Osakeportfolion
tuotto-riski-suhteen optimointi
Pro gradu -tutkielma Samu Pitkänen 249680
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
30.05.2019
Tiivistelmä
Osakeportfolio koostuu yleensä useasta eri sijoituskohteesta i, joille on mää- ritetty painowi, joka kuvastaa osakkeeniosuutta koko portfoliosta ja tällöin
∑n
i=1wi = 1. Yksittäisten osakkeiden tuottovauhti voidaan laskea kaavalla r = (X1−X0)/X0, missä X0 on osakkeen ostohinta ja X1 taas myyntihin- ta. Osakeportfolion tuotto-riski-suhteen optimoinnissa on tavoitteena saada mahdollisimman paljon tuottoa mahdollisimman pienellä riskillä. Portfoliota voidaan optimoida myös määrittämällä tietty riskitaso ja tavoitellaan tällä riskitasolla mahdollisimman suurta tuottoa tai sitten määritetään tuottota- so, joka halutaan saavuttaa ja minimoidaan riski mahdollisimman pienek- si. Osakkeen i odotustuotto ja varianssi voidaan laskea kaavoilla E(ri) =
∑n j=1rij
n = µri ja var(ri) = σr2
i = E((ri−µri)2) = E(r2i)−E(ri)2. Portfoliot koostuvat siis osakkeista i ja näille portfolioille voidaan määrittää odotettu tuotto kaavalla µr = ∑n
i=1wiE[ri] ja tuoton varianssi σ2 = ∑n
i,j=1wiwjσij
kun i, j = 1,2, ..., n. Optimointia suoritetaan muokkaamalla portfoliossa ole- vien osakkeiden painoja wi.
Osakeportfolion optimointitapoja on monia ja tässä tutkielmassa käsitel- lään enimmäkseen keskiarvo-varianssi-, CAP- sekä faktorimallia. Keskiarvo- varianssimallin on kehittänyt Harry Markowitz ja tämä on yleisimmin käytet- ty tapa optimoida portfoliota. Keskiarvo-varianssimallilla saadaan helposti muodostettua minimoidun riskin ja maksimoidun tuoton portfolioita. CAP- malli perustuu Markowitzin keskiarvo-varianssiportfolioon ja tämän mallin kehittäjiä ovat Sharpe, Lintner ja Mossin. CAP-mallissa osakkeiden odotettu- ja tuottoja estimoidaan markkinaportfolion avulla. Faktorimallissa valitaan yksi tai useampi faktori, joiden avulla voidaan kuvata osakkeiden parametrit.
Yksi tunnetuimmista faktorimalleista on Eugene Faman ja Kenneth Frenchin kehittämä kolmen faktorin malli. Kaikissa näissä malleissa voidaan käyttää rajoitetun salkun periaatetta eli määrittää tietyt rajat portfolion painoille.
Tutkimusosiossa on mukana kymmenen suomalaisen yrityksen osakkeet eri toimialoilta ja myös OMXH25 -indeksi, jolla kuvataan Suomen mark- kinoita. Näistä osakkeista käytetään historiallista dataa 18 vuoden ajalta 23.1.2000-21.1.2018, joiden perusteella lasketaan osakkeiden odotustuotot, keskihajonnat, varianssi-kovarianssi- sekä korrelaatiomatriisi. Optimoinnin tekemisessä avuksi käytetään MATLAB -ohjelmaa. Optimointi toteutetaan tutkimuksessa tasahajautuksella, riskin minimoinnilla, tuoton maksimoinnil- la, CAP-mallilla sekä yhden faktorin mallilla ja näihin malleihin käytetään lisäksi erilaisia portfoliopainojen rajoituksia eli rajoitetun salkun periaatetta.
Abstract
A stock portfolio usually consists of several different investment objects i and these objects have weights wi which represent the proportion of stock i in the whole portfolio and ∑n
i=1wi = 1. The rate of return of stock i is defined by formula r = (X1 − X0)/X0, where X0 is the buying price and X1 is the selling price. The objective of portfolio optimization is to get as much profit as possible with minimized risk. A portfolio can also be optimized by determining a specific level of risk and maximizing the return or by determining a specific level of return and minimizing the risk. Expected return and variance of stock i can be calculated by using formulas E(ri) =
∑n
j=1rij
n = µri and var(ri) = σ2ri = E((ri−µri)2) = E(r2i)−E(ri)2. Portfolio consists of stocks i and the expected return of the portfolio is defined as µr = ∑n
i=1wiE[ri] and the variance of the portfolio is σ2 = ∑n
i,j=1wiwjσij wheni, j = 1,2, ..., n. Optimization is done by modifying the portfolio weights wi.
There are many ways to carry out the portfolio optimization and in this study we concentrate on the mean-variance analysis, Capital Asset Pricing Model (CAPM) and factor models. The mean-variance analysis was develo- ped by Harry Markowitz in 1952 and it is the most commonly used way of portfolio optimization. The mean-variance analysis makes it easy to compute a portfolio with minimized risk or maximized return. Capital Asset Pricing Model is based on the mean-variance analysis and it was developed by Shar- pe, Lintner and Mossin. In the CAP-model the expected returns of stocks are estimated with a market portfolio. In a factor model, one or more factors are chosen in a way that it is possible to describe the parameters of stocks with these factors. One of the most famous factor models is the three fac- tor model developed by Eugene Fama and Kenneth French. In all of these models we can use a restricted portfolio approach and define bounds for the portfolio weights.
In the study we have stocks of ten Finnish companies from different branc- hes of business and also OMXH25-index which is used in describing the Fin- nish market. We use historical data of these stocks over a period of eighteen years 23.1.2000-21.1.2018 to calculate expected returns, standard deviations, covariance- and correlationmatrices. Optimization is carried out by using a program called MATLAB to make all the calculations. In the optimization we use equal diversification, risk minimization, return maximization, CAPM and one factor model. In addition we also use portfolio restriction on these models.
Sisältö
1 Teoriaa 2
1.1 Tuotto . . . 2
1.2 Satunnaismuuttujat ja satunnaistuotot . . . 3
1.2.1 Portfolion tuoton odotusarvo ja varianssi . . . 6
1.3 Käytetyt merkinnät . . . 7
2 Markowitzin malli 7 2.1 Kahden rahaston lause . . . 8
2.2 Yhden rahaston lause . . . 9
2.3 Markowitzin mallin hyötyfunktio . . . 11
2.4 Mallin rajoitukset . . . 12
3 CAP-malli 12 3.1 Markkinoiden tasapaino . . . 12
3.2 Pääomamarkkinoiden suora . . . 14
3.3 Hinnoittelumalli . . . 16
3.3.1 Beetan merkitys taloudessa . . . 19
3.4 Arvopaperimarkkinoiden suora . . . 19
3.4.1 Systemaattinen riski . . . 20
3.5 Sijoitusportfolion arviointi . . . 20
4 Faktorimallit 23 4.1 Yhden faktorin malli . . . 24
4.2 Portfolion parametrit . . . 26
4.3 Useamman faktorin mallit . . . 27
4.4 Faktoreiden valinta . . . 29
4.5 CAP-malli faktorimallina . . . 30
5 Optimointitavat 31 5.1 Tasahajautus . . . 31
5.2 Minimivarianssi ja maksimituotto suhteessa varianssiin . . . . 31
5.3 Rajoitetut salkut . . . 32
5.4 Yhdistelmäsalkut . . . 33
6 Käytännön optimointi ja tutkimus 33 6.1 Lineaarinen ja lineaaris-neliöllinen optimointi MATLABilla . . . 33
6.2 Yksittäiset osakkeet . . . 34
6.3 Tasahajautettu salkku . . . 36
6.4 Minimoitu riski . . . 36
6.5 Maksimoitu tuotto . . . 37
6.6 Rajoitettu salkku . . . 39
6.7 CAP-malli . . . 43
6.8 Yhden faktorin malli . . . 46
6.9 Optimoitujen osakeportfolioiden suoriutumisen vertailu . . . . 48
7 Yhteenveto 50
Lähteet 52
Johdanto
Tässä tutkielmassa perehdytään osakeportfolion tuotto-riski-suhteen opti- mointiin modernin portfolioteorian avulla. Aluksi käsitellään teoriaa ja mää- ritellään, kuinka saadaan laskettua osakkeiden odotustuottoja, variansse- ja, keskihajontoja, kovariansseja ja korrelaatioita. Sitten määritellään myös kuinka koko osakeportfolion odotustuotto ja varianssi saadaan muodostettua.
Toisessa luvussa käsitellään tarkemmin Harry Markowitzin keskiarvo- varianssimallia, joka on yleisin tapa optimoida osakeportfoliota. Käydään läpi sekä kahden että yhden rahaston lause ja näiden lisäksi esitellään mallin hyötyfunktio ja muutamia mallin heikkouksia.
Keskiarvo-varianssimallin jälkeen käsitellään melko laajasti myös CAP- mallia ja faktorimalleja. CAP-mallin kehittivät Sharpe, Lintner sekä Mossin ja mallin perusajatus on, että ainut oikea riskillinen rahasto, johon kannat- taa sijoittaa on markkinaportfolio, joka sisältää osakkeita jokaisesta osake- kannasta suhteessa osakekannan osuuteen koko markkinoilla. Kappaleessa esitetään myös muutamia havainnollistavia esimerkkejä CAP-mallista. Fak- torimalleissa keskitytään enimmäkseen yhden faktorin malliin ja näin ollen kerrotaan siitä hieman yksityiskohtaisemmin. Mukana on myös perustietoa useamman faktorin malleista, Faman kolmen faktorin mallista sekä fakto- reiden valinnasta. Kerrotaan myös yhden faktorin mallin erikoistapauksesta, jossa faktorimallista johdetaan CAP-malli.
Viidennessä luvussa käydään vielä läpi optimointitapoja ja niiden teoriaa ennen kuin siirrytään varsinaiseen tutkimusosioon, jossa suoritetaan portfo- lion optimointia käytännössä. Optimoinnissa on käytössä 18 vuoden ajalta historiallista dataa osakkeiden hinnoista aikavälillä 23.1.2000-21.1.2018. Op- timointi toteutetaan tutkimuksessa tasahajautuksella, riskin minimoinnilla, tuoton maksimoinnilla, portfolion rajoittamisella, CAP-mallilla sekä yhden faktorin mallilla. Varsinaisia laskuja ei tutkimuksessa esitetä sen tarkemmin, mutta laskut tehdään MATLAB -ohjelman avulla ja käytetään hyväksi oh- jelman työkaluja optimointiin ja suorien sovittamiseksi dataan. Optimoinnin tuloksena saadut osakkeiden painot ilmoitetaan tutkimuksessa ja lasketaan näiden painojen perusteella odotettu tuotto sekä keskihajonta. Optimointien jälkeen tarkastellaan aikaväliä 28.1.2018-20.1.2019 ja katsotaan kuinka hyvin nämä optimoidut osakeportfoliot ovat suoriutuneet tällä vuoden pituisella ajanjaksolla.
1 Teoriaa
Ensimmäisessä osiossa käydään läpi teoriaa liittyen todennäköisyyslasken- nan ja tilastotieteen perusteisiin sekä sijoituskohteiden valintaan hyödyntäen pääasiassa [7, s. 5-25] ja [10, s. 14-31] tietoja.
1.1 Tuotto
Määritelmä 1.1. Ostetaan sijoituskohde hintaan X0 hetkellä 0 ja myydään hetkellä 1 hintaan X1, jolloin saadaan kokonaistuotto R.
R= X1
X0 (1.1)
Määritelmä 1.2. Tuottovauhti r taas saadaan laskemalla sijoituksen netto- tuoton ja sijoitetun summan osamäärä.
r = X1−X0
X0 (1.2)
Näistä kaavoista nähdään, että R = 1 +r ja tuottovauhtia pystytään ku- vaamaan seuraavasti: X1 = (1 +r)X0. Käytetään tästä eteenpäin sijoituksen tuottovauhtia kun puhutaan tuotosta.
Määritelmä 1.3. Sijoituskohteita on markkinoilla n erilaista, joista sijoit- taja pystyy muodostamaan itselleen sijoitussalkun alkupääoman X0 avul- la. Merkitään sijoituskohteeseen i sijoitettua pääomaa merkinnällä X0i, kun i = 1,2, ..., n. Tällöin alkupääoma eli sijoituksiin käytetty kokonaispääoma saadaan kaavalla:
n
∑
i=1
X0i =X0 (1.3)
Osa termeistäX0i voi olla negatiivisia, joslyhyeksimyynti on sallittu. Ly- hyeksimyynti eli shorttaaminen tai short selling tarkoittaa, että sijoittaja ei omista kyseistä sijoituskohdetta, jota ollaan myymässä. Tämä on mahdollis- ta kun sijoittaja lainaa sijoituskohteen sen omistajalta. Tämä sijoituskohteen lainaus voidaan tehdä esimerkiksi suoraan välitysliikkeeltä tai välitysliikkeen kautta toiselta sijoittajalta. Kun sijoittaja on lainannut sijoituskohteen, hän myy sen eteenpäin ja saa myyntihinnan itselleen. Lopulta sijoituskohteen lai- naajan tulee ostaa kyseinen arvopaperi takaisin ja palauttaa se lainaksi an- tajalle. Sijoittaja tekee voittoa lyhyeksimyynnillä, jos sijoituskohteen arvo on laskenut lainaamishetkestä eli myyntihinta on korkeampi kuin takaisinosto- hinta. Yleisesti lyhyeksimyyntiä pidetään melko korkeariskisenä sijoitusme- netelmänä, koska mahdollista tappiota ei ole rajoitettu.
Määritelmä 1.4. Portfolion painot wisaadaan jakamalla sijoituskohteeseen i sijoitettu pääoma X0i kokonaispääomalla X0:
wi = X0i
X0, (1.4)
ja tällöin pätee myös seuraava:
n
∑
i=1
wi = 1 =
n
∑
i=1
X0i
X0. (1.5)
jossa merkintäwi tarkoittaa sijoituskohteeni suhteellista osuutta koko sijoi- tussalkusta. Tämän avulla saadaan laskettua sijoitussalkun tuotto nkohteen painotettuna keskiarvona:
rp =
n
∑
i=1
wiri (1.6)
1.2 Satunnaismuuttujat ja satunnaistuotot
Yleensä sijoitushetkellä on epävarmaa, minkä verran rahaa sijoituksesta saa- daan myyntihetkellä. Tällöin tuotto on satunnainen ja sitä voidaan tarkas- tella todennäköisyyslaskennan avulla. Sijoituskohteen tuottoa voidaan kuva- ta satunnaismuuttujan avulla ja tuottojen todennäköisyyksiä tiheysfunktion avulla.
Määritelmä 1.5. Todennäköisyysavaruus koostuu kolmikosta(Ω,F,P), jos- sa Ω on ei-tyhjä joukko alkeistapahtumia, F on systeemi havaittavissa ole- vista tapahtumista eli σ-algebra joukolle Ω, josF ⊂ {A⊂Ω},
1. ∅,Ω∈ F,
2. A∈ F ⇒Ac:= Ω\A ∈ F 3. A1, A2, ...∈ F ⇒⋃∞
i=1Ai ∈ F.
KuvausP:F →[0,1]on todennäköisyysmitta, joka antaa todennäköisyyden kaikille tapahtumille A ∈ F, jos P(Ω) = 1 ja kaikille A1, A2, ... ∈ F, joille pätee Ai∩Aj =∅kun i̸=j, on voimassa
P(
∞
⋃
i=1
Ai) =
∞
∑
i=1
P(Ai). (1.7)
[5]
Määritelmä 1.6. Olkoon (Ω,F) mitallinen avaruus. Kuvausta X : Ω →R kutsutaan satunnaismuuttujaksi, kun on olemassa jono (Xn)∞n=1 mitallisia askelfunktioita Xn: Ω→(R), joille pätee:
X(ω) = lim
n→∞Xn(ω), ∀ω ∈Ω. (1.8)
[5]
Määritelmä 1.7. Olkoon (Ω,F,P) todennäköisyysavaruus ja X : Ω → R satunnaismuuttuja. Tällöin
PX(B) :=P(ω∈Ω :X(ω)∈B) (1.9) on satunnaismuuttujan X kuvauksen mitta. [5]
Määritelmä 1.8. Diskreetillä satunnaismuuttujalla onpistetodennäköisyys- funktio:
p(ω) =P(X =ω) (1.10)
ja tämän avulla määritelty kertymäfunktio: P(X ≤ω) = ∑
x≤cω
p(x), ω ∈Ω. (1.11)
Jatkuvalla satunnaismuuttajalla taas on tiheysfunktio:
fX(ω) =P(X =ω) (1.12) ja sen avulla määritelty kertymäfunktio:
P(X ≤ω) =
∫ ω
−∞
fX(x)dx, ω ∈Ω. (1.13) Määritelmä 1.9. Odotusarvo on satunnaismuuttujan tuottamien lukujen odotettavissa oleva eli keskimääräinen arvo. Diskreetin satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään pistetodennäköisyyden p(ω)ja satunnaismuuttu- jan ω -arvon avulla seuraavasti:
E(X) =
n
∑
i=1
piωi, (1.14)
missäpi =p(ωi). Jatkuvalla satunnaismuuttujallaX on olemassa tiheysfunk- tio fX(x), jolla määritetään satunnaismuuttujan odotusarvo:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx. (1.15)
Tässä tutkielmassa kuvataan osakkeiden tuottoa diskreettinä satunnais- muuttujana historiallisen datan avulla. Odotustuotto µri lasketaan siis dis- kreettinä odotusarvona, jossa oletetaan, että kaikilla tapahtumilla on sama todennäköisyys. Tällöin jokaisen tapahtuman rij todennäköisyys on 1/n ja saadaan aritmeettisen keskiarvon kaava:
E(ri) =
∑n j=1rij
n =µri, (1.16)
jossa siis summataan sijoituskohteen ituottovauhdin havainnotrij yhteen ja jaetaan summa havaintojen lukumäärällä n.
Määritelmä 1.10. Varianssi taas mittaa satunnaismuuttujan hajontaa eli sitä, kuinka paljon esiintyvät arvot poikkeavat odotusarvosta. Varianssi σX2 määritellään satunnaismuuttujan X odotusarvon E(X) =µX avulla seuraa- vasti
var(X) =σX2 =E((X−µX)2) =E(X2)−E(X)2. (1.17) Eli tuoton varianssi saadaan kaavalla:
var(ri) =σr2i =E((ri−µri)2) = E(ri2)−E(ri)2. (1.18) Jos odotusarvoa E(X2) ei ole äärellisenä olemassa, varianssin arvo on ääre- tön. Myös keskihajonta σX saadaan varianssin avulla √
σ2X = σX. Varianssi kasvaa kun satunnaismuuttujanX arvojen ja odotusarvon µX erotus kasvaa, mutta on aina joko 0 tai suurempi, koska (X−µX)2 ≥ 0. Huomattavaa on myös, että varianssi ja odotusarvo eivät ole yhteismitallisia, koska varianssin yksikkö on toisessa potenssissa ja tämän takia onkin usein hyödyllistä tarkas- tella satunnaismuuttujan keskihajontaaσX. Tuoton keskihajontaa kutsutaan rahoituksessa usein myös volatiliteetiksi.
Määritelmä 1.11. Kovarianssi kuvastaa kahden satunnaismuuttujan välis- tä riippuvuutta. Olkoot X1 ja X2 satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvot µX1 ja µX2, jolloin kovarianssi määritellään seuraavasti
cov(X1, X2) =E[(X1−µX1)(X2−µX2)] = E(X1X2)−µX1µX2 =σX12 =σX21 (1.19) Satunnaismuuttujat X1 ja X2 ovat keskenään korreloimattomia, jos niiden välinen kovarianssi on 0. Tällöin satunnaismuuttujat ovat myös lineaarises- ti riippumattomia ja toisen satunnaismuuttujan arvo ei anna tietoa toisen muuttujan arvosta. Kovarianssin ollessa positiivinen ja toisen satunnaismuut- tujan saadessa keskiarvoa suurempia arvoja niin todennäköisesti myös toinen satunnaismuuttuja saa suurempia arvoja. Kovarianssin ollessa negatiivinen ja toisen satunnaismuuttujan saadessa keskiarvoa suurempia arvoja niin to- dennäköisesti toinen satunnaismuuttuja saa keskiarvoa pienempiä arvoja.
Määritelmä 1.12. Korrelaatiokerroin kuvastaa satunnaismuuttujien X1 ja X2 lineaarista riippuvuutta ja voidaan laskea kovarianssin avulla seuraavasti
ρX12 = E[(X1−µX1)(X2−µX2)]
√
E[(X1−µX1)2]E[(X2−µX2)2] = σX12
σX1σX2, |ρX12 |≤1 (1.20) 1.2.1 Portfolion tuoton odotusarvo ja varianssi
Olkoon salkussa n kappaletta sijoituskohteita, joilla on satunnaiset tuotto- vauhdit ja odotusarvot näille tuottovauhdeille ovat(E[r1], ...,E[rn]) = (µr1, ..., µrn).
Yksittäisen sijoituskohteen osuutta sijoitussalkusta kuvataan painollawi, i= 1, ..., n, jolloin voidaan laskea koko sijoitussalkun tuottovauhdin odotusarvo seuraavasti
¯ µr =E
[ n
∑
i=1
wiri ]
=
n
∑
i=1
wiE[ri] (1.21) tai matriisimuodossa
w′µ¯= ¯µr. (1.22)
Summan varianssieli kahden satunnaismuuttujan yhteisvarianssi voidaan laskea kun tiedetään niiden välinen kovarianssi. Olkoon X1 ja X2 satunnais- muuttujia ja niiden odotusarvo on E(X1 +X2) = µX1 +µX2. Käyttämällä odotusarvon, varianssin ja kovarianssin määritelmiä saadaan seuraava kaava summan varianssille
var(X1+X2) = E[(X1−µX1 +X2−µX2)2] (1.23)
=E[(X1−µX1)2] + 2E[(X1−µX1)(X2−µX2)] +E[(X2−µX2)2]
=σX21 +σX22 + 2σX12 =σ2X1 +σ2X2 + 2σX1σX2ρX12 (1.24) Olkoon salkun tuoton varianssi σ2 ja yksittäisen sijoituskohteen tuo- ton varianssi σ2i, i = 1, ..., n. Sijoituskohteiden i ja j välinen kovarianssi on σij, i, j = 1, ..., n. Koko sijoitussalkun varianssi saadaan kaavalla
σ2 =E [( n
∑
i=1
wi(ri−µri) )2]
=E [( n
∑
i=1
wi(ri−µri) )( n
∑
j=1
wj(rj−µrj) )]
=
n
∑
i,j=1
wiwjσij (1.25)
tai matriisimuodossa
w′Σw =σ2. (1.26)
Salkun sisältäessä vähän sijoituskohteita siihen kohdistuu suurempi riski, koska siellä ei ole sijoituskohteita, jotka kompensoisivat toisten sijoituskohtei- den aiheuttamia tappioita. Yleisesti sijoituskohteiden riski voidaan havaita suurena varianssina tai keskihajontana eli volatiliteettina. Sellaisten sijoitus- kohteiden avulla, joilla ei ole keskenään korrelaatiota, voidaan pienentää tuo- ton varianssia. Tasahajautuksen avulla voidaan saada varianssi lähestymään nollaa. Täysin korreloimaton salkku on hyvin harvinainen.
1.3 Käytetyt merkinnät
Seuraavaksi kerrotaan hieman tutkielmassa käytetyistä merkinnöistä.
wi on osakkeen i paino osakeportfoliossa.
won portfoliopainoista wi muodostettu vektori.
w′ on vektorin wtranspoosi.
Σon varianssikovarianssimatriisi.
Σ−1 on varianssikovarianssimatriisin käänteismatriisi.
¯
µon odotettujen tuottojen vektori.
¯
µr on portfolion odotettu tuotto.
w∗ on ratkaisuvektori portfoliopainoille.
2 Markowitzin malli
Käsitellään Markowitzin mallia [1] perusteella. Harry Markowitz kehitti keskiarvo- varianssimallin vuonna 1952, josta hän kirjoitti julkaisun nimeltä Portfolio Selection, lähteissä mainittu [9] on tästä siis uudempi 1959 kirjoitettu painos.
Keskiarvo-varianssimalli on yleisin tapa sijoitussalkun valintaongelmassa ja se on staattinen yhden periodin malli. Siinä sijoittaja joko minimoi riskin tai maksimoi odotetun tuoton kohdentamalla sijoituskohteita. Tehokkaan port- folion tapauksessa sillä on joko minimoitu riski halutulla odotetun tuoton tasolla tai maksimoitu odotettu tuotto halutulla riskitasolla. Salkun opti- mointiin käytetään yhden periodin odotettuja tuottoja, variansseja sekä ko- variansseja. Syötteiden laskentatavat ja ennustemallit sijoittaja voi päättää oman harkintansa mukaan. Optimoinnissa oletetaan, että kaikki syötetiedot ovat yhtä tarkkoja eli optimointi käsittelee kaikkia tietoja samalla tavalla.
MV-optimointi (mean-variance optimization) on melko joustava, koska sii- nä voidaan käyttää erilaisia rajoitteita optimoinnin apuna, kuten budjettira- joitetta tai lyhyeksimyyntikieltoa. Tilanteeseen sopivien rajoitteiden avulla
optimoitu portfolio suoriutuu Frostin ja Savarinon tutkimuksen [4] mukaan paremmin kuin rajoittamaton portfolio.
2.1 Kahden rahaston lause
Kahden rahaston lauseen mukaan voidaan valita tai muodostaa kaksi teho- kasta rahastoa niin, että mikä tahansa muu tehokas portfolio voidaan muo- dostaa, odotustuoton ja varianssin suhteen, näiden kahden rahaston yhdistel- mänä. Tämä perustuu siis Markowitzin keskiarvo-varianssimalliin sen osalta, että muokkaamalla näiden kahden rahaston keskinäisiä painoja voidaan luo- da tehokkaita portfolioita halutuilla odotustuotto- ja varianssiparametreilla.
Tämä havainnollistaa myös sitä, että saadakseen enemmän tuottoa, täytyy ottaa myös lisää riskiä. [8]
Optimointiongelma ratkaistaan minimoimalla portfolion varianssi. Ote- taan n riskillistä sijoituskohdetta, joilla on satunnainen tuottovektorir sekä riskitön sijoituskohde tunnetulla tuotollarf. Määritellään ylimääräiset tuotot ry =r−rf ja merkitään niiden odotusarvojaµ:lla sekä kovarianssi-matriisia¯ Σ:lla. Oletetaan myös, että ylimääräiset tuotot ovat riippumattomia ja ident- tisesti jakautuneita ja niillä on vakiomomentit (constant moments).
Sijoittaja pystyy kohdistamaan omaisuuttaan ainoastaan näiden n:n ris- killisen sijoituskohteen kesken. Riskittömän kohteen puuttuessa keskiarvo- varianssiongelmaksi muodostuu portfoliopainovektorin w valinta, joka ku- vaa, millä tavalla sijoittaja on kohdistanut omaisuuttaan näille n:lle riskilli- selle sijoituskohteelle ja minimoida lopputuloksena saadun portfolion tuoton rp =w′r varianssi portfolion rf + ¯µr ennalta määritetylle tavoiteodotustuo- tolle:
minw var[rp] =w′Σw, (2.1) kun
E[rp] =w′(rf + ¯µ) = rf + ¯µr ja
n
∑
i=1
wi = 1 (2.2)
Ensimmäinen ehto kiinnittää portfolion odotetun tuoton sen tavoitteeseen ja toinen ehto varmistaa, että koko käytettävissä oleva omaisuus on sijoitettu riskillisiin sijoituskohteisiin. Muodostetaan Lagrangen funktio ja ratkaistaan vastaavat ensimmäisen asteen ehdot (FOC=first-order condition), jolloin op- timaaliset painot ovat:
w∗ = Λ1+ Λ2µ,¯ (2.3)
jossa
Λ1 = 1
D[B(Σ−1ι)−A(Σ−1µ)]¯ ja Λ2 = 1
D[C(Σ−1µ)¯ −A(Σ−1ι)], (2.4) missä ι on sopivan kokoinen ykkösistä muodostuva vektori ja A = ι′Σ−1µ,¯ B = ¯µ′Σ−1µ,¯ C = ι′Σ−1ι ja D = BC−A2. Portfolion minimoitu varianssi on yhtä kuin w∗′Σw∗
Markowitzin malli tuottaa kaksi tärkeää ekonomista oivallusta. Ensim- mäiseksi se osoittaa hajauttamisen vaikutuksia. Epätäydellisesti korreloitu- neet sijoituskohteet voidaan koota yhteen portfolioiksi halutuilla odotetuil- la tuotto-riski tunnusluvuilla. Toiseksi Markowitzin malli osoittaa, että kun portfolio on täysin hajautettu, korkeammat odotetut tuotot on mahdollista saavuttaa vain rajummilla sijoituksilla ja näin ollen ottamalla enemmän ris- kiä. Nämä ekonomiset oivallukset on esitetty graafisesti kuvassa 1. Kuvassa näkyy keskiarvo-varianssivyöhyke hyperbelinä, joka muodostuu kymmenen teollisuuden mukaan lajitellun portfolion kuukausittaisten tuottojen histo- riallisista hetkistä. Jokainen tämän vyöhykkeen piste antaa vaaka-akselilta minimoidun volatiliteetin ennalta määritetylle odotustuotolle. Hyperbelin si- sällä olevat pisteet kuvaavat näitä kymmentä erillistä teollisuusportfoliota, joista vyöhyke on muodostettu. Se, että nämä pisteet ovat selkeästi vyöhyk- keen sisällä, osoittaa hajautuksen vaikutuksen. Näitä erillisiä portfolioita on mahdollista yhdistellä niin, että saadaan aikaan tuottoja, joilla on sama tai pienempi volatiliteetti ja sama tai suurempi odotettu tuotto. Kuvasta näh- dään myös olennainen vaihtokauppa odotetun tuoton ja riskin välillä, kuten esimerkiksi portfolio, jolla on tässä tapauksessa pienin mahdollinen volatili- teetti hyperbelin kärjessä (Global minimum variance portfolio) kun taas suu- rempaa odotettua tuottoa tavoiteltaessa on myös suostuttava korkeampaan volatiliteettiin.
2.2 Yhden rahaston lause
Yhden rahaston lauseen mukaan taas on mahdollista valita tai muodostaa yksi riskillinen rahastoF siten, että mikä tahansa muu tehokas portfolio voi- daan muodostaa, odotustuoton ja varianssin suhteen, riskillisen rahaston F ja riskittömän sijoituskohteen yhdistelmänä. Myös tässä lauseessa on sama perusidea kuin kahden rahaston lauseessakin, mutta tässä tapauksessa muo- kataan riskillisen rahaston ja riskittömän sijoituskohteen keskinäisiä painoja, jotta saavutetaan portfolio halutuilla odotustuotto- ja varianssiparametreil- la. Tässäkin ainoastaan ottamalla lisää riskiä, voidaan saada lisää tuottoa sijoituksella. [8]
Kuva 1: Keskiarvo-varianssivyöhykkeet riskittömän kohteen kanssa sekä il- man sitä. Kuvassa riskitön sijoituskohde on merkitty Rft. [1, s. 272]
Kun on mahdollista ottaa sijoituksiin mukaan myös riskitön sijoituskohde rajoittamattoman sekä riskittömän lainan ottamisen ja antamisen muodossa, riskittömällä tuotollarf, mikä tahansa portfolio keskiarvo-varianssivyöhykkeellä voidaan yhdistää riskittömän sijoituskohteen kanssa, jotta saadaan aikaan odotustuotto-riski -profiili, joka seuraa suoraa linjaa kuvassa 1. Optimaali- nen yhdistelmä riskillisiä portfolioita ja riskitöntä lainan ottamista sekä an- tamista saadaan kun maksimoidaan kokonaisportfolion Sharpen luku, joka määritellään seuraavasti:E[rp−rf]/std[rp]. Sharpen luku saadaan graafisesti suoran kulmakertoimesta, joka lähtee riskittömästä sijoituskohteesta ja kul- kee riskillisen portfolion läpi. Maksimoitu Sharpen luku saadaan kun suora asetetaan hyperbelin yläpuolen tangentiksi (kuvassa 1 tangency portfolio).
Tällöin tämä suora kuvaa keskiarvo-varianssivyöhykettä riskittömällä lainan ottamisella ja antamisella. Toisaalta tilanteessa, jossa riskitön lainan ottami- nen ja antaminen ei ole mahdollista tai sitä ei käytetä, voidaan olettaa, että rf = 0 ja tällöin Sharpen luvun kaava saa muodon:E[rp]/std[rp]
Riskittömän sijoituskohteen ollessa käytettävissä sijoittaja kohdentaa osia w omaisuudestaan riskillisille sijoituskohteille ja loput 1−ι′w riskittömälle sijoituskohteelle. Portfolion tuotto on näin ollen
rp = w′r+ (1 −ι′w)rf = w′r +rf ja keskiarvo-varianssiongelma voidaan
esittää ylimääräisen tuoton muodossa
minw var[rp] =w′Σwkun E[rp] =w′µ¯= ¯µr (2.5) Tämän ongelman ratkaisu on yksinkertaisempi kuin ilman riskitöntä sijoitus- kohdetta:
w∗ = µ¯r
¯ µ′Σ−1µ¯
λ
×Σ−1µ¯ (2.6)
missäλ on vakio, joka skaalaa suhteellisesti kaikkiΣ−1µ¯elementit, jotta saa- vutetaan tavoiteltu portfolion odotustuotto µ¯r. Tästä esityksestä tangentti- portfolion painot voidaan löytää yksinkertaisesti huomioimalla, että tangent- tiportfolion painojen täytyy summautua ykköseen, koska se on riskillisten si- joituskohteiden keskiarvo-varianssivyöhykkeellä. Tangettiportfoliolle pätee:
λtg = 1
ι′Σ−1µ¯ ja µ¯tg = µ¯′Σ−1µ¯
ι′Σ−1µ¯ (2.7)
Keskiarvo-varianssiongelman kaavoista (2.1) ja (2.2) tai (2.5) saadaan ku- vaus ennalta määritetyltä portfolion odotustuotolta µ¯ minimivarianssi port- folion painoille w∗, joka johtaa portfolion tuoton volatiliteettiin √
w∗′Σw∗. Halutun tai tavoitellun odotustuoton valinta riippuu kuitenkin sijoittajan omasta riskinsietokyvystä.
2.3 Markowitzin mallin hyötyfunktio
Keskiarvo-varianssiongelma voidaan vaihtoehtoisesti esittää myös seuraavan hyötyfunktion avulla, johon saadaan sisällytettyä sijoittajalle optimaalinen odotustuoton ja riskin välinen vaihtokauppa eli maksimoidaan odotettu hyö- ty:
maxw E[rp]− γ
2var[rp], (2.8)
missä γ mittaa sijoittajan suhteellisen riskiaversion tasoa. Riskiaversio tar- koittaa sijoittajan haluttomuutta sijoittaa riskillisempiin kohteisiin varmem- pien kohteiden sijaan, joilla taas odotustuotto olisi pienempi. Tämän maksi- mointiongelman ratkaisu saadaan kaavasta (2.6) kun λ= 1γ, joka eksplisiitti- sesti liittää optimaalisen omaisuuden kohdentamisen tangenttiportfoliolle ja sijoittajan riskinsietokyvyn.
Hyötyfunktio on kvadraattinen, joten sen ongelmana on, ettei saatava hyöty ole enää tietyn pisteen jälkeen monotonisesti kasvava varallisuuden suhteen.
2.4 Mallin rajoitukset
Markowitzin keskiarvo-varianssi mallilla on olemassa monia rajoituksia sekä heikkouksia ja seuraavaksi käydään näitä ongelmia läpi [6] mukaisesti.
1. Mallilla on taipumus tuottaa melko äärimmäisiä portfolioita eli sijoi- tuskohteiden painot painottuvat helposti vain muutamalle yksittäiselle sijoituskohteelle. Tämä ongelma johtuu yleensä keskituoton ja kova- rianssimatriisin laskennassa tapahtuneista arviointivirheistä. Käytän- nössä sijoittajat eivät koskaan pysty muodostamaan oikeaa tehokasta keskiarvo-varianssivyöhykettä, koska he eivät tiedä oikeita keskiarvoja eikä kovarianssimatriisia tuotoille, joten pystytään ainoastaan arvioi- maan näitä olemassa olevan datan perusteella.
2. Portfolion painot ovat usein erittäin herkkiä pienillekin odotustuoton muutoksille. Esimerkiksi yhden sijoituskohteen pienikin odotustuoton kasvu voi aiheuttaa suuriakin muutoksia koko portfolion optimaalisessa rakenteessä. Yleisesti ottaen virheiden koko kasvaa kun sijoituskohtei- den määrä portfoliossa kasvaa ja havaintojen määrä pysyy samana.
3. Myös virheet arvioiduissa kovarianssimatriiseissa voivat vaikuttaa suu- resti portfolioon.
Näiden heikkouksien takia keskiarvo-varianssianalyysiin ei juurikaan luoteta ja käytetään hyvin harvoin käytännössä.
3 CAP-malli
Harry Markowitzin keskiarvo-varianssiportfolioon perustuvan CAP-mallin (Ca- pital Asset Pricing) kehittivät pääasiassa Sharpe (1964), Lintner (1965) ja Mossin (1966) ja tässä luvussa perehdytään malliin syvemmin [8] avulla.
3.1 Markkinoiden tasapaino
Oletetaan, että kaikki sijoittajat käyttävät optimointiin keskiarvo-varianssimallia ja ovat samaa mieltä sijoituskohteiden todennäköisyysrakenteesta eli he mää- rittävät sijoituskohteiden tuotoille samat keskiarvot, varianssit ja kovarians- sit. Lisäksi oletetaan, että kaikilla on mahdollisuus ottaa ja antaa lainaa riskittömällä korkotasolla ilman kaupankäyntikustannuksia. Yhden rahaston lauseesta tiedetään, että kaikki sijoittavat yhteen riskilliseen rahastoon ja voi- vat lisäksi ottaa tai antaa lainaa riskittömällä korkotasolla. Kaikki käyttä- vät siis samoja keskiarvoja, variansseja ja kovariansseja, jolloin kaikki myös
sijoittavat samaan riskilliseen rahastoon. Kuitenkin tämä riskillisen ja ris- kittömän sijoituskohteen suhde vaihtelee sijoittajien välillä, riippuen heidän riskinsietokyvystään.
Jos kaikki sijoittavat samaan riskilliseen rahastoon niin mikä on tämä rahasto? CAP-mallin mukaan tämän rahaston tulee olla markkinaportfolio.
Markkinaportfolioon sisältyy kaikki mahdolliset sijoituskohteet. Rahaston tu- lee siis sisältää osakkeita jokaisesta osakekannasta suhteessa osakekannan osuuteen koko markkinoilla.
Kuten aiemmin määriteltiin (1.4), sijoituskohteen paino portfoliossa on sijoituskohteeseen kohdistettu pääoma suhteessa kokonaispääomaan. Mark- kinaportfoliossa sijoituskohteen paino on yhtä kuin kyseisen sijoituskohteen markkina-arvo suhteessa kaikkien sijoituskohteiden markkina-arvoon. Näitä painoja kutsutaan markkina-arvopainoiksi ja näitä merkitään myös termillä wi.
Esitellään tarkka markkinaportfolion määritelmä seuraavasti. Oletetaan, että markkinoilla on olemassa ainoastaan kolme eri osakekantaa: Hieronta Oy, Fysioterapia Oy ja Kuntosali Oy. Näiden kantaosakkeet ja hinnat on esitetty alla taulukossa 1. Markkina-arvopainot ovat siis suhteessa kokonaismarkkina- arvoon eivätkä osakkeiden lukumäärään.
Sijoitus- Kanta- Osakkeet Hinta Markkina- Markkina-
kohde osakkeet suhteessa arvo arvopaino
Hieronta Oy 10 000 1/8 6,00e 60 000e 3/20
Fysioterapia Oy 30 000 3/8 4,00e 120 000e 3/10 Kuntosali Oy 40 000 1/2 5,50e 220 000e 11/20
Yhteensä 80 000 1 400 000e 1
Taulukko 1: Markkina-arvopainot
Tilanteessa, jossa kaikki käyttävät keskiarvo-varianssimallia samoilla pa- rametriestimaateilla, tiedämme optimaalisen portfolion olevan markkinaport- folio, joten ei ole tarvetta ratkaista keskiarvo-varianssiongelmaa, estimoida parametreja tai ratkaista yhtälöryhmää ratkaisun saamiseksi.
Tämä ratkaisu perustuu tasapainoargumenttiin (equilibrium argument).
Sijoituskohteen tuotto riippuu osto- ja myyntihinnasta. Muut sijoittajat rat- kaisevat keskiarvo-varianssiongelman estimaattiensa avulla ja tekevät toi- meksiantoja markkinoille muodostaakseen portfolionsa. Jos toimeksiannot eivät kohtaa saatavuuden kanssa, hintojen on muututtava sen mukaisesti.
Suuren kysynnän alla olevien sijoituskohteiden hinnat nousevat ja pienen kysynnän alla olevien hinnat laskevat. Nämä hintojen muutokset vaikutta-
vat suoraan sijoituskohteiden arvioituun tuottoon, jolloin sijoittajien tulee laskea optimaalinen portfolio uudelleen. Tämä jatkuu niin pitkään kunnes kysyntä vastaa tarjontaa eli kunnes saavutetaan tasapaino.
Tasapainoteoriaa käytetään yleisesti sellaisiin sijoituskohteisiin, joita myy- dään ja ostetaan useaan kertaa ajan kuluessa, kuten osakemarkkinoilla. Yk- sittäiset henkilöt yleensä muokkaavat tuottoarvioitaan hitaasti ja tekevät ker- rallaan vain pieniä muutoksia laskelmiinsa. Tasapainomalleissa tarvitaan vain muutama henkilö, jotka laskevat tämän asianmukaisen tasapainon ja muut sijoittajat seuraavat perässä sijoittamalla markkinaportfolioon.
3.2 Pääomamarkkinoiden suora
Edeltävän päätelmän mukaisesti ainut tehokas portfolio on markkinaportfo- lio, joka voidaan esittäär¯−σ eli keskituotto−keskihajonta -kuvaajassa, jossa M kuvaa markkinaportfoliota. Tehokas joukko koostuu siis yhdestä suorasta, joka lähtee liikkeelle riskittömästä pisteestä rf ja kulkee markkinaportfolion M läpi. Kuvassa 2 esitetty suora on siis pääomamarkkinoiden suora. Tämä suora kuvaa siis odotustuoton ja riskin välistä suhdetta tehokkaille sijoitus- kohteille tai portfolioille. Suoraa kutsutaan myös hinnoittelusuoraksi, koska hintojen tulisi muuttua niin, että tehokkaat sijoituskohteet löytyvät suoralta.
Riskin kasvaessa myös odotustuoton täytyy kasvaa ja tämä suhde voidaan esittää suorana kun riski mitataan keskihajontana. Matemaattisesti pääoma- markkinoiden suora osoittaa, että:
¯
r=rf +r¯M −rf
σM σ, (3.1)
missärf on riskitön korko,r¯M jaσM ovat markkinoiden tuoton odotusarvo ja keskihajonta jar¯jaσovat mielivaltaisen sekä tehokkaan sijoituskohteen tuo- ton odotusarvo ja keskihajonta. Pääomamarkkinoiden suoran kulmakerroin on K = (¯rM −rf)/σM, jota kutsutaan riskin hinnaksi. Se kertoo siis kuin- ka paljon odotustuoton tulisi nousta kun keskihajonta nousee yhden yksikön verran.
Esimerkki 3.1. Sijoittaja X on kärsimätön. Riskitön korkotaso on 6%, ris- killisen markkinaportfolion odotustuotto on 12% ja keskihajonta 15%. Hänen 1 000e pesämunalla kestäisi 61 vuotta kasvaa yli 1 000 000e:n, jos se tuot- taisi markkinoiden odotetulla tuottotasolla. Hän ei kuitenkaan halua odottaa niin pitkään ja haluaa saada tuon 1 000 000e kymmenessä vuodessa.
Hänen tulisi siis saada keskiarvotuotoksi noin 100% per vuosi saavut- taakseen tavoitteensa, koska 1 000e×210 = 1 024 000e. Vastaavasti hänen
Kuva 2: Pääomamarkkinoiden suora [8, s. 176]
vuosittainen keskihajontansa pääomamarkkinoiden suoran mukaan tulisi olla σ, joka toteuttaa yhtälön:
1,0 = 0,06 + 0,12−0,06
0,15 σ⇒σ = 2,35 (3.2)
eli keskihajonnan tulisi olla 235%, joten tälle sijoittajalle ei olisi tiedossa taattua onnistumista.
Esimerkki 3.2. Otetaan esimerkiksi öljynporaus yritys, jonka osakkeen hin- ta on 875eja sen odotetaan olevan yhden vuoden jälkeen 1 000e hintainen.
Porausalueen öljymäärästä ollaan kuitenkin erittäin epävarmoja, joten tuo- ton keskihajonta on 40%. Riskitön korkokanta on tällä hetkellä 10%, mark- kinaportfolion odotustuotto on 17% ja keskihajonta 12%.
Kuinka tämä yritys suoriutuu verrattuna sijoituskohteisiin pääomamark- kinoiden suoralla. Odotustuotto pääomamarkkinoiden suoran avulla ennus- tettuna ja annetulla keskihajonnalla olisi siis:
¯
r= 0,10 +0,17−0,10
0,12 0,40 = 0,33 (3.3) eli 33%. Todellinen odotustuotto on kuitenkin r¯= 1000/875−1 = 0,14 eli 14%, joten öljynporaus yritystä kuvaava piste on selkeästi pääomamarkki- noiden suoran alapuolella eikä näin ollen ole tehokas sijoituskohde.
3.3 Hinnoittelumalli
Pääomamarkkinoiden suora liittää tehokkaan portfolion odotustuoton sen keskihajontaan, mutta se ei näytä kuinka yksittäisen sijoituskohteen odotus- tuotto liittyy sen omaan keskihajontaan. Tämä suhde esitetään CAP-mallin avulla. Esitetään päätulos lauseena.
Lause 3.3. Jos markkinaportfolio M on tehokas niin odotustuotto r¯i mille tahansa sijoituskohteelle i toteuttaa
¯
ri−rf =βi(¯rM −rf) (3.4) missä
βi = σiM
σM2 (3.5)
Todistus. Mille tahansaα, oletetaan, että portfolio koostuu sijoituskohteesta i, johon on sijoitettu osuusαja jäljelle jäävä osuus1−αon sijoitettu markki- naportfolioonM. (Sallitaanα <0, joka vastaa lainan ottamista riskittömällä korkokannalla.) Tämän portfolion odotustuotto on:
¯
rα=α¯ri+ (1−α)¯rM (3.6) ja tuoton keskihajonta on
σα =
√
α2σi2+ 2α(1−α)σiM + (1−α)2σM2 (3.7) Kun α vaihtelee niin nämä arvot muodostavat käyrän r¯−σ kuvaajaan, jo- ka näkyy kuvassa 3. Etenkin, kun α = 0, se vastaa markkinaportfoliota M. Tämä käyrä ei voi ylittää pääomamarkkinoiden suoraa, koska muuten se rik- koisi pääomamarkkinoiden suoran määritelmää, joka on mahdollisen joukon tehokkuuden raja. Kun α kulkee nollan kautta, pääomamarkkinoiden suo- ran täytyy olla käyrän tangenttina. Tätä tangenttiaalisuusehtoa käytetään hyväksi kaavan johtamiseen.
Tangenttiaalisuusehto voidaan kääntää sellaiseksi ehdoksi, että käyrän ja suoran kulmakertoimet ovat yhtä suuret pisteessä M. Tämän ehdon aikaan- saamiseksi lasketaan ensin derivaattoja.
d ¯rα
dα = ¯ri −r¯M (3.8)
dσα
dα = ασ2i + (1−2α)σiM + (α−1)σM2
σα (3.9)
Kuva 3: Portfoliokäyrä [8, s. 178]
Jolloin,
dσα
dα
⏐
⏐
⏐
⏐α=0
= σiM−σM2
σM (3.10)
Seuraavaksi käytetään suhdetta d ¯rα dσα =
d ¯rα
dα dσα
dα
, (3.11)
jotta saadaan
d¯rα
dσα
⏐
⏐
⏐
⏐α=0
= (¯ri−¯rM)σM
σiM−σM2 . (3.12)
Tämän kulmakertoimen tulee olla yhtä suuri kuin pääomamarkkinoiden suo- ran kulmakerroin eli
(¯ri−r¯M)σM
σiM −σ2M = r¯M −rf
σM . (3.13)
Nyt vain ratkaistaan r¯i, jolloin saadaan lopullinen tulos
¯
ri =rf + ¯rM −rf
σM2 σiM =rf +βi(¯rM −rf) (3.14)
Tämä vastaa selvästi aiemmin annettua kaavaa. □
Arvoa βi kutsutaan sijoituskohteen beetaksi, mutta kun sijoituskohde on määrätty niin yleensä se merkitään ilman alaindeksiä. CAP-mallin kaavan käyttämiseksi ainut asia mitä tarvitaan tietää sijoituskohteen riskiominai- suuksista on sen beeta.
Arvo r¯i−rf on sijoituskohteen i odotettu ylimääräinen tuotto eli kuin- ka paljon tuoton odotetaan ylittävän riskitön korkotaso. Samoin r¯M −rf on markkinaportfolion odotettu ylimääräinen tuotto. CAP-mallin mukaan sijoi- tuskohteen odotettu ylimääräinen tuotto on suhteellinen markkinaportfolion odotettuun ylimääräiseen tuottoon, ja tämä suhteellisuuskerroin on β.
Vaihtoehtoinen tapa tulkita CAP-mallin kaavaa perustuu siihen, ettäβon normalisoitu versio sijoituskohteen kovarianssista markkinaportfolion kanssa.
CAP-mallin kaavasta nähdään, että sijoituskohteen odotettu ylimääräinen tuotto on suoraan suhteellinen sen kovarianssiin markkinoiden kanssa, joten tämä kyseinen kovarianssi määrittää tuon odotetun ylimääräisen tuoton.
Esimerkki 3.4. Oletetaan, että sijoituskohde on täysin korreloimaton mark- kinoiden kanssa eli β = 0. Tällöin saadaan CAP-mallin avulla, että r¯=rf. Tämä voi vaikuttaa yllättävältä tulokselta, koska kyseisellä sijoituskohteella voi olla erittäin suuri riskiσ ja odotustuotto on kuitenkin sama kuin riskittö- mällä korkokannalla eikä sillä ole minkäänlaista riskipreemiota. Syy tälle on, että sijoituskohteeseen liittyvä riski on korreloimaton markkinoiden kanssa, jolloin riski voidaan hajauttaa pois. Jos olisi monia tällaisia sijoituskohtei- ta, jotka kaikki olisivat korreloimattomia toisiensa kanssa niin näitä kaikkia voitaisiin ostaa pieniä määriä ja tuloksena saataisiin pieni kokonaisvarians- si. Koska lopullisen yhdistelmän tuoton varianssi olisi pieni, tätä vastaava odotustuotto olisi myös lähellä riskitöntä korkoa rf.
CAP-malli muuttaa sijoituskohteen riskin käsitettä σ:sta β:an. Yleisesti ottaenσon portfolioiden riskin mitta, mutta tämä ei täysin sovi kun kyseessä on yksittäisen sijoituskohteen σ, joten niille sopiva mitta on niiden β.
Esimerkki 3.5. Esitetään kuinka helppoa CAP-mallin kaavalla on laskea odotustuotto. Olkoon riskitön korkotaso rf = 8% ja oletetaan, että markki- noiden odotustuotto on 12% keskihajonnan ollessa15%. Olkoon sijoituskoh- teella kovarianssi0,045 markkinoiden kanssa, jolloin β= 0,045/0,152 = 2,0 ja r¯= 0,08 + 2(0,12−0,08) = 0,16 eli16%
Portfolion beeta on helppo laskea perustuen portfoliossa olevien yksit- täisten sijoituskohteiden beetoihin. Oletetaan, että portfolio sisältää n kpl sijoituskohteita, joiden painot ovat w1, w2, ..., wn ja portfolion tuotto on r=
∑n
i=1wiri. Tällöin cov(r, rM) =∑n
i=1wicov(ri, rM) ja tästä seuraa βp =
n
∑
i=1
wiβi (3.15)
Portfolion beeta on siis painotettu keskiarvo yksittäisten sijoituskohteiden beetoista ja painot ovat samat kuin ne painot mitkä muodostavat portfolion.
Kuva 4: Arvopaperimarkkinasuora [8, s. 182]
3.3.1 Beetan merkitys taloudessa
Beetan käsite on hyvin vakiintunut finanssiyhteisössä ja beeta-arvoja estimoi- daan monien finanssipalvelu -organisaatioiden toimesta. Yleensä nämä beeta- estimaatit on muodostettu aiempien osakekannan hintojen avulla. Yleen- sä odotetaan, että aggressiivisillä ja vaikutusvaltaisilla yrityksillä on suuri beeta-arvo kun taas varovaisemmilla yrityksillä, joiden suoriutuminen ei ole olennaisesti riippuvainen yleisten markkinoiden käyttäytymisestä, odotetaan olevan pieni beeta. Tarkemmin sanottuna beetalla mitataan sijoituskohteen volatiliteettia suhteessa markkinoihin. Kun β > 1, sijoituskohteen volatili- teetti on suurempi suhteessa markkinoihin ja vastaavasti kun β <1, sijoitus- kohteen volatiliteetti on pienempi suhteessa markkinoihin. Tilanteessa, kun β = 1, sijoituskohteen tuotto mukailee markkinoiden liikkeitä ja volatiliteetti suhteessa yhtä suuri. Tämä ei kuitenkaan varsinaisesti takaa mitään, koska beeta-arvokin perustuu historialliseen dataan ja osakkeet voivat saada hy- vin erilaisia odotustuottoja verrattuna markkinoihin, mutta silti osakkeiden ja markkinoiden välinen kovarianssi voi olla sama markkinoiden varianssin kanssa, jolloin saadaan tulokseksi β = 1.
3.4 Arvopaperimarkkinoiden suora
CAP-mallin kaava voidaan esittää graafisessa muodossa kun käsitellään kaa- vaa lineaarisena suhteena ja tätä kutsutaan arvopaperimarkkinasuoraksi. Ku- vassa 4 nähdään kaksi versiota arvopaperimarkkinasuorasta.
Molemmat kuvaavat odotustuoton r¯lineaarista vaihtelua, mutta ensim- mäisessä kuvaajassa se esitetään kovarianssin cov(r, rM) avulla ja toisessa beetan avulla. Kovarianssin avulla esitetyssä kuvaajassa markkinaportfolio-
ta vastaa pisteσM2 ja beetan avulla esitetyssä markkinaportfolio on pisteessä β = 1. CAP-mallin tasapaino-oletusten mukaan kaikkien sijoituskohteiden tulisi sijoittua tälle suoralle.
3.4.1 Systemaattinen riski
CAP-malli sisältää erityisen rakenteellisen ominaisuuden sijoituskohteen tuo- tolle ja tämä ominaisuus antaa käsityksen miksi beeta on tärkein riskin mitta.
Tuloksen saamiseksi tarkastellaan sijoituskohteen i tuottoa
ri =rf +βi(rM −rf) +ϵi (3.16) Tämä on mielivaltainen yhtälö ja satunnaismuuttuja ϵi valitaan niin, että tämä on totta.
Ensimmäiseksi otetaan odotusarvo yhtälöstä (3.16) ja saadaan CAP-mallin mukaan E(ϵi) = 0. Toiseksi otetaan korrelaatio yhtälöstä (3.16) rM:n kanssa käyttämällä βi:n määritelmää, jolloin saadaan cov(ϵi, σM) = 0. Tästä saa- daan
σi2 =βi2σ2M +var(ϵi) (3.17) ja nähdään, että σi2 on kahden osan summa. Ensimmäistä osaa βi2σM2 kut- sutaan systemaattiseksi riskiksi. Tämä riski liittyy markkinoihin kokonai- suudessaan eikä sitä näin ollen pystytä vähentämään hajauttamisella, kos- ka jokainen sijoituskohde, jolla β > 0, sisältää tämän riskin. Toista osaa var(ϵi) taas kutsutaan epäsystemaattiseksi riskiksi. Tämä riski on korreloi- maton markkinoiden kanssa ja sitä voidaan vähentään hajauttamalla. Syste- maattinen riski, jota mitataan beetalla, on kaikkein tärkein, koska se yhdistyy muiden sijoituskohteiden systemaattisen riskin kanssa.
Olkoon sijoituskohde pääomamarkkinasuoralla arvolla β. Tämän sijoi- tuskohteen keskihajonta on σ = βσM ja sillä on ainoastaan systemaattis- ta riskiä eikä ollenkaan epäsystemaattista riskiä. Sen odotustuotto on ¯r = rf+β(¯rM−rf). Oletetaan nyt, että on olemassa kokonainen ryhmä eri sijoi- tuskohteita samallaβ:lla. CAP-mallin mukaan näillä kaikilla on sama odotus- tuotto r. Jos näillä sijoituskohteilla kuitenkin olisi epäsystemaattista riskiä¯ niin ne eivät sijoittuisi pääomamarkkinasuoralle. Epäsystemaattisen riskin kasvaessa pisteet, jotka kuvaavat näitä sijoituskohteitar¯−σ-tasossa ajautu- vat oikealle. Vaakasuuntainen etäisyys pääomamarkkinasuorasta mittaa siis epäsystemaattista riskiä.
3.5 Sijoitusportfolion arviointi
CAP-mallia voidaan käyttää sijoitusportfolion tehokkuuden arviointiin ja nykyisin on käytäntönä käyttää CAP-mallin viitekehystä institutionaalisten
Kuva 5: Sijoitusrahaston ABC 10 vuoden tiedot [8, s. 185]
portfolioiden (kuten eläke- ja sijoitusrahastot) arviointiin. Esitetään pääideat käymällä läpi hypoteettinen esimerkki.
Esimerkki 3.6. Sijoitusrahasto ABC:llä on kymmenen vuoden tiedot tuo- toista, jotka nähdään kuvan 5 taulukossa. Halutaan arvioida tämän rahaston tehokkuutta keskiarvo-varianssi teorian ja CAP-mallin suhteen. Onko kysees- sä hyvä rahasto, jota voitaisiin suositella ja olisiko tämä se yksi tietty rahasto keskiarvo-varianssi sijoittajalle?
Askel 1. Aloitetaan analyysi laskemalla kolme suuretta, jotka nähdään kuvan 5 taulukosta tuottotietojen alta: tuoton keskiarvo, tuoton keskihajon- ta ja tuoton geometrinen keskiarvo. Nämä suureet on estimoitu saatavilla olevien tietojen mukaan.
Yleisesti tuoton keskiarvo on ˆ¯ r = 1
n
n
∑
i=1
ri (3.18)
kun tiedossa on vuosittaiset tuotot ri,i= 1,2, ..., nja tämä toimii todellisen
odotustuoton r¯estimaattina. Keskihajonnan keskiarvo taas on σ=
√ 1 n−1
n
∑
i=1
(ri−r)ˆ¯ 2. (3.19) Lopuksi lasketaan vielä tuoton geometrinen keskiarvo, joka on
µ= [(1 +r1)(1 +r2)· · ·(1 +rn)]1/n−1. (3.20) Geometrinen keskiarvo mittaa todellisen tuotonnvuoden ajalta ja tämä arvo on yleensä hieman pienempi kuin tuoton keskiarvo.
Askel 2. Seuraavaksi hankitaan markkinaportfolion ja riskittömän kor- kokannan tuottojen 10 vuoden tiedot ja käytetään näissä Standard & Poor’s 500 osakekannan sekä yhden vuoden valtion velkasitoumusten tuottoja. Nä- mä löytyvät myös kuvan 5 taulukosta. Lasketaan näille myös tuoton kes- kiarvo, keskihajonta ja geometrinen keskiarvo samoin kuin yllä on esitetty.
Lasketaan ABC rahaston ja S&P 500:n välinen kovarianssi käyttämällä esti- maattia
cov(r, rM) = 1 n−1
n
∑
i=1
(ri−r)(rˆ¯ M i−rˆ¯M). (3.21) Sitten lasketaan beeta kaavalla
β = cov(r, rM)
var(rM) (3.22)
Tästä saadaan tarpeeksi tietoa analyysin tekoa varten.
Askel 3. (Jensenin luku) Kirjoitetaan kaava ˆ¯
r−rf =J +β(ˆr¯M −rf). (3.23) Tämä näyttää CAP-mallin hinnoittelukaavalta (3.4), mutta odotustuotot on korvattu mitatuilla keskiarvotuotoilla ja mukaan on lisätty virhetermiJ, joka on Jensenin luku. CAP-mallin mukaan J-arvon tulisi olla nolla kun käyte- tään todellisia odotustuottoja. J mittaa likiarvoisesti, kuinka paljon ABC:n tehokkuus eroaa teoreettisesta nolla-arvosta. Positiivinen J-arvo oletettavas- ti tarkoittaa, että rahasto on suoriutunut CAP-mallin odotuksia paremmin.
Jensenin luku voidaan osoittaa arvopaperimarkkinasuoralta, kuten ku- vassa 6(a). Rahastolla ABC J > 0, jolloin voitaisiin tehdä johtopäätös, että tämä on erinomainen rahasto, mutta onko tämä kuitenkaan oikea tulkinta.
Poislukien ominaiset ongelmat johtuen lyhyistä rahaston historiatiedois- ta, ei kuitenkaan ole täyttä takuuta päättelylle, että ABC olisi hyvä sijoitus- rahasto. Ei ole selvää, voiko rahastoa käyttää sinä yhtenä tiettynä riskillis- ten sijoituskohteiden rahastona tehokkaassa portfoliossa. On hyvä asia, että
Kuva 6: Tehokkuusluvut ABC rahastolle [8, s. 186]
J >0ja rahasto voi olla hyvä sijoituskohde, mutta se ei kuitenkaan itsessään kerro onko rahasto tehokas.
Askel 4. (Sharpen luku) ABC:n tehokkuuden mittaamiseksi täytyy sel- vittää minne rahasto sijoittuu pääomamarkkinasuoralla. Vain suoralle sijoit- tuvat portfoliot ovat tehokkaita ja teemme tämän seuraavan kaavan avulla
ˆ¯
r−rf =Sσ (3.24)
ArvoS on suoran kulmakerroin, joka on piirretty riskittömän pisteen ja ABC pisteen välille r¯−σ kuvaajassa 6(b) ja S merkitsee Sharpen lukua. Rahas- tolle ABC saadaan S = 0.43577 ja tätä arvoa tulee verrata markkinoiden vastaavaan arvoon, joka on siis S&P 500:lleS = 0.46669. Tämä tilanne esite- tään kuvassa 6(b) ja näin ollen ABC ei ole tehokas saatavilla olevien tietojen perusteella.
Lopuksi todetaan, että voi olla kannattavaa pitää ABC mukana portfo- liossa, mutta itsessään se ei ole tehokas, joten sitä pitäisi täydentää muilla sijoituskohteilla.
4 Faktorimallit
Tarvittavien tietojen määrä, joita tarvitaan keskiarvo-varianssimenetelmän käyttöön, kasvaa huomattavasti kun sijoituskohteiden määrä n kasvaa. Tar- vitaan n keskiarvoa, n varianssia ja n(n − 1)/2 kovarianssia eli yhteensä 2n+n(n−1)/2parametria. Otetaan esimerkiksi, että käsiteltävä joukko si- sältää 1 000 osakekantaa, jolloin tarvittaisiin 501 500 parametria keskiarvo-
varianssimallin muodostamiseksi. Tietojen hankkiminen suoraan on siis sel- keästi valtava tehtävä, joten tarvitaan yksinkertaistettu lähestymistapa.
Sijoituskohteiden tuoton satunnaisuus voidaan kuitenkin usein jäljittää perustavanlaatuisiin satunnaisuuden lähteisiin (faktoreihin), joita on pienem- pi määrä ja ne vaikuttavat yksittäisiin tuottoihin. Faktorimalli, joka esittää faktoreiden ja yksittäisten tuottojen välisen yhteyden, johtaa yksinkertais- tettuun kovarianssimatriisin rakenteeseen ja antaa käsitystä sijoituskohtei- den välillä olevasta suhteesta.
Faktorit tulee valita huolellisesti ja oikea valinta riippuu käsiteltävästä si- joituskohteiden joukosta. Esimerkiksi kaupungin sisällä sijaitseville kiinteis- töille nämä faktorit voisivat olla asukasluku, työllisyysaste ja koulutusbudje- tit tai pörssissä oleville kantaosakkeille osakemarkkinoiden keskiarvo, brut- tokansatuote ja työllisyysaste.
Tässä osiossa esitellään [8] mukaisesti faktorimallin käsite ja kuinka se yksinkertaistaa kovarianssirakenteen.
4.1 Yhden faktorin malli
Vaikka yhden faktorin mallit ovat yksinkertaisimpia faktorimalleja, ne ku- vaavat faktorimallin käsitteen hyvin. Olkoon n kpl sijoituskohteita, jotka on indeksoitu i:llä ja olkoon näiden tuotot ri, i= 1,2, ..., n. Olkoon yksi faktori f, joka on satunnainen määre (kuten osakemarkkinoiden tuotot ajanjaksol- la). Oletetaan, että tuotot ja faktori liittyvät toisiinsa kaavalla
ri =ai+bif+ei, i= 1,2, ..., n (4.1) Tässä yhtälössäai:t ja bi:t ovat määrättyjä vakioita kun taasei:t ovat satun- naisia virhetermejä. Voidaan olettaa, että virhetermien keskiarvo on nolla eli E(ei) = 0, koska mikä tahansa nollasta eroava keskiarvo voitaisiin siirtää ja sisällyttää ai:hin. Oletetaan myös, että virhetermit eivät ole korreloituneita f:n eivätkä toistensa kanssa eliE[(f−f¯)ei] = 0,∀i, jaE(eiej) = 0kuni̸=j.
Nämä ovat ideaalioletuksia eivätkä välttämättä aina ole totta, mutta yleisesti niiden oletetaan olevan totta analyysin tekemisen vuoksi. Myös virhetermien ei varianssit σe2
i oletetaan tunnetuiksi.
Yksittäinen faktorimalli voidaan esittää graafisesti määrittämällä lineaa- rinen sopivuus dataan, kuten kuvassa 7. Tuotosta ri ja faktoristaf on saatu monta itsenäistä havaintoa ja nämä on merkitty kuvaajaan. Molemmat näis- tä saavat satunnaisia arvoja, joten pisteet ovat todennäköisesti hajaantuneet ja suora on sovitettu näiden pisteiden läpi niin, että virheen keskiarvo on nolla. Virhe mitataan pystysuorana etäisyytenä pisteestä suoralle.
Kuvaa 7 voidaan katsoa kahdella eri tavalla. Ensimmäisessä tavassa voi- daan piirtää mallin (4.1) mukainen suora ennen varsinaisten pisteiden mää-
Kuva 7: Yhden faktorin malli [8, s. 199]
rittämistä. Jos uskomme tähän malliin, uskomme myös, että seuraavaksi saa- mamme pisteet tulevat asettumaan samantapaiseen muodostelmaan kuin ku- vaajassa. Toisessa tavassa pisteet ovat valmiina ja sovitamme suoran näiden pisteiden mukaisesti, mutta kun piirrämme suoran niin uskomme, että lisä- data sekä -pisteet tulevat tukemaan tätä mallia ja asettumaan samaan muo- dostelmaan alkuperäisten pisteiden kanssa.
Käytettäessä sovitusmenetelmää sijoituskohteista muodostuviin joukkoi- hin, käytetään sitä erikseen jokaiseen sijoituskohteeseen. Jokaiselle sijoitus- kohteelle i saadaan siis ai- ja bi -arvot.ai -arvot ovat leikkauspisteitä, koska ai on sijoituskohteen i suoran ja pystyakselin leikkauspiste. bi -arvoja kut- sutaan faktorilatauksiksi (factor loadings), koska ne mittaavat tuoton herk- kyyttä faktoriin.
Käytettäessä yhden faktorin mallia tarvittavat parametrit voidaan laskea suoraan keskiarvo-varianssianalyysiä varten tästä mallista seuraavasti:
¯
ri =ai+bif¯ (4.2)
σi2 =b2iσf2+σ2e
i (4.3)
σij =bibjσf2, i̸=j (4.4) bi =cov(ri, f)
σf2 (4.5)
Näistä yhtälöistä nähdään, että yhden faktorin mallissa tarvitaan ainoas-
