2.3.2. Kertolaskusääntö 2.3.2. Kertolaskusääntö
Riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö P(A ja B sattuvat)
= P(A sattuu) P(B sattuu, kun tiedetään A:n sattuvan) eli
P(A ja B) = P(A) · P(B | A)
E.1. Luokalla on 7 poikaa ja 8 tyttöä.
Arvotaan kaksi järjestäjää.
Millä todennäköisyydellä he ovat poikia?
15 7
14 6
5
1
P(ensimmäinen ja toinen on poika)
E.2. Pakasta otetaan kaksi korttia.
Mikä on todennäköisyys, että ensimmäinen on risti ja toinen 9?
52 13
13 1
52
1
A= ”risti” B = ”9”
P(A ja B) = P(A) · P(B | A)
52 ) 13
( A
P 13
) 1
|
( B A
P
Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö
P(A ja B) = P(A) · P(B) eli P(A B) = P(A) · P(B) E.3. Mikä on todennäköisyys, että satunnainen kokonaisluku on jaollinen 5:llä ja 7:llä?
5 1
7 1
35
1
P(A ja B) = P(A) · P(B)
A = ”jaollinen 5:llä” B=”jaollinen 7:llä”
2.4. Monivaiheisen kokeen kertolaskusääntö 2.4. Monivaiheisen kokeen kertolaskusääntö
2.4.1. Monivaiheinen koe, jonka vaiheet riippumattomia Riippumattomat kokeet
Ovat yleensä aivan eri satunnaiskokeita
(kuten nopanheitto ja kortin nosto), joissa toisen kokeen tulos ei mitenkään voi vaikuttaa toisen kokeen tulokseen
E.4. Ovatko A ja B riippumattomia, kun a) A = rahan heitto ja B = päivän sää
b) A = kortin nosto ja B = toisen kortin nosto, kun ensimmäinen kortti laitettiin takaisin c) A = kortin nosto ja B = kortin nosto,
kun ensimmäistä korttia ei laitettu takaisin?
a) ovat
b) ovat c) eivät
P(A ja B) = P(A) · P(B)
E.5. Mikä on todennäköisyys, että rahan heitossa saadaan kruunu ja kortin otossa pata?
Kertolaskusääntö riippumattomien kokeiden yhdistämiselle
2 1
52 13
8
1
A = ”kruuna rahanheitossa” B = ”pata”
P(A ja B) = P(A) · P(B)
E.6. Koripalloilija onnistuu 1. vapaaheitossa 70% ja toisessa 80% todennäköisyydellä.
Hän saa kaksi vapaaheittoa.
Millä todennäköisyydellä hän onnistuu a) molemmissa
b) täsmälleen yhdessä
c) ainakin yhdessä heitossa?
A = ”1. vapaaheitto onnistuu” B = ”2. vapaaheitto onnistuu”
a) P(kaksi koria) = P(A ja B) = P(A) · P(B) = 0,70 · 0,80 = 0,56
b) P(yksi kori) = P(A ja B) tai P(Ā ja B)
= 0,70 · 0,2 + 0,3 · 0,8 = 0,38
c) P(ainakin yksi kori) = 1 – P(0 koria) = 1 – P(Ā ja B) = 1 – 0,3 · 0,2 = 0,94
E.6. Koripalloilija onnistuu 1. vapaaheitossa 70% ja toisessa 80% todennäköisyydellä.
Hän saa kaksi vapaaheittoa. Millä todennäköisyydellä hän onnistuu a) molemmissa
b) täsmälleen yhdessä
c) ainakin yhdessä heitossa
0,7
1. onnistuu 1. epäonnistuu
0,3
0,8 0,2 0,8 0,2
2. onnistuu
2. onnistuu
2. epäonnistuu 2. epäonnistuu 2 koria
1 kori 0 koria
0,56 0,38 0,06
Sana viittaa kertolaskusäännön käyttöön: JA Kertolaskusääntö on voimassa myös silloin,
kun kokeessa on vaiheita enemmän kuin kaksi.
E.7. Henkilö saa postin mukana kirjeen todennäköisyyksillä 0,1, mainoksen 0,8 ja laskun 0,3.
Millä todennäköisyydellä hän saa samana päivänä kirjeen, mainoksen ja laskun?
= 0,1 · 0,8 · 0,3 = 0,024 P(A ja B ja C) = P(A) · P(B) · P(C)
A = kirje B = mainos C = lasku
P(A) = 0,1 P(B) = 0,8 P(C) = 0,3
2.4.2. Monivaiheinen koe, jonka vaiheet riippuvia
Kaksivaiheinen koe, ensimmäisen vaiheen tulos vaikuttaa toisen vaiheen tulosten todennäköisyyksiin.
A = ensimmäisen vaiheen tietty tapahtuma B = toisen vaiheen tietty tapahtuma
(A, B) : 1. vaiheessa tapahtuu A ja toisessa B P(A, B) = P(A) P(B | A)
Sääntö pätee myös, jos kokeessa vaiheita enemmän kuin kaksi
E.1. Kirjainlaput K K K U U U otetaan laatikosta.
Millä todennäköisyydellä ne tulevat järjestyksessä KUKKUU?
Vaihe Tapahtuma Alkeistapauksia Suotuisia Todennäköisyys
1 saadaan K 6 3 3/6 = ½
2 saadaan U 5 3 3/5
3 saadaan K 4 2 2/4 = ½
4 saadaan K 3 1 1/3
5 saadaan U 2 2 2/2
6 saadaan U 1 1 1/1
P(KUKKUU) = 1
1 2 2 3 1 2 1 5 3 2
1
20
1
