Potenssien vaihdannaisuudesta ja liit˜ann˜aisyydest˜a

Potenssien vaihdannaisuudesta ja liit¨ ann¨ aisyydest¨ a

Lajos L´oczi

E¨otv¨os Lor´and -yliopisto, Unkari

Yhteen- ja kertolasku noudattavat molemmat vaihdan- talakia

a+b=b+ajaa·b=b·a ja liit¨ant¨alakia

(a+b) +c=a+ (b+c) ja (a·b)·c=a·(b·c) kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c. Potenssiin korotus ei kuitenkaan ole vaihdannainen eik¨a liit¨ann¨ainen, sill¨a yleens¨a

a^b6=b^a jaa^(bc)6= (a^b)^c.

T¨ast¨a huolimatta yht¨asuuruus saattaa olla voimassa tietyiss¨a tapauksissa. Tarkoituksemme on l¨oyt¨a¨a kaikki positiiviset reaalilukuparit (x, y) ja kolmikot (x, y, z), jotka t¨aytt¨av¨at ehdot

(1) x^y =y^x

ja vastaavasti

(2) x^(yz)= (x^y)^z.

Tutkimme n¨aiden yht¨al¨oiden rationaaliluku- ja reaali- lukuratkaisuja.

Vaihdannaisuus

Aluksi haluamme l¨oyt¨a¨a positiivisen reaalilukuratkai- sun tapaukseen (1). (Rajoitumme vain positiivisiin rat- kaisuihin, sill¨a potenssiin korotukset eiv¨at ole yleisesti m¨a¨ariteltyj¨a negatiivisille reaaliluvuille. My¨osk¨a¨an ti- lanne, jossa muuttujat ovat nollia, ei kiinnosta meit¨a.) Yritet¨a¨an aluksi arvata joitain ratkaisuja. L¨oyd¨amme pian ratkaisunx= 2 jay = 4 (tai p¨ainvastoin). Koska (1):ll¨a ei n¨ayt¨a olevan muita positiivisia kokonaisluku- ratkaisuja, kokeilemme joitain neli¨o- ja kuutiojuuria.

Jos olemme onnekkaita, keksimme ratkaisunx=√ 3 ja y= 3√

3 , sill¨a (3√

3)^√3= (√

3³)^√3=√ 3³

√3

. Asian ydin on, ett¨a 3√

3 voidaan kirjoittaa my¨os√ 3³. Jos tutkimme asiaa edelleen, osumme pariinx=√³

4 ja y= 4·√³

4, joka on ratkaisu, sill¨a (4·√³

4)^√34= (√³

4⁴)^√34=√³ 4^4·

√3

4.

T¨all¨a kertaa yht¨asuuruus 4·√³ 4 = √³

4⁴ on avainase- massa. Havaitsemme, ett¨a olennaisesti kaikissa esimer- keiss¨a vallitsee tilanne y =vx ja vx=x^v. L¨ahdemme etenem¨a¨an t¨ast¨a seikasta.

Uuden muuttujan k¨ aytt¨ o¨ onotto

Esit¨amme y:n muodossay =vx, miss¨a v on reaalilu- kumuuttuja, eli asetammev= ^y_x >0. Silloin (1) tulee muotoon

(vx)^x=y^x=x^y=x^vx= (x^v)^x.

T¨ass¨a jokainen termi on positiivinen, joten jos koro- tamme yht¨al¨oketjun oikean- ja vasemmanpuoleisim- man osan potenssiin _x¹, saamme ratkaisuna relaation vx=x^v. Kertomalla_x¹:ll¨a saammev=x^v−1. Josv6= 1, eli x 6= y, niin korottamalla potenssiin _v−¹₁ saamme x=v^v−11 . Vastaavastiy:lle saadaan

y=vx=v·v^v−11 =v^v−11+1=v^v−v1 =x^v. Josv= 1, niinx=y.

Muuttujallexsaatu muoto esiintyy my¨ohemmin useita kertoja, joten asetammeh(v) =v^v−11. Funktionhm¨a¨a- rittelyalue on positiivisten reaalilukujen joukko, josta on poistettu 1, ja sen arvojoukko on positiivisten reaa- lilukujen osajoukko.

Meill¨a on nyt mahdolliset ratkaisut, jotka ovat itse asiassa ratkaisut yht¨al¨olle (1): josv= 1 jaxon mieli- valtainen positiivinen reaaliluku, niiny=xon selv¨asti triviaali ratkaisu. Josv6= 1, niinx=h(v) jay=v·h(v) ovat ei-triviaalit ratkaisut, sill¨a kuten juuri havaitsim- me,y=vx=x^v jay^x= (x^v)^x=x^vx=x^y.

Ensimm¨aisen tuloksen saatiin asettamalla kaikki posi- tiiviset reaaliratkaisut (x, y) yht¨al¨ollex^y =y^xmuotoon (x, x) ja (h(v), v·h(v)) (x >0,v >0,v6= 1).

Funktiolla h on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Jos v > 0 ja v 6= 1, niin h(v) on arvo, joka kerrottuna v:ll¨a tai korotettuna potenssiinvtuottaa saman tulok- sen:v·h(v) =h(v)^v, kuten olemme todistaneet. Toinen funktionaaliyht¨al¨o, jonkahtoteuttaa, onv·h(v) =h(¹_v) tai yht¨apit¨av¨astih(v) = ¹_v·h(_v¹), kuten on helposti tar- kistettavissa.

T¨ast¨a seuraa esimerkiksi, ett¨a ei-triviaalit ratkaisut voidaan kirjoittaa my¨os muotoon (h(v), h(¹_v)). N¨ain ol- len ratkaisu (x, y) on muunnettavissa ratkaisuksi (y, x) sijoituksellav7→ ¹v.

Funktiohei ole m¨a¨aritelty arvollev= 1. Voidaan kui- tenkin osoittaa, ett¨a se on aidosti v¨ahenev¨a ja

v→1limh(v) =e

(miss¨ae= 2,71828. . . on luonnollisen logaritmin kan- taluku).

Kuva 1.h(v) =v^v−11.

Hieman analyysi¨ a

Nyt haluaisimme saada (1):n ratkaisuista kuvan. Tri- viaaliratkaisut (y = x, kun x, y > 0) muodostavat xy-tason ensimm¨aisen nelj¨anneksen puolittajan. Ei- triviaaliratkaisut eiv¨at kuitenkaan ole tavallista muo- toa y = f(x), koska y:t¨a ei ole ilmaistu suoraan x:n avulla, vaan sek¨axett¨ay ovat molemmat parametrin v funktioita. V¨ahint¨a¨ankin n¨ahd¨a¨an, ett¨a jokaista h:n arvojoukkoon kuuluvaax:¨a¨a kohti on olemassa t¨asm¨al- leen yksi sellainen y, y 6= x, siten ett¨a x^y = y^x. T¨a- m¨a merkitsee funktion f : x7→ y olemassaoloa. T¨at¨a funktiota k¨aytt¨aen ei-triviaalit ratkaisut voidaan kir- joittaa muotoon (x, f(x)): josh⁻¹merkitseeh:n k¨a¨an- teisfunktiota (joka on olemassa aidon monotonisuuden takia), niinx=h(v) merkitsee, ett¨av =h⁻¹(x) ja t¨a- ten (h(v), v·h(v)) = (x, h⁻¹(x)·x) on se mit¨a vaadim- me (kun f(x) =x·h⁻¹(x)). T¨am¨a k¨asittely ei kuiten- kaan anna lis¨ainformaatiota, koska v:n ratkaiseminen lausekkeestax=h(v) – funktionh⁻¹ m¨a¨aritt¨aminen – ei n¨ayt¨a mahdolliselta alkeisfunktiota k¨aytt¨aen.

Tutkimme nyt funktioiden h(v) ja v·h(v) k¨aytt¨ayty- mist¨a parametriesityksess¨a, josta pystymme luonnos- telemaan ei-triviaaliratkaisujen kuvaajan. Esitt¨am¨all¨a t¨am¨a k¨ayr¨a yhdess¨a triviaaliratkaisujen k¨ayr¨an kanssa samassa koordinaatistossa saamme yht¨al¨on (1) t¨aydel- lisen positiivisen reaalilukuratkaisun.

Tarvitsemme funktion raja-arvon ja derivaatan k¨asit- teit¨a (yhdess¨a joidenkin tunnettujen raja-arvojen kans- sa), joten n¨am¨a todistukset j¨atet¨a¨an tekem¨att¨a tai ai- noastaan luonnostellaan. Hieman yksinkertaistaaksem- me – ja n¨ahd¨aksemme muutamia muita mukavia re- laatioita – otamme j¨alleen k¨aytt¨o¨on uuden muuttujan:

parametrisoimme uudelleen koordinaattifunktiomme.

Merkitk¨o¨onu h(v):n eksponenttia eli olkoon u= _v−¹₁. Silloinv= 1+¹_u. T¨at¨a uutta muuttujaa k¨aytt¨aen saam- me kaksi funktiotamme muotoon

h(v) = µ

1 + 1 u

¶u

jav·h(v) = µ

1 + 1 u

¶u+1

.

Kutsutaan n¨ait¨a uusia funktioita vastaavastig1(u):ksi jag2(u):ksi. On helppo n¨ahd¨a, ett¨ag1:n jag2:n kuvaa- jat ovat toistensa peilikuvia suoranx=−¹2suhteenxy- tasossa, koska x-akselin pisteen ukuva t¨ass¨a peilauk- sessa on (−u−1) ja sijoitusu7→(−u−1) muuttaag1:n g2:ksi, koskag1(−u−1) =g2(u) jag2(−u−1) =g1(u).

Riitt¨a¨a siis, kun tutkitaan funktiota g1. Vastaavan funktion g2 ominaisuudet ovat t¨am¨an j¨alkeen helpos- ti johdettavissa. Koska v k¨ay l¨api positiiviset reaalilu- vut, lukuun ottamatta lukua 1, on helppo n¨ahd¨a, et- t¨a sijoituksen j¨alkeen u k¨ay l¨api v¨alin R\[−1,0]. T¨a- m¨a on siisg1:n m¨a¨arittelyalue. Funktiong1k¨aytt¨ayty- minen m¨a¨arittelyalueen p¨a¨atepisteiss¨a saadaan k¨aytt¨a- m¨all¨a seuraavia tunnettuja raja-arvoja: lim

u→+∞g1(u) = e alhaalta ja lim

u→0+g1(u) = 1 ylh¨a¨alt¨a, koska sijoitus ω = _u¹ muuttaa sen raja-arvoksi lim

ω→+∞

√ω

ω+ 1. Edel- leen lim

u→−1−g1(u) = +∞, koska kantaluku l¨ahestyy nol- laa yl¨apuolelta, kun eksponentti l¨ahestyy lukua−1. Lo- pulta lim

u→−∞g1(u) =e yl¨apuolelta. T¨am¨an n¨akee, kun tekee sijoituksen ω=−u. Funktiog1 on jatkuva m¨a¨a- rittelyalueellaan. Voidaan todistaa, etta se on aidosti kasvava v¨aleill¨a (−∞,−1) ja (0,+∞). Sen kuvaaja on esitetty kuvassa 2.

Kuva 2.g1(u) =¡ 1 + ¹_u¢^u

.

Nyt olemme valmiit piirt¨am¨a¨an ei-triviaalit ratkaisut parametrisoinnilla (g1(u), g2(u)), u ∈R\[−1,0]. Ne on esitetty kuvassa 3. Luonnollisesti t¨am¨a on yht¨apit¨a- v¨a¨a alkuper¨aisen parametrisoinnin (h(v), v·h(v)), (v >

0, v 6= 1) kanssa. Kun u kasvaa −∞:sta −1:een, pis- teet (g1(u), g2(u)) m¨a¨aritt¨av¨at alemman oikeanpuolei- sen kaaren kuvaajassa, koska ensimm¨ainen koordinaat- ti kasvaa e:st¨a +∞:¨a¨an, toisen v¨ahetess¨a aidosti e:st¨a 1:een. K¨a¨ant¨aen, kun u kasvaa 0:sta +∞:¨a¨an, pis- teet (g1(u), g2(u)) kuvaavat ylemm¨an vasemman osan kaaresta, koska ensimm¨ainen koordinaatti kasvaa 1:st¨a e:hen ja toinen koordinaatti v¨ahenee +∞:st¨ae:hen. 45^◦ kulmassa oleva suora, kuten jo tied¨amme, tulee triviaa- leista ratkaisuista. T¨aten kuva 3 sis¨alt¨a¨a kaikki positii- viset parit (x, y), joissa vastaavat potenssit ovat vaih- dannaisia. Ratkaisujen symmetrisyys ilmenee kuvaajan

symmetrisyydess¨a suhteessa suoraan y =x. Triviaalit ja ei-triviaalit ratkaisut kohtaavat pisteess¨a (e, e).

Kuva 3.

Joitakin yksinkertaisia seurauksia

Edell¨a tehty analyysi tarkoittaa esimerkiksi, ettei po- tenssi ole vaihdannainen, jos kantaluku ja eksponent- ti ovat eri lukuja ja suuruudeltaan alle 1, koska ei- triviaalitapauksessag1:n ja g2:n molempien arvot ovat

> 1. Samoin jos x, y > e ja x 6= y, niin yht¨al¨oll¨a x^y = y^x ei ole ratkaisuja. Lis¨aksi parametriesityksen korvaus lausekkeessax^y tuottaa lausekkeen

h(v)^v·h(v)=v^v

v v−1 v−1 .

Voidaan todistaa, ett¨a t¨am¨an funktion arvojoukko on v¨ali (e^e,+∞), mik¨a merkitsee esimerkiksi, ett¨a josx^y<

e^ejax6=y, niinx^y 6=y^x.

Kokonais- ja rationaalilukuratkaisut

Positiivisen reaalilukuratkaisun j¨alkeen siirryt¨a¨an tar- kastelemaan yht¨al¨on x^y = y^x niit¨a ratkaisuja, jotka ovat kokonais- tai rationaalilukuja. On olemassa tri- viaaliratkaisuja – jokaisella kokonais- tai rationaalilu- vulla x, kun x > 0 ja y = x ovat sopivasti valittuja – ja ei-triviaaliratkaisuja. Kokonaislukuratkaisut voi- daan p¨a¨atell¨a k¨aytt¨am¨all¨a kuvan 3 kuvaajaa: ylempi haara sis¨alt¨a¨a ainoastaan kokonaislukukoordinaattisen pisteen (x, y) = (2,4), koska ensimm¨ainen koordinaat- ti t¨aytt¨a¨a ehdon 1 < x < e, kun taas tiedosta e <3 seuraax= 2 (ja vastaavastiy= 4). Symmetriasta joh- tuen ainoa kokonaislukkukoordinaattinen piste alem- malla haaralla on (4,2). N¨am¨a ovat (1):n kokonaisluku- ratkaisut.

Jotta saataisiin rationaalisia ratkaisuja, niin paramet- rin v arvot on m¨a¨ar¨att¨av¨a sellaisiksi, ett¨a molemmat parin (h(v), v·h(v)) j¨asenist¨a ovat positiivisia ratio- naalilukuja. Jos h(v) ja v·h(v) ovat rationaalilukuja,

niin my¨os v:n on oltava rationaaliluku, koska h(v) on positiivinen. Voimmekin oletettaa, ett¨a v = ^p_q, miss¨a p ja q ovat yhteistekij¨att¨omi¨a positiivisia kokonaislu- kuja. Ep¨atriviaaleja ratkaisuja etsitt¨aess¨a t¨aytyy olla v 6= 1 ja p 6= q. Jos sijoitetaan v 7→ v¹, niin vain x ja y vaihtuvat kesken¨a¨an, joten on tarpeellista tutkia vain tapausta v > 1 (tai yht¨apit¨av¨asti p > q). T¨am¨a tarkoittaa kuvan 3 kuvaajan ylemm¨an vasemman haa- ran tutkimista. Olkoonp > q >1. Sijoittamalla ^p_q =v saadaan

h(v) = (p q)^p−qq.

Kun m=p−q, niin m >1 on kokonaisluku. Osoite- taan ensin, ett¨a jos m > 1, niin h(^p_q) = ^mq

p^q q^q ei voi olla rationaaliluku. Koska p:ll¨a ja q:lla ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, niin murtoluku ^p_q^qq on sievennetyss¨a muodos- sa. T¨allaisen murtoluvunm:s juuri voi olla rationaali- nen vain, jos sek¨a osoittaja ett¨a nimitt¨aj¨a ovatm:nsi¨a potensseja.

Olkoon ^mp_r

s= ^a_b, miss¨ar, sjaa, bovat kesken¨a¨an jaot- tomia lukuja (voidaan olettaa, ett¨a r, s, a, b >0). T¨al- l¨oin on voimassa ^r_s= ^a_b^mm ja edelleena^mjab^movat kes- ken¨a¨an jaottomia. Koska supistettu muoto rationaali- luvuista on yksik¨asitteinen (osoittaja ja nimitt¨aj¨a ovat positiivisia), p¨a¨attelemme, ett¨ar jasovat m. potens- seja.

N¨ain ollen – kun tehd¨a¨an vastaoletus, ett¨ah(^p_q) on ra- tionaalinen – on voimassap^q =a^mjaq^q =b^m. Nytq:lla jam:ll¨a ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, koskap=q+mjap:n jam:n suurin yhteinen tekij¨a on 1, mist¨a seuraa, ett¨a pja q ovat m:nsi¨a potensseja. Lopuksi otetaan mieli- valtainen lukup:n alkulukuhajotelmasta. Jos sen eks- ponenttia merkit¨a¨ank:lla, niin sen eksponenttip:n ha- jotelmassa onp^q =k·q, joka on jaollinenm:ll¨a. Koska m:n jaq:n suurin yhteinen tekij¨a on 1, huomataan, ett¨a kon jaollinenm:ll¨a, ja siksiponm:s potenssi. Samalla tavalla osoitetaan, ett¨a my¨osq onm:s potenssi.

Nyt yht¨asuuruusm=p−qei voi olla voimassa, koska kahdenm:nnen eri potenssin erotus on suurempi kuin m. Jos nimitt¨aint1> t2>0 ovat kokonaislukuja, niin t^m₁ −t^m₂ = (t1−t2)(t^m₁⁻¹+t^m₁⁻²t2+...+t1t^m₂⁻²+t^m₂⁻¹), ja oikea puoli on suurempi kuin (t1−t2)·m·t^m₂⁻¹, joka on v¨ahint¨a¨an yht¨a suuri kuinm.

Olemme siis osoittaneet, ett¨a josm=p−q >1, niin h(^p_q) on irrationaalinen.

Tapauksessa m = 1 (ts. p = q+ 1) h(v) = (^q+1_q )^q on selv¨asti rationaalinen. T¨all¨oinv·h(v) = (^g+1_q )^q+1. K¨aytt¨am¨all¨aq:n sijastan:¨a¨a saadaan rationaaliratkaisu

x= (1 + 1

n)ⁿ jay= (1 + 1 n)ⁿ⁺¹,

tai p¨ainvastoin, kokonaisluvuillan≥1. (Josn= 1, niin kaava antaa jo l¨oydetyn kokonaislukuratkaisunx= 2 ja

y= 4.) N¨ain ollen n¨am¨a ratkaisut ovat ne k¨ayr¨an (kuva 3) pisteet, joissa molemmat koordinaatit ovat rationaa- lilukuja.

Kyseiset jonot x= (1 + _n¹)ⁿ ja y = (1 + _n¹)ⁿ⁺¹ ovat t¨arkeit¨a reaalianalyysiss¨a, koska ne l¨ahestyv¨at lukuae, kunn→+∞: t¨am¨a vakio m¨a¨aritell¨a¨an yleens¨a n¨aiden jonojen raja-arvona. Olemme n¨aytt¨aneet toteen niiden er¨a¨an toisen mielenkiintoisen ominaisuuden, nimitt¨ain sen, ett¨a niiden toisiaan vastaavat termit ovat ainoat (positiiviset ja erisuuret) rationaaliluvut, joille potens- sitx^y jay^x ovat vaihdannaisia.

Toisenlainen l¨ ahestymistapa

Lopuksi esitet¨a¨an toisenlainen l¨ahestymistapa, jolla saadaan tietoa yht¨al¨onx^y=y^x ratkaisuista. Jos koro- tetaan yht¨al¨on molemmat puolet potenssiin _xy¹ (x, y >

0), saadaan x^1x = y^1y, mik¨a edellytt¨a¨a saman funk- tion (ei v¨altt¨am¨att¨a eri muuttujien) kahden arvon yh- t¨asuuruutta: alkuper¨ainen yht¨al¨o on yht¨apit¨av¨a yht¨a- l¨onf(x) =f(y) kanssa, kun f(t) =t^1t,t >0.

Saamme triviaaliratkaisun, kun x=y. Kysymys kuu- luukin, voiko yht¨al¨o p¨ate¨a, kunx6=y? Analyysi¨a jat- kamalla osoitetaan (k¨aytt¨am¨all¨a raja-arvoa ja funk- tion monotonisuutta), ett¨a funktio f on v¨alill¨a (0,1) bijektio ja kuvaa v¨alit (1, e) ja (e,∞) v¨alille (1, e^1e).

(Fuktio on aidosti kasvava v¨alill¨a (1, e) ja aidosti v¨a- henev¨a v¨alill¨a (e,∞).) Funktion f jatkuvuuden avul- la voidaan osoittaa, ett¨a alkuper¨aisell¨a yht¨al¨oll¨a on ei- triviaaliratkaisuja: jokaista 1 < x < e kohti on ole- massa t¨asm¨alleen yksi y (e < y < +∞) siten, ett¨a f(x) = f(y), ja k¨a¨ant¨aen jokaista e < x < +∞ kohti on olemassa t¨asm¨alleen yksi y (1 < y < e) siten, ett¨a f(x) =f(y), katso kuva 4. Josx∈(0,1] taix=e, vain y=xantaa tuloksen f(x) =f(y).

Yhteenvetona, jos x ∈ (0,1] tai x = e, niin on ole- massa yksik¨asitteinen y, kun taas jos x ∈ (1, e) tai x ∈ (e,+∞), niin on olemassa kaksi y:t¨a siten, ett¨a x^y =y^x. T¨all¨a l¨ahestymistavalla saadaan selville hel- posti ratkaisujen m¨a¨ar¨a, mutta ei itse ratkaisuja.

Kuva 4.f(t) =t^1t.

Liit¨ ann¨ aisyys

Tarkoituksena on m¨a¨aritt¨a¨a kaikki ne positiiviset luvut x, y, z, joille on voimassa

(x^y)^z=x^(yz).

Yht¨al¨on vasen puoli on selv¨asti sama kuin x^yz. Jos x 6= 1, niin saadaan yz = y^z. T¨am¨an yht¨al¨on saim- me juuri vaihdannaisessa tapauksessa. Jos z = 1, niin jokainen positiivineny on ratkaisu, muulloiny=h(z).

T¨am¨an vuoksi saamme ratkaisuiksi kaikki positiiviset luvutx, y, z, joiden potenssit t¨aytt¨av¨at seuraavat ehdot (katso kuva 5):

(1, y, z), miss¨ay, z >0, (x, y,1), miss¨ax, y >0, x6= 1,

(x, h(z), z), miss¨ax, z >0, x6= 1, z6= 1.

Kuva 5.

Kokonais- ja rationaalilukuratkaisut

Vaihdannaisen tapauksen tutkimisesta saatiin tulok- sena rationaaliratkaisut. L¨ahtem¨all¨a reaalilukuratkai-

suista p¨a¨adyt¨a¨an siihen tulokseen, ett¨a positiiviset ra- tionaalilukupotenssit ovat liit¨ann¨aisi¨a, jos kolmikko (x, y, z) kuuluu johonkin seuraavista luokista:

(1, y, z), miss¨ay, z >0 ovat rationaalilukuja,

(x, y,1), miss¨ax, y >0, ovat rationaalilukuja, x6= 1, µ

x, µ

1 + 1 n

¶n

,n+ 1 n

¶

, miss¨a 0< x6= 1 on rationaaliluku janpositiivinen kokonaisluku, Ã

x, µ

1 + 1 n

¶n+1

, n n+ 1

!

, miss¨a 0< x6= 1

on rationaaliluku janon positiivinen kokonaisluku.

Kaksi ensimm¨aist¨a tapausta ovat triviaaleja. Kaksi j¨al- kimm¨aist¨a johtuvat ratkaisuista (x, h(z), z), koska vaih- dannaisessa tapauksessa on koottu yhteen kaikki ratio- naaliluvutv, joilla h(v) on my¨os rationaaliluku. (Kor- vaa v nyt z:lla.) Silloin havaitsemme, ett¨a jos v = ^p_q, kunp > q≥1 jap, qovat kokonaislukuja, niinh(v) on rationaalinen, jos ja vain josp=q+ 1, mik¨a johtaa kol- manteen tapaukseen (kun korvataanq n:ll¨a ja sallitaan my¨os, ett¨a q = 1). Lopuksi, jos j¨alleen v = ^p_q, mutta t¨all¨a kertaa p > q ≥ 1, niin vaihdannaisen tapauksen todistus on oikea, kun vaihdetaanpja q kesken¨a¨an ja saadaan ainoaksi mahdollisuudeksiq=p+ 1. T¨am¨a on kuvattu nelj¨annell¨a rivill¨a. (Tapausp=qon jo k¨asitel- ty yll¨a, koska t¨ass¨az6= 1.)

Samoin kuin kokonaislukuratkaisuissa kolmas rivi yl- h¨a¨alt¨a antaa kokonaislukuratkaisuja vain, jos n = 1, mutta viimeinen rivi ei koskaan, joten yht¨al¨on (2) po- sitiiviset kokonaislukuratkaisut ovat seuraavassa:

(1, y, z), miss¨ay, z >0 ovat kokonaislukuja, (x, y,1), miss¨ax, y >0 ovat kokonaislukuja, x6= 1, (x,2,2), miss¨ax >1 on kokonaisluku.

L¨ahde:K¨oMaL,http://www.komal.hu.

Artikkelin k¨a¨ant¨amiseen ja Solmussa julkaisuun on saatu lupa sek¨a lehdelt¨a ett¨a artikkelin kirjoittajalta.

K¨a¨ann¨os ja ladonta:Anneli KetolajaAnja Koistinen