• Ei tuloksia

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan peruskurssi Loppukoe 7.1.2013 (Prof. Holmstr¨om)

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Todenn¨ak¨oisyyslaskennan peruskurssi Loppukoe 7.1.2013 (Prof. Holmstr¨om)"

Copied!
1
0
0

Kokoteksti

(1)

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan peruskurssi

Loppukoe 7.1.2013 (Prof. Holmstr¨om)

Vastauksiin likiarvo milloin vain mahdollista Laskimia saa k¨aytt¨a¨a

1. K¨ayt¨oss¨a on 7 konsonanttia ja 5 vokaalia. Kuinka monta sellaista ”sanaa” voidaan muodostaa, jossa on 4 konsonanttia ja 3 vokaalia? Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a umpim¨ahk¨a¨an valitussa t¨allaisessa sanassa kaikki vokaalit ovat alussa?

2. Olkoon (Ω,F, P) tn-avaruus ja Ai ∈ F, i = 1,· · ·, n erillisi¨a (so. pistevieraita) tapahtumia, joille Ω =

Sn i=1

Ai. Johda Bayesin kaava

P(Ak|B) = P(Ak)P(B|Ak) Pn

i=1

P(Ai)P(B|Ai)

(k = 1,· · · , n).

3. Olkoon X satunnainen kokonaisluku v¨alill¨a [1,20] ja olkoon Y satunnainen koko- naisluku v¨alill¨a [X,20]. Mill¨a todenn¨ak¨oisyydell¨a

a) X ≤5 ja Y ≤10?

b) X ja Y ovat kummatkin 5:ll¨a jaollisia?

4. Tupu, Hupu ja Lupu heitt¨av¨at vuorotellen katulyhty¨a lumipallolla, kunnes joku heist¨a osuu. Tupu aloittaa. Mill¨a todenn¨ak¨oisyydell¨a h¨an osuu ensimm¨aisen¨a, kun kunkin pojan osumistodenn¨ak¨oisyys on 1/3? Jos Tupu todella osuu ensimm¨aisen¨a, kuinka monta yrityst¨a h¨an siihen keskim¨a¨arin tarvitsee?

5. Olkoon X nopan heiton pisteluku. M¨a¨ar¨a¨aE(X) jaD2(X). Arvioi sitten normaali- approksimaatiolla (so. keskeist¨a raja-arvolausetta k¨aytt¨am¨all¨a) mill¨a tn:ll¨a 100:n heiton antama pistesumma on v¨ahint¨a¨an 340, mutta korkeintaan 360. Standardi- normaalijakauman kertym¨afunktion Φ arvot on taulukoitu teht¨av¨apaperin toisella puolella.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Juoksulajissa on 48 kilpailijaa, jotka jaetaan arpomalla 6 alkuer¨ a¨ an, kuhunkin er¨ a¨ an

Populaatiossa on 818 henke¨ a, joista 276 on rokotettu er¨ ast¨ a epidemiaa vastaan.. Kahta noppaa heitet¨

K:n v¨ aitt¨ am¨ an todellisuutta p¨ a¨ atettiin testata seuraavasti: K:lle annetaan 10 kertaa verrattavaksi kaksi tynnyri¨ a (jotka tietenkin muuten ovat aivan samanlaiset),

Lanttia heitet¨ a¨ an, kunnes sek¨ a kruunu ett¨ a klaava ovat esiintyneet ainakin kaksi kertaa.. Olkoon X sen kerran j¨ arjestysluku, jolla peli p¨

Avaruusaluksessa on kolme kameraa, joiden toiminta-ajat ovat riippumattomia Exp(λ)-jakautuneita satunnaismuuttujia... a) Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a kaikki kamerat toimivat

Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a 60 satunnaisesti valitun verovelvollisen joukossa korkeintaan kolmella tulot ovat yli 100000 euroa?. Laske toden- n¨ak¨oisyys Poissonin

Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a otokseen tulee x kappaletta tyyppi¨a 1 olevia alkio- ta ja n − x kappaletta tyyppi¨a 2.. Tavanomainen todenn¨ak¨oisyyslaskennassa

(a) Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys, ett¨ a arvaajan testi p¨ a¨ attyy kuudenteen kysymykseen?. (b) Mill¨ a todenn¨ ak¨ oisyydell¨ a arvaaja suoriutuu testist¨ a