, ettäc= (a, b)∈S¹ jaa²+b² = 1.

Nyt erityisesti √

1−a²−b² = 0, joten

g(−c) = f(q(−c))−f(−q(−c))

=f(−a,−b,0)−f(a, b,0)

=−f(a, b,0) +f(−a,−b,0)

=−f(q(c)) +f(−q(c)) =−g(c).

Kuvaus g siis toteuttaa ehdon g(−c) = −g(c) kaikilla c ∈ S¹, joten väite seuraa edellisestä lauseesta.

Luku 5

Kinkkuvoileipälause

Kuvittele eteesi kinkkuvoileipä joka koostuu kahdesta leivänpalasesta sekä yhdestä kink- kuviipaleesta. Leivänpalasten ei tarvitse koskettaa kinkkuviipaletta eikä näistä kolmesta objektista oleteta oikeastaan mitään muuta, kuin että ne ovat rajoitettuja epätyhjiä R³:n alueita, eli avoimia yhtenäisiä R³:n osajoukkoja. Tämän tutkielman aiheena on todis- taa, että tällainen kinkkuvoileipä voidaan puolittaa yhdella veitsen viillolla siten, että sen komponentit (kaksi leipää ja yksi kinkkuviipale) jakautuvat kahteen yhtä suureen osaan.

Tarkemmin, josU,V jaW ovat rajoitettuja epätyhjiä avaruuden alueita, todistamme ta- son olemassaolon joka puolittaa U:nV:n sekä W:n tilavuuden. Ennenkuin pääsemme itse kinkkuvoileipälauseen pariin, esitellään väliarvolause sekä määritellään muutama objekti:

Lause 5.1. Väliarvolause. Olkoon f : [a, b]→R jatkuva ja olkoon u reaaliluku, joka toteuttaa ehdon f(a)< u < f(b)tai f(a)> u > f(b). Tällöin jollekin välin [a, b]pisteelle c pätee f(c) =u.

Ja nyt itse kinkkuvoileipälauseen pariin:

Origon sekä pisteens = (s₁, s₂, s₃)∈S² kautta kulkeva suoraP_s on muotoa P_s ={ts₁¯i+ts₂¯j+ts₃k¯|t∈R}

⇔

P_s ={t¯s|t∈R}

Määritellään seuraavaksi pisteents= (ts₁, ts₂, ts₃)∈P_skautta kulkevan kohtisuorassa suoraa P_s vasten oleva tason yhtälö, missä t ∈ R on kiinnitetty; merkitään tätä tasoa

symbolilla H_s,t. Tason eräs normaalivektori on s, olkoon lisäksi¯ x = (x₁, x₂, x₃) jokin tason piste. Nyt tason H_s,t yhtälö täsmällisemmin ilmaistuna on

¯

s·(¯x−t¯s) = 0

⇔

(s₁¯i+s₂¯j+s₁¯k)·((x₁−ts₁)¯i+ (x₂−ts₂)¯j+ (x₃−ts₃)¯k) = 0

⇔

s₁x₁+s₂x₂+s₃x₃−t(s²₁+s²₂+s²₃) = 0.

Olkoon lisäksiG_s,ttasonH_s,t alapuolelle —suhteessa suoraanP_s— jäävä puoliavaruus, täsmällisemmin

G_s,t ={(x₁, x₂, x₃)∈R³ :s₁x₁+s₂x₂+s₃x₃ < t(s²₁+s²₂+s²₃)}.

Seuraavaksi todistamme apulauseen, jota tarvitsemme kinkkuvoileipälauseen todistuk- sessa. Olkoon U ∈ R³ rajoitettu epätyhjä avaruuden alue sekä funktio g_U : S² → R sel- lainen, että se liittää jokaiseen s∈S² sellaisen reaaliluvunt ∈R, jolla tasoH_s,t puolittaa U:n tilavuuden.

Lemma 5.1.Funktio g_U(s) on pariton, eli −g_U(s) = g_U(−s) pätee.

Todistus.Symbolit H_s,t ja H−s,−t kuvaavat samaa tasoa, sillä molemmat tasoista kul- kevat pisteen (−s)(−t) = st kautta ja ovat kohtisuorassa pisteiden −s ja s virittämää suoraa vastaan. Näinollen gU(s) =−gU(−s) ja edelleen −gU(s) = gU(−s).

Todistetaan vielä Lipzchitz-kuvauksen jatkuvuus, tarvitsemme tätä myöhemmin kink- kuvoileipälauseen todistuksessa:

Lemma 5.2.Lipschitz-kuvaus on jatkuva.

Todistus.Olkoon f :X → Y M-Lipschitz. JosM = 0, niin f on vakio ja siis jatkuva.

OlkoonM > 0, ja olkoona∈X, >0. Kunx∈X jad(x, a)< /M, niind⁰(f(x), f(a))<

M d(x, a)< . Siis f on jatkuva a:ssa.

Seuraavaksi pääsemme tutkielman pääaiheeseen eli kinkkuvoileipälauseen todistami- seen:

Kinkkuvoileipälause Jos U, V, W ⊂ R³ ovat rajoitettuja alueita, niin on olemassa taso joka puolittaa joukkojen U, V ja W tilavuudet.

Todistus.Olkoons ∈S² kiinnitetty. Määritellään sellainen funktioi, joka kertoo tason H_s,t ”alapuolelle” jäävän U:n osuuden joukosta U. Tarkemmin i_s : R → [0,1] sellainen, että i_s(t) = ^m(G_m(U)^s,t∩U), missä m viittaa Lebesguen mittaan.

Näytetään, että kun s ∈ S², niin on täsmälleen yksi sellainen g_U(s) = t ∈ R, että pisteen tskautta asetettu vektoria s vastaan kohtisuora taso puolittaa U:n tilavuuden.

Funktion g_U yksikäsitteisyyden osoittaminen onnistuu näyttämällä, että funktio i_s on t:n suhteen jatkuva sekä aidosti kasvava. Kummassakin tapauksessa riittää tutkia pelkästään i_s:n osoittajaa, sillä nimittäjässä oleva vakio m(U) ei vaikuta kumpaankaan näistä, sillä m(U) 6= 0. Merkitään i_s(t)^∗ = m(G_s,t ∩U). Tarkastellaan ensin funktion i^∗ jatkuvuutta:

Joukko U on rajoitettu, joten löytyy sellainen r ∈ R, että U ⊂ B(¯0, r). Merkitään koordinaattiakselien suuntaista origokeskeistä kuutiota symbolilla N(¯0,2r) = {(x, y, z)∈ R³ : x, y, z ∈]−r, r[}. Haluamme kiertää kuutiota siten, että sen tahkot ovat suoran P_s sekä tason H_s,t suuntaiset. Tämä onnistuu lineaarialgebrasta tutulla rotaatiokuvauksella.

Merkitään kierrettyä kuutiota symbolillaN^∗(¯0,2r). Olkoont > t⁰, nyt yhtälö d(i_s(t)^∗, i_s(t⁰)^∗)

=|m(G_s,t∩U)−m(G_t⁰_,s∩U)|

=|m((G_s,t\G_s,t⁰)∩U)|

≤ |m((G_s,t\G_s,t⁰)∩N^∗(¯0,2r))|

=d(t, t⁰)(2r)²

=d(t, t⁰)4r²

on tosi kaikilla t, t⁰ ∈R joten i^∗ on4r²-Lipschitz kuvaus ja edelleen lemman 5.2. nojalla funktio i on jatkuva t:n suhteen.

Joukko U on rajoitettu, joten is saa arvot 0 ja 1 joissain pisteissä, lisäksi funktio on jatkuva, joten väliarvolauseen nojalla se saa kaikki arvot väliltä [0,1] ja erityisesti arvon

1

2 josta olemme kiinnostuneita. Näytetään, että i^∗ on aidosti kasvava välillä [k, K] missä k =inf{t∈R :H_s,t∩U 6=∅}

ja

K =sup{t∈R:H_s,t∩U 6=∅}.

Kuva 5.1: Pisteen ts kautta asetettu kohtisuoraan P_t:tä asetettu taso H_t,s puolittaa U:n tilavuuden.

Olkoot t, t⁰ ∈ [k, K] ja t > t⁰. Haluamme näyttää, että is(t)^∗−is(t⁰)^∗ >0. Joukko U on avoin, joten jokaista u ∈ U kohti löytyy sellainen r > 0 ,että B(u, r) ⊂ U. Olkoon z ∈H_s,t⁰ ∩U, nyt löytyy sellainen r ∈]0, t−t⁰[, että B(z, r)⊂U.

Epäyhtälö

i_s(t)^∗−i_s(t⁰)^∗

=m(H_s,t∩U)−m(H_s,t⁰∩U)

=m((H_s,t\H_s,t⁰)∩U)

> m((H_s,t\H_s,t⁰)∩B(z, r))

= 2πr³ 3 >0

toteutuu, joten funktio i_s on aidosti kasvava. Olemme nyt siis osoittaneet funktion g_U olemassaolon sekä yksikäsitteisyyden.

Muistetaan, ettäg_U liittää jokaiseen s∈ S² luvun t ∈R jolla taso H_s,t puolittaa U:n tilavuuden. Seuraavaksi haluamme näyttää, että funktio g_U : S² → R on jatkuva, missä gU(s) =t.

Olkoon s₀ = (x₀, y₀) ∈ S² ja > 0. Merkitään H = H_s0,gU(s0). Valitaan niin pieni δ >0, että kun s∈S² ja |s−s₀|< δ, niin

1. Pisteet (g_U(s₀) +)s ja (g_U(s₀)−)s jäävät eri puolelle tasoa H.

2. Tasot H₊ =H_s(g_U(s₀) +) ja H₋ =H_s(g_U(s₀)−) eivät leikkaa tasoa H joukossa U. Tällainen δ voidaan valita, sillä U on rajoitettu.

Taso H puolittaa U:n tilavuuden, joten tason H₊ ”yläpuolelle” jää vähemmän kuin puolet U:n tilavuudesta kun taas tason H− ”yläpuolelle” jää enemmän kuin puolet U:n tilavuudesta. Tarkemmin is(gU(s0) +)> ¹₂ ja is(gU(s0)−)< ¹₂.

Siis U:n tilavuuden puolittava vektoria s kohtisuorassa oleva taso löytyy tasojen H₊ ja H− välistä, joten valitsemalla |s−s₀|< δ saadaan |g_U(s)−g_U(s₀)| < ja näing_U on jatkuva.

Tehdään ylläoleva konstruktio myös joukoille V ja W ja saadaan kuvaukset g_V jag_W. Haluamme näyttää, että on olemassa sellainen s∈S², ettäg_U(s) =g_V(s) =g_W(s).

Määritellään kuvausf :S² →R² yhtälöllä

f(s) = (g_U(s)−g_V(s), g_U(s)−g_W(s)), s∈S². Riitää osoittaa, että funktio f saa arvon ¯0jollain s ∈S².

Borsukin-Ulamin lauseen nojalla on olemassas₀ ∈S² siten, että f(−s₀) =f(s₀).

Edelleen lemman 5.1. nojalla pätee

f(−s₀) = (g_U(−s₀)−g_V(−s₀), g_U(−s₀)−g_W(−s₀))

= (−g_U(s₀) +g_V(s₀),−g_U(s₀) +g_W(s₀))

=−(g_U(s₀)−g_V(s₀), g_U(s₀)−g_W(s₀)) = −f(s₀),

joten funktiof on pariton ja olemme näyttäneet, että yhtälö f(−s₀) =−f(s₀)toteu- tuu. Nyt siis f(s₀) =−f(s₀), joten 2f(s₀) = 0 ja tätenf(s₀) = 0.

Olemme nyt löytäneet pisteen s₀ ∈ S² jolla g_U(s₀) = g_V(s₀) = g_W(s₀), ja näin tason joka puolittaa U:n V:n jaW:n tilavuudet.

Kirjallisuutta

[1] Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, 2. painos, Limes ry, 1990.

[2] Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali, luentomoniste, Helsingin yliopisto, 2004.

[3] Sheldon Ross: A First Course in Probability, 5th edition, Prentice-Hall, 1998.

[4] Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I, 5. painos, Limes ry, 2000.

[5] Jussi Väisälä: Topologia I, Limes ry, 2012.

[6] Jussi Väisälä: Topologia II, Limes ry, 1. painos, 1999.