Metallien virumismurron ja virumisv¨ asymisen mallintaminen

Rakenteiden Mekaniikka

Vol. 50, Nro 4, 2017, s. 420 – 450

http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.64657

cKirjoittajat 2017.

Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu.

Metallien virumismurron ja virumisv¨ asymisen mallintaminen

Petteri Kauppila, Reijo Kouhia¹ , Juha Ojanper¨a, Timo Saksala, Timo Sorjonen

Tiivistelm¨a. Artikkelissa tarkastellaan metallien korkeal¨amp¨otilan virumismurron ja viru- misv¨asymisen mallintamista. Aluksi esitet¨a¨an lyhyt katsaus virumisen fysikaalisiin perusteisiin ja virumismalleihin. K¨aytetyn termodynaamisesti konsistentin materiaalimallin konstitutiiviset yht¨al¨ot esitet¨a¨an varsin perusteellisesti. Mallin materiaaliparametrit m¨a¨aritet¨a¨an 7CrMoVTiB10- 10 ter¨akselle l¨amp¨otila-alueella 500−600^◦C. Malli on implementoitu ANSYS elementtimene- telm¨aohjelmiston USERMAT-aliohjelmaksi.

Avainsanat: viruminen, v¨asyminen, vauriomekaniikka, termodynaaminen muotoilu Vastaanotettu 12.6.2017. Hyv¨aksytty 8.12.2017. Julkaistu verkossa 14.12.2017

Johdanto

Ekologinen, kest¨av¨an kehityksen mukainen energiantuotanto on yhdistelm¨a hyvin moni- muotoisista energian l¨ahteist¨a. T¨ast¨a johtuen erilaisten energiantuottomuotojen k¨aytt¨o on joustavaa ja n¨aiden toimintasyklit muodostuvat ep¨as¨a¨ann¨ollisist¨a prosessien toiminta- ajoista. T¨aten s¨ahk¨o¨a ja l¨amp¨o¨a tuottavien lauhdevoimalaitoskattiloiden painerungon osat altistuvat k¨aytt¨oik¨ans¨a aikana - aikaisempaa useampien - kylm¨ak¨aynnistysten, korkei- den k¨ayt¨onaikaisten l¨amp¨otilojen ja h¨oyrynpaineiden sek¨a toisiinsa liitettyjen osien eri- suuruisten l¨amp¨otilojen aiheuttamien l¨amp¨oj¨annitysten vuoksi yhdistetylle virumis- ja v¨asymiskuormitukselle, joka erityisesti voimalaitoksen kuumimmissa tulistinkammioissa voi aiheuttaa vaurioita voimalaitoksen k¨aytt¨oi¨an aikana. Voimalaitosten tehojen ja koko- jen jatkuvasti kasvaessa vaaditaan niiden suunnittelussa aiempaa tarkempaa tietoa erityi- sesti tulistinkammioiden virumisv¨asymisen syist¨a ja mekanismeista. Lis¨aksi tulistinkam- mioiden virumisv¨asymismitoitukseen tarvitaan entist¨a tarkempia laskentamenetelmi¨a, joi- den perusteella voidaan m¨a¨aritell¨a yh¨a parempia tulistinkammioiden suunnitteluperiaat- teita.

T¨ass¨a artikkelissa l¨ahestyt¨a¨an virumisv¨asymisen mallintamista vauriomekaniikan kei- noin ja vallitsevat konstitutiiviset yht¨al¨ot johdetaan termodynaamisesti konsistentilla ta- valla. Malli on ohjelmoitu kaupalliseen elementtimenetelm¨aohjelmaan k¨aytt¨aj¨an m¨a¨arit- telem¨all¨a materiaalialiohjelmalla. Mallin vaatimat materiaaliparametrit m¨a¨aritet¨a¨an ma- teriaalivalmistajan tietojen perusteella ja mallia sovelletaan tulistinkammion aisan v¨asy-

1Vastuullinen kirjoittaja.reijo.kouhia@tut.fi

misanalyysiin. Aluksi annetaan kuitenkin lyhyt yleiskatsaus h¨oyryvoimalaitosten kattila- rakenteista. Esitys perustuu Petteri Kauppilan diplomity¨oh¨on [17].

Voimalaitoskattila ja tulistimet

Suuret biopolttoaineita polttavat lauhdevoimalaitoskattilat jaetaan rakenteeltaan kerros- leiju- ja kiertoleijukattiloihin, jotka eroavat toisistaan konstruktion, polttoprosessin ja k¨aytett¨avien polttoaineiden osalta. Aluksi esitell¨a¨an lyhyesti kerrosleijukattilan rakenne ja toimintaperiaate sek¨a konkreettisen v¨asymis- ja virumistarkastelun kohteena olevan tulistimen rakenne sek¨a toimintaperiaate.

Kerrosleijukattila

Tyypillisen kerrosleijukattilan sivukuvanto on esitetty kuvassa1. Kerrosleijukattilassa tu- lipes¨an pohjassa olevista ilmasuuttimista puhalletaan tulipes¨a¨an palamisilmaa tulipes¨an pohjalla olevan hienojakoisen hiekkakerroksen l¨api. Voimakas ilmavirtaus nostaa tulipes¨an pohjalla olevaa hiekkaa yl¨osp¨ain muodostaen hiekasta noin metrin korkuisen leijupedin, joka toimii polttotapahtumassa l¨amp¨o¨a varastoivana polttoalustana. Polttoaine sy¨otet¨a¨an tulipes¨a¨an leijupedin yl¨apuolella olevista polttoaineensy¨ott¨oaukoista, ja hienojakoisimmat polttoainepartikkelit palavat ilmassa leijukerroksen yl¨apuolella heti tulipes¨a¨an saavuttu- aan kun taas suurikokoisimmat ja mahdollisesti kosteat polttoainepartikkelit palavat vasta leijukerroksen sis¨all¨a. Palamisessa syntyv¨at savukaasut nousevat tulipes¨ass¨a sen yl¨aosaan ja kulkevat sielt¨a kattilan tulistimien l¨api kattilan toisen vedon savukaasukanavaan luo- vuttaen tulistimien l¨api kulkiessaan l¨amp¨o¨a kattilan tuottamaan h¨oyryyn ja nostaen tu- listetun h¨oyryn l¨amp¨otilaa [19, s. 17-2–17-6, 19-9].

Toisessa vedossa savukaasut kulkevat tulistimien j¨alkeen kattilan sy¨ott¨oveden ja pa- lamisilman esil¨ammittimien l¨api. N¨aill¨a otetaan talteen savukaasuissa tulistimien j¨alkeen j¨aljell¨a olevaa l¨amp¨oenergiaa siirt¨aen sit¨a kattilaan sy¨otett¨av¨a¨an viile¨a¨an sy¨ott¨oveteen ja palamisilmaan. Sy¨ott¨oveden ja palamisilman esil¨ammittimien j¨alkeen savukaasut kulkevat savukaasunk¨asittelyj¨arjestelmien kautta savupiippuun [19, s. 20-1,20-7,34-1–34-14].

Tulistin

Lauhdevoimalaitoksissa tulistimia k¨aytet¨a¨an s¨ahk¨o¨a tuottavaa generaattoria py¨oritt¨av¨alle turbiinille sy¨otett¨av¨an h¨oyryn l¨amp¨otilan nostamiseen kyll¨aisen h¨oyryn l¨amp¨otilaa kor- keammaksi. Tulistimia on h¨oyrykattilassa yleens¨a 2–3 kappaletta ja tulistimet nimet¨a¨an prim¨a¨ari-, sekund¨a¨ari- ja terti¨a¨aritulistimiksi sen perusteella, monentenako tulistimena ne ovat kattilassa lieri¨on j¨alkeen h¨oyryn virtaussuunnassa. Tulistinkierrossa viimeisen¨a ole- vasta tulistimesta, jossa virtaavan h¨oyryn l¨amp¨otila on korkein, johdetaan h¨oyry turbii- nille. Tulistimilla aikaansaatu h¨oyryn l¨amp¨otilan nosto parantaa huomattavasti Rankine- prosessiin perustuvan voimalaitoksen termist¨a hy¨otysuhdetta [19, s. 19-9, 19-20]. Esimer- kiksi tavanomaisella luonnonkiertoisen kerrosleijukattilan painetasolla 14,0 MPa kyll¨aisen h¨oyryn l¨amp¨otila on 337^◦C [33, s. 188], mutta tulistamalla turbiinille menev¨an p¨a¨ah¨oyryn l¨amp¨otila saadaan nostettua yli 500 ^◦C:een, mik¨a kasvattaa merkitt¨av¨asti h¨oyryn ental- piaa ja siten kattilan s¨ahk¨otehoa sek¨a hy¨otysuhdetta. T¨ass¨a esitelt¨av¨a tyypillinen ker- rosleijukattilan riipputulistin koostuu kuvan 2 mukaisesti tulipes¨an ja savukaasukanavan ulkopuolella olevista jako- ja kokoojakammiosta sek¨a niiden v¨aliss¨a tulipes¨an tai savukaa- sukanavan sis¨all¨a olevista l¨amp¨o¨a savukaasuista ja mahdollisesti my¨os tulipes¨an polttota-

4

Kuva 2.1. Kerrosleijukattilan sivukuvanto ja painerungon oleellisimmat komponentit (mukaillen Valmet Technologies Oy 2015, s. 15).

Höyryntuotannon näkökulmasta tarkasteltava kerrosleijukattila on luonnonkier- toinen höyrykattila, joka toimii alikriittisellä veden lämpötila- ja painealueella. Luon- nonkiertoisten kattiloiden lisäksi voimalaitoksissa käytetään myös pakkokiertokattiloita, jotka toimivat ylikriittisellä painealueella veden kriittistä pistettä korkeammassa yli 22,1 MPa:n paineessa ja yli 374 °C:een lämpötilassa (Kitto & Stultz 2005, s. 1-2–1-4, 3-1), mutta niiden toimintaperiaatetta ei tässä diplomityössä tarkastella tarkemmin. Luonnon- kiertoisen kattilan höyrylieriö jakaa kattilan kahteen osaan, vesi- ja höyryalueeseen, erottaen kylläisen höyryn vedestä (Kitto & Stultz 2005, s. 26-13). Luonnonkiertoisen kattilan prosessikierto alkaa kattilan syöttövesipumpulta, joka tuottaa kattilaan halutun painetason ja pumppaa höyryturbiinin jälkeisiltä lauhduttimilta tulevaa lauhdevettä uu- delleen syöttöveden esilämmittimien kautta höyrylieriölle (Kitto & Stultz 2005, s. 19- 20, 26-13). Höyrylieriöltä vesi laskeutuu jatkuvana virtana laskuputkia pitkin tulipesän alaosaan, josta vesi kulkeutuu tulipesän membraaniseinien putkiin. Tulipesässä tapahtu- vasta palamisesta syntyvä lämpö höyrystää tulipesän seinien putkissa olevaa vettä kyl- läiseksi höyryksi, ja höyrykuplat sekä kuumentunut matalatiheyksinen vesi nousevat tulipesän seiniä pitkin ylöspäin kulkeutuen takaisin höyrylieriölle, jonka höyrynerotti- met erottavat veden ja höyryn toisistaan. (Kitto & Stultz 2005, s. 26-13) Höyrylieriön yläosasta lähtevät kylläisen höyryn putket puolestaan siirtävät tulipesässä tuotetun kyl- läisen höyryn tulistavaan kattilan toiseen vetoon, jossa höyryä tulistetaan nostaen sen

Kuva 1. Kerrosleijukattilan ja painerungon p¨a¨akomponentit [17].

pahtuman l¨amp¨os¨ateilyst¨a h¨oyryyn siirt¨avist¨a tulistinelementeist¨a. Tavanomaisen tulis- tinkammion ja siihen liittyvien aisaputkien rakenne on esitetty kuvassa3.

Tulistimien hyvin korkeista 500–600 ^◦C:een k¨aytt¨ol¨amp¨otiloista johtuen niiss¨a joudu- taan k¨aytt¨am¨a¨an kalliita ja hyvin runsaasti seostettuja kuumalujia ja hitaasti viruvia pai- nelaiteter¨aslaatuja. Koska tulistimesta vain tulistinelementit ovat kosketuksissa kuumien savukaasujen kanssa ja koska vain tulistinelementit altistuvat tulipes¨ass¨a tapahtuvasta palamisesta aiheutuvalle l¨amp¨os¨ateilylle ja savukaasujen aiheuttamalle korroosiolle, val- mistetaan tulistinelementit yleens¨a eri putkimateriaalista kuin tulistimen aisaputket sen tuottamien kustannuss¨a¨ast¨ojen vuoksi. Tulistin altistuu k¨aytt¨oik¨ans¨a aikana sek¨a voima- laitoksen kylm¨ak¨aynnistysten aiheuttamalle v¨asytt¨av¨alle kuormitukselle ett¨a tulistimen hyvin korkean toimintal¨amp¨otilan aiheuttamalle virumiselle, joiden kummankin aikaan- saama yhteisvaikutus vaurioittaa tulistimen osia ja voi aiheuttaa sopimattomalla tulisti- men mitoituksella muun muassa putkivuotoja tulistimessa.

Katsaus metallien virumisilmi¨o¨on ja virumismalleihin

Virumisilmi¨o

Metallien viruminen on j¨annityksen alaisena tapahtuvaa ajasta riippuvaa, pysyv¨a¨a (plas- tista) muodonmuutosta. Materiaalin mikrotasolla virumismekanismeja ovat dislokaatio- den liukuminen ja kiipe¨aminen, diffuusioviruminen sek¨a raerajaliukuminen [9,10,31]. Vi- rumiskokeissa vetosauvaa kuormitetaan yleens¨a vakiovoimalla² vakiol¨amp¨otilassa mahdol-

2Materiaalin k¨aytt¨aytymisen mallintamiseksi vakioj¨annitystila olisi suotavampi. Vakioj¨annityksen ai- kaansaaminen kokeissa on virumisen terti¨a¨arivaiheessa hankalasti toteutettavissa.

6

pösäteilystä höyryyn elementtiputken läpi siirtyvän lämmön vaikutuksesta. Lopuksi tulistinelementeissä tulistunut höyry johdetaan aisaputkien läpi tulistimen kokoojakam- mioon, josta höyry johdetaan putkilla joko seuraavalle tulistimelle tai höyryturbiinille.

Kuva 2.2. Tyypillisen riipputulistimen osat ja liitoskohta tulipesän kattoon.

Kuva 2.3. Tyypillinen iso tulistinkammio ja kammion aisaputket kuljetusasennossa ylösalaisin (Optimus Industries, LLC 2016).

Kuva 2. Tyypillisen riipputulistimen osat ja liitoskohta tulipes¨an kattoon.

Kuva 3. Tyypillinen iso tulistinkammio ja kammion aisaputket (Valmet Technologies).

t ε

εe

I II

minimivirumisnopeusvaihe

III

trup

virumismurto

1

Kuva 4. Tyypillisen vakiovoiman alaisena tehdyn virumiskokeen skemaattinen venym¨an aikariippuvuus ja virumisvaiheet: I - prim¨a¨ariviruminen, II - sekund¨a¨ariviruminen, III - terti¨a¨ariviruminen.

lisesti murtoon saakka, jolloin tuloksena saadaan virumisvenym¨a ajan funktiona. N¨aiss¨a virumisk¨ayriss¨a, joissa j¨annitys on huomattavasti pienempi kuin my¨ot¨oraja ja l¨amp¨otila homologisella³ asteikolla v¨alill¨a 0,3 - 0,5, havaitaan kolme vaihetta kuvan 4 mukaisesti⁴. N¨aihin vaiheisiin liittyv¨at virumisvaurion kehitysvaiheet on esitetty kuvassa 4.

Virumisprosessin prim¨a¨arivaiheessa virumisnopeus laskee tiettyyn minimiarvoon. T¨am¨a ajanhetki m¨a¨ar¨a¨a prim¨a¨ariviruma- ja sekund¨a¨arivirumavaiheen rajakohdan. Prim¨a¨arivai- heeseen liittyy materiaalin lujittumista, kun dislokaatioiden liike estyy erkaumapartikke- lien vuoksi, ja relaksaatioprosesseja hilavikojen uudelleen j¨arjestymisen seurauksena. Vi- rumisvaurion mallintamisen kannalta voidaan prim¨a¨ariviruminen usein j¨att¨a¨a huomiotta, koska vauriota ei t¨ass¨a vaiheessa viel¨a synny. Sekund¨a¨arivaihetta karakterisoi l¨ahes vakio- na pysyv¨a virumisnopeus, kun kilpailevat lujittumis- ja pehmenemisprosessit, dislokaatioi- den syntyminen ja tuhoutuminen, ovat tasapainossa. Raerajoille syntyy t¨ass¨a vaiheessa yksitt¨aisi¨a onkaloita. Virumisprosessin kolmannessa vaiheessa eli terti¨a¨arivirumisessa viru- misnopeus alkaa j¨alleen kasvaa, kun raerajoille syntyneet onkalot heikent¨av¨at materiaalia.

T¨ah¨an vaiheeseen voi liitty¨a my¨os karbidien ja nitridien muodostusta ja kasvua sek¨a mik- rorakenteen vanhenemista [22]. Onkaloita syntyy ja ne jatkavat kasvua ja kasaantumista ja yhdistymist¨a synnytt¨aen raerajoille ensin suuntautuneita kolojonoja, jotka sitten yh- distyv¨at ensin mikros¨ar¨oiksi ja my¨ohemmin makros¨ar¨oiksi. T¨am¨a vaihe p¨a¨attyy n¨aytteen murtumiseen hetkell¨a t_rup, kuva 4.

L¨amp¨otilan ja j¨annityksen vaikutus virumisk¨ayr¨a¨an on karkeasti ottaen samanlainen siten, ett¨a molempien nostaminen kasvattaa virumisnopeutta ja lyhent¨a¨a murtoaikaat_rup. Hyvin matalilla j¨annitystasoilla virumisnopeuden ollessa pieni, viruminen on luonteeltaan diffuusiovirumista. Kun j¨annitystaso kasvaa, viruminen muuttuu dislokaatiovirumiseksi (viscous glide) [10, 11].

Kuvassa 5 on esitetty metaliseoksille tyypillinen muodonmuutosmekanismikartta, jo- ka kuvaa l¨amp¨otilan ja j¨annityksen vaikutusta virumisprosesseihin [9]. Muodonmuutos- mekanismikartassa vakiovirumisnopeusk¨ayr¨at on esitetty homologisen l¨amp¨otilan ja von Mises-j¨annityksen funktiona. Kartasta voidaan lukea tietty¨a venym¨anopeutta vastaava, dominoiva virumismekanismi ja vastaava j¨annitys- ja l¨amp¨otilav¨ali, jolla se odotettavasti

3Homologisella l¨amp¨otila-asteikolla tarkoitetaan aineen sulamisl¨amp¨o¨on suhteutettua dimensiotonta l¨amp¨otilaaThom= (T−Tm)/Tm, jossaTmon aineen sulamisl¨amp¨otila absoluuttisella l¨amp¨otila-asteikolla.

4Virumisk¨aytt¨aytymisen kolme vaihetta on raportoitu ensimm¨aisen kerran da Costa Andraden tutki- muksessa vuodelta 1910 [6].

10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

T /T_m

¯ σ/G

teoreettinen lujuus

my¨ot¨olujuus

elastisuus

plastisuus muutosalue

potenssilakiviruminen

diffuusioviruminen

kahdenfaasinalue

˙ ε₄

˙ ε₃

˙ ε₂

˙ ε₁

˙

ε₁>ε˙₂ >ε˙₃>ε˙₄

1

Kuva 5. Metalliseoksen periaatteellinen muodonmuutosmekanismikartta (G on leikkausmoduuli, ¯σ von Mises j¨annitys,Tmsulamisl¨amp¨otila absoluuttisella l¨amp¨otila-asteikollaT).

esiintyy [9,11]. Kuvasta n¨ahd¨a¨an my¨os rajak¨ayr¨at, jolloin tapahtuu siirtyminen kimmoi- selle, plastiselle ja/tai sulamisalueelle.

Klassisia virumismalleja

Virumismuodonmuutokseen eniten vaikuttavat muuttujat ovat j¨annitys σ, aika t ja ab- soluuttinen l¨amp¨otila T, joten yleisin mahdollinen j¨annityksest¨a, l¨amp¨otilasta ja ajasta riippuva malli virumismuodonmuutokselle ε_c voidaan lausua muodossa [30]

ε_c=F(σ, T, t). (1)

Insin¨o¨orisovelluksissa k¨aytt¨okelpoinen approksimaatio saadaan kun oletetaan virumis- muodonmuutos muodossa

ε_c =f(σ)h(T)g(t), (2)

jossaf(σ), h(T) jag(t) ovat j¨annityksest¨aσ, l¨amp¨otilastaT ja ajastatriippuvia funktioi- ta. Yht¨al¨oiden (1) ja (2) mukaisia relaatioita ei valitettavasti voi kirjoittaa eksplisiittisess¨a muodossa. Virumismallit esitet¨a¨ankin yleens¨a nopeusmuodossa, eli

˙

εc =f(σ)g⁰(t)h(T). (3)

Fenomenologisia malleja funktioille f, g ja h on esitetty useita. Useimmin k¨aytetyt prim¨a¨ari- ja sekund¨a¨arivirumaa kuvaavat j¨annitys- ja aikafunktiot on esitetty seuraavassa

luettelossa [30]:

Norton 1929 f(σ) =C₁(σ/σ_r)^p, (4)

Soderberg 1936 f(σ) =C₂(exp(σ/σ_r)−1), (5)

Dorn 1955 f(σ) =C₃exp(σ/σ_r), (6)

Garofalo 1965 f(σ) = sinh^p(σ/σ_r), (7)

Andrade 1910 g(t) = (1 +bt^1/3) exp(kt)−1, (8) Bailey 1935 g(t) = (t/t_c)ⁿ, yleens¨a ¹₃ ≤n≤ ¹₂, (9) McVetty 1934 g(t) =C1(1−exp(−kt)) +C2t, (10) joissaC₁, C₂, C₃, b, p, k, t_c, n jaσ_r ovat vakioita. Dornin malli antaa hyv¨an sovituksen koe- tuloksiin suurilla j¨annityksen arvoilla, kun taas Nortonin malli on paremmin sopusoinnus- sa alhaisilla j¨annityksill¨a. Garofalon malli toimii yleisesti varsin hyvin sek¨a pienill¨a ett¨a suurilla j¨annityksen arvoilla.

Prim¨a¨ariviruman mallinnuksessa ei muotoa (2) olevilla lausekkeilla, joita kutsutaan aikalujittuviksi, saada hyv¨a¨a vastaavuutta koetuloksiin, mik¨ali j¨annitystila on muuttuva [14, 28, 30]. Useita malleja paremman vastaavuuden saamisiksi on esitetty. N¨ait¨a malleja ei t¨ass¨a kuitenkaan selosteta, sill¨a kattilarakenteiden virumismurron ja virumisv¨asymisen mallintamisessa ei prim¨a¨arivirumalla ole suurtakaan merkityst¨a. Lis¨aksi nykyisin prim¨a¨a- riviruman mallinnus toteutetaan j¨annitysfunktion f(σ) avulla k¨aytt¨aen joko kinemaatti- sesti ja/tai isotrooppisesti virumislujittuvia malleja.

Varsin yleisesti l¨amp¨otilan vaikutus otetaan huomioon Arrhenius-tyyppisell¨a funktiolla

h(T)∝exp(−Q_c/RT), (11)

jossa Qc on aktivaatioenergia ja R (= 8,314 J/mol K) on universaali kaasuvakio. Ve- nym¨anopeuden ja l¨amp¨otilan vaikutuksen tuloa

Z = ˙εexp(Qc/RT) (12)

kutsutaan Zenerin-Hollomonin parametriksi.

Dislokaatioiden kiipe¨amisen dominoimassa virumassa voidaan sekund¨a¨ariselle viruma- nopeudelle johtaa lauseke [10,31]

˙

ε_c =BGb

kTD₀exp(−Q_c/RT)σ G

p

, (13)

jossa G on leikkausmoduuli, k Boltzmannin vakio (k = 1,38·10⁻²³ J/K), b Burgersin vektorin pituus,D₀ on vakanssidiffuusiokerroin jaB on empiirinen vakio, joka ottaa huo- mioon muut vaikuttavat tekij¨at, kuten raekoon vaikutuksen. Potenssille psaadaan arvo 3 tai 4 riippuen yht¨al¨on (13) johdossa k¨aytetyst¨a teoriasta. Mik¨ali vakanssit diffundoituvat p¨a¨as¨a¨ant¨oisesti dislokaatioviivoja pitkin, eiv¨atk¨a h¨airiintym¨att¨om¨a¨an kidehilaan, saadaan mallista riippuen potenssilleparvot 5 tai 6. Puhtaille metalleille malli (13) antaakin varsin hyvi¨a tuloksia.

Mik¨ali l¨amp¨otila homologisella asteikolla on alle 0,3, virumiselle on k¨aytetty logarit- mista muotoa olevaa aikafunktiota [10]

ε_c=ε₀ln(1 +t/t₀), (14)

jolloin virumisprosessin alkunopeus on ε0/t0.

Metalliseoksilla virumisen j¨annityseksponentti ei ole vakio, vaan se on l¨amp¨otilasta ja j¨annityksest¨a riippuva. Kaikilla matala- ja korkeaseosteisilla kuumakest¨avill¨a ter¨aksill¨a riippuvuus vakionposalta on se, ett¨appienenee j¨annityksen pienentyess¨a. Toisaalta t¨am¨a muutos ei ole sile¨a, vaan siin¨a esiintyy mekanismin muutos siirrytt¨aess¨a keskisuurista j¨annityksist¨a suuriin. Kuvassa 5t¨at¨a siirtym¨a¨a edustavat alueet “potenssilakiviruminen”

ja “muutosalue”.

My¨os aktivaatioenergiaQ_criippuu j¨annityksest¨a (kasvaen kun j¨annitys kasvaa) [3,10].

Monissa insin¨o¨orisovelluksissa suureidenpja Q_cj¨annitys- ja l¨amp¨otilariippuvuuden luon- ne voidaan yleens¨a j¨att¨a¨a huomiotta ja k¨aytt¨a¨a diskreettej¨a arvoja kaavassa (2). In- sin¨o¨orisovellusten kannalta t¨arkeimm¨at virumisparametrit ovat minimivirumisnopeus ja virumismurtoaika, etenkin niiden riippuvuus l¨amp¨otilasta ja j¨annityksest¨a.

Virumismallit sis¨aisten muuttujien avulla

Klassisten virumisyht¨al¨oiden (4)-(10) sek¨a (14) sijaan virumista mallinnetaan nykyisin malleilla, joissa k¨aytet¨a¨an sis¨aisi¨a muuttujia ja niiden kehittymist¨a kuvaavia evoluutio- yht¨al¨oit¨a. Tyypillisesti sis¨aisten muuttujien κ_i, jotka yleens¨a ovat skalaareja tai toisen kertaluvun tensoreita, evoluutioyht¨al¨ot ovat muotoa

˙

κ_i =h_iε˙^c−r^dyn_i κ_iε˙^c−r_i^stκ_i, (15) jossa funktiot h_i, r^dyn ja r^st kuvaavat my¨ot¨olujittumista, dynaamista ja staattista toipu- mista [5].

Laajalle j¨annitys- ja l¨amp¨otila-alueelle soveltuvan virumismallin kehitt¨aminen on mo- nimutkainen teht¨av¨a. Vauriomekaniikkaan perustuva l¨ahestymistapa muodostaa hyv¨an l¨aht¨okohdan, ja sit¨a on sovellettu useissa tutkimuksissa [1,4,11,12,13,25,27,34]. T¨ass¨a artikkelissa tarkastellaan etup¨a¨ass¨a sekund¨a¨arist¨a ja terti¨a¨arivaiheen virumaa, joten yk- sinkertaisin mahdollinen sis¨aisten muuttujien joukko koostuu vain yhdest¨a skalaari-vau- riomuuttujasta. Prim¨a¨arivaiheen viruma voidaan mallintaa k¨aytt¨aen sis¨aisen¨a muuttujana esimerkiksi ekvivalenttia virumisvenym¨a¨a.

Termodynaaminen formulaatio

Materiaalimallien johtamisessa, erityisesti kytkettyjen monifysikaalisten ongelmien ta- pauksessa, tarvitaan kyseisten fysikaalisten ilmi¨oiden taselakeja, kuten liikem¨a¨ar¨an ja lii- kem¨a¨ar¨amomentin taseyht¨al¨ot. Lis¨aksi vallitsevien prosessien on toteutettava energian s¨ailymislaki eli termodynamiikan ensimm¨ainen p¨a¨as¨a¨ant¨o sek¨a termodynamiikan toinen p¨a¨as¨a¨ant¨o eli entropiaep¨ayht¨al¨o. Vallitsevat materiaalin k¨aytt¨aytymist¨a kuvaavat yht¨al¨ot voidaan muodostaa termodynaamisesti konsistentilla tavalla k¨aytt¨aen kahta potentiaali- funktiota. Palautuvien prosessien tilayht¨al¨ot johdataan Helmholtzin ominaisvapaaener- gian avulla ja dissipatiivisten prosessien evoluutioyht¨al¨ot vastaavasti dissipaatiopotenti- aalista. T¨am¨a takaa sen, ett¨a sopivilla potentiaalifunktioiden valinnalla entropiaep¨ayht¨al¨o eli Clausiuksen-Duhemin ep¨ayht¨al¨o voidaan toteuttaa kaikille termodynaamisesti luvalli- sille prosesseille [8,24, 29, 32].

Energiatasapaino

Termodynamiikan ensimm¨ainen p¨a¨as¨a¨ant¨o eli energiatasapaino voidaan kirjoittaa muo- dossa

d

dt (E +K) =P^mech+P^heat, (16)

jossaE ja K ovat sis¨a- ja kineettinen energia, jotka m¨a¨aritell¨a¨an yht¨al¨oill¨a E =

Z

V

ρedV , (17)

K= 1 2

Z

V

ρv ·vdV , (18)

jossae on ominaissis¨aenergia, joka on ominaisentropiasta s, muodonmuutoksestaε, sis¨ai- sest¨a muuttujasta κja eheydest¨aω riippuva tilafunktio jav on siirtym¨anopeus. Ulkoisten voimien mekaaninen teho m¨a¨aritell¨a¨an lausekkeella

P^mech= Z

V

ρb·vdV + Z

S

t ·vdS, (19)

ja vastaavasti ei-mekaaninen teho, joka t¨ass¨a otaksutaan vain termisten prosessien tehona, on muotoa

P^heat= Z

V

ρR^heatdV − Z

S

q ·ndS, (20)

jossa R^heat on l¨amm¨ontuottonopeus massaa kohden ja q l¨amp¨ovuovektori. Muutamien v¨alivaiheiden j¨alkeen energiataseen lausekkeeksi saadaan

Z

V

ρe˙dV = Z

V

(σ:gradv+ρR^heat−divq) dV , (21) jossa : merkitsee toisen kertaluvun tensoreiden kaksoispistetuloa, eli A:B = tr(A^TB).

M¨a¨arittelem¨all¨a muodonmuutostensori ε = 1

2[gradu + (gradu)^T], (22)

voidaan energiataseen lauseke (21) kirjoittaa paikallisessa muodossa

ρe˙ =σ:ε˙+ρR^heat−divq. (23) Ominaissis¨aenergiaeon ominaisentropian s, muodonmuutoksenε, sis¨aisen muuttujan κ ja eheyden ω funktio. K¨aytt¨am¨all¨a osittaista Legendren muunnosta, saadaan Helm- holtzin ominaisvapaaenergia ψ = e−sT. T¨all¨oin ominaissis¨aenergian tilasuureena oleva ominaisentropia korvautuu Helmholtzin ominaisvapaaenergian lausekkeessa absoluuttisel- la l¨amp¨otilallaT, joka on mitattavissa oleva suure. T¨all¨oin paikallinen energiayht¨al¨o (23) saadaan muotoon

ρ( ˙ψ+ ˙sT +sT˙) = σ:ε˙+ρRheat−divq. (24) Palataan energiayht¨al¨on muokkaamiseen tarkastelemalla ensin termodynamiikan toista p¨a¨as¨a¨ant¨o¨a.

Entropiaep¨ayht¨al¨o

Termodynamiikan toinen p¨a¨as¨a¨ant¨o asettaa rajoitteita mahdollisille prosesseille. M¨a¨aritel- l¨a¨an entropiaS =R

ρsdV, jossason ominaisentropia. Entropiaep¨ayht¨al¨o eli Clausiuksen- Duhemin ep¨ayht¨al¨o on

d dt

Z

V

ρsdV ≥ Z

V

ρR^heat T dV −

Z

S

q ·n

T dS, (25)

joka kertoo sen, ett¨a termomekaanisen systeemin kokonaisentropian kasvunopeuden on oltava suurempi tai yht¨asuuri kuin systeemin l¨amm¨onl¨ahteist¨a ja siihen kohdistuvasta l¨amp¨ovuosta muodostuva entropiantuotto.

Muutamien v¨alivaiheiden j¨alkeen saadaan systeemin dissipaatiotehon lausekkeeksi γ =−ρ( ˙ψ+sT˙) +σ:ε˙−T⁻¹gradT·q, (26) ja entropiaep¨ayht¨al¨o voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti

γ ≥0. (27)

Rajoittumalla geometrisesti lineaariseen malliin, muodonmuutostensori ε voidaan ja- kaa summamuodossa elastiseenε_e, ep¨aelastiseen virumaa kuvaavaan osaanε_csek¨a l¨amp¨o- venym¨a¨an ε_th

ε =ε_e+ε_c+ε_th. (28) Helmholtzin ominaisvapaaenergiaψ on l¨amp¨otilan T, vauriota kuvaavan eheydenω, ter- moelastisen muodonmuutoksen ε_te = ε − ε_c ja sis¨aisen muuttujan κ funktio, eli ψ = ψ(T,ε_te, ω, κ), joten dissipaatiotehon lauseke muuntuu muotoon

γ =−ρ

s+ ∂ψ

∂T

T˙ +

σ−ρ ∂ψ

∂ε_te

:ε˙_te+σ:ε˙_c−ρ∂ψ

∂ωω˙ −ρ∂ψ

∂κκ˙ −T⁻¹gradT·q. (29) Eheysmuuttujanω ja vauriomuuttujan D v¨alinen relaatio on

D= 1−ω. (30)

Eheysmuuttujalla on arvo 1 vaurioitumattomassa alkutilassa ja arvo 0 t¨aysin vaurioitu- neessa tilassa. Vastaavat arvot ovat p¨ainvastaiset vauriomuuttujan tapauksessa. Eheys- muuttujan k¨aytt¨o on perusteltavissa lausekkeiden yksinkertaistumisen vuoksi.

Systeemin dissipatiiviset mekanismit kuvataan dissipaatiopotentiaalin, tai t¨ass¨a oi- keammin komplementaarisen dissipaatiopotentiaalinϕ=ϕ(Y, K,q,σ;T) avulla, joka on argumenttien Y, K,q ja σ suhteen monotoninen funktio. Dissipaatiotehoγ m¨a¨aritell¨a¨an

γ = ∂ϕ

∂q·q + ∂ϕ

∂σ:σ+ ∂ϕ

∂KK + ∂ϕ

∂Y Y. (31)

M¨a¨arittelem¨all¨a termodynaamiset voimatY =ρ∂ψ/∂ω jaK =ρ∂ψ/∂κ, sek¨a asettamalla dissipaatiotehon lauseke (29) yht¨asuureksi m¨a¨aritelm¨an (31) kanssa, saadaan yht¨al¨o

−ρ

s+ ∂ψ

∂T

T˙ +

σ−ρ ∂ψ

∂ε_te

:ε˙_te+

˙

ε_c− ∂ϕ

∂σ

:σ

−

˙ ω+ ∂ϕ

∂Y

Y −

˙ κ+ ∂ϕ

∂K

K −

T⁻¹gradT + ∂ϕ

∂q

·q = 0. (32) Koska yht¨al¨on on toteuduttava kaikilla mahdollisilla termodynaamisesti luvallisilla pro-

sesseilla ˙T ,ε˙_te, σ,Y, K ja q, saadaan seuraavat yleiset konstitutiiviset yht¨al¨ot s=−∂ψ

∂T, (33)

σ =ρ ∂ψ

∂ε_te, (34)

ε˙c= ∂ϕ

∂σ, (35)

˙

ω =−∂ϕ

∂Y , (36)

˙

κ=−∂ϕ

∂K, (37)

T⁻¹gradT =−∂ϕ

∂q. (38)

Sijoittamalla n¨am¨a yleiset konstitutiiviset yht¨al¨ot energiayht¨al¨on paikalliseen muotoon (24), saadaan

c_εT˙ =−divq+ρR^heat+σ:ε˙_c+ρT ∂²ψ

∂ε_te∂T:ε˙_te+

ρT ∂²ψ

∂ω∂T −Y

˙ ω+

ρT ∂²ψ

∂κ∂T −K

˙ κ, (39) jossa l¨amp¨okapasiteetti c_ε m¨a¨aritell¨a¨an

c_ε =−ρT∂²ψ

∂T². (40)

Yht¨al¨o (39) on termomekaanisesti kytketty l¨amp¨oyht¨al¨o, jossa mekaanisen systeemin ai- heuttama l¨amp¨oenergian tuotto n¨akyy yht¨al¨on oikean puolen kolmessa viimeisess¨a ter- miss¨a, jotka kuvaavat viskoplastisuuden, termoelastisuuden ja vaurion aiheuttamaa l¨am- m¨ontuottoa. N¨aiden termien merkityst¨a tarkastellaan my¨ohemmin sivulla 439.

Mik¨ali dissipaatiofunktio on konveksi kaikkien termodynaamisten voimien suhteen, to- teutuu Clausiuksen-Duhemin ep¨ayht¨al¨o (27) automaattisesti. Konveksisuus ei kuitenkaan ole v¨altt¨am¨at¨on ehto. Riitt¨av¨a ehto dissipaatioep¨ayht¨al¨on toteutumiselle on dissipaatiopo- tentiaalin monotonisuus argumenttiensa suhteen.⁵ T¨ass¨a artikkelissa tarkasteltavat mallit perustuvat konveksiin dissipaatiopotentiaaliin, joten dissipaatioep¨ayht¨al¨o toteutuu kaikil- le termodynaamisesti luvallisille prosesseille.

Tarkasteltavat mallit

Helmholtzin ominaisvapaaenergia on nelj¨an tilamuuttujan, eli absoluuttisen l¨amp¨otilanT, termoelastisten muodonmuutosten ε_te sek¨a eheyden ω ja plastista lujittumista kuvaavan muuttujan κ, funktio

ψ =ψ(T,ε_te, ω, κ). (41)

Mik¨ali vaurioitumista ja plastista k¨aytt¨aytymist¨a kuvaavat muuttujat ω ja κ ovat va- kioita, Helmholtzin ominaisvapaaenergian avulla saadaan palautuvan k¨aytt¨aytymisen ti- layht¨al¨ot. Rajoittamalla kimmoinen k¨aytt¨aytyminen lineaariseksi, voidaan Helmholtzin ominasvapaaenergialle valitaan lauseke

ρψ(T,ε_te, ω, κ) =ρc_ε

T −Tln T T_r

+1

2(ε_te−ε_th):ωC_e:(ε_te−ε_th) +ρψ_p(κ, T), (42)

5Monotonisuusvaatimus on testattava origon kummallakin puolella erikseen.

jossa C_e on materiaalin kimmotensori, α l¨amp¨opitenemistensori, T_r viitel¨amp¨otila ja ε_th = α(T −T_r) l¨amp¨ovenym¨a. Isotrooppisessa aineessa kimmotensori ja l¨amp¨opitene- mistensori ovat muotoa

C_e =λI ⊗I + 2µI, ja α=αI, (43) jossaλ ja µovat Lam´en vakioita, α pituuden l¨amp¨otilakerroin,I toisen kertaluvun iden- titeettitensori ja I on nelj¨annen kertaluvun identiteettitensori, joka on muotoa I^ijkl =

1

2(δikδjl+δilδjk). Lam´en vakiot lausuttuna kimmokertoimenE ja Poissonin luvunν avulla ovat

λ = νE

(1 +ν)(1−2ν), µ= E

2(1 +ν), (44)

jossa E ja ν voivat olla l¨amp¨otilan funktioita. Plastista lujittumista kuvaavan sis¨aisen muuttujan m¨a¨arittelem¨alle osalle valitaan muoto

ρψ_p(κ) =K_∞

κ+ K∞

h exp(−hκ/K_∞)

, (45)

jossa materiaaliparametrith ja K∞ riippuvat l¨amp¨otilasta.

Dissipaatiopotentiaali voidaan jakaa termiseen, vaurioituvaan ja viskoplastiseen osaan seuraavasti

ϕ(Y, K,q,σ;T, ω) =ϕ_th(q;T) +ϕ_d(Y;T, ω) +ϕ_c(σ, K;T, ω), (46) jossa termisen osan potentiaalifunktio on muotoa

ϕ_th(q;T) = 1

2T⁻¹q·k⁻¹·q, (47)

ja k on l¨amm¨onjohtavuustensori, joka isotrooppisen l¨amm¨onjohtavuuden tapauksessa on yksinkertaisestik =kI. L¨amm¨onjohtavuuskvoi riippua l¨amp¨otilasta⁶. T¨ass¨a artikkelissa esitet¨a¨an virumisvaurion mallintamiseen kaksi mallia, joista parametrien suhteen moni- muotoisempi kuvataan potentiaaleilla

ϕd(Y;T, ω) = h_d(T) r+ 1

Y_r t_dω^k

Y Y_r

r+1

, (48)

ϕc(σ;T, ω) = h_c(T) p+ 1

ωσ_rc t_c

σ¯ ωσ_rc

p+1

, (49)

jossa Y_r on termodynaamisen voiman Y vapaasti valittava viitearvo ja ¯σ =√

3J₂ on von Misesin tehollinen j¨annitys. Yll¨at_c on virumisprosessin karakteristinen aika, joka on ver- rannollinen relaksaatioaikaan, ja hc, hd Arrhenius-tyyppisi¨a termisi¨a aktivaatiofunktioita h_i(T) = exp(−Q_i/RT), jossa Q_c ja Q_d ovat virumis- ja vaurioprosessien aktivaatioener- gioita ja R yleinen kaasuvakio. Virumismallin viitej¨annitys σ_rc on vapaasti valittavissa, valitaan se t¨ass¨a my¨ot¨oj¨annityksen arvoksi σ_rc=σ_y(κ, T) = σ_y0(T) +K(κ, T). Valinnalla (45) my¨ot¨oj¨annitykseksi saadaan

σ_y=σ_y0(T) +K∞(1−exp(−hκ/K∞)). (50)

6Vaurioituminen vaikuttaa my¨os l¨amm¨onjohtavuuteen, joten se voi olla my¨os eheysmuuttu- jan funktio. Vaurioituminen johtaa usein johtavuusominaisuuksien anisotropiaan. T¨ass¨a artikkelissa l¨amm¨onjohtavuuden riippuvuutta vauriomuuttujasta ei kuitenkaan k¨asitell¨a.

Potentiaalifunktio (45) kuvaa siten plastista materiaalia, jolla on maksimilujuus σ_f = σ_y0+K_∞, eli t¨aten K_∞ =σ_f −σ_y0. Virumismalli on Nortonin mallin tyyppi¨a, ja vaurio- potentiaali Kachanov-Rabotnov-mallin mukainen [15, 16].

Dissipaatiopotentiaalit (47), (48) ja (49) ovat muuttujiensa suhteen konvekseja funk- tioita, mik¨ali l¨amm¨onjohtavuustensori on positiivisesti definiitti ja parametrit r sek¨a p toteuttavatr, p ≥1.

Yleisist¨a konstitutiivisista yht¨al¨oist¨a (33)-(38) saadaan nyt yht¨al¨ot⁷

σ =ωC_e:ε_e, (51)

ε˙c= h_c t_c

σ¯ ωσ_rc

p

∂σ¯

∂σ, (52)

˙

ω=− h_d t_dω^k

Y Y_r

r

, (53)

˙

κ= p p+ 1

ωh_c t_c

σ¯ ωσ_rc

p+1

, (54)

q =−kgradT. (55)

Termodynaamiselle voimalle Y saadaan Y =ρ∂ψ

∂ω = 1

2ε_e:C_e:ε_e= 1

2ω²σ:C⁻¹_e :σ. (56)

Isotrooppisen aineen tapauksessa voidaan termodynaaminen voima Y saattaa muotoon Y = 1

ω²

(1 +ν)

3E σ¯²+3(1−2ν) 2E σ²_m

, (57)

jossa ¯σ = √

3J₂ von Misesin tehollinen j¨annitys, ja σ_m = ¹₃trσ on hydrostaattinen j¨annitys. Termodynaaminen voima voidaan my¨os kirjoittaa muodossa

Y = σ¯² 2Eω²

2

3(1 +ν) + 3(1−2ν)σ_m

¯ σ

2

= σ¯²

2Eω²R_ν, (58)

jossaσ_m/¯σ on j¨annityksen kolmiaksiaalisuussuhde, joka on hyvin merkitt¨av¨ass¨a asemassa materiaalin murtumisessa. Materiaalin sitkeys pienenee kolmiaksiaalisuussuhteen kasvaes- sa. Dimensiotonta termi¨aRν kutsutaan kolmiaksiaalisuusfunktioksi [23]. Mik¨ali termody- naamisen voiman viitearvoksiY_r valitaan

Y_r= σ²_rd

2E, (59)

saadaan vauriota ajavalle termodynaamiselle voimasuureelleY /Yr lauseke Y

Yr

= 1 ω²

"

2(1 +ν) 3

σ¯ σrd

2

+ 3(1−2ν) σ_m

σrd

2#

. (60)

Korkeissa l¨amp¨otiloissa teht¨av¨a¨a virumiskoetta varten on tarkoituksenmukaista valita σrd = σrc = σy0. L¨amp¨otilan laskiessa virumisen vaikutus vaurionkehitykseen pienenee.

T¨at¨a voitaisiin mallintaa k¨aytt¨am¨all¨a valintaa σ_rd=σ_y0+¹₂(σ_f −σ_y0)

1−tanh

T −T_tr

∆T

. (61)

7Venym¨a εe pit¨a¨a sis¨all¨a¨an my¨os vaurion, joten sit¨a voitaisiin kutsua vaurioelastiseksi venym¨aksi:

εe=ω⁻¹C⁻¹_e σ.

T¨all¨a valinnalla vaurion viitej¨annitys σ_rd on alhaisissa l¨amp¨otiloissa murtoj¨annityksen σ_f suuruinen ja laskee my¨ot¨oj¨annityksen arvoon σ_y0 transitiol¨amp¨otilan T_tr ymp¨arist¨oss¨a l¨amp¨otilav¨alill¨a (T_tr−∆T, T_tr+ ∆T).

Sis¨aisen muuttujan κ ja tehollisen virumisvenym¨an ¯ε_c nopeuksille saadaan relaatio

˙

κ= p p+ 1ω

σ¯ ωσ_rc

ε˙¯_c, (62)

jossa tehollinen virumisvenym¨anopeus on

˙¯

ε_c = q2

3ε˙_c: ˙ε_c. (63)

Virumiskoe

Virumiskokeista teht¨av¨a¨a materiaaliparametrien m¨a¨arityst¨a varten kirjoitetaan materi- aalimalli yksiulotteisessa tapauksessa, jolloin se tietyiss¨a kuormitustilanteissa kuten va- kiol¨amp¨otilan ja vakioj¨annityksen alaisessa virumiskokeessa voidaan integroida suljetussa muodossa. J¨annityksen ja muodonmuutoksen v¨alinen yhteys on nyt

σ =ωE(ε−ε_th−ε_c), (64)

ja virumisvenym¨anopeudelle saadaan

˙

ε_c = h_c(T) tc

σ ωσrc

p

, (65)

jossat_c on relaksaatioaikaan verrannollinen karakteristinen aika, h_c Arrhenius-tyyppinen terminen aktivaatiofunktio, h_c(T) = exp(−Q_c/RT), jossa Q_c on aktivaatioenergia ja R yleinen kaasuvakio. Vapaasti valittavan viitej¨annityksenσrcarvoksi valitaan my¨ot¨oj¨annitys σ_r=σ_y0(T). Koska testi tehd¨a¨an vakiol¨amp¨otilassa, voidaan l¨amp¨ovenym¨an osuus j¨att¨a¨a huomioon ottamatta.

Relaksaatioajalla tarkoitetaan aikaa, jossa mallin mukainen j¨annitysten t¨aydellinen relaksaatio tapahtuu, mik¨ali relaksaatio tapahtuisi alkunopeudella. T¨at¨a on havainnol- listettu kuvassa 6. T¨ass¨a ty¨oss¨a k¨aytetyn Nortonin mallin relaksaatioajalle t_rel voidaan johtaa kaava

t_rel = σrctc

Eh_c = εrtc

h_c , (66)

jossaε_r =σ_rc/E. Relaksaatioaika riippuu siten l¨amp¨otilasta suureidenσ_rc, E ja h_cl¨amp¨o- tilariippuvuden johdosta.

Malli 1

Vaurionkehityst¨a kuvaava Kachanov-Rabotnov tyyppinen malli (53) on siis

˙

ω=−h_d(T) tdω^k

Y Yr

r

, (53)

jossa

Y = σ²

2ω²E, (67)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

t/trel

σ/σ0

T /^◦C trup/h

600 580

560 540

520 500

18 16 14 12 10 8 6 4

1

Kuva 6. Relaksaatioajan k¨asite (σ0 on jokin j¨annitysarvo).

ja hd(T) = exp(−Qd/RT). T¨all¨oin saadaan vaurionkehityksen evoluutioyht¨al¨oksi

˙

ω =− h_d(T) t_dω^k+2r

|σ| σ_rd

2r

. (68)

Viitej¨annityksen arvoksi valitaan lujittumaton my¨ot¨oj¨annitys σ_rd = σ_rc = σ_y0 ≡ σ_r. Ve- tokokeessa j¨annitys on positiivinen joten itseisarvon merkit voi j¨att¨a¨a merkitsem¨att¨a.

Integroimalla evoluutioyht¨al¨o (68) saadaan eheyden aikariippuvuudeksi ω=

"

1−(1 +k+ 2r)hd

σ σ_r

2r

t t_d

#1/(1+k+2r)

. (69)

Virumismurtoajaksi (ω= 0) saadaan lauseke trup = 1

(1 +k+ 2r)h_d σ

σ_r −2r

td. (70)

T¨am¨a voidaan kirjoittaa my¨os muodossa σ

σ_r =

(1 +k+ 2r)h_dt_rup t_d

−1/2r

(71) Integroimalla konstitutivinen yht¨al¨o (65) saadaan vakioj¨annityksen alaisen virumisko- keen virumisvenym¨an lausekkeeksi

ε_c = 1

1 +k+ 2r−p· t_dh_c t_ch_d

σ σ_r

^p−2r( 1−

1−(1 +k+ 2r)h_d σ

σ_r p

t t_d

^1+k+2r−p_1+k+2r ) , (72) josta saadaan virumismurtovenym¨aksi

ε_c,rup= 1

1 +k+ 2r−p· t_dh_c t_ch_d

σ σ_r

p−2r

. (73)

Monkman-Grant hypoteesi

Useiden metallien ja metalliseosten virumiskokeista on havaittu, ett¨a minimivirumisno- peuden ja virumismurtoajan tulo on vakio [31,26], eli

˙

ε^c_mint_rup = vakio. (74)

T¨at¨a parametria kutsutaan Monkman-Grant parametriksi ja se esitet¨a¨an joskus my¨os yleistetyss¨a muodossa

C_MG= ( ˙ε^c_min)^mt_rup, (75) jossa potenssim vaihtelee v¨alill¨a 0,8−1,0. Monkman-Grant parametrin arvo on likimain virumismurtovenym¨an suuruinen

C_MG/ε_rup. (76)

Edell¨a esitetylle mallille Monkman-Grant parametrilla (m = 1) on t¨aten lauseke C_MG= ˙ε^c_mint_rup = 1

1 +k+ 2r t_dh_c t_ch_d

σ σ_r

^p−2r

. (77)

Monkman-Grant parametrin on todettu olevan useille metalleille miltei riippumaton l¨am- p¨otilasta ja j¨annityksest¨a. J¨annityksest¨a ja l¨amp¨otilasta riippumattomuus toteutuu mik¨ali ehdot

p= 2r ja 1

1 +k+ 2r t_dh_c

t_ch_d = vakio (78)

toteutuvat.

Malli 2

Tarkastellaan seuraavassa modifioitua mallia jossa vaurion dissipaatiopotentiaalia (48) on muutettu siten, ett¨a sen tuottama vaurionkehitys on yhteensopiva Monkman-Grant hypoteesin (74) kanssa. Ehdon (78) perusteella valitaan vaurion dissipaatiopotentiaaliksi lauseke

ϕ_d(Y;T, ω) = h_c(T)

(¹₂p+ 1)(1 +k+p) Y_r t_dω^k

Y Y_r

¹₂p+1

, (79)

josta seuraa eheysmuuttujan evoluutioyht¨al¨oksi

˙

ω =− hc

(1 +k+p)t_dω^k Y

Y_r ¹₂p

. (80)

Valitsemalla viitej¨annitykseksi σrd=σr =σy0, saa evoluutioyht¨al¨o (80) yksidimensioi- sessa tapauksessa muodon

˙

ω =− h_c

(1 +k+p)t_dω^k+p σ

σ_r p

, (81)

josta vakioj¨annityksen alaisessa virumiskokeessa saadaan integroimalla eheydelle esitys ω=

1−h_c

σ σ_r

p

t t_d

1/(1+k+p)

, (82)

ja virumismurtoajaksi saadaan

t_rup= t_d h_c

σ σ_r

^−p

. (83)

Integroimalla konstitutiivinen yht¨al¨o (65) saadaan vakioj¨annityksen alaisen virumis- venym¨alle esitys

εc= 1 +k+p 1 +k

t_d t_c

( 1−

1−hc

σ σ_r

p

t t_d

_1+k+p^1+k )

, (84)

ja josta saadaan virumismurtovenym¨aksi

ε_c,rup = 1 +k+p 1 +k ·t_d

t_c. (85)

Mallin ennustama arvo Monkman-Grant parametrille on siten

˙

ε_c,min = hc

t_c σ

σ_r p

, t_rup = td

h_c σ

σ_r −p

, ⇒ C_MG = td

t_c. (86) Larson-Miller parametri

Frank Larson ja James Miller esittiv¨at vuonna 1952 [21] seuraavan relaation virumismur- toajan ja l¨amp¨otilan v¨alille tietyll¨a j¨annitystasolla:

P_LM=T[C+ ln(t_rup)], (87)

jossa parametriaC pidet¨a¨an usein vakiona. Yht¨al¨on (87) muoto on luonnollisesti ep¨atyy- dytt¨av¨a, sill¨a parametrinC arvo riippuu k¨aytetyist¨a yksik¨oist¨a. Vastaava relaatio voidaan elegantimmin johtaa l¨ahtem¨all¨a esimerkiksi virumismurtoajan (83) lausekkeesta

t_rup t_d = 1

h_c σ

σ_r −p

= exp(Q/RT) σ

σ_r −p

. (83)

T¨ast¨a saadaan ottamalla yht¨al¨on molemmista puolista logaritmit Q

R =T

pln σ

σ_r

+ ln t_rup

t_d

= ˜P_LM, (88)

joka on suositeltavampi muoto Larson-Miller parametrista antaen samalla fysikaalisen tul- kinnan parametrin arvolle. Larson-Miller parametria voidaan k¨aytt¨a¨a virumismurtoajan karkeassa estimoinnissa.

Materiaaliparametrien m¨a¨aritys

Esitet¨a¨an seuraavassa materiaaliparametrien m¨a¨aritys sovitettuna T24-ter¨aksen, 7CrMoVTiB10- 10, valmistajan materiaalidataan [2]. T¨ass¨a ty¨oss¨a ei materiaalin isotrooppista lujittumista

ole mallinnettu, eli ψ_p ≡0, joten σ_rc=σ_y0(T).

Taulukko 1. Ter¨aksen T24 dataan sovitetut mallin parametrien arvot.

parametri arvo parametri arvo t_c [s] 3039.9 p_r 14.766

t_d [s] 37.768 a −4.804

qc [K] 7137.6 rr 7.545

q_d [K] 9350.1 b −5.201

Malli 1

Tarkastellaan ensin mallin (52) ja (53) mukaista tapausta, jossa Monkman-Grant oletusta ei pakoteta a priori, vaan katsotaan kuinka se toteutuu, kun malli kalibroidaan n¨aiden parametrien suhteen valmistajan materiaalidataan n¨ahden [2].

Potenssien p ja r l¨amp¨otilariippuvuudelle voidaan olettaa lineaariset lausekkeet p(T) = p_r[1 +a(T −T_r)/T_r], r(T) = r_r[1 +b(T −T_r)/T_r]. (89) Estimoitavia parametreja ovat siis aikaparametrit t_c, t_d, dimensiottomat potenssit p_r, r_r sek¨a aktivaatioenergiat Q_c ja Q_d ja potenssien dimensiottomat l¨amp¨otilariippuvuusker- toimeta, b. Kalibrointia varten oletetaan viel¨a, ett¨ak+ 2r(T) =p(T) + 2 [23, Luku 3.3.3].

T¨ast¨a seuraak = 2, jos 2r(T) =p(T).

Varsinainen kalibrointi suoritetaan ratkaisemalla yht¨al¨oiden (65) ja (70) avulla ne pa- rametrien arvot, jotka parhaiten sovittavat kehitetyn mallin valmistajan dataan n¨ahden.

K¨aytett¨aviss¨a on valmistajan [2] virumiskokeiden testidata kolmessa l¨amp¨otilassa (500^◦C, 550^◦C ja 600^◦C) minimivirumisnopeuksille ja virumislujuuksille. T¨all¨a l¨amp¨otilav¨alill¨a ter¨aksen T24 my¨ot¨oj¨annitys voidaan esitt¨a¨a lineaarisella relaatiolla

σ_r =σ_y0(T) = σ^∗−cT, (90) jossa parametreilla σ^∗ ja c on arvot σ^∗ = 1123 MPa ja c = −1 MPa/K. Mallin ennuste valmistajan dataan n¨ahden on esitetty kuvassa 9. Mallin 1 parametrien arvot on esitetty taulukossa 1.

Taulukossa1aktivaatioenergiatq_cjaq_d on normeerattu yleisell¨a kaasuvakiollaR. Saa- dut materiaaliparametrit ovat suuruudeltaan realistisia ja p= 2r toteutuu tyydytt¨av¨all¨a tarkkuudella viitel¨amp¨otilassa Tr = 773 K. Lis¨aksi havaitaan, ett¨a l¨amp¨otilan noustessa, jolloin kokeiden j¨annitystaso alenee, eksponenttien p ja r arvo alenee jyrk¨asti. T¨am¨a on tyypillist¨a useille metalleille, katso [10, Taulukko 3.1].

Monkman-Grant -parametrin riippumattomuus j¨annityksest¨a ja l¨amp¨otilasta esitet¨a¨an lineaarisella asteikolla kuvassa 7. Hypoteesin toteutuma ei n¨ayt¨a erityisen hyv¨alt¨a. Toi- saalta logaritmisella asteikolla tarkasteltuna mallin antamat tulokset n¨aytt¨av¨at paremmin yhteensopivilta Monkman-Grant -hypoteesin kanssa, kuva 8.

Malli 2

Vastaavalla tavalla menetellen saadaan mallin 2 parametrien arvot m¨a¨aritetty¨a ja ne on esitetty taulukossa2. T¨ass¨a virumismurtomallissa on kimmovakioiden ja my¨ot¨oj¨annityksen lis¨aksi vain nelj¨a m¨a¨aritett¨av¨a¨a parametria, ja n¨aist¨a yksi on l¨amp¨otilariippuva. Malli 2 to- teuttaa Monkmann-Grant -hypoteesin. Mallin ennustaman murtovenym¨an ja Monkmann-

malli 2 300 MPa 200 MPa 100 MPa

T[^◦C]

CMG

600 580 560 540 520 500 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01

1

Kuva 7. Monkman-Grant -parametri (74) materiaaliparametrien kalibroinnin l¨amp¨otila-alueella (500^◦,600^◦).

”malli 2”

malli 1, T=600^◦C malli 1, T=550^◦C malli 1, T=500^◦C

ε˙c,min[s⁻¹] trup[s]

10⁻⁶ 10⁻⁷ 10⁻⁸ 10⁻⁹ 10⁻¹⁰ 10⁻¹¹ 10⁻¹² 10¹² 10¹¹ 10¹⁰ 10⁹ 10⁸ 10⁷ 10⁶ 10⁵

Kuva 8. Mallien ennustamat virumismurtoajat eri j¨annitystasoilla ja l¨amp¨otiloissa minimivirumisnopeu- den funktiona. Mallin 2 tulokset ovat riippumattomia l¨amp¨otilasta.

438

Taulukko 2. Ehdot (78) toteuttavat ter¨aksen T24 dataan sovitetut mallin parametrien arvot.

parametri arvo parametri arvo t_c [s] 24445.1 p_r =p(500^◦C) 14.788

td [s] 294.06 a −4.9984

q_c [K] 5539.1 p(600^◦C) 5.228

Grant -parametrin suhde on esitetty kuvassa 10, josta havaitaan, ett¨a mallin ennustama murtovenym¨a pienenee l¨amp¨otilan kasvaessa.

L¨amm¨ontuottotermien tarkastelua

Palataan tutkimaan l¨amm¨onjohtumisyht¨al¨on (39) deformaatiosta aiheutuvien termien keskin¨aisi¨a suuruussuhteita. Merkit¨a¨an muodonmuutosten ja vaurion aikaansaamaa l¨am- m¨ontuottonopeutta tilavuutta kohden

ρRmech =σ:ε˙_c+ρT ∂²ψ

∂ε_te∂T:ε˙_te+

ρT ∂²ψ

∂ω∂T −Y

˙ ω+

ρT ∂²ψ

∂κ∂T −K

˙

κ, (91) joka voidaan ryhmitell¨a

ρR^mc =σ:ε˙_c−Kκ,˙ (92)

ρR^md =−Yω,˙ (93)

ρR^mte =ρT ∂²ψ

∂ε_te∂T:ε˙_te=Tε_te:dC_e

dT :ε˙_te, (94)

ρR^mtd =ρT ∂²ψ

∂ω∂Tω˙ =T∂Y

∂Tω,˙ (95)

ρR^mtc =ρT ∂²ψ

∂κ∂Tκ˙ =T∂K

∂T κ.˙ (96)

Termit (94)-(96) kuvaavat l¨amm¨ontuottoa, mik¨ali Helmholtzin ominaisvapaaenergiassa esiintyv¨at mekaanista k¨aytt¨aytymist¨a kuvaavat materiaaliparametrit riippuvat l¨amp¨otilasta.

Tarkastellaan edell¨a esitettyj¨a l¨amm¨ontuottonopeuksia yksiakselisessa vetoj¨annitystilassa.

T¨all¨oin saadaan lausekkeet ρR^mc ≈ σ_y0h_c

t_c

σ ωσ_rc

p

, ρR^md = h_dσ_rd² t_dω^k−1E

σ ωσ_rd

2r+2

, ρR^mte≈TdE dTε_teε˙_te, ρR^mtd =−1

2TdE dT

h_d t_dω^k

σ_rd E

2 σ ωσ_rd

2r+2

, ρR^mtc=T∂K

∂T ε˙_c. (97) Oletetaan kimmokertoimen l¨amp¨otilariippuvuus lineaariseksi tarkastellulla l¨amp¨otila-alueella

E(T) =E(T₀)

1 +C_ET −T₀ Tm

, (98)

jossaT_mon materiaalin sulamisl¨amp¨otila. Odotettavasti termiR^mc on merkitt¨avin ja tar- kastellaankin muiden termien suuruutta t¨ah¨an verrattuna. Otaksutaan yksinkertaisuuden

ε˙c,min[%/10³h]

σ[MPa]

10¹ 10⁰

10⁻¹ 10⁻²

400 300 200

100

50

1

(a)

t_rup[h]

σ[MPa]

10⁵ 10⁴

10³ 10²

400 300 200

100

50

(b)

Kuva 9. Mallien kalibroidut ennusteet valmistajan dataan [2] n¨ahden materiaalille T24: (a) minimiviru- misnopeudet ja (b) virumislujuudet. Mallin 1 tulokset on piirretty ehyell¨a viivalla ja mallin 2 katkoviivalla.

Ylimm¨at kuvaajat liittyv¨at l¨amp¨otilaan 500^◦C, keskimm¨aiset 550^◦C ja alimmat 600^◦C.

440

εrup

CMG

T[^◦C]

CMG,εrup

600 580 560 540 520 500 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

1

Kuva 10. Mallin 2 ennustama murtovenym¨a ja Monkmann-Grant -parametri.

vuoksi ehdotσ_rd =σ_rc =σ_y0, t¨all¨oin lujittumisparametri K ≡0. Mik¨ali lausekkeet laske- taan l¨amp¨otilan T0 ymp¨arist¨oss¨a, saadaan suhteet

R^md Rmc

= t_ch_d t_dh_c

σ E

σ σ_y0

1 ω^k+1

σ ωσ_y

2r−p

, (99)

R^mte

R^mc =C_E T T_m

σ ωσ_y0

tcε˙^te

h_c , (100)

Rmtd

R^mc =C_Et_ch_d t_dh_c

1 ω^k+1

σ ωE(T₀)

T

T_m. (101)

Mik¨ali t¨alle l¨amp¨otilalle valitaan 500^◦C, eli T₀ = 773 K, ja ottaen huomioon ter¨aksen sulamisl¨amp¨otila Tm ≈ 1800 K, ja kimmokertoimen l¨amp¨otilariippuvuusparametri CE ≈

−1, sek¨a valitsemalla taulukossa 1 esitetyt arvot muille materiaaliparametreille, saadaan suuruusluokka-arviot

t_c

t_d ≈80, h_d

h_c ≈0.057, joten t_ch_d t_dh_c

T₀

T_m ≈2. (102)

Virumisessa termoelastinen venym¨anopeus h¨avi¨a¨a, ja ottaen huomioon, ett¨a tarkastel- taessa tilannetta vaurioitumisen alkuvaiheessa ω/1 ja p= 2r, saadaan

R^md Rmc ≈4.6

σ E(T₀)

σ σ_y0

∼ σ

E(T₀), (103)

R^mtd R^mc ≈2

σ E(T₀)

∼ σ

E(T₀). (104)

N¨ain on tullut osoitettua, ett¨a virumisen aiheuttama l¨amm¨ontuotto on useita kertaluokkia vaurioitumisen aiheuttamaa l¨amm¨ontuottoa suurempi. Mielenkiintoista on kuitenkin se, ett¨a termien R^md ja R^mtd vaikutus on samaa suuruusluokkaa.

Virumisprosessin aiheuttama l¨amm¨ontuotto on kuitenkin merkitykset¨on. L¨amp¨otilalla on kuitenkin merkitt¨av¨a vaikutus sen suuruuteen: 500^◦C:n l¨amp¨otilassa se on luokkaa 3 mW/m³ ja vastaavasti 7 W/m³ 600^◦C:ssa.

malli 2 malli 1

T[^◦C]

trel[h]

600 580

560 540

520 500

18 16 14 12 10 8 6 4

1

Kuva 11. Relaksaatioaikatrel materiaaliparametrien kalibroinnin l¨amp¨otila-alueella (500^◦,600^◦).

ε/εy

σ/σy

50 40

30 20

10 0

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Kuva 12. Mallien ennuste vakionopeudella tehdyss¨a vetokokeessa l¨amp¨otilassa 500^◦. Ylemm¨at k¨ayr¨at ovat vetonopeudella ˙ε= 10⁻⁷ 1/s ja alemmat ˙ε= 10⁻⁹ 1/s. Mallin 1 vaste on piirretty ehyell¨a viivalla ja mallin 2 vastaavasti katkoviivalla.

Mallien vertailua Relaksaatioaika

Kuvassa 11on esitetty relaksaatioaika (66) tunteina materiaalien kalibroinnin l¨amp¨otila- alueella 500^◦C - 600^◦C. Relaksaatioajan lyheneminen on huomattava. Malli 2 ennustaa hieman suuremman relaksaatioajan.

Vakionopeudella teht¨av¨a vetokoe

Kuvassa 12 on esitetty molempien mallien vaste vakionopeudella tehdyss¨a vetokokeessa.

Koska mallissa ei ole varsinaista my¨ot¨olujittumista, vaurionkehitys aiheuttaa my¨ot¨opeh- menemist¨a jo melko pienill¨a venym¨an arvoilla. Mallin 2 tulokset murtovenym¨alle ovat riippumattomia vetonopeudesta.

442