HEMEXEMPEL I, Matematik III, 19.3.2009. Inlämnas senast 26.3.2009 kl. 13
1. Komponenterna k
1, ..., k
ni figurerna nedan är reläer, som antingen är tillslagna eller frånslagna. Vi defi- nierar en händelse A
i, i = 1, ..., n, med beskrivningen "reläet k
iär tillslaget" och en händelse L med besk- rivningen "systemet leder ström".
L innbär alltså att det finns en ledande förbindelse från vänster till höger genom systemet där. Beskriv händelsen L för fallen a), b) och c) med hjälp av händelserna A
ioch mängdlärans symboler. Beräkna inga sannolikheter.
a) b) c)
2. a) Beräkna sannolikheten för en händelse A, om A och B är oförenliga händelser och sannolikheten för B är 0,25 och sannolikheten för unionhändelsen A eller B är 0,62.
b) Vi har två händelser: C och D. Beräkna sannolikheten för att både C och D skall inträffa, om sannolik- heten för C är 0,40 och sannolikheten för D är 0,50, samt sannolikheten för att C eller D eller båda skall inträffa är 0,60.
3. Vi produktionen av en vara får, oberoende av varandra, 2,0% av produkterna fel vikt, 1,1% får fel färg, 0,3% får fel längd och 0,1 % får fel bredd. Vilken är sannolikheten att en slumpvis uttagen produkt är felfri?
4. a) Ur en urna med tre vita och fyra svarta kulor drar men slumpmässigt två kulor utan återläggning. Be- räkna sannolikheten att man får en kula av var färg.
b) Ur en urna med tre vita och fyra svarta kulor drar men slumpmässigt två kulor med återläggning. Be- räkna sannolikheten att man får en kula av var färg.
5. I en strömkrets finns tre reläer enligt figuren till höger. Vid en godtycklig tidpunkt är ett betraktat relä slutet med sannolikheten 0,5. Detta gäller vart och ett av de tre reläen, och det gäller oberoende av de andra reläen. Vilken är sannolikheten att strömmen kan gå från A till B vid någon slumpmässigt vald tidpunkt.
Bonusuppgift (1 p): Betrakta kopplingsschemat till höger. Varje streck betecknar en ledare och varje ruta ett relä som kan vara till- eller frånslaget. Antag att vart och ett av de sju reläerna är till- slaget med sannolikheten p och att reläerna arbetar oberoende av varandra. Beräkna sannolikheten att punkterna S och T står i för- bindelse med varandra.
Beklagar, det blev litet mycket reläuppgifter.
S
T
ÅBO AKADEMI
TEKNISKA FAKULTETEN TORE GUSTAFSSON
k
1k
n... k
1... k
nk
3k
5k
2k
4k
1r2
A r3 B
r1
Vänd!
Texten till hemexemplen utges på torsdag och lösningarna bör inlämnas följande vecka senast på torsdag kl.13.00. Hemexemplen inlämnas i lådan som märkts "Mat III&IV" i 3:e våningen i Axelia. Inlämnade hemexempel utges vid föreläsningen på tisdag och kan senare avhämtas från föreläsaren, rum 380 i 3:e våningen i Axelia. Texterna till hemexemplen kan även kopieras från kursens webbsida: https://www.abo.fi/reglerteknik → Kursinfo → Matematik III .
Lösningarna skall innehålla korrekta matematiska beteckningar enligt kompendiet och i alla lösningar bör förekomma hänvisnin- gar till vilken teori som används. Alla händelser skall betecknas med bokstäver och definieras entydigt, antingen med ord eller med hjälp av andra händelser och mängdlärans beteckningar (∪, ∩ osv). Detsamma gäller för stokastiska variabler, men dessa modelleras med hjälp av analysens beteckningar (+, − , ⋅ osv). Observera att ord och meningar inte kan förekomma i matematiska formler.
Hemexemplen bör vara prydligt skrivna på konceptpapper eller hopstiftade A4-ark. Lösa blad och ark fästa med gem är inte tillåtna (gemen flyger iväg vid sorteringen). Papper utrivna ur ett häfte är inte heller tillåtna. Hemexempel inlämnade med e-post accepteras endast om formatet är pdf och alla beteckningar är skrivna på ett korrekt matematiskt sätt i enlighet med kompendiets beteckningar. Följ sedvanliga regler för hur men skriver matematiska formler: http://web.abo.fi/fak/tkf/studier/studierad/Formelre- cept.pdf. Acceptabla hemexempel inlämnade med e-post skrivs ut på papper av föreläsaren och delas ut på konventienellt sätt.
Hemexemplen genomgås av föreläsaren. Målsättningen är att åtminstone hälften av de inlämnade hemexemplen genomgås noggrant och återlämnas med detaljerade kommentarer medan resten genomgås schematiskt och endast poängsätts.
Varje uppgift ger högst en poäng. Uppgifterna behöver inte vara korrekt lösta för att ge poäng. Poäng ges för "ärliga försök", vilket förutsätter att studenten även har bekantat sig med teorin och att lösningen är åtminstone delvis vettig. Samarbete rekommen- deras, men avskrifter tolereras inte. För sent inlämnade uppgifter beaktas inte. Om studenten är förhindrad att lämna in hemexemplen i tid bör detta diskuteras med föreläsaren.
Hemexemplen ger en möjlighet för föreläsaren att ge direkt feeback till studenterna. Detta gäller speciellt kommentarer om ovanliga lösningar, frågor om beteckningar eller speciella fel, som inte direkt behandlas vid genomgången av hemexemplen. Det är viktigt att studenterna även går igenom sina korrigerade hemexempel. Därför räknas poängen från hemexemplen tillgodo först då studenten har tagit emot de korrigerade hemexemplen. En lista med poäng från hemexempeln kommer upp på matematikens anslagstavla i Axelias 3:e våning. En lista publiceras även på kursens webbsida.
Hemexemplen är obligatoriska. 2/3 av hemexemplen bör vara godkända (= ärligt försök) innan kursen kan tenteras.
Bonusuppgiften räknas inte in i de obligatoriska uppgifterna, men poängen för bonusuppgiften räknas in i totala poängsumman.
Avsikten är att bonusuppgiften skall vara av en litet högre svårighetsgrad än övriga uppgifter. För att få poäng för bonusuppgiften krävs att den är i det närmaste korrekt löst.
