Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa
Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto
Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta 2013
Sisältö
1 Lukuteoriaa 6
1.1 Jaollisuus . . . 6
1.2 Suurin yhteinen tekijä . . . 6
1.3 Alkuluvut . . . 6
1.4 Loppuluvut . . . 6
1.5 Suurimman yhteisen tekijän ominaisuuksia . . . 6
1.6 Eukleideen lemma . . . 7
1.7 Aritmetiikan peruslause . . . 7
1.8 Aritmetiikan peruslause polynomeille . . . 8
1.9 Loppuluvuista . . . 8
2 Algebraa 10 2.1 Vapaa Abelin ryhmä . . . 10
2.2 Vapaan Abelin ryhmän aste . . . 10
2.3 Vapaan Abelin ryhmän osajoukot . . . 11
2.4 Rengas . . . 11
2.4.1 Huomautus . . . 11
2.5 Polynomirengas . . . 11
2.6 Kokonaisalue . . . 12
2.7 Kunta . . . 12
2.8 Moduli . . . 12
2.9 Ideaali . . . 12
2.9.1 Huomautus . . . 12
2.10 Tekijärengas . . . 13
2.11 Ideaalin normi . . . 13
2.12 Lemma . . . 13
2.13 Pääideaali . . . 13
2.14 Pääideaalikokonaisalue (principal ideal domain) . . . 13
2.15 Algebralliset luvut ja algebralliset kokonaisluvut . . . 14
2.16 Algebrallisten lukujen polynomit . . . 14
2.17 Kokonaislukukanta . . . 14
2.18 Lukukunnan kokonaislukukanta . . . 15
2.19 Kuvauksia ja normi . . . 15
2.19.1 Huomautus . . . 16
2.20 Esimerkki . . . 16
2.21 Kvadraattisten kuntien algebralliset luvut . . . 16
3 Kokonaisalueiden ominaisuuksia 17 3.1 Yksikkö . . . 17
3.2 Liittoalkio . . . 17
3.3 Jaoton luku . . . 17
3.4 Alkuluku . . . 18
3.5 Alkuluvut ovat jaottomia lukuja . . . 18
3.6 Yksiköistä ja liittoalkioista . . . 19
3.7 Yksiköt, liittoalkiot ja ideaalit . . . 21
3.8 Noetherilainen kokonaisalue . . . 22
3.9 Kasvavan jonon ehto (ascending chain condition) . . . 22
3.10 Maksimaalisuusehto (the maximal condition) . . . 22
3.11 Noetherilaisuus, kasvavan jonon ehto ja maksimaalisuusehto 22 3.12 Noetherilaisen kokonaisalueen tekijöihinjako . . . 24
3.13 Algebrallisten kokonaislukujen joukko on noetherilainen . . 24
3.14 Normin ominaisuuksia . . . 25
3.15 Yksikäsitteinen tekijöihinjako . . . 26
3.16 Esimerkki . . . 26
3.17 Ehto tekijöihinjaon yksikäsitteisyydelle . . . 27
3.18 Yksikäsitteinen tekijöihinjako pääideaalikokonaisalueessa . 29 3.19 Euklidinen kuvaus . . . 30
3.20 Euklidinen kokonaisalue . . . 30
3.21 Euklidinen kokonaisalue on PIKA . . . 30
3.22 Esimerkki . . . 31
4 Ideaaleista 33 4.1 Ideaalien kertolasku . . . 33
4.2 Alkuideaali . . . 33
4.3 Ideaalien ja tekijärenkaiden ominaisuuksia . . . 34
4.4 Seuraus . . . 35
4.5 Algebrallisten lukujen renkaan ominaisuuksia . . . 35
4.6 Murtoideaali . . . 36
4.7 Murtoideaalien ominaisuuksia . . . 37
4.8 Käänteisideaali . . . 37
4.9 Lemma . . . 37
4.10 Murtoideaalit kertolaskulla muodostavat Abelin ryhmän . . 38
4.11 Jaollisuus ideaaleilla . . . 40
4.12 Ideaalien yksikäsitteinen tekijöihinjako . . . 41
4.13 Ideaalin normin ominaisuuksia . . . 41
4.14 Lemma . . . 42
4.15 Yksikäsitteisen tekijöihinjaon karakterisointi . . . 43
Johdanto
Aritmetiikan peruslause on ollut tunnettu jo antiikin Kreikan ajoista läh- tien ja löytyy todistuksineen esimerkiksiEukleideenkirjasarjanAlkeetseit- semännestä kirjasta. MyöhemminCarl Friedrich Gauss nykyaikaisti tulok- sen ja todistuksen teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, sekä yleisti tu- loksen niin sanotuilleGaussin kokonaisluvuille
Z(i) ={a+bi: a, b∈Z, i2 = −1}.
Edelleen,Gotthold Eisensteinosoitti aritmetiikan peruslauseen olevan voi- massaEisensteinin kokonaisluvuilleZ(√
−3).
Monet matemaatikot olivat siinä käsityksessä, että aritmetiikan peruslause on voimassa kaikissa lukurenkaissa ja Gabriel Lamé esittikin todistuksen Fermat’n suurelle lauseelle jakaen summanxn +yn kompleksilukutekijöik- si yksikköjuurten avulla. Ernst Kummer oli kuitenkin paria vuotta aiem- min osoittanut, että yksikäsitteinen tekijöihinjako ei toimi aina Lamén to- distuksessa käyttämille kompleksiluvuille. Koko algebrallisen lukuteorian tutkimus lähtikin liikkeelle sen selvittämisestä, että milloin yksikäsitteinen tekijöihinjako on voimassa. Tässä tutkielmassa rajoitutaan tarkastelemaan tietynlaisia renkaita ja havaitaan, että yksikäsitteisen tekijöihinjaon ole- massaolo riippuu renkaan ideaaleista. Yksikäsitteinen tekijöihinjako on- nistuu täsmälleen silloin kun kaikki renkaan ideaalit ovat pääideaaleja, eli yhden alkion virittämiä.
Luvuissa1ja2listataan pohjatiedot, joita tutkielmassa myöhemmin käyte- tään. Näissä kappaleissa esitetyt asiat oletetaan tunnetuiksi ja todistuksia ei käydä läpi tässä tutkielmassa paria poikkeusta lukuunottamatta. Luku- teorian puolelta Eukleideen lemma ja perinteinen aritmetiikan peruslause esitetään todistuksineen ja varsinkin jälkimmäisen todistuksesta voi myö- hemmin löytää samankaltaisuuksia yleisempien tapausten todistuksesta.
Kolmannessa luvussa keskitytään tarkastelemaan kokonaisalueita ja pe- rehdytään hieman niiden rakenteisiin. Kolmannen luvun päätulos on yk- sikäsitteisen tekijöihinjaon olemassaolon osoittaminen pääideaalikokonai- salueissa. Neljännessä tutkitaan tarkemmin ideaaleja ja rakennetaan aluk- si hieman toisenlainen esimerkki yksikäsitteisestä tekijöihinjaosta osoitta- malla, että algebrallisten kokonaislukujen renkaiden nollasta eroavat ide- aalit voidaan itse asiassa esittää yksikäsitteisesti alkuideaalien tulona. Nel- jännen päätulos on, että yksikäsitteinen tekijöihinjako algebrallisten koko-
naislukujen renkaassa on mahdollista täsmälleen silloin kun kaikki ren- kaan ideaalit ovat pääideaaleja.
1 Lukuteoriaa
1.1 Jaollisuus
Olkoota∈ Z\{0}jab∈ Z. Sanotaan, että lukuajakaa luvunb, jos löytyy lukuc∈Zsiten, ettäb=a·c. Tämä merkitään useina|b. Sanotaan myös, että lukuaon luvunbtekijä.
1.2 Suurin yhteinen tekijä
Olkoota, b ∈Zsiten, että ainakin toinen luvuista eroaa nollasta. Lukujen a jabsuurin yhteinen tekijäon luku n ∈ N, n > 0, joka täyttää seuraavat ehdot:
1. n|ajan|b
2. jos jollekinm ∈Non myös voimassam|ajam|b, niinn≥m. Suurinta yhteistä tekijää merkitään syt(a, b) =n.
1.3 Alkuluvut
Lukuap∈N, p > 0sanotaanalkuluvuksi, jos luvunpainoat tekijät ovat1 jap. Jos luku ei ole alkuluku, niin sitä sanotaanyhdistetyksi luvuksi. Alku- lukujen joukkoa merkitäänP:llä, eli
P:={a: a∈Non alkuluku}.
Seuraava määritelmä saattaa vaikuttaa aluksi hieman kummalliselta, mut- ta osoittautuu myöhemmin varsin oleelliseksi.
1.4 Loppuluvut
Lukuae ∈ Nsanotaanloppuluvuksi, mikäli ehdosta e|ab, a, b ∈ Nseuraa e|ataie|bkaikille tuloilleab, joiden tekijäeon.
1.5 Suurimman yhteisen tekijän ominaisuuksia
Suurin yhteinen tekijä voidaan ilmaista myös lineaarikombinaationa. Jos n=syt(a, b), niin löytyy kokonaisluvutxjaysiten, että
n=a·x+b·y.
Erityisesti syt(a, b) =1jos ja vain jos löytyy luvutx, y∈Zsiten, että 1=ax+by.
1.6 Eukleideen lemma
Jospon alkuluku,a, b∈Zjap|ab, niinp|ataip|b.
Todistus:
Josp|a, niin todistus on valmis. Oletetaan siis ettei näin ole, joten syt(a, p) =1.
Täten joillakinx, y∈Zvoidaan kirjoittaa luku1muodossa 1=ax+py.
Kertomalla puolittain luvullab, saadaan b=abx+pby,
missä pjakaa yhtälön oikean puolen, joten sen täytyy myös jakaa vasen puoli, elip|b.
Induktiolla voidaan todistaa yleisempi tulos, eli ehdosta p|Q
iai seuraa aina, ettäp|ajjollakinj.
1.7 Aritmetiikan peruslause
Olkoon a ∈ Z, a ≥ 2. Tällöinavoidaan esittää alkulukujen tulona järjes- tystä vaille yksikäsitteisesti.
Todistus:
1.Olemassaolo:
Selvästi tulos pätee kaikille luvuille{2, 3, . . . , 10}. Tehdään vastaoletus: on olemassa ehdot täyttävä kokonaisluku, jota ei voi kirjoittaa alkulukujen tulona. Olkoonkpienin tällainen luku. Nytkei voi olla alkuluku, sillä täl- löin se olisi itsensä tulo, joten sen täytyy olla yhdistetty luku. Täten löytyy luvut
1 < l < kja1 < m < k
siten, ettäk =l·m. Koskakoli pienin luku, jolla ei ole alkutekijäesitystä, täytyy luvuillaljamolla sellainen. Tällöin myös luvullakon alkutekijäe- sitys, joten vastaoletuksen täytyy olla väärä.
2.Yksikäsitteisyys:
Oletetaan sitten, ettänon pienin luku, jolla on kaksi eri alkutekijäesitystä, n=
Yk
i=1
si = Yl
j=1
rj.
Eukleideen lemman nojallaskjakaarj:n jollakinj∈{1, ..., l}. Voidaan olet- taa, ettäsk|rl, jolloin saadaan
Yk−1
i=1
si = Yl−1
j=1
rj.
Koskanoletettiin pienimmäksi luvuksi, jolla on kaksi eri alkutekijäesitys- tä, täytyy olla (tarvittaessa järjestämällä termit uudelleen)
s1 =r1, . . . , sk−1 =rk−1, sk=rk, jotenn:llä on vain yksi alkutekijäesitys.
1.8 Aritmetiikan peruslause polynomeille
Aritmetiikan peruslause on voimassa myös K-kertoimisille polynomeille, kun K on kompleksilukujen kunnan C alikunta ([1] s. 38, Theorem 3.16).
Jatkossa kuitenkin keskitytään luvuista koostuvien rakenteiden tutkimi- seen.
1.9 Loppuluvuista
Eukleideen lemmasta seuraa suoraan, että kaikki alkuluvut ovat loppu- lukuja. Muunlaisia loppulukuja ei ole, sillä josa on loppuluku ja sillä on jokin muu tekijäl, jolle1 < l < a, niina =k·ljollekin1 < k < a. Tällöin kuitenkina|kl, muttaaei jaa kumpaakaan luvuistakjal, mikä on ristirii- taista loppulukujen määritelmän kanssa.
On siis kaksi eri määritelmää, joista molemmista tulee ulos alkulukujen joukko, eli kokonaislukujen alkuluvut voitaisiin myös määritellä loppu- lukujen kautta. Näin ei yleensä tehdä, koska ns. perinteinen määritelmä
on itsessään varsin selkeä ja yksinkertainen. Yleisessä tilanteessa algebral- lisille luvuille joudutaan kuitenkin suorittamaan alkulukujen määrittely nimemomaan loppulukujen kautta.
2 Algebraa
Algebran peruskäsitteet oletetaan tunnetuiksi, mutta tutkielman kannalta oleellisimmat rakenteet, kuten rengas ja kokonaisalue määritellään tässä luvussa. Lisäksi esitellään muutama hieman harvinaisempi algebrallinen rakenne, joihin ei perehdytä sen syvällisemmin. Ensimmäinen näistä on ns.vapaa Abelin ryhmä, jonka yhteys lineaarialgebraan on ilmeinen. Vapaat Abelin ryhmät ovat vain tukemassa tutkielmaa ja vapaiden Abelin ryh- mien ominaisuuksista voi lukea lisää muualta [2].
2.1 Vapaa Abelin ryhmä
OlkoonGAbelin ryhmä jaX={x1, . . . , xn}ryhmänGepätyhjä osajoukko.
Jos jokaineng∈Gvoidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa g=a1x1+a2x2+. . .+anxn,
missä a1, . . . , an ∈ Z, niin ryhmääGsanotaan joukonXgeneroimaksiva- paaksi Abelin ryhmäksija joukkoaXsanotaan ryhmänGkannaksi.
Z on vapaa Abelin ryhmä, jonka kantoina ovat joukot {1} ja {−1}, mutta Z2ei ole, sillä sen ainoa mahdollinen kanta on{1}ja
2·1+1≡1 (mod2), eli alkiolla1on useita eri esityksiä.
2.2 Vapaan Abelin ryhmän aste
OlkoonG6={0}vapaa Abelin ryhmä, jonka kannassaXon äärellinen mää- rä alkioita. Tällöin jokainen ryhmänGkanta sisältää äärellisen määrän al- kioita ja kaikissa kannoissa on täsmälleen sama määrä alkioita.
Todistus:
[3] s. 335, Theorem 38.6
Vapaan Abelin ryhmän kannan alkioiden lukumäärää kutsutaan ryhmän asteeksi.
2.3 Vapaan Abelin ryhmän osajoukot
OlkoonG6={0}vapaa Abelin ryhmä, jonka aste onn∈Nja olkoonK6={0} ryhmän G aliryhmä. Tällöin myös K on vapaa Abelin ryhmä asteenaan s ≤ n. Löytyy myös kanta {x1, . . . , xn}ryhmälleG ja kokoelma kokonais- lukuja d1, . . . , ds, joille on voimassa, että lukudi jakaa luvundi+1 kaikille i =1, . . . , s−1siten, että{d1x1, . . . , dsxs}on ryhmänKkanta.
Todistus:
[3] s. 337, Theorem 38.11
2.4 Rengas
Olkoon R joukko, jossa on määritelty laskutoimitukset+ja ·. Kolmikkoa (R,+,·)sanotaanrenkaaksi, jos
1. (R,+)on Abelin ryhmä,
2. laskutoimitus·on liitännäinen ja
3. kaikillea, b, c∈Rosittelulait ovat voimassa, eli
• a·(b+c) =a·b+a·c
• (a+b)·c=a·c+b·c.
Jos renkaalla on kertolaskun suhteen neutraalialkio, sitä kutsutaan ykkö- salkioksi ja merkitään 1R. Rengasta (R,+,·) kutsutaan tällöin ykköselliseksi renkaaksi. Jos laskutoimitus · on vaihdannainen, niin (R,+,·) on vaihdan- nainen rengas.
2.4.1 Huomautus
Tässä tutkielmassa kaikki renkaat ovat ykkösellisiä ja vaihdannaisia, ellei erikseen mainita toisin.
2.5 Polynomirengas
Polynomit, joiden kertoimet kuuluvat renkaaseenR, muodostavatpolyno- mirenkaanR[t], jonka alkiot ovat siis yhden muuttujan polynomeja
p(t) =a0+a1t+a2t2+. . .+antn, missäa0, . . . , an ∈Ra0, . . . , an ∈R.
2.6 Kokonaisalue
RengasRonkokonaisalue, jos1R 6= 0Rja jos renkaassa ei olenollan tekijöitä, eli ehdosta a, b ∈ R\{0} seuraaab 6= 0. Ehto 1R 6= 0R tarkoittaa sitä, että kokonaisalueessa on aina vähintään kaksi alkiota.
2.7 Kunta
Kokonaisalue D on kunta, mikäli kaikilla nollasta eroavilla alkioilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen.
2.8 Moduli
OlkoonRrengas. Abelin ryhmää(M,+)ja operaatiotaR×M→M, jossa kaikiller, s∈Rjam, n∈Mpätee
1. (r+s)m=rm+sm, 2. r(m+n) =rm+rn, 3. r(sm) = (rs)m, 4. 1m =m,
sanotaanR-moduliksi.
Ryhmän M aliryhmää N, jossa kaikilla n ∈ N ja r ∈ R pätee rn ∈ N, kutsutaan ryhmänM-alimoduliksi.
2.9 Ideaali
RenkaanRepätyhjä osajoukkoIonideaali, jos 1. r−s∈Ikaikille joukonIalkioillerjasja 2. rs∈Iaina kunr∈Ijas∈R.
2.9.1 Huomautus
Renkaan R ideaali I on siis myös renkaan R alirengas, jos renkaalta R ei vaadita ykkösellisyyttä, tai jos renkaanRalirenkailta ei vaadita ykköselli- syyttä. Erityisesti ideaalinIvoi käsittääR-alimoduliksi.
2.10 Tekijärengas
JosRon rengas jaIon sen ideaali, niin sivuluokkarengasta(R/I,+,·)kut- sutaanR:n tekijärenkaaksi ja sen alkiot ovat sivuluokatI+r, missär∈ R.
Laskutoimitukset määritellään
(I+r) + (I+s) =I+ (r+s) (I+r)·(I+s) =I+rs kaikiller, s∈R.
2.11 Ideaalin normi
OlkoonRrengas jaIsen ideaali. Tällöin N(I) =|R/I|,
eli tekijärenkaanR/Ialkioiden lukumäärä, on ideaalinInormi. Esimerkiksi renkaassaZideaalin2Znormi
N(2Z) =|Z/2Z|=|{02, 12}|=2.
2.12 Lemma
JosIjaJovat renkaanRnollasta eroavia ideaaleja, niin N(IJ) =N(I)N(J).
Todistus:
[4] Theorem 4.2.7
2.13 Pääideaali
RenkaanRalkionavirittämä joukko
hai=aR={ar: r∈R} muodostaa renkaanRideaalin, ns.pääideaalin.
2.14 Pääideaalikokonaisalue (principal ideal domain)
KokonaisaluettaD, jonka kaikki ideaalit ovat pääideaaleja, kutsutaanpää- ideaalikokonaisalueeksi ja lyhennetään tarpeen tullen termiksi PIKA (engl.
PID)
2.15 Algebralliset luvut ja algebralliset kokonaisluvut
Lukua a ∈ C sanotaan algebralliseksi luvuksi, jos on olemassa jokin ratio- naalilukukertoiminen polynomi, jonka nollakohtaaon, eli
pnan+pn−1an−1+. . .+p1a+p0 =0,
missä pi ∈ Q kaikilla i = 0, . . . , n−1. Algebralliset luvut muodostavat kunnanCalikunnan ([5] s. 36, Theorem 2.1) ja algebrallisten lukujen jouk- koa merkitäänA:lla.
Vastaavasti lukua b ∈ C sanotaanalgebralliseksi kokonaisluvuksi, jos se to- teuttaa perusmuotoisen (engl. monic, eli korkeimman asteen kerroin 1) kokonaislukukertoimisen polynomin, eli
bn+qn−1bn−1+. . .+q1b+q0=0,
missäqi ∈Zkaikillai=0, . . . , n−1. Algebralliset kokonaisluvut muodos- tavat algebrallisten lukujen alirenkaan ([5] s. 43, Theorem 2.9) ja algebral- listen kokonaislukujen joukkoa merkitäänB:llä.
2.16 Algebrallisten lukujen polynomit
Jos θ ∈ C toteuttaa perusmuotoisen polynomiyhtälön, jossa polynomin kertoimet ovat algebrallisia kokonaislukuja, niin myösθon algebrallinen kokonaisluku.
Todistus:
[5] s. 43, Theorem 2.10
2.17 Kokonaislukukanta
Olkoon K lukukunnan Q n-asteinen laajennos, eliK = Q(θ), missä θ on algebrallinen kokonaisluku. Tällöin kunnan K Q-kanta on se kanta, joka joukollaKonQ-vektoriavaruutena. KunnallaKtämä kanta onn-asteinen, sillä
{1, θ, . . . , θn−1} on joukonKkanta.
Jonkin tietyn lukukunnanK (eli K = Q(θ), missä θ ∈ B) algebrallisten ko- konaislukujen rengasOKmääritellään
OK =K∩B.
Mikäli kuntaKon asiayhteydestä selvä, niin lyhennetään merkintäO:ksi.
LukukunnanKalgebrallisten lukujen rengasOK on Abelin ryhmä yhteen- laskun suhteen ja ryhmän (OK,+)Z-kantaa kutsutaan kunnanKkokonais- lukukannaksi. Siis{α1, . . . , αs}on kokonaislukukanta jos ja vain jos jokainen lukuαion joukossaOja jokainen ryhmänOalkio voidaan kirjoittaa muo- dossa
a1α1+. . .+asα2, missäa1, . . . , as ∈Z.
2.18 Lukukunnan kokonaislukukanta
Jokaisella lukukunnallaKon olemassa kokonaislukukanta ja ryhmä(OK,+) on astetta noleva vapaa Abelin ryhmä, missä n on sama kuin lukukun- nanKaste.
Todistus:
[5] s. 46, Theorem 2.16
2.19 Kuvauksia ja normi
Olkoot(R,+,·)ja(S,⊕,)renkaita. Kuvaustaf: R→Ssanotaanrengasho- momorfismiksi, jos se toteuttaa ehdot
1. f(a+b) =f(a)⊕f(b)ja 2. f(a·b) =f(a)f(b)
kaikille a, b ∈ R. Mikäli kuvaus fon myösinjektio, kutsutaan kuvausta f rengasmonomorfismiksi.
Algebrallisten lukujennormimääritellään monomorfismien avulla. Olkoot K = Q(θ) lukukunta astetta n, jolloin löytyy siis nerillistä monomorfis- mia kunnaltaKkunnalleC([5] s.38, Theorem 2.4),σ1, . . . , σn. Nyt kaikille α∈Kmääritellään normiksi
NK(α) = Yn
i=1
σi(α).
2.19.1 Huomautus
Koska normi on määritelty monomorfismien avulla, niin saadaan siis ”il- maiseksi” tulos
N(ab) =N(a)N(b),
kunajabovat algebrallisia lukuja ja josa6=0, niin myösN(a)6=0. Eräs tärkeä ominaisuus on myös, että josa∈B, niinN(a)∈Z. [5]
2.20 Esimerkki
KunnanQtoisen asteen kuntalaajennuksia sanotaankvadraattisiksi kunnik- si(engl. quadratic fields). Tällaiset laajennukset ovat muotoa
K=Q(√ d),
missä d ∈ Z on neliövapaa (eli ei ole jaollinen millään neliöluvulla) ja toisen asteen kuntalaajennukselle löytyy kaksi monomorfismiaK→C
σ1(a+b√
d) =a+b√ d σ2(a+b√
d) =a−b√ d.
Jos nytK=Q(√
11), niin
σ1(a+b√
11) =a+b√ 11 σ2(a+b√
11) =a−b√ 11.
ja
N(a+b√
11) = (a+b√
11)·(a−b√
11) =a2−11b2.
Myöhemmin osoittautuu hyödylliseksi tietää, millaisia kunnan Q(√ d), missädon neliövapaa, algebrallisten lukujen renkaat ovat.
2.21 Kvadraattisten kuntien algebralliset luvut
Olkoondneliövapaa kokonaisluku. Tällöin lukukunnanQ(√
d)algebral- liset kokonaisluvut ovat:
1. Z(√
d), josd6≡1(mod4) 2. Z(12 + 12√
d), josd≡1(mod4).
Todistus:
[5] s. 62, Theorem 3.2
3 Kokonaisalueiden ominaisuuksia
Kokonaisalueet ovat jatkon kannalta tärkeitä, joten niihin on syytä paneu- tua hieman tarkemmin. Tässä kappaleessa Rviittaa renkaisiin ja Dkoko- naisalueisiin, ellei toisin mainita.
3.1 Yksikkö
Alkiotaa∈Rsanotaanyksiköksi, jos on olemassab∈Rsiten, että ab =1.
Tällöin tietenkin myösbon yksikkö ja josac=1, niin c=1·c=ab·c=bac=b·1=b.
Yksikkö tarkoittaa siis alkiota, jolle löytyy käänteisalkio kertolaskun suh- teen. Esim. renkaassa(Z,+,·)on kaksi yksikköä,1ja−1ja renkaissa(Q,+,·), (R,+,·)ja(C,+,·)kaikki muut alkiot paitsi0ovat yksiköitä. Yksiköt ovat siis kaikkien renkaan alkioiden tekijöitä, sillä joscon renkaanRalkio jaa kyseisen renkaan yksikkö, niin
c=1·c=ab·c.
3.2 Liittoalkio
Alkiota b ∈ R sanotaan alkion a ∈ R liittoalkioksi, jos a = ub jollakin yksiköllä u ∈ R. Jos uon yksikkö, niin aina pätee a = ub, kun asetetaan b=u−1a. Renkaassa(R,+,·)alkiollaπesimerkiksi liittoalkionae, sillä
π/e·e=π
ja π/e on kyseisessä renkaassa yksikkö. Toisaalta alkiolla 0 on vain yksi liittoalkio, nimittäin0itse. Tästä voidaan havaita, että liittoalkioita, kuten myös yksiköitä, voi olla jopa ylinumeroituvasti.
3.3 Jaoton luku
Lukup∈R\{0}onjaoton, jos ehdostap=abseuraa, että jokoaon yksik- kö taibon yksikkö.
Kokonaislukujen renkaassa alkuluvut ovat jaottomia lukuja ja muita jaot- tomia ei ole. Toisaalta ja algebrallisten lukujen renkaassa ei ole jaottomia lukuja, sillä jos x ei ole nolla-alkio tai yksikkö, niin myöskään √
x ei ole nolla-alkio tai yksikkö jax=√
x·√ x.
3.4 Alkuluku
Lukup∈R\{0}onalkuluku, mikäli ehdostap|ab, a, b∈Raina seuraa, että p|ataip|b.
Jaoton luku on siis määritelty kuten alkuluvut johdannossa ja alkuluvut taas kuten loppuluvut. Johdannossa nähtiin, että kokonaislukujen joukos- sa, eli oikeastaan kokonaislukujen renkaassa, alkuluvut ja loppuluvut ovat sama asia. Alkuluvut ovat kyllä aina myös jaottomia, mutta kaikki jaotto- mat luvut eivät välttämättä ole alkulukuja kaikissa renkaissa.
3.5 Alkuluvut ovat jaottomia lukuja
Jos p∈ Don alkuluku, niinpon jaoton luku, mutta jaoton luku ei välttä- mättä ole alkuluku.
Todistus:
Olkoon p ∈ D alkuluku. Tällöin jos p = ab joillekin luvuille a, b ∈ D, niin alkulukujen määritelmän nojallap|ataip|b. Voidaan olettaa, ettäp|a, jolloin siis a = pc jollakin luvulla c ∈ D. Sijoittamalla tämä aiempaan yhtälöön, saadaan
p=ab=pcb,
joten 1 = cb, koska kokonaisalueessa ei ole nollan tekijöitä ja oletuksen nojallap6=0. Sitenbon yksikkö, elipon jaoton.
Väitteen toisen osan todistamiseksi riittää löytää jaoton luku, joka ei ole alkuluku. Siirretään tarkastelu renkaaseen
Z(√
−3) ={a+b√
−3: a, b ∈Z}. Nyt esimerkiksi luku 2 on jaoton, sillä jos
2= (a+b√
−3)·(c+d√
−3),
missäa, b, c, d ∈ Z, niin saman täytyy päteä myös jos otetaan kompleksi- konjugaatti molemmilta puolilta yhtälöä, eli
2= (a−b√
−3)·(c−d√
−3).
Kerrotaan nämä kaksi yhtälöä keskenään, jolloin saadaan 4= (a2+3b2)·(c2+3d2).
Molempien yhtälöiden oikealla puolella olevien tekijöiden pitää siis jakaa luku 4, eli (a2 +3b2)|4. Koska luvun 4 kokonaislukutekijät ovat 1, 2 ja 4, eikäa2+3b2voi olla2millään kokonaisluvuillaajabniin toinen luvun4 tekijöistä on1ja toinen on4. Jos
a2+3b2 =1,
niina=±1jab=0, joten alkuperäisessä luvun2tekijöihinjaossa 2= (a+b√
−3)·(c+d√
−3)
toinen tekijä on siis yksikkö1, eli2on jaoton.
RenkaassaZ(√
−3)luku2jakaa luvun (1+√
−3)(1−√
−3) =4,
joten jos luku 2 olisi alkuluku, niin sen pitäisi jakaa toinen luvun 4 teki- jöistä, jolloin joudutaan tilanteeseen2|1, mikä ei ole mahdollista. Luku2ei siis ole alkuluku renkaassaZ(√
−3).
Palataan sitten tarkastelemaan hieman yksiköiden ja liittoalkioiden perus- ominaisuuksia.
3.6 Yksiköistä ja liittoalkioista
KokonaisalueessaDon voimassa:
(a)aon yksikkö täsmälleen silloin kuna|1
(b) mielivaltaiset kaksi yksikköä ovat keskenään liittoalkioita ja mielival- taisen yksikön liittoalkio on aina yksikkö
(c)ajabovat liittoalkioita jos ja vain josa|bjab|a
(d) a on jaoton aina ja vain kun kaikki luvuna jakajat ovat luvun a liit- toalkioita tai yksiköitä
(e) jaottoman luvun liittoalkio on jaoton Todistus:
(a) Oletetaan ensin, ettäaon yksikkö. Tällöin löytyy bsiten, ettäab = 1, elia|1.
Oletetaan sitten, että a|1. Tällöin taas löytyy b siten, että ab = 1, eli a
on yksikkö.
(b) Olkoot a ja b yksiköitä, jolloin siis on olemassa yksiköt c ja d siten, että
ac=1=bd.
Täten siisac=bdja kertomalla puolittain yksiköndkäänteisalkiolla saa- daan
a·(c·d−1) =b,
missäcd−1on kahden yksikön tulona yksikkö, sillä jos ac=1jabd =1,
niin(cd)·(ab) =1. Siten yhtälöstä
a·(c·d−1) =b seuraa, ettäbon alkionaliittoalkio.
Oletetaan sitten, että a on yksikkö ja bsen liittoalkio. Tällöin löytyy yk- sikköusiten, että
a=ub, joten1= (u·a−1)·b, eli myösbon yksikkö.
(c) Josajabovat liittoalkioita, niina=ub, missäuon yksikkö, elib=la, missäl=u−1, jotena|bjab|a.
Jos taas a|bja b|a, niin b = ka ja a = lb, joten b = klb. Jos a = 0, niin myös b = 0, jolloin ne ovat triviaalisti liittoalkioita. Jos taas a 6= 0, niin ehdosta
b=klb
seuraa1=kl, elikjalovat yksiköitä, jotenajabovat liittoalkioita.
(d) Jos don jaoton luku ja d = ab joillekin a, b ∈ D, niin jaottoman lu- vun määritelmän perusteella toinen luvuistaataibon yksikkö.
Jos kaikki jakajat ovat yksiköitä, niin väite seuraa määritelmästä. Josbon alkion a liittoalkio ja b|a, niin a = ub, missä uon yksikkö, jolloin väite seuraa taas määritelmästä.
(e) Olkoon a jaoton ja b alkion a liittoalkio, eli a = ub, missä u on yk- sikkö. Tällöinb=u−1a, missäu−1on yksikkö, eli myösbon jaoton.
3.7 Yksiköt, liittoalkiot ja ideaalit
JosDon kokonaisalue jaa, b∈D,a, b6=0, niin (a)a|bjos ja vain joshai ⊇ hbi
(b)ajabovat liittoalkioita täsmälleen silloin kunhai=hbi (c)aon yksikkö aina ja vain kunhai=D
(d)aon jaoton silloin ja vain silloin kunhaion kokonaisalueenDmaksi- maalinen aito pääideaali.
Todistus:
Olkoota, b∈D.
(a) Koskaa|b, niinbvoidaan esittää muodossab=a·s∈ hai, missäs∈D. Nyt josx∈ hbi=ha·si, niinx∈ haija sitenhbi ⊆ hai.
Oletetaan sitten, että hbi ⊆ hai, jolloin kun b ∈ hai, niin löytyy s ∈ D siten, ettäb=a·s.
(b) Josajabovat liittoalkioita, niin kohdan 3.6 (c) nojallaa|bjab|a, jolloin siishai ⊆ hbijahbi ⊆ hai.
Jos taashai=hbi, niin (a)-kohdan nojallaa|bjab|aja kohdan 3.6 (c) nojal- laajabovat liittoalkioita.
(c) Olkoon ayksikkö, jolloin ab = 1 jollakin b ∈ D. Olkoonc ∈ D, jol- loinc=abc, elic∈ hai.
Olkoon hai = D, jolloin 1 ∈ hai, eli 1 = ab jollakin b ∈ D, joten a on yksikkö.
(d) Olkoonajaoton. Jos olisib∈Dsiten, että hai$hbi$D,
niin (a)-kohdan nojallab|a, muttabei voi olla alkionaliittoalkio, sillä täl- löin olisi hai = hbi, eikäbole yksikkö, koska (c)-kohdan mukaan tällöin olisihbi = D. Alkionbolemassaolo siis tuottaa ristiriidan kohdan 3.6 (d) kanssa.
Olkoon sitten hai maksimaalinen. Nyt josb|a, niin hai ⊆ hbi, eli joko b
on alkionaliittoalkio, jolloin
hai=hbi, taibon yksikkö, jolloin
hbi=D,
muutoin hai $ hbi $ D, mikä on vastoin oletusta. Nyt kohdan 3.6 (a) nojallaaon jaoton.
3.8 Noetherilainen kokonaisalue
Jos kokonaisalueen D kaikilla ideaaleilla on äärellinen määrä virittäjiä, niin sanotaan, ettäDonnoetherilainen.
3.9 Kasvavan jonon ehto (ascending chain condition)
Olkoot
I0 ⊆I1 ⊆. . .⊆In⊆. . .
kasvava jono ideaaleja. Jos tällöin löytyyN ∈ Nsiten, että In = IN kaikil- lan≥N, eli kasvu pysähtyy, niin sanotaan, ettäkasvavan jonon ehtotäyttyy.
3.10 Maksimaalisuusehto (the maximal condition)
Jos ei-tyhjällä kokoelmalla ideaaleja on maksimaalinen alkio, joka ei sisälly mihinkään muuhun joukon ideaaliin, niin sanotaan, ettämaksimaalisuuseh- totäyttyy.
Huom. Maksimaalisen ideaalin ei tarvitse sisältää kaikkia muita kokoel- man ideaaleja, riittää ettei joukossa ole yhtään ideaalia, joka sisältäisi mak- simaalisen ideaalin.
3.11 Noetherilaisuus, kasvavan jonon ehto ja maksimaali- suusehto
Algebrallisten kokonaislukujen kokonaisalueessa Dseuraavat ovat yhtä- pitäviä:
(a)Don noetherilainen
(b) Kasvavan jonon ehto on voimassa kokonaisalueessaD
(c) Maksimaalisuusehto on voimassa kokonaisalueessaD.
Todistus:
OlkoonDnoetherilainen ja
I0 ⊆I1 ⊆. . .⊆In⊆. . . kasvava jono ideaaleja. Olkoon
I=
∞
[
i=1
Ii,
jolloin Ion sisäkkäisten ideaalien yhdisteenä ideaali ja sillä on äärellinen määrä virittäjiä. Olkoot ne
I=hx1, . . . , xmi.
Nyt jokainenxjkuuluu johonkin ideaaliinIi. OlkoonN∈Nsellainen, että
xj∈
N
[
i=1
Ii
kaikilla j ∈ {1, . . . , m}. Nyt siisI = IN ja sitenIn = IN kaikillan ≥ N, eli kasvavan jonon ehto toteutuu.
Olkoon sittenDsellainen, että se toteuttaa kasvavan jonon ehdon. Olkoon S 6= ∅joukko ideaaleja. Tehdään vastaoletus: joukossaSei ole maksimaa- lista alkiota. OlkoonI0 ∈S. KoskaI0 ei ole maksimaalinen, voidaan valita I1 ∈Ssiten, ettäI0 $I1. Induktiolla päästäänIn:ään, joka ei myöskään ole maksimaalinen, joten voidaan valitaIn+1 ∈ Ssiten, ettäIn $ In+1. On siis saatu kasvava jono ideaaleja, joiden kasvu ei kuitenkaan pysähdy. Tämä on vastoin oletusta.
OlkoonDsellainen, että maksimaalisuusehto toteutuu. OlkoonIjokin ide- aali ja S joukko, joka sisältää kaikki äärellisesti viritetyt ideaalit, jotka si- sältyvät ideaaliin I. Tällöin ainakin {0} ∈ S, joten S 6= ∅ ja sisältää siten maksimaalialkionJ. JosJ 6=I, niin valitaanx∈ I\J, jolloinhJ, xion äärelli- sesti viritetty jaJ$hJ, xi, mikä on ristiriitaista alkionJmaksimaalisuuden kanssa, joten täytyy ollaJ=IjaIon äärellisesti viritetty.
3.12 Noetherilaisen kokonaisalueen tekijöihinjako
Jos kokonaisalue Don noetherilainen, niin kokonaisaluueessaDon mah- dollista esittää luvut jaottomien lukujen tulona.
Todistus:
Vastaoletus: Löytyy jokin a ∈ D\{0} siten, että a ei ole yksikkö, luvulle aei ole olemassa esitystä jaottomien lukujen tulona jaaon valittu niin, et- tähaion maksimaalinen (maksimaalisuusehdon mukaan mahdollista).
Nytaei voi olla jaoton, sillä muuten se olisi esitettävissä ”itsensä tulona”, joten täytyy olla alkiot b, c ∈ D, joille a = bc ja kumpikaanbtai ceivät ole yksiköitä. Kohdan 3.7 (a) nojalla tästä seuraa, ettähai ⊆ hbi, mutta jos olisi hai = hbi, niin kohdan 3.7 (b) nojalla ajabolisivat liittoalkioita, jol- loin colisi yksikkö. Täten siis hai $ hbija hai $ hci. Koskahai valittiin maksimaaliseksi, täytyy olla
b=k1·. . .·kn c=l1·. . .·lm, missäki:t jalj:t ovat jaottomia. Nyt
a=b·c=k1·. . .·kn·l1·. . .·lm,
eliaon esitettävissä jaottomien lukujen tulona, mikä on vastoin vastaole- tusta.
3.13 Algebrallisten kokonaislukujen joukko on noetheri- lainen
Lukukunnan K algebrallisten kokonaislukujen joukko O on noetherilai- nen.
Todistus:
Osoitetaan, että jokainen ideaaliI ⊂Oon äärellisesti viritetty. Nyt(O,+) on vapaa Abelin ryhmä, jonka kertaluku n on sama kuin lukukunnan K kertaluku kohdan 2.18 nojalla. Täten kohdan 2.3 nojalla (I,+) on vapaa Abelin ryhmä kertalukunaan s ≤ n. Jos {x1, . . . , xs} on ryhmän (I,+) Z- kanta, niin tällöin
hx1, . . . , xsi=I,
jotenIon äärellisesti viritetty jaOon noetherilainen.
Yhdistämällä kaksi edellistä lausetta, havaitaan tekijöihinjaon jaottomiin lukuihin olevan aina mahdollista renkaassaO.
3.14 Normin ominaisuuksia
Olkoon O lukukunnanKalgebrallisten kokonaislukujen rengas ja olkoot x, y∈O. Tällöin on voimassa:
(1) x on yksikkö täsmälleen silloin, kun N(x) = ±1 (tässä N(x) on siis luvunxnormi).
(2) Josxjayovat liittoalkioita, niinN(x) =±N(y). (3) JosN(x)∈P, niinxon jaoton renkaassaO. Todistus:
(1) Josxu=1, niin
N(xu) =N(x)N(u) =N(1) =1.
KoskaN(x), N(u)∈Z, niinN(x) =±1. Jos taasN(x) =±1, niin
σ1(x)σ2(x)· · ·σn(x) =±1,
missä kuvauksetσi ovat monomorfismit lukukunnaltaKlukukuntaanC.
Yksi monomorfismeista on siis identtinen kuvausσ(x) =xja muut kuvaa- vat luvunx algebralliselle luvulle. Voidaan olettaa, ettäσ1(x) = x. Asete- taan
u=±σ2(x)· · ·σn(x),
jolloinxu=1, jotenu=x−1 ∈K. Sitenu∈K∩B= Ojaxon yksikkö.
(2) Jos x ja y ovat liittoalkioita, niin x = uy, missä u on yksikkö, joten edellisen kohdan nojalla
N(x) =N(uy) =N(u)N(y) =±N(y).
(3) Olkoonx=yz. Tällöin
N(y)N(z) =N(yz) =N(x) =p∈P,
joten yksi luvuistaN(y)jaN(z)on±pja toinen on±1. Ensimmäisen koh- dan nojalla toinen luvuistayjazon yksikkö, jotenxon jaoton.
3.15 Yksikäsitteinen tekijöihinjako
Tekijöihinjako kokonaisalueessaDon yksikäsitteistä, jos ehdosta p1·. . .·pr =q1·. . .·qs,
missä jokainenpijaqjon jaoton kokonaisalueessaD, seuraa 1. r=s
2. On olemassa permutaatio π joukossa {1, . . . , r} siten, että pi ja qπ(i) ovat liittoalkioita kaikillei ∈{1, . . . , r}.
Määritelmä on siis vain yleistys kokonaislukujen vastaavasta määritel- mästä ja toimii myös kokonaisluvuille, sillä kokonaislukujen ainoat yk- siköt ovat 1 ja −1. Toistaiseksi on tarkasteltu yksikäsitteistä tekijöihinja- koa ainoastaan kokonaislukujen renkaassa ja todettu, että yksikäsitteinen tekijöihinjako onnistuu myös polynomirenkaassa. Kuten kokonaisluvuil- le tehdyn todistuksen yksinkertaisuudesta voi päätellä, tulos oli tuttu jo antiikin kreikkalaisille. Muissa renkaissa asiaa ei ilmeisesti juurikaan tut- kittu ennen 1800-luvun puoliväliä, jolloinGabriel Laméväitti todistaneensa Fermat’n suuren lauseen käyttäen hyväkseen yksikköjuurten (engl. roots of unity) tekijöihinjaon yksikäsitteisyyttä. Ernst Kummer oli kuitenkin to- distanut paria vuotta aiemmin, että kokonaisalueessaZ[α], missä
α23=1, α∈C
yksikäsitteinen tekijöihinjako ei onnistu. Helpompiakin esimerkkejä on- neksi löytyy.
3.16 Esimerkki
Tekijöihinjako yksikäsitteisesti ei ole mahdollista kokonaisalueenQ(√
−10) algebrallisten kokonaislukujen renkaassa.
Todistus:
KokonaisalueessaQ(√
−10)on voimassa 14=2·7= (2+√
−10)·(2−√
−10).
Osoitetaan, että2, 7, 2+√
10ja2−√
−10ovat jaottomia joukonQ(√
−10) algebrallisten lukujen renkaassaO. Normina on algebrallinen normi, eli
N(a+b√
−10) =a2+10b2,
joten
N(2) =4, N(7) =49, N(2+√
−10) =14jaN(2−√
−10) =14.
Jos luvulle 2 löytyisi epätriviaalit tekijät, eli2 = xy, missä x, y ∈ Oovat ei-yksiköitä, niin
4=N(2) =N(x)N(y), joten koskaN(x), N(y)∈Z, niin
N(x) =±2=N(y), sillä vain yksikön normi voi olla±1.
Vastaavasti luvun 7 epätriviaalien tekijöiden normit ovat ±7, sekä luku- jen 2+√
−10ja 2−√
−10epätriviaalien tekijöiden normit ovat ±2ja±7.
Koska −10 6≡ 1(mod4), niin kohdan 2.21 nojalla algebralliset luvut ovat muotoa
a+b√
−10, a, b∈Z, joten päädytään yhtälöihin
a2+10b2 =±2tai a2+10b2 =±7.
Jos|b|≥1, niin|a2+10b2|≥10, joten täytyy olla|b|=0, jolloin päädytään tilanteeseena2 =±2taia2 =±7, mikä on mahdotonta joukonZalkioille.
Siten oletettuja jakajia ei voi olla olemassa, joten kaikki neljä lukua ovat jaottomia. Koska
N(2) =4jaN(2±√
−10) =14, niin kohdan 3.14 (b) nojalla 2 ei ole lukujen 2 ± √
−10 liittoalkio, joten tekijöihinjako ei ole yksikäsitteistä.
3.17 Ehto tekijöihinjaon yksikäsitteisyydelle
Jos kokonaisalueessa tekijöihinjako jaottomiin lukuihin on mahdollista kai- kille alkioille, niin tekijöihinjako on yksikäsitteinen täsmälleen silloin kun kaikki jaottomat luvut ovat alkulukuja.
Todistus:
Olkoon D ko. kokonaisalue. Ilmaistaan alkio a ∈ D jaottomien lukujen tulona
a=up1·. . .·pr,
missäuon yksikkö ja luvutp1, . . . , prjaottomia (up1on siis jaoton tapauk- sessar≥1).
Olkoon nyt p ∈ D jaoton. Jos p|ab, niin on olemassa c ∈ D siten, että pc =ab(jaollisuuden määritelmä). Voidaan olettaa, ettäa6=06=b, jolloin myösc6=0(kokonaisalue). Ilmaistaana,bjacjaottomien tulona
a=u1p1· · ·pn b=u2q1· · ·qm
c=u3r1· · ·rs,
missä luvutuiovat yksiköitä ja luvutpi,qi jari jaottomia, joten p·(u3r1· · ·rs) = (u1p1· · ·pn)·(u2q1· · ·qm)
Koska tekijöihinjako on yksikäsitteistä, niinpon liittoalkio jonkun luvun pitaiqikanssa, elipjakaa jonkin luvuistapi taiqi ja sitenp|ataip|b, elip on alkuluku.
Olkoot nyt kaikki jaottomat luvut alkulukuja. Osoitetaan, että jos u1p1· · ·pm =u2qa· · ·qn,
missä u1 jau2 ovat yksiköitä ja luvut pi jaqi jaottomia, niinm = nja on olemassa permutaatio πluvuista {1, . . . , m} siten, että pi ja qπ(i) ovat liit- toalkioita (1≤i ≤m).
Josm =0, niin ei ole mitään todistettavaa.
Jos m ≥ 1, niin pm|u2q1· · ·qn. Koska oletuksen nojalla pm on alkuluku, niinpm|u2taipm|qj jollakinj. Jospm|u2, niinpm|1, elipm on kohdan 3.6 (a) mukaan yksikkö, joten täytyy olla pm|qj. Järjestetään indeksit uudelleen siten, ettäj=n, jolloinpm|qn jaqn =upm, missäuon yksikkö. Täten siis
u1p1· · ·pm=u2q1· · ·qn−1upm, joka voidaan jakaa puolittain luvullapm:
u1p1· · ·pm−1 = (uu2)q1· · ·qn−1.
Induktiollan−1=m−1ja löytyy permutaatio joukosta{1, . . . , m}siten, ettäpi jaqπ(i)ovat liittoalkioita (1≤i≤m−1). Laajennetaan permutaatio koskemaan joukkoa{1, . . . , m}asettamallaπ(m) =m.
3.18 Yksikäsitteinen tekijöihinjako pääideaalikokonaisa- lueessa
Jokainen pääideaalikokonaisalue on yksikäsitteisen tekijöihinjaon koko- naisalue, eli yksikäsitteinen tekijöihinjako on mahdollista kaikissa pääide- aalikokonaisalueissa.
Todistus:
Olkoon D PIKA. Pääideaalit ovat yhden alkion virittämiä, eli hyvinkin äärellisesti viritettyjä, joten D on siis noetherilainen ja täten kohdan 3.12 perusteella tekijöihinjako jaottomiin lukuihin on mahdollista. Riittää siis osoittaa, että kaikki jaottomat luvut ovat alkulukuja (ts. kohdan 3.17 ehto).
Olkoonpjaoton. Tällöin kohdan 3.7 (d) nojallahpion maksimaalinen jou- konDpääideaalien joukossa. Koska joukonDkaikki ideaalit ovat pääide- aaleja, onhpisiis maksimaalinen kaikkien joukonDideaalien joukossa.
Oletetaan, ettäp|ab, muttap-a. Nyt hp, ai%hpi
ja siten maksimaalisuuden nojalla hp, ai = D. Erityisesti 1 ∈ hp, ai, joten löytyy alkiotc, d∈Dsiten, että
1=cp+da ja kertomalla puolittain luvullab
b·1=b·cp+b·da.
Oletuksen nojallap|ab, joten
p|(bcp+bda), elip|b, jotenpon alkuluku.
Aiemmin löydettiin esimerkki kokonaisalueesta, jossa yksikäsitteinen te- kijöihinjako ei onnistunut. Nyt riittäisi siis löytää kokonaisalue, jonka kaik- ki ideaalit ovat pääideaaleja, jolloin tiedetään yksikäsitteisen tekijöihin- jaon toimivan siellä. Tämä saattaa kuitenkin olla hivenen haastavaa ja tä- hän löytyykin hieman helpompia tapoja.
Jos peruutetaan takaisin aritmetiikan peruslauseeseen kokonaisluvuissa, niin havaitaan, että yksikäsitteisyyden todistamisessa Eukleideen lemma oli varsin tärkeässä asemassa. Kokonaisalueessa alkuluvut onkin määri- telty Eukleideen lemman antaman tuloksen mukaan, joten kyseistä omi- naisuutta ei ole tarvinnut ”todistaa” missään vaiheessa. Kokonaislukujen joukossa taas todistukseen käytettiin erästä varsin kätevää ominaisuutta, nimittäin jakoyhtälöä. Jakoyhtälön yleistys osoittautuukin käytännöllisek- si tavaksi löytää esimerkki kokonaisalueesta, jossa yksikäsitteinen tekijöi- hinjako on voimassa.
3.19 Euklidinen kuvaus
OlkoonDkokonaisalue.Euklidinen kuvaus(taiEuklidinen funktio) kokonai- salueelleDon kuvausφ: D\{0}→Nsiten, että
1. Josa, b∈D\{0}jaa|b, niinφ(a)≤φ(b)
2. Josa, b ∈D\{0}, niin on olemassa luvutq, r∈Dsiten, ettäa=bq+r, missä jokor=0taiφ(r)< φ(b).
Kokonaislukujen joukossa kuvausφ(n) = |n|ja polymeille renkaassaK[t]
kuvaus φ(p) = ∂p, missä siis ∂p on polynomin p aste, ovat Euklidisia kuvauksia.
3.20 Euklidinen kokonaisalue
Jos kokonaisalueessa D on Euklidinen kuvaus, niin sanotaan, että D on Euklidinen kokonaisalue.
3.21 Euklidinen kokonaisalue on PIKA
Jokainen Euklidinen kokonaisalue on pääideaalikokonaisalue.
Todistus:
Olkoon D Euklidinen kokonaisalue ja I ⊂ D ideaali. Jos I = 0, niin se on pääideaali, joten voidaan olettaa, että on olemassa x ∈ I, x 6= 0. Vali- taanx niin, ettäφ(x)on mahdollisimman pieni. Josy∈ I, niin Euklidisen funktion toisen ominaisuuden nojalla
y=qx+r, missä jokor=0taiφ(r)< φ(x).
Nyt koskar∈I(y∈Ijaqx∈Ikaikillaq∈D), niin ei voi ollaφ(r)< φ(x), sillä x valittiin niin, ettäφ(x)on mahdollisimman pieni. Siten täytyy olla r=0, jotenyon luvunxmoninkerta ja sitenI=hxion pääideaali.
Yksikäsitteistä tekijöihinjakoa varten riitää siis löytää kokonaisalue, jossa on Euklidinen funktio. Koska kokonaislukujen tapauksessa itseisarvo, eli kokonaislukujen normi, on sopiva Euklidinen kuvaus, niin hyvänä kandi- daattina jollekin vähän alkioiden mielessä suuremmalle kokonaisalueelle voisi olla algebrallinen normi.
3.22 Esimerkki
Lukukunnan Q(√
−2) algebrallisten lukujen rengas Oon Euklidinen ko- konaisalue ja Euklidinen funktio on algebrallinen normi, eliφ(α) =|N(α)|.
Käydään läpi normin vaatimukset. Havaitaan ensin, että renkaanOalkiot ovat muotoa
a=x+y√
−2, x, y∈Z, joten alkiollea6=0
|N(a)|=|x2+2y2|≥1.
(1) Josa, b∈Ojaa|b, niinb=lajollakinl∈O. Tällöin
|N(a)|≤|N(l)N(a)|=|N(la)|=|N(b)|, joten ainakin ensimmäinen ehto on voimassa.
(2) Olkoot a, b ∈ O ja b 6= 0. Pitää siis löytää luvut r, q ∈ O siten, et- tä
a=bq+r, missä jokor=0tai|N(r)|<|N(b)|. Olkoon
a/b=ab−1 =c+d√
−2,
missä siisc, d∈ Q. Olkoot nytm, n ∈ Zsellaisia, ettäm on mahdollisim- man lähellä lukuacjanmahdollisimman lähellä lukuad, eli
|m−c|≤ 1
2 ja|n−d|≤ 1 2. Olkoot
q=m+n√
−2jar=a−bq.
Josr=0, niin Euklidisen funktion ehto täyttyy. Jos taasr6=0, niin
|N(a/b−q)|=|N((c+d√
−2) − (m+n√
−2))|
=|N((c−m) + (d−n)√
−2)|
≤
1 2
2
+2 1
2 2
= 1 4+ 2
4 = 3 4. Siten
|N(r)|=|N(a−bq)|= N
ba
b −q =
N(b)Na
b −q ≤
N(b)3 4 ,
joten|N(r)|<|N(b)|jaOon Euklidinen kokonaisalue.
Jos katsoo todistusta hieman tarkemmin läpi, niin huomaa, että esimerk- ki toimii sellaisenaan myösGaussin kokonaisluvuille, eli renkaalleZ(√
−1), joten löydettiin itse asiassa ainakin kaksi rengasta, joissa yksikäsitteinen tekijöihinjako onnistuu.
Aiemmin todistettiin, että jos D on PIKA, niin D on myös yksikäsittei- sen tekijöihinjaon kokonaisalue. Osoittautuu, että tulos pätee myös toi- seen suuntaan ja kaikki yksikäsitteisen tekijöihinjaon kokonaisalueet ovat pääideaalikokonaisalueita. Tämän todistamista varten pitää kuitenkin pe- rehtyä hieman tarkemmin ideaaliteoriaan.
4 Ideaaleista
Ernst Kummer käytti ensimmäisenä ilmaisua ”ideaalinen kompleksiluku”
vuonna 1847 kuvaamaan lukuja, jotka säilyttävät yksikäsitteisen tekijöi- hinjaon ominaisuuden tietyissä algebrallisten lukujen renkaissa. Kummer halusi jakaa luvut tietynlaisiin alkutekijöihin, jotka olivat muotoa
a0+a1α+. . .+ap−1αp−1,
missä luvut ai ∈ Z, pon alkuluku ja αon kompleksinen yhtälön xp = 1 juuri. Kummer oli havainnut, että perinteinen alkulukujen määrittely jaot- tomina lukuina ei toiminut odotetusti, sillä kahden tällaisen alkuluvun tu- lo saattoi olla jaollinen jollain kolmannella jaottomalla luvulla. Kohdassa 3.16 todettiinkin, että yksikäsitteinen tekijöihinjako ei ole voimassa koko- naisalueenQ(√
−10)algebrallisten lukujen renkaissa ja annettiin esimerk- kinä
14=2·7= (2+√
−10)·(2−√
−10), jolloin kumpikaan luvuista2 tai 7ei jaa lukuja 2±√
−10kyseisessä ren- kaassa. Niinpä Kummerin ideana oli laajentaa rengasta niin, että yksikä- sitteinen tekijöihinjako onnistuisi. Laajennuksessa lisättyjä alkioita Kum- mer kutsui ”ideaalisiksi luvuiksi”. Richard Dedekind tutki samoja asioita kuin Kummer toisesta näkökulmasta ja toi termin ”ideaali” rengasteori- aan seuraten Kummerin ajatuksia. Termi jäi elämään ja myöhemmin eri- tyisestiEmmy Noetherkehitti ideaalien teoriaa.
Dedekind myös osoitti, että vaikka yksikäsitteinen tekijöihinjako ei välttä- mättä onnistu luvuilla, niin vastaava tulos voidaan osoittaa todeksi ideaa- leilla. Tämän kappaleen alkupuolella esitellään tarpeelliset käsitteet, jotta voidaan todistaa ideaalien yksikäsitteinen tekijöihinjako.
4.1 Ideaalien kertolasku
KokonaislukurenkaanOideaalienajabkertolasku määritellään ab =
Xn
i=1
aibi, ai ∈a, bi ∈b, n∈N.
4.2 Alkuideaali
aon alkuideaali, jos aina kun bjacovat renkaanRideaaleja jabc ⊆ a, niin jokob⊆ataic⊆a.
4.3 Ideaalien ja tekijärenkaiden ominaisuuksia
OlkoonRrengas jaarenkaanRideaali. Tällöin (a)a =Rjos ja vain jos1R ∈a,
(b)R/aon ykkösellinen ja vaihdannainen,
(c)R/aon kunta täsmälleen silloin kunaon maksimaalinen, (d)R/aon kokonaisalue aina ja vain kunaon alkuideaali.
Todistus:
(a) Josa =R, niin väite on selvä.
Jos taas1R ∈a, niin ideaalin määritelmän nojalla 1R·r∈akaikillar∈R, elia =R.
(b) Olkootr, s∈R. Nyt
(r+ a)(s+ a) =rs+ a =sr+ a = (s+ a)(r+ a) ja
(1R+ a)(r+ a) =r+ a = (r+ a)(1R+ a),
jotenR/aon vaihdannainen ja ykkösellinen, ykkösalkionaan1R+ a. (c) OlkoonR/akunta. Olkoonbideaali, jolle päteea$b⊆R. Koskaa$b, niin on olemassa alkio r ∈ b siten, ettär 6∈ a. Tätenr+ a 6= a, eli alkiolla r+ aon olemassa käänteisalkios+ asiten, että
rs+ a = (r+ a)(s+ a) =1+ a.
Koska0∈a, niin löytyy alkioq∈a, jolle pätee rs+q=1.
Nytr∈bjas∈R, jotenrs∈b. Toisaaltaq∈a b, joten rs+q∈b,
eli1∈bja (a)-kohdan nojallab =R.
Olkoon sittenamaksimaalinen. Riittää siis löytää alkionr+ a, r6∈akään- teisalkio kertolaskun suhteen. Koska a on maksimaalinen ja r ∈ Rr+ a,
niin täytyy olla Rr+ a = R. Tällöin myös 1 ∈ Rr+ a, joten on olemassa alkiots∈Rjaq∈asiten, että
1=sr+q, jolloin
(s+ a)(r+ a) =sr+ a = (1−q) + a =1+ a, koskaq∈a.
Tätens+ aon alkionr+ akäänteisalkio kertolaskun suhteen.
(d) OlkoonR/akokonaisalue ja olkoonrs∈a. Tällöin rs+ a = (r+ a)(s+ a) = a.
KoskaR/aon kokonaisalue, niinr+ a = atais+ a = a, elir∈atais ∈a.
Olkoon a sitten alkuideaali. Tehdään vastaoletus: R/a ei ole kokonaisa- lue. Tällöin löytyy nollasivuluokasta eroavat sivuluokatr+ ajas+ a, joille rs+ a = a. Koskaaon alkuideaali, niin tällöinr∈atais∈a, joten vastao- letus tuottaa ristiriidan alkuperäisen oletuksen kanssa.
4.4 Seuraus
Jokainen maksimaalinen ideaali on alkuideaali.
4.5 Algebrallisten lukujen renkaan ominaisuuksia
Lukukunnan K algebrallisten lukujen renkaalla O on seuraavat ominai- suudet:
(a)Oon noetherilainen,
(b) Jos α ∈ K toteuttaa perusmuotoisen (monic) polynomiyhtälön, jonka tekijät ovat renkaassaO, niin myösα∈O,
(c) Jokainen joukonO\{0}alkuideaali on maksimaalinen.
Todistus:
(a) Kohdan 2.18 mukaan (O,+) on vapaa Abelin ryhmä kertalukua n ja josaon renkaanOideaali, niin kohdan 2.3 nojalla(a,+)on vapaa Abelin ryhmä kertalukuas ≤ n. Tällöin mikä tahansa ryhmän(a,+)Z-kanta ge- neroi ideaalina, joten jokainen renkaanO:n ideaali on äärellisesti viritetty.
(b) Seuraus kohdasta 2.16
(c) Olkoonpalkuideaali renkaassaOja olkoon06=α∈p. Tällöin N =N(α) =α1·. . .·αn∈p,
sillä jollain ipäteeαi = α, koska identtinen kuvaus kuuluu monomorfis- mien joukkoon. Voidaan olettaa, ettäα1 = α. Näin ollenhN i ⊆ pja siten O/p on renkaan O/NO tekijärengas. Nyt O/NO on äärellisesti viritetty Abelin ryhmä ja sen virittäjät ovat myös äärellisiä, joten koko ryhmä on äärellinen. KoskaO/pon äärellinen ja kohdan 4.3 (d) nojalla kokonaisalue, on se äärellisenä kokonaisalueena kunta. Täten kohdan 4.3 (c) mukaan p on maksimaalinen ideaali.
Ideaalien kertolasku on siis selvästi vaihdannainen ja liitännäinen ja löy- tyy jopa neutraalialkio, nimittäin O itse. Käänteisalkio ei kuitenkaan ai- na välttämättä ole olemassa, joten ideaaleista ei saada aikaiseksi ryhmää.
Käänteisalkio voidaan kuitenkin aina löytää, jos laajennetaan hieman ide- aalin käsitettä.
Esimerkiksi renkaassa Z ideaalilla 2Z ei ole käänteisideaalia, mutta jou- kolla 12Zkerrottaessa saadaan
2Z1
2Z =h2ih1
2i=h1i=Z.
Nyt vain joukko 12Z ei ole renkaan Z ideaali, vaikka siitä saisi ideaalin kertomalla sitä luvulla 2. Aiemmin havaittiinkin, että ideaalit ovat itse asiassa O-alimoduleita renkaassa O. Koska kunnista löytyy aina kään- teisalkio myös kertolaskulle, siirrytään tarkastelemaan lukukunnan KO- alimoduleita. Määritellään ryhmärakenteen saamiseksi uusi käsite:
4.6 Murtoideaali
LukukunnanKO-alimoduliaon algebrallisten lukujen renkaanOmurtoi- deaali, jos on olemassa jokin06=c∈Ositen, ettäca⊆O.
Toisin sanoen, joukkob =caon renkaanOideaali jaa =c−1b. RenkaanO murtoideaalit ovat siis kunnan K osajoukkoja ja muotoac−1b, missä con jokin nollasta eroava renkaanOalkio jabon renkaanOideaali. Tavalliset ideaalit ovat tietenkin myös murtoideaaleja ja murtoideaalit ovat ideaale- ja, jos (ja vain jos) ne sisältyvät renkaaseen O. Kuten nimestä ja määritel- mästä voi päätellä, yhteysmurtolukuihinon ilmeinen.
4.7 Murtoideaalien ominaisuuksia
Josa1jaa2ovat murtoideaaleja, eli
a1 =c−11 b1 a2 =c−12 b2
ideaaleilleb1,b2⊆Oja nollasta eroavillec1, c2 ∈O, niin a1a2 = (c1c2)−1b1b2,
joten kahden murtoideaalin tulo on myös murtoideaali. Kuten tavallisil- le ideaaleilla, kertolasku on myös vaihdannainen ja liitännäinen ja Otoi- mii edelleen neutraalialkiona. Tarkastellaan hieman sopivaa käänteisal- kiokandidaattia ja osoitetaan sitten, että se todella on käänteisalkio ker- tolaskun suhteen.
4.8 Käänteisideaali
OlkoonarenkaanOideaali. Tällöin joukkoa a−1 :={x ∈K: xa⊆O}
sanotaan ideaalin akäänteisideaaliksi. Näin määriteltynäa−1on selvästiO- alimoduli: Jos a 6= 0, niin kaikilla0 6= c ∈ apäteeca−1 ⊆ O, jotena−1 on O-alimoduli. SelvästiO⊆a−1, joten
a = aO ⊆aa−1. Määritelmästä myös nähdään, että
aa−1 = a−1a⊆O,
eli murtoideaali aa−1 on itse asiassa ideaali. Huomataan myös, että kun a ⊆ p, niin O ⊆ p−1 ⊆ a−1: Jos x ∈ p−1, niin xp ∈ O kaikilla p ∈ p, eli erityisestixa∈Okaikillaa∈a⊆p, jotenx ∈a−1.
4.9 Lemma
Olkoona6=0renkaanOideaali. Tällöin on olemassa alkuideaalitp1, . . . ,pr siten, että
p1· · ·pr ⊆a.
Todistus:
Tehdään vastaoletus: väitteen mukaisia alkuideaaleja ei ole olemassa. Koh- dan 4.5 (a) nojallaOon noetherilainen, joten voidaan valita mahdollisim- man suuria, jolle alkuideaaleja ei löydy. Tällöinaei voi olla itse alkuide- aali ja löytyy siis renkaanOideaalitbjac, joille
bc⊆a,b*a,c*a.
Asetetaan
a1 = a + b a2 = a + c.
Tällöin a1,a2 ⊆ a, a $ a1 ja a $ a2. Koska a oli suurin mahdollinen, on olemassa alkuideaalitp1, . . . ,ps,ps+1, . . . ,pr siten, että
p1· · ·ps ⊆a1, ps+1· · ·pr⊆a2. Yhdistämällä saadaan
p1· · ·pr ⊆a1a2 ⊆a,
mikä on ristiriita, sillä a valittiin sellaiseksi, että tällaisia alkuideaaleja ei ole.
Kohdassa 4.8 todettiin, että aa−1 ⊆ O. Seuraavaksi on tarkoituksena to- distaa inkluusio myös toiseen suuntaan, jolloin saadaan varmistettua ryh- märakenne.
4.10 Murtoideaalit kertolaskulla muodostavat Abelin ryh- män
Renkaan O nollasta eroavat murtoideaalit muodostavat Abelin ryhmän kertolaskun suhteen.
Hajautetaan todistus useampaan osaan ja todistetaan asteittain:
(a) Josaon renkaanOaito ideaali (elia6= O), niina−1 %O,
(b) Josa6=0on renkaanOideaali jaaS ⊆ajollekin kunnanKosajoukolle S, niinS⊆O,
(c) Jospon maksimaalinen renkaanOideaali, niinpp−1 = O,
(d) Kaikille rankaanOideaaleillea6=0päteeaa−1= O,
(e) Jokaisella renkaanOmurtoideaalillaaon käänteisalkioa−1kertolaskun suhteen siten, ettäaa−1= O.
Todistus:
(a) Koska a ⊆ p jollekin maksimaaliselle ideaalille p ja p−1 ⊆ a−1, niin riittää osoittaa, että p 6= Omaksimaaliselle ideaalille p. Riittää siis löytää jokin ei-algebrallinen kokonaisluku joukosta p−1. Olkoon a ∈ p, a 6= 0. Kohdan 4.9 nojalla löydetään alkuideaalitp1, . . . ,pr, joille
p1· · ·pr ⊆ hai.
Valitaan näistä alkuideaalikokoelmista se, jossaron mahdollisimman pie- ni. Koskahai ⊆ pjapon alkuideaali kohdan 4.4 nojalla, täytyy ollapi ⊆p jollekini. Voidaan olettaa, ettäp1 ⊆p. Tätenp1 = p, koska alkuideaalit ovat maksimaalisia kohdan 4.5 (c) nojalla ja koskaroli valittu mahdollisimman pieneksi, niin
p2· · ·pr *hai.
Näin ollenp2· · ·pr\hai 6=∅ja voidaan valitab∈p2· · ·pr\hai. Kuitenkin bp⊆ hai, jotenba−1p⊆Ojaba−1 ∈p−1.
Nytb /∈aOja sitenba−1∈/ O, elip−16= O.
(b) Näytetään, että josaθ⊆a, kunθ∈S, niinθ∈O. KoskaOon noetheri- lainen,a =ha1, . . . , ami, missä ainakin yksiai 6=0. Tällöin ehdostaaθ⊆a seuraa
a1θ=b11a1+. . . b1mam ...
amθ=bm1a1+. . . bmmam Koska yhtälöillä
(b11−θ)x1+. . .+b1mxm =0 ... bm1x1+. . .+ (bmm−θ)xm =0
on jokin nollasta poikkeava ratkaisu x1 = a1, . . . , xm = am, niin niitä vas- taavan matriisin determinantin täytyy olla 0. Näin saadaan luvulle θ pe- rusmuotoinen polynomiyhtälö, jonka kertoimet ovat renkaassa O, joten
θ∈Okohdan 4.5 (b) nojalla.
(c) Kohdan 4.8 perusteella havaitaan, ettäpp−1on ideaali jap⊆ pp−1 ⊆O. Koska pon maksimaalinen, niin jokopp−1 = ptaipp−1 = O. Jospp−1 = p, niin (b)-kohdan mukaanp−1 ⊆O, mikä on ristiriita (a)-kohdan kanssa, jo- ten täytyy ollapp−1 = O.
(d) Vastaoletus: Olkoonasuurin ideaali siten, ettäaa−1 6= O. Tällöina⊆p jollekin maksimaaliselle ideaalillep. Kohdan 4.8 mukaanO ⊆ p−1 ⊆ a−1, joten
a⊆ap−1⊆aa−1 ⊆O.
Erityisesti ehdostaap−1⊆Oseuraa, ettäap−1on ideaali. Jos olisia = ap−1, niin olisip−1 ⊆O(b)-kohdan nojalla ja tämä on ristiriita (a)-kohdan kans- sa. Täytyy siis ollaa $ ap−1 ja maksimaalisuusehdon soveltamisesta ide- aaliinaseuraa, että joukolleap−1pätee
ap−1(ap−1)−1 = O.
Ideaalina−1määritelmän mukaan ylläoleva tarkoittaa, että p−1(ap−1)−1 ⊆a−1.
Täten O = ap−1(ap−1)−1 ⊆ aa−1 ⊆ O. Tämä on ristiriitaista ideaalinava- linnan suhteen, jotenaa−1 = Okaikillaa6=0.
(e) Koskaaon murtoideaali, niin on olemassa ideaalib ja alkioc ∈ O\{0} siten, ettäa =c−1b. Asetetaana0 =cb−1, jolloinaa0 = O.
4.11 Jaollisuus ideaaleilla
OlkootajabrenkaanOideaaleja. Sanotaan, että ideaaliajakaa ideaalinb, jos on olemassa ideaalic⊆Ositen, ettäb = ac. Tätä merkitääna|b. Tällöin on myös voimassa
a|bjos ja vain josa⊇b,
sillä voidaan valita c = a−1b. Tuloksesta voi nähdä, että ideaalin b tekijät ovat siis ne ideaalit, jotka sisältävät ideaalin b. Nyt myös alkuideaaleille saadaan tutunlainen esitys, sillä jospon alkuideaali, niin ehdosta
p|abseuraa, ettäp|ataip|b,
jolloin määritelmä on samanlainen kuin algebrallisille luvuillekin.
Merkintään voi vielä tehdä pienen lisäyksen: Jos a on renkaan O ideaa- li ja b ∈ Ositen, että a|hbi, niin sanotaan, että ideaali a jakaa luvun b ja merkitääna|b. Tällä merkintätavalla voidaan alkuideaaleille kirjoittaa, et- tä ehdosta p|ab seuraap|ataip|b. Tekijöihinjaon yhteys alkioiden ja pääi- deaalien välillä käy näin selvemmäksi.
Nyt voidaan todistaa aritmetiikan peruslause ideaaleille liki identtisellä tavalla kuin se alussa todistettiin kokonaisluvuille.
4.12 Ideaalien yksikäsitteinen tekijöihinjako
RenkaanOnollasta eroavat ideaalit voidaan kirjoittaa järjestystä vaille yk- sikäsitteisesti alkuideaalien tulona.
Todistus:
(i)Olemassaolo: Jokainena6=0on alkuideaalien tulo.
Vastaoletus: Olkoon a mahdollisimman suuri niiden ideaalien joukosta, joita ei voi esittää alkuideaalien tulona. Tällöinaei tietenkään voi olla al- kuideaali, mutta täytyy ollaa⊂pjollekin maksimaaliselle (eli alku)ideaalille ja kuten kohdassa 4.10 (d),a $ap−1 ⊆O. Koskaaoletettiin mahdollisim- man suureksi, niin
ap−1 = p2· · ·pr,
missä p2, . . . ,pr ovat alkuideaaleja ja täten a = pp2· · ·pr, mikä on ristiriita ideaalinavalinnan kanssa.
(ii)Alkutekijäesitys on yksikäsitteinen.
Alkuideaalien määritelmän nojalla, jos p on alkuideaali ja p|ab, niin p|a tai p|b. Jos nyt jollain ideaalillaa on kaksi alkuideaaliesitystä p1, . . . ,pr ja q1, . . . ,qs siten, että
a = p1· · ·pr = q1· · ·qs,
niin p1 jakaa jonkin ideaalinqi ja maksimaalisuuden nojalla p1 = qi. Voi- daan siis kertoa puolittain käänteisideaalillap−11 ja käyttää induktiota, jol- loin väite seuraa.
4.13 Ideaalin normin ominaisuuksia
OlkoonarenkaanOideaali,a6=0. Tällöin
(a) Jos normi N(a) = |O/a|on alkuluku, niin myösaon alkuideaali
(b) N(a)on ideaalinaalkio, elia|N(a)
(c) Josaon alkuideaali, se jakaa täsmälleen yhden alkuluvunp ∈Zja täl- löin N(a) = pm, missäm≤n(non kunnanKaste,O = OK).
Todistus:
(a) Ehdosta a = p1p2 seuraa N(a) = N(p1p2) = N(p1)N(p2) kohdan 2.12 nojalla. Koska N(a)on alkuluku, niin N(p1) = N(a)tai N(p2) = N(a)Voi- daan olettaa, että N(p1) = N(a), jolloin N(p2) =1, elip2 = O, joten ideaali aon ainoa itsensä tekijä ja siten alkuideaali.
(b) Määritelmä: N(a) = |O/a| =: r. Jos x ∈ O, niin r(x + a) on tekijä- renkaan O/a nolla-alkio, sillä ryhmien alkioiden kertaluvut jakavat aina ryhmän kertaluvun. Siten rxon ideaalinaalkio ja sijoittamallax = 1saa- daan väite.
(c) Kohdan (b) nojalla
a|N(a) =Pm11· · ·pmr r,
joten a|hpii, missä pi ∈ P. Jos p, q ∈ P, syt(p, q) = 1 ja a|p ja a|q, niin löytyy alkiotu, v∈Zsiten, että
up+vq=1,
joten a|1, elia = O,mikä on ristiriita. Siis aei voi jakaa kahta alkulukua.
Täten N(a)|N(hpi) =pn, joten N(a) =pmjollekinm≤n.
4.14 Lemma
OlkoonDkokonaisalue jap =hpi ⊆Dpääideaali. Tällöinpon alkuideaali jos ja vain jospon alkuluku taip=0.
Todistus:
Olkoon p alkuideaali, eli ehdosta ab ⊆ p seuraa aina a ⊆ p tai b ⊆ p.
Jos p=0, niin tällöina=0taib=0. Oletetaan siis, ettäp6=0ja tehdään vastaoletus:p|nkjoillakinn, k∈D\{0}, muttap-njap-k. Nyt kuitenkin kohdan 3.7 (a) nojalla
hn·ki=hnihki ⊆ hpi.
Jos nythni ⊆ hpi, niin edelleen kohdan 3.7 (a) nojallap|nja joshki ⊆ hpi, niinp|k. Sitenhni*hpijahki*hpi, mikä on ristiriita, koskahpioletettiin
