Lukiolaisten ja yliopisto-opiskelijoiden käsityksiä matemaattisesta todistamisesta ja niiden yhteys todistamistaitoihin

i

Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 2016

Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto

Lukiolaisten ja yliopisto-opiskelijoiden käsityksiä matemaattisesta todistamisesta ja

niiden yhteys todistamistaitoihin

Hanna Partanen

Hanna Partanen Pro gradu –tutkielma, 72 sivua Itä-Suomen yliopisto

Matematiikan koulutusohjelma Matematiikan aineenopettajakoulutus

Työn ohjaajat Yliopiston lehtori, dosentti Timo Tossavainen

Tiivistelmä

Tutkielman tarkoituksena oli selvittää, millaisia käsityksiä lukio- ja yliopisto- opiskelijoilla on matemaattisesta todistamisesta ja todistuksien merkityksestä oppimiselle, miten hyvin opiskelijat hallitsevat todistamisen, onko käsityksillä ja taidoilla yhteyttä toisiinsa sekä vaikuttaako matematiikan opintojen määrä käsityksiin ja taitoihin. Tämän tutkimuksen tutkimusmenetelmä on pääasiallisesti laadullinen, ja tutkimuksessa on sovellettu fenomenografiaa käsityksien tutkimiseen.

Todistamistaitoihin liittyvää aineistoa on myös analysoitu käyttäen kuvailevaa tilastoanalyysia.

Aineistonkeruumenetelmänä käytettiin kyselylomaketta, joka sisälsi sekä avoimia kysymyksiä käsitteisiin liittyen että todistamistehtäviä. Aineisto kerättiin neljästä eri lukiosta Itä-Suomen ja Kainuun alueelta sekä yliopiston puolelta Itä-Suomen yliopiston fysiikan ja matematiikan laitokselta. Lopulliseksi aineiston kooksi saatiin 140 vastaajaa.

Tutkimustulosten perusteella opiskelijoilla on paljon erilaisia käsityksiä matemaattisesta todistamisesta ja todistuksien merkityksestä matematiikan oppimiselle kannalta.

Samanlaisia tuloksia on saatu aiemmissa tutkimuksissa sekä Suomessa että maailmalla.

Myöskin opiskelijoiden todistamistaidoissa on selkeitä eroja. Aiemmissa tutkimuksissa on havaittu, että opiskelijoilla on vaikeuksia tuottaa todistuksia. Tämä tutkimus ei tehnyt eroa muihin tutkimuksiin tässä suhteessa. Todistamistaidoissa on kuitenkin

iii

selkeää kehittymistä havaittavissa siirryttäessä lukio-opiskelijoista yliopisto- opiskelijoihin. Mielenkiintoista on kuitenkin se, että tutkimustulosten perusteella matematiikan opintojen määrällä koulutustason sisällä ei ole yhteyttä sen kanssa, millaiset todistamistaidot opiskelijoilla on tai miten kehittyneet käsitykset heillä on teoreettiseen viitekehykseen nähden. Käsitykset todistuksien merkityksistä matematiikan oppimisen kannalta ja todistamisesta korreloivat suuntaa antavasti opiskelijoiden todistamistaitojen kanssa. Tutkimustulosten perusteelle matematiikan opetuksessa on kiinnitettävä enemmän huomiota opiskelijoiden käsityksiin.

Esipuhe

Minulle henkilökohtaisesti tämän tutkielman tekeminen oli suuri haaste, vaikkakin suurimmaksi osaksi motivoivaa puuhaa. Matemaattinen todistaminen oli osittain jo tuttu aihe kandidaatin tutkielmasta. Yllätyin kuitenkin siitä, miten paljon aihe vaati vielä perehtymistä. Perehtymistä vaati myös itse tutkimuksen teko, koska en ole aiemmin sellaista tehnyt näin laajassa mittakaavassa. Koen kuitenkin saaneeni tutkielman teosta paljon hyödyllistä tietoa, jota voin tulevaisuudessa työssäni hyödyntää.

Haluaisin ensinnäkin kiittää lukioiden rehtoreita, jotka antoivat luvan kerätä aineiston lukiostaan sekä tietenkin kyseisten lukioiden opettajia, jotka auttoivat keräämään aineiston heidän kursseiltaan. Yhtä suuren kiitoksen ansaitsevat Itä-Suomen yliopiston fysiikan ja matematiikan laitoksen matematiikan opettajat, jotka antoivat luvan kerätä aineiston kurssinsa yhteydessä.

Erityiskiitokset ansaitsee ohjaajani Timo Tossavainen, joka jaksoi ohjata ja neuvoa minua tutkielmani kanssa. Kiitokset myös perheelleni, ystävilleni sekä työtovereilleni, jotka jaksoivat kannustaa ja tukea minua tutkielman teon aikana.

Sonkajärvellä 12. huhtikuuta 2016 Hanna Partanen

v

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Teoreettinen viitekehys 4

2.1 Matemaattisen todistamisen ja todistuksien historia 4

2.2 Matemaattinen todistaminen ja todistukset 7

2.2.1 Mitä matemaattinen todistaminen ja todistukset ovat 7

2.2.2 Mikä tekee todistuksesta pätevän 10

2.2.3 Erilaisia todistusmenetelmiä 11

2.3 Todistuksien rooli matematiikassa ja matematiikan oppimisessa 15

3 Tutkimuksen tavoitteet ja aiempi tutkimus 19

3.1 Tutkimuksen tavoitteet ja tutkimuskysymykset 19

3.2 Aiempaa tutkimusta aiheesta 20

4 Tutkimusmenetelmät 22

4.1 Tutkimuksen metodologinen viitekehys 22

4.1.1 Laadullinen tutkimusote 22

4.1.2 Fenomenografia 23

4.1.3 Kuvaileva tilastoanalyysi 25

4.2 Kohdejoukon valinta ja rajaaminen 26

4.3 Aineiston hankinta 28

4.4 Aineiston käsittely ja analysointi 31

4.4.1 Todistamistehtävien ja C-osion käsittely sekä analysointi 31

4.4.2 Käsityksien käsittely ja analysoiminen fenomenografisesti 32

5 Tulokset 34

5.1 Opiskelijoiden käsityksiä 34

5.1.1 Matemaattisesta todistamisesta 34

5.1.2 Milloin matemaattinen todistus on pätevä 40

5.1.3 Todistuksien merkityksistä matematiikan oppimisessa 41

5.2 Opiskelijoiden todistamistaidot 47

5.2.1 Opiskelijoille ennestään tutut tehtävät 47

5.2.2 Helpoimmilta ja vaikeimmilta tuntuvat tehtävät 48

5.2.3 Tehtävistä saadut pistemäärät 51

5.2.4 Opiskelijoiden vastauksissa esille nousseita huomioita tehtävistä 53

5.3 Matematiikan opintojen määrän vaikutus 58

5.3.1 Opiskelijoiden käsityksiin 58

5.3.2 Opiskelijoiden todistamistaitoihin 58

5.4 Käsityksien ja todistamistaitojen välinen yhteys 59

6 Pohdinta 62

6.1 Yhteenveto ja pohdinta tutkimuksen tuloksista 62

6.1.1 Opiskelijoiden käsitykset 62

6.1.2 Opiskelijoiden todistamistaidot 67

6.1.3 Käsityksien ja todistamistaitojen välinen yhteys 67 6.1.4 Matematiikan opintojen määrän vaikutus käsityksiin ja taitoihin 68

6.1.5 Matematiikan opetuksen muutostarpeista 68

6.2 Tutkimuksen arviointia 70

6.2.1 Tutkimuksen luotettavuus 70

6.2.2 Tulosten merkitys ja jatkotutkimusaiheita 71

Viitteet 73

Liite A Aineistonkeruulomake 77

1

Luku I 1 Johdanto

Matematiikan opintojen alussa yliopistossa kohtasin vaikeuksia sopeutua erilaiseen matematiikan opetukseen lukioon ja peruskouluun verrattuna. Jo muutos peruskoulun matematiikan tunneista lukion matematiikan tunteihin tuntui aikoinaan suurelta, puhumattakaan muutoksesta lukion matematiikasta yliopistotason matematiikkaan. Lukiossa, jossa opiskelin, käsiteltiin matematiikan tunneilla vähän todistamista ja sekin lähes yhden kurssin aikana (Maa11: lukuteoria ja logiikka).

Yliopistossa taas heti ensimmäisistä kursseista lähtien vaadittiin kykyä ymmärtää ja tuottaa todistuksia eri matematiikan osa-alueilta. Jo tällöin pohdin, että kenties en ole ainoa opiskelija, jolle vaatimuksien nousu aiheutti vaikeuksia ja epätoivoisia hetkiä. Myös asiantuntijat ovat huomanneet sen, miten vaatimukset matematiikan opinnoissa todistuksien käytössä muuttuu äkkiä. Ball, Hoyles, Jahnke ja Moyshovitz-Hadar (2002, 908) toteavat, että siirtyessään yläkouluun ja lukioon opiskelijoilta odotetaan yhtäkkiä todistuksien ymmärtämistä ja kykyä kirjoittaa niitä, etenkin geometrian puolella, kun alaluokilla matematiikassa on keskitytty enemmän aritmeettisiin ympäristöihin, laskemiseen ja algorithmeihin. Heidän mukaansa merkittävä empiirinen todistusaineisto osoittaa, että monissa maissa on voimassa opetussuunnitelma, joka sisältää tällaisen suuren muutoksen. (Ball ym. 2002, 908)

Suomessakin on nähtävissä muutos siirryttäessä peruskoulusta lukioon ja edelleen yliopistoon.

Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa (2004, 163-164) vuosiluokilla 6-9 todistamisella ei ole merkittävää roolia. Tavoitteissa perustelua esiintyy vain kohdassa ”ilmaisemaan tavoitteensa yksiselitteisesti ja perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään”. Keskeisissä sisällöissä todistaminen on mainittu osiossa ajattelun taidot ja menetelmät: ”Todistamisen pohjustaminen: perustellut arvaukset ja kokeilut, systemaattinen yritys-erehdysmenetelmä, vääräksi osoittaminen, suora todistus”. Lukion opetussuunnitelman perusteiden pitkän matematiikan tavoitteissa eräänä tavoitteena on, että opiskelija: ”ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan

matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä”. Perustelemiseen on viitattu myös geometrian kurssin yhteydessä, lukuteoria ja logiikka -kurssin lisäksi. Viertolan (2011, 32) gradussaan tekemän tutkimuksen mukaan lukion pitkän matematiikan oppikirjojen teoriaosissa todistukset on tuotu hyvin esille. Hän kuitenkin lisää, että tarkasteltaessa ylioppilaskirjoituksia pitkän matematiikan osalta, voidaan muodostaa kuva, että todistuksia ei kuitenkaan arvosteta keskeisenä osana lukion pitkän matematiikan opetuksessa.

Vaikkakin asiantuntijat ovat tuoneet esille todistamisen keskeisen merkityksen, ja todistuksiin liittyviä tavoitteita on lisätty myös opetussuunnitelmiin, eivät kaikki opettajat ole omaksuneet ajatusta siitä, että todistamista opetettaisiin jokaiselle. Opettajat sen sijaan jättävät tämän osa-alueen vähemmälle harjoitukselle (Mariotti 2006, 173). Todennäköistä on, että Suomestakin löytyy opettajia, jotka ajattelevat ja toimivat noin. Kuten Mariotti (2006, 173) toteaa, asiantuntijat ovat tuoneet esille todistamisen keskeisen merkityksen, ja esimerkiksi NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) on periaatteissaan ja standardeissaan 2000 suositellut, että perustelujen ja todistuksien pitäisi olla osa matematiikan opetussuunnitelmaa joka luokkatasolle koulussa (Hanna 2000, 10). Oppilailla ja opiskelijoilla pitäisi olla valmiuksia:

 tunnistaa perustelujen ja todistuksien keskeinen asema matematiikassa

 laatia ja tutkia matemaattisia väitteitä

 kehittää ja arvioida matemaattista argumentointia ja todistuksia

 valikoida ja käyttää erilaisia perustelutapoja ja todistusmenetelmiä. (Hanna 2000, 10)

Matemaattisesta todistamisesta on käyty keskustelua vuosien varrella ja etenkin siitä, mitä matemaattinen todistaminen on ja sen merkityksestä matematiikassa ja oppimisessa (ks.

CadwalladerOlsker 2011; Hanna 1990; Weber 2003; Thurston 1994; Harel & Sowder 1998).

Mariottin (2006, 173-174) mukaan nopea vilkaisu PME:n (international group of mathematics educators) artikkeleihin, koskien todistuksia paljastaa, että aiemmin artikkelien sisältö koostui oppilaiden ja opettajien käsityksistä todistuksista ja niistä vaikeuksista, joita oppilaat kohtaavat kopioidessaan todistuksia ja todistaessaan. Nyt viimeisimpien artikkelien sisältö koostuu enemmän esityksistä ja keskustelusta siitä, onko ja miten olisi mahdollista voittaa nämä vaikeudet. Hänen mukaansa tutkimusten aiheet todistamisesta ja todistuksista voidaan luokitella kolmeen luokkaan:

3

 Todistuksien merkityksestä koulussa

 Millaisia vaikeuksia opiskelijoilla on todistamisessa, ja mistä nämä vaikeudet ovat lähtöisin

 Miten oppilaiden vaikeudet olisi voitettavissa eli millaista opetuksen pitäisi olla, jotta ongelmat saataisiin voitettua

Jos matemaattista todistamista ja todistuksia opetetaan opiskelijoille, on hyvä välillä pysähtyä tarkastelemaan sitä, mitä opetuksella saadaan aikaiseksi. Tämä tutkielma pyrkii osittain vastaamaan siihen, saadaanko aikaan muutoksia opiskelijoiden käsityksissä ja taidoissa opettamalla todistamista ja tuomalla todistukset osaksi matematiikan opiskelua. Tutkielmassa on rajattu tarkemmin tavoitteeksi selvittää, millaisia käsityksiä opiskelijoilla on todistamisesta, todistuksien merkityksestä oppimisessa, millaiset ovat opiskelijoiden todistamistaidot, ja onko käsityksillä sekä todistamistaidoilla millainen yhteys toisiinsa, sekä vaikuttaako matematiikan opintojen määrä käsityksiin ja taitoihin. Ahosen (1994, 114) mukaan opettajan pitäisi paneutua oppilaidensa esikäsityksiin ennen opetusta, ja huomioida niiden vaikutus oppimiseen. Hän toteaa, että opettajien käsitysten pitäisi olla paremmin jäsentyneitä opiskelijan käsityksiin nähden. Tällöin opiskelijoiden käsitykset voisivat kehittyä vuorovaikutuksessa opettajan kanssa (Ahonen 1994, 118).

Matematiikkaa yliopistossa opiskelevista osa on tulevia matematiikan aineenopettajia ja pian opettamassa todistamista kenties lukiossakin. Täten on mielenkiintoista tutkielmassa verrata poikkeavatko yliopisto-opiskelijoiden käsitykset todistamisesta ja todistamistaidot lukio- opiskelijoihin verrattuna. Tutkielman tuloksista on myös hyötyä opettajille sekä lukiossa että yliopistossa, koska ne voivat auttaa heitä hahmottamaan paremmin opiskelijoiden osaamisen ja ymmärtämisen tasoa todistamista ja todistuksia koskien.

Tutkielmassa on ensiksi luvussa yksi määritelty lyhyesti mitä matemaattisilla todistamisella ja todistuksilla tarkoitetaan, mikä tekee todistuksesta pätevän ja mikä sen merkitys on matematiikassa sekä käyty läpi todistamisen historiaan. Kolmannessa luvussa on kerrottu tutkimuksen tavoitteista ja aiemmasta tutkimuksesta aiheeseen liittyen. Neljännessä luvussa on kerrottu käytetyistä tutkimusmenetelmistä eli että kyseessä on laadullinen tutkielma, jossa on sovellettu fenomenografiaa sekä tutkielman aineiston hankinnasta ja analysoinnista ja käytetty lisäksi kuvailevaa tilastoanalyysia. Tulokset, jotka tutkimuksessa saatiin, on esitelty luvussa viisi.

Tuloksien jälkeen seuraava luku on pohdinta, jossa tehdään yhteenvetoa tuloksista, käsitellään tuloksien yhteyttä aiempaan tutkimukseen sekä keskusteluun, ja nostetaan hieman esille ehdotuksia siitä, miten aihetta voisi tutkia lisää, ja olisiko tässä tutkielmassa saatujen tuloksien pohjalta tehtävä muutoksia todistamisen ja todistuksien rooliin matematiikan opetuksessa.

Luku II 2 Teoreettinen viitekehys

2.1 Matemaattisen todistamisen ja todistuksien historia

Tämä alaluku käsittelee nimensä mukaisesti matemaattisen todistamisen ja todistuksien historiaa.

Ajatuksena on, että historian tunteminen auttaa lukijaa hahmottamaan paremmin todistuksien ja todistamisen roolin nykyään.

Todistamiskäsitteen kehityksestä ei tiedetä paljoa. Ei ole edes esimerkiksi tiedossa milloin matemaatikot ja filosofit saivat idean siitä, että matemaattiset väitteet vaativat perustelun. (Krantz 2007, 9.) Näkemys myös siitä, mikä tekee matemaattisesta todistuksesta hyväksyttävän, on muuttunut ajan kuluessa (Harel & Sowder 1998, 239) ja matemaattinen todistaminen ideana jatkaa myös kehittymistään edelleen (Krantz 2007, 6; Hanna 2000, 5),

Boyerin (1994, 29) mukaan matematiikka on kehittynyt aiemmin kuin kirjoitustaito, joten ei ole mahdollista saada varmaa tietoa ennen kirjoitustaitoa vallinneesta matematiikasta. Herodotos ja Aristoteles ovat molemmat sijoittaneet matematiikan synnyn Egyptin sivilisaation. Heidän näkemyksensä geometrian synnystä kuitenkin eroaa toisistaan. Herodotoksen mukaan geometria on peräisin maanmittauksen käytännöllisistä tarpeista kun taas Aristoteleksen mukaan geometrian on peräisin papeilta. Vaikkakin Egyptin matematiikassa ei tunnettu ainuttakaan formaalia todistusta tai teoreemaa, löytyy sieltä viitteitä kuitenkin täsmällisistä väittämistä. (Boyer 1994, 29, 45.).

Matematiikan alkuperäinen tarkoitus oli soveltaa kokemusperäisiä asioita. Krantzin (2007, 9) mukaan ensimmäinen varsinainen esitys ”todistuksesta” on ajoitettu babylonialaisiin. Tuolta ajalta on löydetty taulu, jossa on kuvattu miksi Pythagoraan lause on totta. Huomioitavaa on, että babylonialaisten taulun todistus ei täytä nykyaikaisia todistuksen vaatimuksia (Krantz 2007, 9).

Babylonialaisten ja egyptiläisten jälkeen matematiikan historiassa esille nousevat antiikin kreikkalaiset. He kokosivat matemaattisen tiedon babylonialaisilta ja egyptiläisiltä. Heille ei enää

5

riittänyt tietää, miten joku asia on vaan he halusivat myös tietää, miksi joku asia toimii niin kuin toimii. (Bramlett & Drake 2013, 20-21.) Matemaattisen todistuksen perustana on toiminut deduktiivinen päättely. Deduktiiviselle päättelylle tyypillistä on, että on asioita, jotka tiedetään todeksi tai pidetään totena, ja näistä johdetaan uusia totuuksia. (Bramlett & Drake 2013, 21.) Thales (634-548 eaa.) käytti deduktiivista päättelyä etsiessään uusia matemaattisia tuloksia.

Näkemykselle, että Thales toi deduktiivisen päättelyn matematiikkaan, on esitetty myös ristiriitaisia teorioita (ks. Boyer 1994, 124). Hänen todistuksensa siitä, että jokaisen ympyrän halkaisija jakaa ympyrän kahteen yhtä suureen osaan, ajatellaan olevan historian ensimmäinen varsinainen todistus.

(Bramlett & Drake 2013, 22). Hän myös ymmärsi todistuksien merkityksen ja yritti kehittää järjestelmällistä menetelmää todistamiseen (Bramlett & Drake 2013, 23, Turchin 1977 ja Davisin 1981 mukaan).

Pythagoralaisille ei riittänyt, että geometriset ideat vahvistettiin kokeilemalla, pelkästään havainnoimalla ja mittaamalla, kuten oli tehty ennen heitä. He ottivat tehtäväkseen osoittaa todistuksien merkityksen ja välttämättömyyden matematiikassa. Matemaattisille väitteille, etenkin geometrisille, olisi esitettävä varmistukseksi täsmällinen todistus. (Krantz 2009, 10) Vaikkakin todennäköisesti Pythagoraan lause oli tuttu jo babylonialaisille (Boyer 1994, 86; Krantz 2009, 11), pythagoralaiset käyttivät aikaa lauseen todistamiseen. Pythagoralaisten jälkeen matemaatikot ovat todistaneet lauseen myös myöhemmin useita kertoja, ja sille löytyykin useita kymmeniä todistuksia (Krantz 2007, 11). Ennen Eukleidesta (325-265 eaa.) matematiikan kehitykseen vaikuttivat myös Eudoxus (408-355 eaa.) ja Aristoteles. Eudoxuksen aikaansaannoksena voidaan pitää sitä, että hän otti käyttöön matematiikassa nykyäänkin käytössä olevan sanan teoreema eli lause (Krantz 2007, 12). Aristoteles taas perusti logiikan ja tuotti laajasti matemaattista kirjallisuutta (Boyer 1994, 153).

Vaikkakin Eukleides ei ole niin tunnettu omista matemaattisista tuloksista, hänet tunnetaan matematiikkaan suuresti vaikuttaneen ja laajasti levinneen kirjan Elementan, suomennettuna Alkeiden, tekijänä. (Boyer 1994, 160-161; Krantz 2007, 13.) Alkeissa Eukleides on koonnut kolmentoista kirjan verran matematiikan alalla saatuja tuloksia, esittäen ne loogisessa järjestyksessä. Kirjan sisältö kuitenkin rajoittuu alkeismatematiikkaan. Kirjassa hän on muotoillut ensiksi määritelmät, aksioomat ja postulaatit. Näiden avulla hän on todistanut kirjassa esiintyvät teoreemat. (Boyer 1994, 160-163, Krantz 2009, 13-14). Vuorinen (2003,1) nostaa artikkelissaan esille tekijöitä, jotka ovat keskeisiä Eukleideen Alkeissa: kaikki esitetyt asiat on määritelty tarkasti, tulokset on esitetty täsmällisesti ja todistettu deduktiivisesti lähtien aksiomeista ja edeten loogisin perusteluin, näin hän on saanut luotua järjestelmän, jossa matemaattinen tieto ei ole irrallista vaan

liittyy aina aiempiin tuloksiin. Alkeissa Eukleides antoi muille matemaatikoille mallin siitä, miten matematiikkaa pitäisi tarkastella ja kirjata (Krantz 2007, 14).

Antiikin Kreikan matematiikan jälkeen tuli pitkä ajan jakso, jota nimitetään keskiajaksi (Krantz 2007, 16). Keskiaika matematiikassa kesti yli 1000 vuotta, ja tänä aikana matemaattinen todistaminen kehittyi vain vähän lähinnä Euroopan ulkopuolisilla alueilla, kuten arabialaisten toimesta. (Krantz 2007, 16; Bramlett & Drake, 26.)

Renesanssin aikana tieteissä tärkeää oli löytää uutta tietoa. 1500-luvun puolessa välissä löydettiin kolmannen asteen yhtälön ratkaisu, joka sai matematiikassa aikaiseksi sen, että tuloksia alettiin pitää tärkeänä. Tuloksien noustessa tärkeäksi, tuli todistuksien täsmällisyydestä vähemmän olennaista. Matemaatikot luottivat enemmän omiin aavistuksiinsa kuin todistivat matematiikkaa aksiomaattisesti. Ongelmaksi muotoutui se, että vaikka joku väite pitää paikkansa useille erityistapauksille, ei se takaa sitä, että väite pitäisi yleisesti paikkansa. Tuloksien esittämistä helpotti myös matemaattisten symbolien yleistyminen. Symbolit yleistyivät tällöin myös todistuksissa.

Symbolien käyttö helpotti tuloksien ja todistuksien esittämistä tehden niistä muun muassa lyhyempiä. (Bramlett & Drake 2013, 26.)

1700- luvun loppupuolella muun muassa George Berkeley kritisoi, että tulokset sisälsivät loogisia puutteita. 1800-luvulla palattiinkin takaisin täsmällisyyteen todistuksissa, koska matemaatikoiden oli vaikea puolustautua kritiikkiä vastaan. (Bramlett & Drake, 28.) Tällöin tuli selväksi, että monet aiemmat todistukset olivat perustuneet aavistuksiin, ja niitä oli nyt syytä tarkastella uudestaan.

Walthoen (1999) mukaan muodollisuus matematiikassa tarkoitti sitä, että enää matemaatikot eivät voineet oikeuttaa töitään pelkästään intuitiolla (Bramlett & Drake 2013, 29). Bramlett ja Drake (2013, 29) kirjoittavat, että matemaatikkojen lisääntynyt halu todistaa enemmän käänsi suunnan takaisin kohti aksiomaattista todistamista. Matematiikan aksiomatisointi loi perustan sekä uudelle että vanhalle matematiikalle. Täsmällisen todistamisen parissa työskenteli muun muassa Gauss ja Cauchy. (Bramlett & Drake 2013, 29) Huomattavaa oli, että tällöin vielä matemaattinen kieli, merkkijärjestelmä ja terminologia eivät olleet universaaleja. Todistamismenetelmät olivat myös kehitteellä tällöin. (Krantz 2007, 17) 1800-luvun loppupuolella matemaatikot työskentelivät jo abstraktien aiheiden parissa (Bramlett & Drake 2013, 29).

1900-luvun loppupuolella todistamisen ongelmaksi nousivat pitkät todistukset, jotka ylittävät ihmisen ajattelun kapasiteetin. Tietokonetta on käytetty todistamiseen, esimerkiksi ongelmaan, jossa yritettiin todistaa, että kartan värittämiseen tarvitaan vähintään neljä väriä, jos kartta halutaan

7

värittää niin, että naapurimaissa ei käytetä samaa väriä. Esimerkin tapauksessa kaikki matemaatikot eivät kuitenkaan usko sen olevan varsinainen todistus kyseiseen ongelmaan. (Bramlett & Drake 2013, 31; Hers 1993, 393.) Krantz (2007, 31) toteaa, että tietokoneet ovat kehittyneet niin, että ne voidaan ohjelmoida löytämään uutta matemaattista tietoa sekä luomaan looginen ketju, joka johtaa uuteen matemaattiseen tietoon. Vaikka tietokoneita käytettäisiin uusien tuloksien löytämiseen, on Krantzin (2007, 32) mukaan silti ihmisen tarkistettava nämä tulokset, ja päätettävä ovatko ne merkityksellisiä. Hän tähdentää myös sitä, että matematiikassa keskeistä on ymmärtäminen, joten toivottavaa olisi, että tietokone toisi esille myös uusiin tuloksiin johtaneen päättelyketjun. (Krantz 2007, 32.)

2.2 Matemaattinen todistaminen ja todistukset

Alaluvussa on ensinnäkin yritetty selventää lukijalle mitä matemaattinen todistaminen ja todistukset ovat, ja mitä ne tarkoittavat tässä tutkielmassa. Toiseksi alaluvussa on paneuduttu näkemyksiin siitä, mikä tekee matemaattisesta todistuksesta pätevän. Kolmanneksi luvussa on esitelty todistamismenetelmistä suora ja epäsuora todistusmenetelmä.

2.2.1 Mitä matemaattinen todistaminen ja todistukset ovat

Matematiikka poikkeaa monesta muusta tieteestä siinä, että kun näissä muissa tieteenaloissa uudet tulokset perustellaan kokeellisten tutkimuksien kautta, matematiikassa todistuksen merkitys on osoittaa uudet tulokset päteviksi (Krantz 2007, 7-8). Todistukset tekevät matematiikasta ajatonta, koska voimme luottaa siihen, että jo aikoja sitten tuotettu tieto pitää paikkansa edelleen (Krantz 2007, 1).

CadwalladerOlskerin (2011, 39) mielestä sanojen todistaminen ja todistus välillä on eroa niiden merkityksessä. Todistamisen hän sanoo olevan prosessi, jonka lopputulos on todistus. Todistamisen prosessiluonne tulee esiin siinä, että se voi sisältää kohtia, joissa todistaja muuttaa näkökulman, jättää kesken jonkun kohdan ja vaihtaakin todistuksen suuntaa. Näin kahdella eri todistajalla prosessi voi olla todella erilainen. (CadwalladerOlskerin (2011, 39) Todistamista ja todistuksien merkitystä matematiikassa on varmasti helpompi ymmärtää, jos tietää pohjaa matematiikan rakenteesta ja tuntee rakenteen kuvaamisessa yleisesti käytettyjä sanoja. Näitä sanoja ovat muun muassa: määritelmä, aksiooma ja teoreema eli lause.

Krantz (2007, 5) nostaa artikkelissaan esille nämä matematiikassa keskeisesti käytössä olevat sanat, jotka hän kertoo olleen käytössä jo aikanaan Eukleideella. Samalla hän myös avaa matematiikan rakennetta. Ensimmäiseksi hän nostaa esille määritelmät. Niiden hän kertoo antavan meille sanoja eli kielen, jota käytämme myöhemmin väittämissä ja tuloksissa. Määritelmien pitää olla muotoiltu käyttäen sellaisia sanoja, jotka ovat yleisesti hyväksyttyjä, eivätkä tarvitse lisää selityksiä. (Krantz 2007, 5.) Hammackin (2013, 90) mukaan kaikkia määritelmissä käytettyjä sanoja ei voida määritellä, koska muuten olisi paljon yksittäisiä määritelmiä, joista lopulta muodostuisi kehäpäätelmä, siksi osa määritelmissä olevista sanoista hyväksytään sellaisenaan. Määritelmiä pitäisi myös kuvata sanoilla, jotka ovat jo muissa yhteyksissä tuttuja Aristoteleksen mukaan (Krantz 2007, 5). Tiivistettynä määritelmän merkityksen matematiikassa voisi ilmaista seuraavasti:

Matematiikassa esiintyville käsitteille on yleensä annettu jokin lyhennetty nimi tai merkintä (Thompson 1994, 270). Määritelmässä on annettu selitys siitä, mitä tämä kyseinen käsite tarkoittaa (Thompson 1994, 270; Hammack 2013, 87).

Aksioomat ovat matemaattisia faktoja, joiden ajatellaan olevan itsestäänselvyyksiä. Niiden muotoilussa on käytetty sanoja, jotka ovat peräisin määritelmistä. Koska aksioomia pidetään itsestäänselvyyksinä ja niin uskottavina, eivät ne tarvitse todistuksia. (Krantz 2007, 5-6.) Aksioomien pitää olla myös muodoltaan sellaisia, että niitä ei saada johdettua muista aksioomista, eikä niitä käytettäessä voi olla mahdollista todistaa sekä lausetta että sen negaatiota todeksi (Thompson, 1994, 13-14).

Jokainen matematiikan osa-alue alkaa määritelmillä ja aksioomilla, joita seuraavat lauseet.

Thompson (1994, 235) määrittelee kirjassaan lauseen eli toiselta nimeltään teoreeman väittämäksi, joka saadaan liitettyä teorian aksioomajärjestelmään todistuksien avulla. Ennen lauseiden käyttöä määritelmien ja aksioomien pitää olla hyväksyttyjä ja ymmärrettäviä (Krantz 2007, 6). Väite on virke tai matemaattinen ilmaisu, joka voi olla joko tosi tai epätosi (Hammack 2014, 34) Todistuksien rooli tässä ympäristössä on olla retorinen keino vakuuttamaan toinen matemaatikko siitä, että kyseinen väite on oikein (Krantz 2007, 6.) tai vastaavasti, että väite ei pidä paikkansa.

Griffithsin (2000) mukaan perinteisesti matemaattinen todistaminen on nähty muodollisena ja loogisena linjana, joka alkaa aksioomista ja useiden loogisten vaiheiden jälkeen päätyy johtopäätökseen (Weber 2003). Krantz (2007, 6) on tuonut esille myös logiikan roolin matemaattisessa todistuksessa. Hän toteaa, että useimmat askeleet matemaattisessa todistuksessa ovat logiikan perussääntöjen soveltamista. Vaikkakin todistusmenetelmiä on useita erilaisia,

9

noudattavat ne kaikki yhtä logiikan sääntöä, jonka mukaan ”Jos tiedämme että A:sta seuraa B, ja tiedämme A:n, voimme päätellä B:n”. (Krantz 2007, 6) Logiikka on siis systemaattinen ajattelutapa, jossa saamme vanhasta tiedosta deduktiivisesti uutta tietoa (Hammack 2013, 33) Erilaisia todistusmenetelmiä ovat muun muassa suora todistus ja epäsuora todistus. Todistusmenetelmiä on käsitelty tarkemmin luvussa 2.2.2.

Todistuksille on annettu erilaisia määritelmiä. Hammack (2013, 87) määrittelee todistuksen seuraavasti: ”Väitteen todistus on kirjoitettu vahvistus, joka osoittaa lauseen eli teoreeman olevan ehdottomasti ja yksiselitteisesti totta”. Thompson (1994, 385) määrittelee todistuksen olevan loogisten johtopäätösten ketju, joka alkaa aksioomasta ja johtaa väittämään eli lauseeseen. Tässä tutkielmassa todistus ymmärretään seuraavasti: Todistus on loogisten johtopäätöksien ketju, joka alkaa määritelmistä ja aksioomista ja johtaa väitteeseen. Todistaminen ymmärretään taas prosessiksi joka johtaa todistukseen.

CadwalladerOlsker (2011) esittelee artikkelissaan kaksi näkemystä siitä, mitä matemaattiset todistukset ovat. Kuten hän antaa ymmärtää artikkelissaan, näkemyksiä voi olla muitakin. Ensin hän nostaa esille perinteisen näkemyksen, joka on Rotasin kuvaus todistuksesta. Rotasin mukaan matemaattisten lauseiden todistukset koostuvat useista järjestyneistä askelista kohti haluttua lopputulosta. Tätä näkemystä matemaattisesta todistuksesta voidaan pitää myös muodollisena/virallisena näkemyksenä todistukselle. (CadwalladerOlsker 2011, 34.)

Matemaattiselle todistukselle on olemassa kuitenkin myös toisenlainen näkemys.

CadwalladerOlsker (2011, 36) nostaa esille Hershin (1997) näkemyksen käytännöllisestä matemaattisesta todistuksesta, joka on vapaamuotoinen ja epätarkka. Tämän näkemyksen mukaan todistuksella on subjektiivinen puoli, koska todistuksen tarkoitus on saada matemaattinen yhteisö uskomaan jonkun teoreeman olevan totta. Näkemyksen mukaan matematiikka on ihmisen tuottamaa, koska todistuksen on kirjoittanut, lukenut, ymmärtänyt ja vahvistanut ihminen.

(CadwalladerOlsker 2011, 36.)

Joissakin tutkimuksissa on eroteltu myös sanojen perustelu ja todistus merkitys toisistaan.

CadwalladerOlskerin (2011, 38-39) tuo esille artikkelissaan Douekin (1998) ja Pedemonten (2007) eroavat näkemykset perusteluista ja todistuksista. Douekin (1998) mielestä perustelut ja todistukset ovat eri asioita, vaikkakin ne ovat kielellisesti lähellä toisiaan. Hänen mielestään perustelu on usein käyttökelpoinen osa todistamista. Pedemonten (2007) (ks. CadwalladerOlsker 2011, 38-39) mielestä todistus on taas eräs perustelun muoto. Seldenin ja Seldenin (2003, 4) ovat myös

artikkelissaan erotelleet perustelun ja todistuksen toisistaan siten, että molemmat sisältävät deduktiivista päättelyä, mutta perustelu voi olla myös virheellinen, kun taas todistus on virheetön ja takaa väitteen totuuden. Tässä tutkielmassa todistamisen ja perustelun eroksi nähdään, että todistus on eräs perustelun muoto. Tarkemmin sanottuna sellainen perustelu, joka ei sisällä virheitä, sekä on muodollisempi ja luotettavampi perusteluun nähden.

2.2.2 Mikä tekee todistuksesta pätevän

Davis ja Hers (k. Weber 2003) nostavat esille, että vieläkään matemaatikkojen yhteisössä ei ole päästy yhteisymmärrykseen siitä, mikä tekee todistuksesta pätevän. On myös sanottu todistuksien vaatimuksien vaihtelevan riippuen siitä, millaisen matematiikan kanssa ollaan tekemisissä, esimerkiksi Hersin (1993, 392) mukaan puhtaan matematiikan ja soveltavan matematiikan välillä todistuksien vaatimukset ovat erilaiset. Soveltavan matematiikan saralla tuloksia voidaan julkaista ilman pätevää, yksityiskohdiltaan täydellistä todistusta, kun taas puhtaan matematiikan puolella todistuksien on oltava muodollisesti päteviä. Hän tuo esille myös sen, että todistamismenetelmät ja todistuksien muodollisuus tulee muuttumaan entisestään, esimerkiksi tietokoneiden tekemien todistuksien myötä (Hers 1993, 394).

Todistuksen pitäisi sisältää mahdollisimman vähän aksioomia ja logiikan sääntöjä, näin pienenee riski siitä, että todistuksessa on sisäisiä ristiriitoja, ja lukijan on helpompi hahmottaa todistus (Krantz 2007, 7). Aina ei ole järkevää, ja aina matemaatikot eivät käytäkään muodollista todistusta, koska silloin todistukset voivat venyä liian pitkiksi (de Villiers 1990, 19). Tällöin matemaatikot saattavat todistuksissaan jättää merkitsemättä kaikkia yksityiskohtia. (Weber 2003; Usiskin 1980, 74) Todistuksien pitää olla kuitenkin kirjoitettu niin, että jokainen, jolla on riittävä pohjatieto matematiikasta, pystyy ymmärtämään ja vakuuttumaan todistuksesta (Hammack 2013, 87). Jos nimittäin väitteen todistuksessa on puitteita, ei kukaan pidä väitettä pätevänä, mikä johtaa siihen, ettei kukaan käytä sitä omissa töissään. (Krantz 2007, 1.) Todistuksia kirjoittaessa on tärkeää aina pitää huolta, että käyttää oikeita sanoja, ilmaisuja ja symboleita, koska muuten vaarana on, että lukija ei ymmärrä todistusta (Hammack 2013, 87).

CadwalladerOlsker (2011, 40-41) kirjoittaa todistuksien kirjoitusasun ja muodon riippuvan myös siitä, mihin tarkoitukseen, ja ketä varten todistus on kirjoitettu. Esimerkiksi todistus, jonka tarkoituksena on selittää uutta tulosta voi olla vähemmän muodollinen verrattuna todistukseen, joka on kirjoitettu selittämään lauseen yhteyttä muihin lauseisiin (CadwalladerOlsker 2011, 40-41).

11

Weber (2003) on artikkelissaan koonnut kolme eri muotoa todistuksen määrittelystä. Yhteistä näille määritelmille on se, että niiden kaikkien mukaan todistus määritellään perusteeksi, josta jokainen lukija vakuuttuu asian totuudesta. (Weber 2003.) Todistuksien pitää olla siis muotoiltu niin, että ne ovat tarpeeksi vakuuttavia. Thurston (1994, 9) toteaa, että todistuksien pätevyyden kannalta tärkeämpää kuin muodolliset dokumentit, ovat sosiaaliset standardit pätevyydelle. Hänen mukaansa ihmiset ovat hyviä kertomaan todistuksien mahdolliset heikkoudet ja virheet, mutta sen sijaan todistuksen muodollisesti oikeaksi toteaminen ei ole niin helppoa ihmisille. Tärkeämmäksi todistuksen pätevyyden kriteereiksi voidaankin todeta, että sen pitäisi vakuuttaa lukijansa.

2.2.3 Erilaisia todistusmenetelmiä

Hammackin (2013, 33) mukaan logiikka on systemaattinen tapa ajatella. Logiikassa uutta tietoa rakennetaan vanhan jo tiedossa olevan tiedon pohjalta deduktiivisesti. (Hammack 2013, 33) Logiikassa väitteet ovat matemaattisia ilmaisuja, jotka ovat joko ehdottomasti tosia (”T”) tai ehdottomasti epätosia (”E”). Lauseiden esittämisessä käytetään usein apuna kvanttoreita ”kaikki”

(∀) ja ”on olemassa” (∃). Lauseiden yhdistämisessä käytetään muun muassa konnektiiveja:

negaatio ⌐ (”ei”), konjunktio ˄ (”ja” ), disjunktio ˅ (”tai” ), implikaatio → (”Jos..niin”) ja ekvivalenssi ↔ (”jos ja vain jos”). (Thompson 1994, 225-226, 235, 247.) Lauseista P ja Q muodostettujen uusien lauseiden totuusarvot on esitetty totuusarvotaulukossa taulukossa 2.1.

Taulukko 2.1 Yleisempien konnektiivien totuusarvotaulukot.

negaatio konjunktio disjunktio implikaatio ekvivalenssi

P Q ¬P ¬Q P ˄ Q P ˅ Q P→Q P↔Q

T T E E T T T T

T E E T E T E E

E T T E E T T E

E E T T E E T T

Seuraavaksi on tarkasteltu suora ja epäsuoratodistusmenetelmä ensiksi yleisesti, ja annettu molemmista lisäksi esimerkkitodistukset. Lähteenä on käytetty Hammackin (2013) kirjaa.

Suora todistusmenetelmä

Suora todistusmenetelmä lähtee liikkeelle oletuksista, joiden oletetaan olevan totta. Tämän jälkeen käyttäen apuna logiikkaa, määritelmiä ja yleisiä matematiikan faktoja yritetään todistaa haluttu väite todeksi. Suorassa todistuksessa lähdetään siis liikkeelle oletuksesta P ja pyritään pääsemään

väitteeseen Q, tällöin myös väite Q pitää paikkansa eli on tosi. Ilmaistuna logiikan merkkejä käyttäen suora todistus voidaan esittää seuraavasti:

(P ˄ (P→Q)) →Q. (2.1)

Totuusarvotaulukko suoralle todistusmenetelmälle auttaa hahmottamaa suoran todistuksen etenemistä, ja miksi väite Q saadaan tällöin perusteltua todeksi. Totuusarvotaulukko suoralle todistukselle on esitetty taulukossa 2.2.

Taulukko 2.2. Totuusarvotaulukko suoralle todistusmenetelmälle.

P Q P→Q P ˄ (P→Q) P ˄ (P→Q) →Q

T T T T T

T E E E T

E T T E T

E E T E T

Alla on tuotu esille esimerkin avulla kuinka suora todistusmenetelmä etenee.

Oletus: n on pariton kokonaisluku Väite: 𝑛² on pariton kokonaisluku

Todistus. Oletuksen mukaan n on pariton kokonaisluku eli

𝑛 = 2𝑘 + 1, (2.2)

missä k on kokonaisluku.

Oletuksesta saadaan

𝑛² = (2𝑘 + 1)² = 4𝑘²+ 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘² + 𝑘) + 1 (2.3)

Koska k ∈ ℤ, niin silloin myös

2(2𝑘²+ 𝑘) + 1 ∈ ℤ. (2.4)

Koska

2(2𝑘²+ 𝑘) (2.5)

on parillinen, tällöin

13

2(2𝑘²+ 𝑘) + 1 (2.6)

on pariton.

Epäsuora todistusmenetelmä

Epäsuorissa todistusmenetelmissä ideana on lähteä liikkeelle oletuksesta P ja tehdä vastaväite, toiselta nimeltään antiteesi, eli oletetaankin, että väitteen Q negaatio on totta. Tämän jälkeen yritetään päästä ristiriitaan joko oletuksen kanssa tai muun aiemmin todistetun lauseen kanssa.

Hammack (2013) on kirjassaan tuonut esille sekä käänteisen todistuksen, jossa ideana on päästä ristiriitaan oletuksen kanssa, että yleisen ristiriitatodistuksen, jossa tarkoituksena on päästä ristiriitaan oletuksen tai muun yleisesti matematiikassa tunnetun faktan kanssa käyttäen sekä oletusta että antiteesia.

Yleinen ristiriitatodistus

Yleisessä ristiriitatodistuksesta lähetään liikkeelle oletuksesta P, ja tehdään oletuksen Q vastaoletus

⌐Q, jonka avulla pyritään pääsemään ristiriitaa lauseen C kanssa. Lause C on aina epätosi. Logiikan avulla tämä voidaan ilmaista

(P ˄((P ˄ ⌐Q) ˄ (C ˄ ⌐C))) →Q (2.7)

Taulukossa 2.3 on esitetty totuusarvotaulukot ristiriitatodistukselle.

Taulukko 2.3 Totuusarvotaulukko yleiselle ristiriita todistukselle.

P Q ⌐Q C ⌐C P ˄ Q P ˄ ⌐Q C ˄ ⌐C ((P ˄ ⌐Q)

˄ C ˄ ⌐C))

(P ˄((P ˄ ⌐Q)

˄ C ˄ ⌐C)))

(P ˄((P ˄ ⌐Q) ˄ C ˄ ⌐C))) →Q

T T E E T T E E E E T

T E T E T E T E E E T

E T E E T E E E E E T

E E T E T E E E E E T

Käänteinen todistus

Käänteisestä todistuksesta lähetään liikkeelle oletuksesta P, tehdään väitteelle Q, vastaväite ⌐Q, jonka avulla johdetaan oletuksen P negaatio ⌐P. Tällöin väitteen Q on oltava tosi.

(P ˄ (⌐Q→⌐P)) →Q (2.8)

Totuusarvotaulukot käänteiselle todistukselle on esitetty taulukossa 2.4.

Taulukko 2.4 Totuusarvotaulukko käänteisestä todistuksesta.

P Q ⌐P ⌐Q ⌐Q→⌐P P ˄ (⌐Q→⌐P) P ˄ (⌐P→⌐Q) →Q

T T E E T T T

T E E T E E T

E T T E T E T

E E T T T E T

Esimerkkinä epäsuorasta todistusmenetelmästä todistetaan käänteisellä todistuksella, että nollasta poikkeavan rationaaliluvun ja irrationaaliluvun tulo on aina irrationaaliluku

Oletus: Luku a on nollasta poikkeava rationaaliluku eli muotoa 𝑎 = ^𝑝

𝑚, (2.9)

missä p ja m ovat molemmat nollasta poikkeavia kokonaislukuja. Luku b on irrationaaliluku eli reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku

Väite: Lukujen a ja b tulo on aina irrationaaliluku

Todistus: Tehdään vastaoletus eli että lukujen a ja b tulo on rationaaliluku. Vastaoletuksen perusteella on olemassa kokonaisluku r ja nollasta poikkeava kokonaisluku s siten, että

𝑎𝑏 =^𝑟

𝑠 (2.10)

Ratkaistaan tästä yhtälöstä luku b

𝑎𝑏 =^𝑟

𝑠, (2.11)

jolloin

15

𝑏 = ^𝑟

𝑠𝑎. (2.12)

Koska kaikki luvut a, b, r ja s ovat kokonaislukuja ja luvut s ja a nollasta poikkeavia kokonaislukuja, olisi luku b rationaaliluku, joka on ristiriidassa oletuksen kanssa, että b on irrationaaliluku. Täten vastaoletus ei pidä paikkansa, joten väite on totta.

2.3 Todistuksien rooli matematiikassa ja matematiikan oppimisessa

Todistuksilla on matematiikassa kolme tarkoitusta Bellin (1976, 24) mukaan: vahvistaa väitteen olevan tosi, selventää sitä miksi lause on totta, ja järjestää tulokset deduktiiviseen järjestelmään eli näyttää miten tulokset sijoittuvat aksioomiin ja muihin lauseisiin, tuloksiin ym. nähden. Hän ottaa artikkelissaan kantaa siihen, että usein lauseita on todistettu siksi, että ei jää epäilyksiä sen paikkansa pitävyydestä. De Villiers (1990, 17-18) viittaa tekstissään useaan lähteeseen, jotka antavat todistamisesta tällaisen käsityksen. Laajentamalla Bellin (1976) alkuperäistä luokittelua todistuksien merkitykselle on de Villiers (1990, 18) artikkelissaan esitellyt listan todistuksien merkityksistä matematiikassa:

 oikeaksi vahvistaminen

 selvittää, miksi lause on totta

 systemointi eli organisoida, miten lauseet liittyvät esimerkiksi aksioomiin tai määritelmiin

 löytämään uusia tuloksia

 kommunikointi eli matemaattisen tiedon siirtäminen

Hanna (2000, 8) on artikkelissaan koonnut useammasta lähteestä (Bell, 1976; de Villiers, 1990, 1999; Hanna and Jahnke, 1996) merkityksiä todistuksille, ja lisännyt edelliseen listaan vielä seuraavat merkitykset:

 konstruktoida kokeellisesta teoriasta

 tutkistella määritelmien tai seurauksien oletuksia

 Liittää hyvin tiedetyn faktan uuteen ympäristöön, ja näyttää se uudessa näkökulmassa

De Villiersin (1990, 18) mukaan useilla matematiikan opettajilla on virhekäsitys siinä, että todistaminen tuo absoluuttisen varmuuden asian paikkansapitävyydestä, eli todistamisen merkitys on vain lauseiden oikeaksi vahvistamista. Hänen mukaansa asia ei kuitenkaan ole näin, vaan matemaatikot pikemminkin ensiksi varmistavat muilla tavoin lauseen paikkansapitävyyden, ja

alkavat todistaa lausetta vasta kun ovat itsekin varmistuneet lauseen paikkansa pitävyydestä muilla tavoin. Nämä muut keinot pikemmin antavat motivaation lähteä todistamaan lauseita. Joskus todistamisen merkitys nousee esille siinä vaiheessa, kun on saatu uusi tulos, mutta ei ymmärretä tarpeeksi hyvin tuloksen merkityksellisyyttä, eli miten uusi tulos on yhteydessä vanhoihin tuttuihin tuloksiin tai sitä, miksi asia on tuloksen mukaisesti. Tällöin todistus voi selventää tulosta, ja todistuksen tärkeämpi merkitys on olla asiaan enemmän ymmärrystä lisäävänä tekijänä kuin paikkansa pitävyyden osoittajana. (de Villiers 1990, 18) Väitteen paikkansapitävyyden vahvistavan todistuksen merkitys koulumatematiikassa on siinä, että kun lähdetään liikkeelle aiemmin jo vakiintuneista määritelmistä ja aksioomista etsitään loogisesti etenevä todistus, ja päädytään väitteeseen, jota ei ole jo aiemmin todistettu (Weber 2002, 14).

Ymmärtäminen on usein tärkeämpää kuin vahvistaa väitteen paikkasanpitävyys, etenkin tapauksissa joissa vakuututaan selvästi, että lause pitää paikkansa mutta ei ymmärretä miksi (de Villiers 1990, 20). Tässä roolissa todistamista pitäisi käyttää Weberin (2002, 15) mukaan silloin, kun väite ei ole itsestään selvästi totta. Hanna (2000) painottaa artikkelissaan erityisesti, että opettajien pitäisi käyttää opetuksessaan sellaisia todistuksia, jotka selventävät ja havainnollistavat oppilaille kyseistä asiaa. Rav (1999), Manin (1992, 1998) ja Thurston (1994) ovat tutkimuksissaan päätyneet siihen, että useimpien matemaatikoiden mielestä todistamisesta tekee arvokasta se, että se lisää ymmärrystä, ja auttaa ajattelemaan selkeämmin sekä tehokkaammin (ks. Hanna 2000, 7).

Todistuksien merkityksen voi nähdä myös deduktiivisessa järjestelmässä aksioomien, määritelmien ja lauseiden järjestäjänä. Tällöin se voi auttaa muun muassa tunnistamaan epäjohdonmukaisuuksia, kehää kiertäviä päätelmiä, ja huonosti asetettuja tai piilotettuja oletuksia, sekä yhdistelemään väitteitä ja lauseita toisiinsa luoden tarkemman esityksen tuloksista, ja antamalla paremman kokonaiskuvan asiasta, ja asian ympärillä olevasta aksiomaattisesta rakenteesta. Sen avulla voidaan saada myös selville, miten saatuja tuloksia voidaan soveltaa sekä matematiikan sisällä että ulkopuolella. Todistaminen voi myös johtaa vaihtoehtoisiin deduktiivisiin järjestelmiin ja uusiin tuloksiin. (de Villiers 1990, 20-21.)

De Villiersin (1990, 21) mukaan jotkut matemaattiset tulokset olisi voinut jäädä kokonaan saavuttamatta ilman todistuksia. Hän kritisoi erityisesti näkemystä, jonka mukaan matemaatikot aina ensiksi löytävät uuden tuloksen intuitiolla tai kokeilemalla, ja vasta sitten todistavat kyseisen väitteen todeksi. De Villiersin (1990, 21) huomauttaa, että osa matemaattisista tuloksista on löydetty pelkästään käyttämällä deduktiivista päättelyä.

17

Davis (1976) on esittänyt todistuksien lisäävän kriittistä väittelyä (de Villiers 1990, 22).

Todistukset auttavat matematiikan parissa ahertavia, niin matemaatikoita, kuin opettajaa ja opiskelijaa käymään keskustelua matemaattista tuloksista keskenään (de Villiers 1990, 22). De Villiers (1990, 22) toteaa lopuksi, että listaan todistuksien merkityksistä voitaisiin lisätä vielä muitakin asioita, esimerkiksi esteettisyys, mutta nämä näkökulmat menisivät artikkelin tarkoituksen ulkopuolelle.

Weber (2002) laajentaa näkemystä todistuksien roolista koulumatematiikassa, aiemmin mainittujen roolien lisäksi lisäämällä vielä kaksi merkitystä todistuksille. Todistukset, jotka oikeuttavat määritelmien käytön ja aksiomaattisen rakenteen sekä todistukset, jotka havainnollistavat käytettyä menetelmää.

Todistuksissa, jotka havainnollistavat jotakin todistusmenetelmää, tarkoituksena on lähteä liikkeelle vakiintuneista määritelmistä ja aksioomista, näyttää todistusmenetelmän keskeinen osa, ja päästä johonkin faktaan tai teoreemaan. (Weber 2002, 15-17) Esimerkiksi induktiotodistus on yleisesti käytetty todistusmenetelmä tapauksissa, jossa pyritään näyttämään, että väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Lähdettäessä liikkeelle uusista määritelmistä tai aksioomista, todistuksen merkitys on löytää looginen reitti kohti itsessään selvää faktaa tai väitettä. Tällöin todistuksien merkityksenä on näyttää, miksi käytämme tiettyjä määritelmiä ja aksioomia. Edellä mainituista todistuksista muodolliset todistukset, jotka vakuuttavat paikkansapitävyydestä ja rakenteesta ovat muodoltaan todella täsmällisiä, myöskin menetelmään havainnollistavat todistukset ovat täsmällisiä, kun taas selittävät todistukset voivat olla myös vähemmän täsmällisiä ja tarkkoja. (Weber 2002, 14-16.) De Villiers (1990, 23) huomauttaa vielä artikkelinsa lopussa, että aina todistuksen merkitys ei ole sama. Välillä todistuksien tietty merkitys voi korostua jossakin tapauksessa, ja joskus todistuksilla ei ole tiettyä merkitystä ollenkaan tai merkitys on hyvin pieni. CadwalladerOlsker (2011, 40-41) on De Villiersin (1990, 23) kanssa samoilla linjoilla ja toteaa, että todistuksien roolit voivat mennä myös limittäin. Todistusta kirjoittaessaan matemaatikot muokkaavat todistustaan sen mukaan, mitä merkitystä varten he ovat todistusta alun perin lähteneet kirjoittamaan. Täten todistus, ja sen muoto voi olla toiseen todistukseen verrattuna hyvinkin erilainen. (CadwalladerOlsker 2011, 40-41.) Todistuksilla on ainutlaatuinen rooli matematiikkaa selittämässä, rakenteen hahmottamisessa ja tuloksista käytävässä kommunikoinnissa, koska näitä todistuksen merkityksiä ei saada aikaiseksi pelkästään kokeilemalla tai luottamalla omaan aavistukseen (De Villiers 1990, 23). Vakuuttuvuus ja

matematiikkaa selventäminen ovat todistuksien yleisimmät käyttökohteet, ja useimmissa matematiikan julkaisuissa todistukset esiintyvätkin tässä roolissa (Weber 2002, 15).

19

Luku III 3 Tutkimuksen tavoitteet ja aiempi tutkimus

Luvussa on tarkasteltu tutkimuksen tavoitteet ja tutkimuskysymykset. Lisäksi on tarkasteltu aiempaa tutkimusta, joka on tehty tutkielman aihepiiriin liittyen. Aiemman tutkimuksen esittelyn tarkoituksena on suhteuttaa tämä tutkielma aiempaan tutkimukseen.

3.1 Tutkimuksen tavoitteet ja tutkimuskysymykset

Pro gradu –tutkimuksessa tutkimustehtävänä oli selvittää millaisia käsityksiä lukion pitkän matematiikan opiskelijoilla (jatkossa lukion pitkän matematiikan opiskelijoihin viitataan myös sanalla lukiolainen) ja yliopistossa matematiikkaa opiskelevilla on todistamisesta, todistuksista, ja niiden merkityksestä oppimiselle sekä, miten hyvin he taitavat todistamisen. Lisäksi tavoitteena oli selvittää, vaikuttaako matematiikan opintojen määrä opiskelijoiden käsityksien laatuihin ja todistamistaitoihin. Matematiikan opintojen määrän vertaaminen käsityksien laatuihin ja taitoihin, koettiin tärkeäksi, koska on mielenkiintoista selvittää kehittyvätkö käsitykset ja taidot opintojen edetessä, eli pystytäänkö nykyisellä opetuksella vaikuttamaan tähän osa-alueeseen miten hyvin.

Tutkimuksesta saatavista tuloksista voisi olla tällöin hyötyä matematiikan opetusta järjestäville tahoille. Tutkimuskysymykset ovat seuraavat:

 Millaisia käsityksiä opiskelijoilla on todistamisesta, siitä mikä tekee päättelystä, perustelusta ym. pätevän matemaattisen todistuksen ja todistamisen merkityksestä oppimiselle

 Millaiset todistamistaidot opiskelijoilla on

 Onko käsityksillä matemaattisesta todistamisesta ja todistuksien merkityksistä matematiikan oppimisessa yhteyttä opiskelijan todistamistaitoihin

 Vaikuttaako matematiikan opintojen määrä käsityksien laatuihin

3.2 Aiempaa tutkimusta aiheesta

Mariottin (2006, 173-174) mukaan nopea vilkaisu PME:n (international group of mathematics educators) artikkeleihin, koskien todistuksia, paljastaa, että aiemmin artikkelien sisältö koostui oppilaiden ja opettajien käsityksistä todistuksista ja niistä vaikeuksista, joita oppilaat kohtaavat kopioidessaan todistuksia ja todistaessaan. Nyt viimeisimpien artikkelien sisältö koostuu enemmän esityksistä ja keskustelusta siitä, onko ja miten olisi mahdollista voittaa nämä vaikeudet. Hänen mukaansa tutkimusten aiheet todistamisesta ja todistuksista voidaan luokitella kolmeen luokkaan:

 Todistuksien merkityksestä koulussa

 Millaisia vaikeuksia opiskelijoilla on todistamisessa, ja mistä nämä vaikeudet ovat lähtöisin

 Miten oppilaiden vaikeudet olisi voitettavissa eli millaista opetuksen pitäisi olla, jotta ongelmat saataisiin voitettua

Oppilaiden ja opiskelijoiden käsityksiä matemaattisesta todistamisesta ja todistamisen sekä todistuksien merkityksestä matematiikan oppimisen kannalta on maailmalla tutkittu useamman henkilön toimesta ja erilaisista aihealueista käsin. Seuraavassa on esitelty osa henkilöistä, jotka kyseistä tutkimusta ovat tehneet, ja niistä aihealueista, joista tutkimusta on tehty. Bell (1976), de Villiers (1990) ja CadwalladerOlsker (2011) ovat tutkineet todistuksien merkitystä matematiikassa ja Hers (1993), Hanna (2000) sekä Weber (2002) todistuksien merkitystä matematiikan opetuksessa kouluissa. Opiskelijoiden ja opettajien käsityksistä todistuksista ja todistamisesta on tutkinut Harel

& Sowder (1998) ja Knuth (2002). Zaslavsky ym. (2012, 219) tuovat artikkelissaan esille myös useita tutkimuksia, joissa on tutkittu opiskelijoiden käsityksiä todistuksien merkityksistä. Harel ja Sowderin (1998) tutkimuksessa tutkittiin myös opiskelijoiden todistamisskeemoja. Opiskelijoiden vaikeuksista tuottaa todistuksia on tutkinut muun muassa Weber (2001) ja (2003).

Suomessa ei ole tehty paljon tutkimusta edellä mainituista aihepiireistä. Suomessa tehty tutkimus aiheista rajoittuu pääasiassa Tossavaisen ja Luostarisen (2004), Tossavaisen (2005) ja Back ym.

(2003) tekemiin tutkimuksiin. Tossavainen ja Luostarinen (2004) tutkivat matematiikkaa sivuaineena opiskelevien käsityön- tai kotitaloudenopettajaopiskelijoita käsityksiä matematiikasta ja matemaattisesta todistamisesta, sekä millaiset taidot opiskelijoilla on todistamisesta. Tossavaisen (2005) tekemän tutkimuksen tavoitteena oli arvioida opiskelijoiden käsityksiä matemaattisesta todistamisesta, todistamistaidoista, ja niiden yhteyksistä opiskelijan näkemyksiin matematiikasta.

21

Backin ym. (2003) kirjoittavat opetuskokeilunsa tuloksista. Opetuskokeilussa matematiikkaa opiskeltiin lukiossa todistamispainotteisesti.

Osaan näistä edellä mainituista tutkimuksista sekä maailmalla että Suomessa palataan myöhemmin tämän tutkielman pohdinnassa, jossa vertaillaan nyt saatuja tuloksia näihin aiemmin saatuihin tuloksiin. Lopuksi voidaan vielä todeta, että kuten voidaan huomata, käsityksistä todistamisesta matematiikassa, ja sen oppimisessa, ei ole tehty vielä paljon tutkimusta Suomessa, joten tämän kaltaisille tutkimuksille on vielä tilaa ja tarvetta.

Luku IV 4 Tutkimusmenetelmät

Luvussa on esitelty tutkimuksessa käytetyt tutkimusmenetelmät ja tutkimuksen toteutuksen vaiheet.

Tutkimuksen toteuttamista on lähdetty kuvailemaan metodologisen viitekehyksen kautta, käsitellen tutkimuksen kohdejoukon ja aineistonhankinnan, edeten lopulta aineiston käsittely- sekä analysointimenetelmiin.

4.1 Tutkimuksen metodologinen viitekehys

Tämän tutkimuksen tutkimusote on pääosin laadullinen eli kvalitatiivinen. Olen tuonut esille luvussa, miksi tutkimus on laadullinen eli mitä laadullisen tutkimuksen tunnusmerkkejä tutkielma sisältää. Luvussa on myös käsitelty tarkemmin fenomenografiaa, jonka Uljens (1991) on kuvaillut olevan laadullinen tutkimuksellinen lähestymistapa ihmistieteessä (Niikko 2003, 30). Tässä tutkielmassa käsityksiä on tutkittu soveltaen fenomenografiaa. Tutkimus ei ole siis pelkästään fenomenografinen, vaan tutkimuksessa on yhdistetty myös muita laadullisia tutkimusmenetelmiä, sekä kuvailevaa tilastoanalyysia.

4.1.1 Laadullinen tutkimusote

Laadulliselle tutkimuksen tunnusmerkkejä ovat esimerkiksi aineistonkeruumenetelmä, tutkittavien näkökulma, harkinnanvarainen otanta ja aineistolähtöinen analyysi (Eskola & Suoranta 1998, 15).

Hirsjärven (2009, s. 164) mukaan laadullinen tutkimus on luonnollisissa ja todellisissa tilanteissa koottavaa, kokonaisvaltaista tiedon hankintaa. Laadullisessa tutkimuksessa tarkoituksena on tuoda esille asioita, ei niinkään vahvistaa jo tiedossa olevia väittämiä. Koska tutkijan tarkoituksena on tuoda esille kenties yllättäviäkin asioita, tutkimuksen tehtävänä ei ole teorian testaaminen, vaan aineistoa tarkastellaan monesta eri näkökulmasta yksityiskohtaisesti. Aineistonhankinnassa tärkeää

23

on saada tutkittavien näkökulma esille. Menetelmä tai menetelmät onkin valittava siitä näkökulmasta, että niiden avulla tutkittava pystyy tuomaan omat näkökulmansa esille. (Hirsjärvi 2009, 164.) Käytettäviä menetelmiä ovat esimerkiksi erilaiset haastattelut, havainnoinnit, dokumentit ja erilaiset kirjalliset tuotokset (Eskola & Suoranta 1998, 15; Hirsjärvi 2009, 164).

Laadullisessa tutkimuksessa tärkeämpää kuin aineiston määrä, on sen laatu ja että analysointi lähtee liikkeelle aineistosta (Eskola & Suoranta 1998, 18-19).

Hirsjärvi (2009, 162) nostaa esille kirjassa 43 nimikettä, jotka kuvaavat laadullisen tutkimuksen lajeja. Tämä kuvaa hyvin sitä, että laadullisen tutkimuksen kenttä on laaja, ja kuvailemalla yhden tutkimuksen kautta laadullista tutkimusta, saadaan vain kapea kuva asiasta, kuten hän tekstissä toteaakin. Huuskon ja Paloniemen mukaan (2006, 162) kunhan tutkija osaa perustella käyttämänsä menetelmän tai käyttämiensä menetelmien valinnan, hän voi sitä tai niitä tutkimukseensa soveltaa.

4.1.2 Fenomenografia

Fenomenografia on laadullinen tutkimussuuntaus, jota on erityisesti käytetty kasvatustieteissä (Huusko & Paloniemi 2006; Niikko 2003). Fenomenografiasta on kuitenkin tukijoiden keskuudessakin erilaisia käsityksiä. Osa tutkijoista on pitänyt sitä esimerkiksi pelkkänä analyysimenetelmänä, kun taas toiset ovat nähneet fenomenografian metodologisesta näkökulmasta.

(Niikko 2003, 7) Fenomenografisen tutkimuksen ajatellaan juontavan juurensa muun muassa Piaget’n kehityspsykologisista tutkimuksista, hahmopsykologiasta ja neuvostoliittolaisesta tutkimustraditiosta (Niikko 2003, 8-9). Ference Martonin ja hänen työkavereidensa tekemillä tutkimuksilla ajatellaan olleen suuri vaikutus fenomenografian syntyyn, ja Martonin sanotaankin löytäneen ja perustaneen fenomenografian. (Ahonen 1994, 114; Niikko 2003, 10) Tutkimussuuntauksen tarkastelukohteena ovat ihmisten erilaiset käsitykset ilmiöistä (Huusko &

Paloniemi 2006, 162; Niikko 2003, 25; Ahonen 1994, 115).

Fenomenografiassa keskeisiä käsitteitä ovat ilmiö, kokemus ja käsitys. Ahosen (1994, 116) mukaan

”ilmiö on ihmisen ulkoisesta tai sisäisestä maailmasta saama kokemus, josta hän aktiivisesti rakentaa käsityksen”. Käsityksen rakentumisessa käytetään siis aiemmin koettuja kokemuksia.

Näiden kokemuksien ja ajattelun avulla muodostetaan käsitys jostakin ilmiöstä. (Ahonen 1994, 117.)

Fenomenografiassa ollaan kiinnostuneita ihmisten käsityksistä ilmiöistä. Käsitykset kiinnostavat fenomenografeja erityisesti sisällöllisesti eli laadullisesti. Tutkijat haluavat selvittää, millaisia

erilaisia käsityksiä ihmisillä on ympäröivästä maailmasta. (Ahonen 1994, 116.) Voidaan siis puhua Niikon (2003, 24) mukaan toisen asteen näkökulmasta, jossa pyritään kuvaamaan ihmisten erilaisia näkökulmia ilmiöstä. Ilmiötä kuvataan siis siitä näkökulmasta, mistä tietty ryhmä ihmisiä sen kokee tai käsittää. Ensimmäisen asteen näkökulmasta asioita voidaan kuvata vertailemalla ihmisten käsityksiä tieteelliseen teoriaan. Tässä näkökulmassa ei huomioida siis henkilön tapaa kokea maailma, vaan ainoastaan kuvataan maailmaa suoraan, sellaisena kuin se yleensä ilmenee. (Niikko 2003, 24-25) Voutilainen ym. tuo esille, että vaikkakin ihmisillä on erilaisia käsityksiä ilmiöistä, on käsitteillä myöskin konvention luonne eli tietty yhteisö edellyttää käsitettä käytettäessä sen täyttävän annetut ehdot. (Ahonen 1994, 117) Esimerkiksi vaikkakin matematiikan asiantuntijoilla on hieman erilaisia käsityksiä siitä, mikä tekee todistuksesta pätevän, he todennäköisesti silti ovat yhtä mieltä, että lauseen paikkansapitävyyden osoittamiseen ei riitä yksi esimerkkitapaus. Näin ollen he eivät varmaan hyväksy, jos joku sanoo yhden esimerkin olevan todistus lauseen paikkansapitävyydestä, eli käyttää esimerkistä ilmaisua todistus.

Käsitys on myös Ahosen (1994, 117) mukaan muuttuva ilmiö eli toisin sanoen vaikkakin käsitys ei ole mikään helposti muuttuva tai muutettava, voi ihminen muuttaa käsityksiään lyhyessäkin ajassa.

Tutkimuslomaketta suunniteltaessa esille nousi, että voisiko todistamistehtävien tekeminen muuttaa opiskelijan käsitystä tai auttaa häntä hahmottamaan paremmin itse, mikä on hänen käsityksensä todistamisesta ja todistuksista. Kielellä on suuri merkitys fenomenografisessa tutkimuksessa, koska ihmisen ajatellaan rakentavan tietoisesti käsityksiä ilmiöistä, ja kieltä tarvitaan ilmaisemaan nämä tietoiset käsitykset (Ahonen 1994, 122).

Ahosen (1994, 114) mukaan erilaiset käsitykset eivät niinkään johdu ikäkaudesta, vaan pikemminkin kokemustaustasta. Tässä tutkielmassa on tarkoitus selvittää, vaikuttaako opiskelijoiden kokemuksien määrä todistamisesta matematiikassa heidän käsitykseensä matemaattisesta todistamisesta. Ahonen (1994, 114) toteaa artikkelissaan, että ihmiset muodostavat arkikokemuksistaan käsityksiä, joita voidaan kutsua esikäsityksiksi. Hänen mukaansa nämä esikäsitykset vaikuttavat siihen, miten ihminen myöhemmin elämässään ymmärtää kokemuksia ja muodostaa näistä käsityksiä. Tämän mukaan siis oppilaiden peruskoulussa ja lukiossa saamat esikäsitykset todistamisesta vaikuttavat siihen, miten he kokevat myöhemmin, esimerkiksi yliopistossa todistamisen. Näin yliopistoon matematiikkaa opiskelemaan tulevilla opiskelijoilla voi olla hyvinkin erilaisia käsityksiä todistamisesta. Ahosen (1994, 114) mukaan esikäsitykset voivat olla jopa niin voimakkaita, ettei opetus pysty niitä muuttamaan. Tässä tutkielmassa kiinnostuksen kohteena ovat matemaattisen tiedonalan tiedonmuodostus ja matemaattiset käsitteet. Eri

25

tiedonalojen tiedonmuodostus on ollut opiskelijoiden erilaisten oppimista koskevien käsityksien lisäksi fenomenografian kiinnostuksen kohde (Ahonen 1994, 115).

Fenomenografisen tutkimuksen eteneminen voidaan jakaa karkeasti neljään eri vaiheeseen.

Ensimmäisessä vaiheessa tutkija kiinnittää huomion asiaan tai käsitteeseen, josta esiintyy erilaisia, toisistaan huomattavastikin poikkeavia käsityksiä. Ensimmäisen vaiheen jälkeen tutkija perehtyy käsitteeseen teoreettisesti. (Ahonen 1994, 115.) Tässä tutkielmassa on teoreettisessa viitekehyksessä perehdytty ensiksi matemaattiseen todistamiseen ja todistukseen sekä niiden merkityksiin matematiikassa, ja sen oppimisessa. Perehtyessään tutkija myös samalla hahmottaa asiaan tai käsitteeseen liittyviä näkökohtia (Ahonen 1994, 115). Teoreettisessa viitekehyksessä on tuotu esille näkökulmia siitä, millaisia käsityksiä tutkijoilla on todistamisesta sekä todistuksista, että niiden merkityksestä matematiikassa ja sen oppimisessa. Kolmannessa vaiheessa tutkija haastattelee henkilöitä asiasta, jossa heillä esiintyy erilaisia käsityksiä. (Ahonen 1994, 115.) Huuskon ja Paloniemen (2006, 164) mukaan Suomessa on käytetty myös kirjallisia aineistonkeruumenetelmiä haastattelujen lisäksi, esimerkiksi kirjoitelmia ja kyselyitä. Tärkeää menetelmästä riippumatta on, että aineistonkeruu tapahtuu käyttäen tarpeeksi avoimia kysymyksiä, jotta aineistosta olisi huomattavissa erilaisia käsityksiä. (Huusko & Paloniemi 2006, 164.) Neljännessä vaiheessa tutkija analysoi käsityksiä luokittelemalla niitä niiden erilaisuuden perusteella, ja vielä kokoaa ne tämän jälkeen merkitysluokiksi. (Ahonen 1994, 115.) Fenomenografisen tutkimuksen analysoinnin vaiheet on esitelty tässä tutkielmassa tarkemmin osassa 4.4.2 tuomalla samalla esille, miten tutkielmassa käsityksiä matemaattisesta todistamisesta ja todistuksista on analysoitu lähtien liikkeelle fenomenografisesta näkökulmasta.

4.1.3 Kuvaileva tilastoanalyysi

Vilkka (2007, 174) määrittelee kuvailevan tilastoanalyysin seuraavasti: ”Esitetään jonkin määrällisen muuttujan jakaumaa tai useamman muuttujan yhteisvaihtelua. Tuloksia ei yleistetä perusjoukkoon”. Aineistoa voidaan analysoida käyttämällä sijaintilukuja, hajontalukuja, ristiintaulukointia ja korrelaatiokertoimia (Vilkka 2007, 119). Tässä tutkimuksessa on käytetty sijaintiluvuista keskiarvoa. Sijaintilukuja käytetään kuvaamaan yhden muuttujan jakauman sijaintia (Vilkka 2007, 119-120). Keskiarvoa on tässä tutkimuksessa käytetty kuvailemaan esimerkiksi opiskelijoiden jakauman sijaintia tehtävien pistemäärissä. Hajontalukuja käytetään kuvaamaan, kuinka paljon mittaustulokset vaihtelevat eli kuinka lähellä ne ovat toisiaan tai keskimääräistä arvoa. Keskihajonta on eräs hajontaluku, ja se kuvaa kuinka hajallaan arvot keskiarvon ympärillä

ovat. (Heikkilä 2008, 86.) Keskihajontaa on käytetty tutkimuksessa analysoitaessa opiskelijoiden saamia pistemääriä tehtävissä. Näin saadaan selville, miten paljon vaihtelua opiskelijoiden saamissa pistemäärissä on. Ristiintaulukointia ja korrelaationkertoimia käytetään kahden muuttujan välistä riippuvuutta analysoitaessa (Vilkka 2007, 119). Ristiintaulukointia on käytetty kuvaamaan esimerkiksi matematiikan opintojen ja tehtävissä saatujen pistemäärien riippuvuutta analysoitaessa.

Ristiintaulukoinnin lisäksi on laskettu myös muuttujien välisiä korrelaationkertoimia, jotta on pystytty saamaan paremmin selville, onko muuttujien välillä riippuvuutta ja jos on, niin miten voimakas. Korrelaatiokertoimista on käytetty esimerkiksi Spearmannin järjestyskorrelaationkerrointa. Kyseistä järjestyskorrelaatiokerrointa voidaan käyttää nimensä mukaisesti silloin, kun muuttujat ovat järjestysasteikon tasoisia (Heikkilä 2008, 92). Lisäksi työssä on käytetty t-testiä, joka on eräs keskiarvotesti. Keskiarvotesteillä voidaan vertailla ryhmien välisiä keskiarvoja (Heikkilä 2008, 224), ja tässä työssä sitä on käytetty vertaamaan lukio-opiskelijoiden tehtävistä saatua yhteispistemäärän keskiarvoa vastaavaan yliopisto-opiskelijoiden keskiarvoon.

4.2 Kohdejoukon valinta ja rajaaminen

Laadullisessa tutkimuksessa aineiston rajaaminen tarkasti on tärkeää, koska aineistoa on mahdollista kerätä aina lisää. Jos aineistoa ei ole rajattu hyvin, voi aineiston määrä kasvaa lopulta liian suureksi, milloin vaarana on, ettei tutkija tunne aineistoa tarpeeksi hyvin. (Eskola & Suoranta 1998, 65.)

Tutkimuksen kohdejoukoksi valitsin lukion pitkän matematiikan opiskelijoita ja yliopistossa matematiikkaa opiskelevia henkilöitä. Päädyin kyseiseen kohdejoukkoon, koska halusin että kohdejoukolla on tarpeeksi kokemusta matematiikasta, ja että he ovat jo opintojensa aikana perehtyneet matemaattiseen todistamiseen. Kohdejoukkojen piti myös olla opinnoissaan aika lähellä toisiaan, mutta kuitenkin selkeästi toisella ryhmällä piti olla enemmän matematiikan opintoja takanaan, koska tutkimuksessa haluttiin selvittää, vaikuttaako matematiikan opiskelun määrä opiskelijoiden käsityksiin todistamisesta ja todistamistaitoihin. Kohdejoukon valinta ei ollut siis sattumanvaraista, vaan tarkkaan mietittyä.

Lukiolaisista tutkimuksen kohdejoukoksi rajasin pitkän matematiikan lukijat, koska pitkän matematiikan tavoitteet vastaavat lyhyttä matematiikkaa paremmin tutkimuksen aihepiiriä, ja pitkä matematiikka on lähempänä yliopiston matematiikkaa. Lukion opetussuunnitelman perusteissa (Opetushallitus 2003) matematiikan yleisessä osiossa on todettu, että kulttuurimme edellyttää muun