• Ei tuloksia

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 10 (1) Olkoon X joukko ja (Y, d) metrinen. Olkoon F kaikkien rajoi- tettujen kuvausten f : X → Y joukko. Oletetaan tiedetyksi (vertaa harj. 8 teht. 3), että d

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Topologia Syksy 2010 Harjoitus 10 (1) Olkoon X joukko ja (Y, d) metrinen. Olkoon F kaikkien rajoi- tettujen kuvausten f : X → Y joukko. Oletetaan tiedetyksi (vertaa harj. 8 teht. 3), että d"

Copied!
1
0
0

Kokoteksti

(1)

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 10

(1) Olkoon X joukko ja (Y, d) metrinen. Olkoon F kaikkien rajoi- tettujen kuvausten f : X → Y joukko. Oletetaan tiedetyksi (vertaa harj. 8 teht. 3), että

d1(f, g) = sup{d(f(x), g(x))|x∈X}

on metriikka F:ssä. Osoita, että F on täydellinen, jos Y on täydellinen.

(2) AvaruudenX osajoukkoA onharva, josintA=∅, jalaiha, jos se on numeroituva yhdiste harvoista joukoista.

(a) Anna esimerkki laihasta joukosta A ⊂ R1, joka ei ole harva.

(b) Osoita, että laihojen joukkojen numeroituva yhdiste on laiha.

(3) Osoita, että jos X on täydellinen metrinen avaruus ja A ⊂ X laiha, niin intA =∅.

(4) Osoita että irrationaalilukujen joukko R1:ssä on Fδ, mutta ei ole Gσ.

Kurssin loppupuolen aikataulusta:

• ma 22.11. alkavalla viikolla ei ole luentoja. 10. harjoitukset nor- maalisti.

• ma 29.11. alkavalla viikolla on luennot normaalisti; mahdollises- ti myös ylimääräisiä luentoja. 11. harjoitukset ovat myöhemmin (ehkä sen viikon luennoilla?) sovittavana aikana loppuviikosta, ja niiden harjoituslappu tulee luultavasti jakoon vasta saman viikon maanantaina.

• ma 6.12. alkavalla viikolla on luennot normaalisti; luultavasti myös ylimääräisiä luentoja. 12. harjoitukset normaalisti.

• ma 13.12. alkavalla viikolla on välikoe luentoaikaan maanantai- na tai tiistaina; kurssi loppuu siihen.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

n points are plaed randomly and independently to the unit disk of the plain R 2. Let R be the distane from origin of the point that is

Olkoon R origoa lähinnä olevan pisteen etäisyys origosta. Johda satunnaismuuttujan

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille Ib. Harjoitus 3,

[r]

(Luultavasti enemmänkin alkukuvia koska joukon X\A täytyy kuvautua jonnekin joukolle A; mutta ainakin yksi alkukuva pistettä kohden riittää.).. Nyt f indusoi alkuperäisen

Koska tiedetään että irrationaaliluvut ovat G δ -joukko (se to- distettiin tämän tehtävän alussa) ja ovat tiheässä reaalilukujen joukossa, niin on olemassa numeroituva jono

(2) Osoita, että metristyvän avaruuden suljettu joukko A voidaan esittää numeroituvana leikkauksena

[r]