Matematiikan johdantokurssi 2/2004
1. Muodosta logiikan symbolien avulla lause ”joko P tai Q”, miss¨a suljetaan pois tapaus ”P ja Q”.
2. Tutki, onko lause [(P ∨Q)∧(¬P)] =⇒Q tautologia.
3. Osoita, ett¨a lause (P =⇒Q)⇐⇒(Q∨ ¬P) on tautologia.
4. Sievenn¨a (eli esit¨a mahdollisimman lyhyesti) lauseet a) [(P ⇐⇒R) =⇒Q] =⇒ ¬Q,
b) [(P ∨R)∧ ¬Q]∧P.
5. Tutki logiikan menetelmin seuraavien p¨a¨attelyiden johdonmukaisuutta:
a) Jos vesi on kylm¨a¨a, menen uimaan. Vesi on kylm¨a¨a. Siis en mene uimaan.
b) Jos vesi ei ole kylm¨a¨a, menen uimaan. En mene uimaan. Siis vesi on kylm¨a¨a.
6. Tutki logiikan menetelmin onko seuraava p¨a¨attely johdonmukainen:
L¨ahden elokuviin, jos elokuva vaikuttaa mielenkiintoiselta tai jos kaveri pyyt¨a¨a.
Elokuva ei vaikuta mielenkiintoiselta. Kaveri pyyt¨a¨a elokuviin. Siis l¨ahden eloku- viin.
7. Ilmaise seuraavat lauseet sanallisesti ja m¨a¨arit¨a niiden totuusarvot:
a)∃ n ∈N : n2 = 25, b)∃ x∈R : √
x > x3, c)∀ k ∈Z : k2 ≥0,
d)∀ x∈R : x2 >1 =⇒x >1.
8. Kirjoita seuraavat lauseet kvanttorien avulla ja m¨a¨arit¨a niiden totuusarvot:
a) Jokaisen reaaliluvun itseisarvo on suurempi tai yht¨asuuri kuin 0, b) On olemassa rationaaliluku, jonka neli¨ojuuri on√
2, c) Kaikki luonnolliset luvut n toteuttavat yht¨al¨onn2 ≥n, d) On olemassa sellainen kokonaisluku k, ett¨a k2−k= 6.
