Calculation of zero sequence currents induced by parallel line load currents in the main grid

Jussi Rantanen

RINNAKKAISJOHTOJEN KUORMITUSVIRTOJEN AIHEUTTAMIEN NOLLAVIRTOJEN MÄÄRITYS KANTAVERKOSSA

Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi- insinöörin tutkintoa varten Espoossa 04.12.2006

Työn valvoja Liisa Haarla

Työn ohjaaja Jarmo Elovaara

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Diplomityön tiivistelmä Tekijä: Jussi Rantanen

Työn nimi: Rinnakkaisjohtojen kuormitusvirtojen aiheuttamien nollavirtojen määritys kantaverkossa.

Päivämäärä: 04.12.2006 Sivumäärä: 90

Osasto: Sähkö- ja tietoliikennetekniikka Professuuri: S-18 Sähköverkot

Työn valvoja: Professori Liisa Haarla

Työn ohjaaja: Diplomi-insinööri Jarmo Elovaara

Rinnakkaiset siirtojohdot vaikuttavat toisiinsa sähkömagneettisten kenttien kautta aiheuttaen jännite- sekä virtaepäsymmetriaa. Syntynyt epäsymmetria nähdään johdon nollavirran kasvuna, joka voi aiheuttaa nollavirtaan perustuvien releiden

turhan laukaisun.

Diplomityössä käsitellään rinnakkaisten siirtojohtojen kuormitusvirran synnyttämää nollavirtaa Suomen kantaverkossa. Pääasiallisena työn tehtävänä on esittää keinot syntyvän nollavirran määrittämiseen. Pintapuolisesti työssä käsitellään myös nollavirran vaikutusta relesuojaukseen, ja esitetään keinoja nollavirran synnyn ehkäisemiseksi. Työn osana toteutettiin laskentaohjelma, joka soveltuu haluttuihin nollavirranmääritystapauksiin nykyisiä kaupallisia ohjelmia paremmin.

Työssä toteutettujen laskelmien ja tarkastelujen nojalla, voidaan sanoa nollavirran määrittelyn olevan tarpeellinen vaihe pitkien siirtojohtojen suunnittelussa.

Avainsanat: nollavirta, relesuojaus, kuormitusvirta, induktio, vuorottelu, voimansiirtojärjestelmä, kuormavirta

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Abstract of the Master's Thesis

Author: Jussi Rantanen

Name of the Thesis: Calculation of Zero Sequence Currents Induced by Parallel Line Load Currents in the Main Grid

Date: 04.12.2006 Number of pages: 90

Department: Department of Electrical and Communications Engineering Professorship: S-18 Power Systems

Supervisor: Prof. Liisa Haarla Instructor: M.Sc Jarmo Elovaara

Parallel power lines affect on each other through electromagnetic fields. This causes asymmetry in voltages and currents, and can be seen in the growth of zero sequence current of the line. The grown zero sequence current can result in false tripping of an earth fault current relay.

This thesis handles the calculation of zero sequence currents that are caused by load currents of parallel power lines. The emphasis is given to the main grid (transmission grid) of Finland and the main point is to define means to reliable zero sequence current calculation. Additionally, the thesis shortly examines how the grown zero sequence current affects the protective relaying and how the amount of zero sequence current can be reduced. As a part of the thesis, a program for calculating the zero sequence current was made. The program is more suitable to zero sequence current calculation in the considered situations than the commercial products available today.

Through the calculations and inspections made, the determination of zero sequence currents can be stated to be an important phase in the planning of long power lines.

Keywords: zero sequence current, protective relaying, load current, induction, transposition, transmission line

Alkusanat

Diplomityö toteutettiin Fingrid Oyjrssä Teknillisen korkeakoulun Sähkö- ja tietoliikennetekniikan osastolle. Työn valvojana toimi professori Liisa Haarla.

Työn valvojan lisäksi kiitän diplomi-insinööri Jarmo Elovaaraa, joka toimi työn ohjaajana antaen asiantuntevaa opastusta työn eri vaiheissa. Suuret kiitokset ansaitsevat myös kaikki työn ohjausryhmään kuuluvat jäsenet, jotka ovat monella tavoin minua diplomityössäni auttaneet.

Lopuksi esitän kiitokseni vielä kaikille Fingrid Oyj:n työntekijöille, jotka yhdessä tekivät työympäristöstäni viihtyisän.

Helsingissä 28.11.2006

Jussi Rantanen

Sisällysluettelo

Työssäkäytettävätmerkinnät:...7

Työssäkäytettävätlyhenteet:...9

1 JOHDANTO... 10

2 YLEISTÄ TIETOA KANTAVERKOSTA... 11

2.1 Kantaverkonmääritelmä...11

2.2 Voimajohdot... 11

2.3 Jännitetasot... 12

2.4 Vuorottelu...12

2.5 Rinnakkaisetsiirtojohdot...13

3 KANTAVERKON SUOJAUSPERIAATTEET... 15

3.1 Katkaisijat...15

3.2 Releet... 16

3.2.1 Nollajänniterele... 17

3.2.2 Nollavirtarele... 17

3.2.3 Maasulun suuntarele... 19

3.3 Ukkosjohtimet... 19

4 JOHDINTEN SÄHKÖISTEN ARVOJEN LASKENTA...21

4.1 Impedanssilaskenta... 21

4.1.1 Johtimen itseisinduktanssi... 21

4.1.2 Johtimien keskinäisinduktanssi...26

4.1.3 Useamman osajohtimen vaikutus induktanssilaskentaan...29

4.1.4 Carsonin kertoimet... 34

4.2 Kapasitanssilaskenta...37

4.2.1 Useamman osajohtimen vaikutus kapasitanssilaskentaan... 43

4.3 Ukkosjohdintenredusointi... 45

5 JÄNNITTEIDEN JA VIRTOJEN RATKAISU... 49

5.1 Laskentatilanne...50

5.2 Laajennettu П-malli... 51

5.3 Tarkemminmallinnettujohto...53

5.4 Johtimienpituudenvaikutussilmukkalaskentaan... 56

5.5 Johtimienlukumääränvaikutuslaskentamenetelmiin... 59

5.6 Laskentaympäristönmuutoksenvaikutuslaskentamenetelmiin...66

5.7 Tarkemminmallinnettukaksoisjohto...66

6 SYNTYVÄN NOLLAVIRRAN TEOREETTINEN TARKASTELU. 76

6.1 KUORMITUSVIRRAN VAIKUTUS NOLLAVIRTAAN...76

6.2 Johtojenrinnankulkumatkanvaikutusnollavirtaan... 79

6.3 Johtojenvälisenetäisyydenvaikutusnollavirtaan...82

6.4 Vuorottelunvaikutusnollavirtaan...83

7 POHDINTA JA JOHTOPÄÄTÖKSET... 86

Työssä käytettävät merkinnät ja lyhenteet

Työssä käytettävät merkinnät:

A pinta-ala

a johtimien välinen etäisyys Aekv ekvivalenttietäisyys

Ay johtimen i ja johtimen j peilikuvan välinen etäisyys ay johtimien i ja j välinen etäisyys

Сю johtimen i ja maan välinen kapasitanssi Су johtimien i ja j välinen keskinäiskapasitanssi d sähkövuon tiheyden hetkellisarvo

D sähkövuon tiheys

/ riippuma

/ taajuus

h johtimen korkeus

Ну johtimien i ja j välinen horisontaalinen etäisyys i virran hetkellisarvo

U johtimessa i kulkevan virran hetkellisarvo li johtimessa i kulkevan virran tehollisarvo

7kap_s laskentavälin syöttävän pään kapasitiivisen virran summa

/kap_R laskentavälin vastaanottavan pään kapasitiivisen virran summa /кок johtimessa kulkeva kokonaisvirta

Ir piirin vastaanottavan pään virta /r, johtimen i vastaanottavan pään virta Is piirin syöttävän pään virta

/s, johtimen i syöttävän pään virta

Ji johdin i

k sähkökentän voimakkuuden hetkellisarvo k Carsonin korjauskertoimien sisäinen muuttuja K sähkökentän voimakkuus

L induktanssi

/ induktanssi pituusyksikköä kohden

la johtimen i itseisinduktanssi pituusyksikköä kohden

ly johtimien i ja j välinen keskinäisinduktanssi pituusyksikköä kohden n johdinten lukumäärä

n osajohdinten lukumäärä

nmi materiaalia i olevien johdinlankojen lukumäärä pu johtimen i itseispotentiaalikerroin

Py johtimen i ja j välinen potentiaalikerroin q¡ johtimen i hetkellinen varaus

R resistanssi

R¡ johtimen i resistanssi

r johtimen säde

ro integroinnissa käytetty etäisyyden raja-arvo re kv ekvivalenttisäde

Гщ, materiaalin i osajohtimen säde r, johtimen i säde

s pituus

Uia johdinnipun a osajohtimen i jännite

una johdinnipun a osajohtimen i itseensä aiheuttama osajännite Uija johdinnipun a osajohtimien i ja j välinen potentiaaliero U¡ johtimen i jännite

Umi muiden johtimien johtimeen i aiheuttaman jännitehäviön summa Ur piirin vastaanottavan pään jännite

Ur¡ johtimen i vastaanottavan pään jännite Us piirin syöttävän pään jännite

Usi johtimen i syöttävän pään jännite

Ujy johtimen j johtimen i Thevenin lähteeseen aiheuttama osajännite xi johtimen i sijainti vaakatasossa

у johtimen kiinnityspisteiden korkeus maan pinnasta Zo verkon nollaimpedanssi

Z] verkon myötäimpedanssi Zu johtimen i itseisimpedanssi

Zy johtimen i ja j välinen keskinäisimpedanssi

Zri vastaanottavan verkon mallin tähtipisteen impedanssi Zrv vastaanottavan verkon mallin vaihekohtainen impedanssi Zst syöttävän verkon mallin tähtipisteen impedanssi

Zsv syöttävän verkon mallin vaihekohtainen impedanssi

Ztr, laskentavälin vastaanottavan pään Thevenin impedanssi johtimelle i Zts; laskentavälin syöttävän pään Thevenin impedanssi johtimelle i a syöttävän pään verkon jännitteen vaihekulma

ß vastaanottavan pään verkon jännitteen vaihekulma e väliaineen permittiivisyys

po tyhjiön permeabiliteetti pT suhteellinen permeabiliteetti p resistiivisyys

Pg maaperän resistiivisyys cp magneettivuon hetkellisarvo

(Pi johtimen i kokonaiskiertovuon hetkellisarvo (pus johtimen i sisäisen magneettivuon hetkellisarvo (piia johtimen i ulkoisen magneettivuon hetkellisarvo

(py johtimen j johtimelle i aiheuttaman ulkoisen magneettivuon hetkellisarvo

V sähkövuo

со kulmanopeus

Työssä käytettävät lyhenteet:

EPRI Electric Power Research Institute MAU Methods Analysis Unit

PSCAD Power Systems Computer Aided Design PSS/E Power System Simulator for Engineering VBA Visual Basic for Applications

1 Johdanto

Sähköverkon luotettavuus on tärkeä tekijä yleisessä kantaverkkojen suunnittelussa ja ylläpidossa. Luotettavuuden määrittämiseksi tulee verkon mallinnuksen ja laskennan olla riittävän tarkkaa. Verkon tarkka mallinnus auttaa havaitsemaan tulevat epävarmuustekijät jo ennakolta ja auttaa siten säilyttämään verkon luotettavuuden erilaisissa käyttötilanteissa. Tarkasta mallinnuksesta hyödytään myös uusien verkon osien suunnittelussa.

Yksi luotettavuuden tärkeimmistä tekijöistä on relesuojauksen oikea toiminta kaikissa käyttötilanteissa ja mahdollisissa vikatilanteissa. Tämä oikea toiminta on mahdollista vain, jos normaalit käyttötilanteet osataan määritellä myös epäsymmetrian aiheuttaman nollavirran osalta. Siksi tämän työn aihealueena oleva nollavirran määrittäminen on verkon luotettavuuden kannalta hyvin tärkeä tekijä.

Tällä hetkellä nollavirtoja lasketaan erilaisilla verkosto laskentaohjelmilla kuten Power System Simulator for Engineering (PSS/E) ja Power Systems Computer Aided Design (PSCAD). Nollavirran määritys näillä ohjelmilla on kuitenkin puutteellista, ja kaikkia Suomen kantaverkkoon liittyviä tilanteita ei pystytä mallintamaan. Näitä puutteita ovat vähäinen kuormitusvirran aiheuttaman epäsymmetrian huomioonotto tai samalle johtokadulle sijoitettavien johtojen rajoitettu määrä ja työläs laskennan asettelu.

Työn tarkoitus on tehdä laskentaohjelma, joka välttää nämä kaupallisissa ohjelmissa esiintyvät rajoitukset ja tekee nollavirtojen määrityksestä helpompaa kuin aikaisemmin.

Työn painopiste on nollavirtojen määrityksessä, mutta koska nollavirtojen suuruus liittyy olennaisesti nollavirtareleen oikeaan toimintaan, sivutaan työssä myös nollavirtareleen käyttöön liittyviä asioita. Työ suunnitellaan Suomen kantaverkkoa vastaaviin tilanteisiin, ja on siten tarkoituksenmukaisesti rajattu koskemaan vain ilmajohtoja, joista Suomen kantaverkko pääosin koostuu. Laskentaohjelma toteutetaan Microsoft Excel -ohjelman päällä toimivaksi, jotta sen käyttäminen olisi mahdollista mahdollisimman vähällä erikoisohjelmistotuntemuksella.

2 Yleistä tietoa kantaverkosta

Tämä kappale esittelee Suomen kantaverkkoon ja tähän työhön keskeisesti liittyviä perusmääritelmiä sekä verkon komponentteja. Määritelmät esitetään samassa merkityksessä kuin niitä on tässä työssä käsitelty ja se on yhtenevä yleisen käytännön kanssa. Verkon suojaukseen liittyvät komponentit esitellään erikseen omassa luvussaan.

2.1 Kantaverkon määritelmä

Voimansiirtojärjestelmän perustehtävänä on siirtää voimalaitosten tuottama sähkö kuluttajille. Suomessa tämän järjestelmän runkoa kutsutaan kantaverkoksi, joka muodostuu pääosin 400kV ja 220kV voimajohdoista, sekä niihin liittyvistä sähköasemista. Tämän lisäksi kantaverkkoon kuuluvaksi lasketaan myös 110kV:n voimajohtoja. Nämä johdot toimivat osana kantaverkon silmukkarakennetta turvaten sähkön siirron korkeamman jänniteportaan johdon lauetessa. Kantaverkon osuudeksi sähkön siirrossa jää siis matka voimalaitoksilta kulutusalueille ja suurkuluttajille.

Paikallinen sähkön siirto pienkuluttajille tapahtuu alueverkon ja jakeluverkon välityksellä.

2.2 Voimajohdot

Voimajohdot itsessään voivat olla kaapeleita tai ulkoilmassa pylväiden varaan kiinnitettyjä ilmajohtoja. Näistä kaapeli voidaan määritellä siten, että se on kiinteällä eristeellä eristetty johto, joka pääasiallisesti asennetaan kaapelikanaviin tai kaapelihyllyille. Kaapelikanava kaivetaan usein maahan tai upotetaan veteen. Avojohto on paljas tai eristepinnoitettu ilmajohto, jossa jokainen johdin tai osajohdinnippu on erikseen kiinnitetty eristimiin tai muihin kiinnikkeisiin. Suomen kantaverkossa käytetään vain paljaita avojohtimia, ja ne suunnitellaan sekä mitoitetaan yli 45kV:n avojohtoja käsittelevän eurooppalaisen standardisarjan EN 50341 mukaisesti.

Olennaisina osina voimajohtoihin kuuluvat myös ukkosjohtimet, jotka valitaan haluttujen sähköisten ominaisuuksien ja mekaanisen kestävyyden perusteella.

Ukkosjohtimet toimivat osana voimajohdon maadoitusverkkoa ja suojaavat virtajohtimia suorilta salaman iskuilta. (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.1)

2.3 Jännitetasot

Kantaverkko koostuu useammasta jännitetasosta. Nämä jännitetasot ovat 400kV, 220kV ja llOkV. Käytettävän jännitetason suuruus riippuu yleisesti siirrettävän tehon suuruudesta ja siirtomatkan pituudesta. Kantaverkkoon kuuluvien eri jännitetasojen kokonaispituudet ovat vuonna 2006 kuvan 2.1 mukaiset.

Kuva 2.1 Kantaverkon kokonaispituudet jännitetasoittain (Fingrid Oyj, 2006)

2.4 Vuorottelu

Suurjännitteisessä kolmivaihejärjestelmässä päädytään tilanteisiin, jossa vähintään kolme johdinta kulkee rinnakkain suhteellisen pitkän matkan ajan. Kulkiessaan rinnakkain nämä johtimet vaikuttavat toisiinsa sekä kapasitiivisen että induktiivisen kytkeytymisen kautta. Jos johtimien sijainti toisiensa suhteen pysyy vakiona, on vaikutus koko ajan samanlainen, ja se voimistaa itseään koko johtimien

rinnankulkumatkan ajan. Tämä vaikuttaa johdon jännitehäviöön. Vaihejohtimien sijaitessa epäsymmetrisessä asemassa toisiinsa ja maahan nähden, syntyy myös jännite- ja virtaepäsymmetriaa. Jotta epäsymmetriavaikutukset säilyisivät mahdollisimman

pieninä, käytetään kantaverkossa vuorottelua.(Paavola, 1975, luku 15.1, s. 46)

Vuorottelu tarkoittaa johtimien paikkojen vaihtamista toisiinsa nähden ja se toteutetaan yleensä siten, että jokainen johto sijaitsee kolmanneksen matkasta kussakin asemassa.

Kahden vuorottelukohdan välistä matkaa kutsutaan vuorotteluväliksi, ja kolme vuorotteluväliä muodostavat yhdessä vuorottelujakson. Nämä käsitteet on havainnollistettu kuvassa 2.2, jossa kolme vaihejohdinta on piirretty jokainen omalla värillään. (Paavola, 1975, luku 15.1, s. 47)

vuorotteluväli

=й£==>г5Е=5г£!^=5г£Е

vuorottelujakso

Kuva 2.2 Esimerkki kolmivaihejohdon vuorottelusta

2.5 Rinnakkaiset siirtojohdot

Nykyaikana uusien johtoalueiden saaminen on työlästä tai jopa mahdotonta, varsinkin taajama-alueilla. Uuteen johtoalueeseen vaadittavan maa-alueen käyttöön saaminen on kallista ja lain vaatimat selvitystyöt suuria. Myös yleisen hyväksynnän saaminen tarvittavalle uudelle johdolle on erittäin hankalaa tai jopa mahdotonta. Näiden syiden seurauksena käytetään yhä useammin samoja johtoalueita myös uusien johtojen kulkutienä. Jotta samalle johtoalueelle voidaan rakentaa uusi johto, täytyy vanhaa johtoalueita aina laajentaa, ellei uuden johdon rakentamismahdollisuutta ole jo

aikaisemmin suunnitteluvaiheessa huomioitu

Saman johtoalueen käyttämisessä on hyvät sekä huonot puolensa. Hyvänä puolena on maan helpompi ja halvempi hankinta. Vanhan johtoalueen leventämiselle voi olla helpompi saada lupa kuin kokonaan uuden johtoalueen rakentamiselle. Eikä leventäminenkään ole tarpeen, jos uusi johto voidaan asentaa aikaisemman johdon

pylväitä hyödyntäen. Tämä on toki pitänyt ottaa huomioon jo aikaisemmin pylväiden suunnitteluvaiheissa. Samojen pylväiden käyttö alentaa myös johdon rakennuskustannuksia, koska uusia pylväitä ei tarvitse pystyttää lainkaan.

Huonona puolena saman johtoalueen käytölle on tarvittavan johtopituuden kasvaminen.

Vanhan johtoalueen yhteiskäytössä joudutaan välttämättä tyytymään sijainnin ja suunnan osalta kompromisseihin, eikä uutta johtoa voida rakentaa juuri sitä lyhintä reittiä pitkin. Saman johtoalueen käytön voidaan olettaa omaavan myös luotettavuutta heikentäviä vaikutuksia, koska johtoalueen vahingoittuminen tai siihen kohdistuva tihutyö voi vaikuttaa kaikkiin kyseisellä johtoalueella oleviin johtoihin. Ja jos samaan pylvääseen on asennettu useampi johto, aiheuttaa esimerkiksi pylvään kaatuminen vian kaikkiin samaan pylvääseen kiinnittyviin johtoihin.

Saman johtokadun käyttö aiheuttaa myös muita huonoja puolia. Usean johdon kulkiessa rinnakkain, vaikuttavat ne toisiinsa myös sähköisesti. Induktiivinen ja kapasitiivinen kytkeytyminen johtojen välillä vaikuttaa johtimien häviöihin ja jännitteenalenemaan sekä aiheuttaa niihin epäsymmetriaa. Tässä työssä esitetään menetelmä näiden vaikutusten laskennalle ja pohditaan voiko tämä induktiivisen ja kapasitiivisen kytkeytymisen kautta aiheutuva epäsymmetria olla johdon suojauksen kannalta merkittävä häiriötekijä. Toistaiseksi tämän epäsymmetrian aiheuttamat näkyvät haitat relesuojaukselle ovat olleet vähäisiä, mutta haittojen esiintymisriski kasvaa rinnakkaisjohtojen lukumäärän ja pituuden lisääntyessä. Lisäksi haittojen esiintymisriskiä kasvattavat myös kulutuksen mukana kasvavat kuormitusvirrat.

3 Kantaverkon suoj ausperiaatteet

Kantaverkon suojausperiaatteet perustuvat yleisiin sähköverkon suojausnäkökohtiin.

Suojauksen toteuttamisessa lähdetään liikkeelle eduskunnan säätämästä Sähköturvallisuuslaista ottaen huomioon myös taloudelliset sekä jännitteen laatuun liittyvät vaatimukset. Sähköturvallisuus lain mukaan sähköjärjestelmä on suunniteltava niin, ettei siitä aiheudu kenenkään hengelle, terveydelle tai omaisuudelle vaaraa. Tämän lisäksi järjestelmän tulee toimia kohtuutonta sähkömagneettista häiriötä aiheuttamatta ja mahdollisista sähkömagneettisista häiriöistä huolimatta. (Kauppa- ja teollisuusministeriö, 1996, luku 2 § 5)

Rinnakkaisten johtojen kuormitusvirran aiheuttamat nollavirrat vaikuttavat vain nollavirran ja nollajännitteen perusteella toimiviin suojiin. Näin ollen suojausmenetelmistä on tarpeen esitellä tarkemmin vain tämän tyyppisiä menetelmiä ja niihin olennaisesti liittyviä komponentteja.

Hyvin toteutettu suojajärjestelmä toimii kaikissa tilanteissa selektiivisesti, nopeasti ja luotettavasti rajoittaen vian aiheuttaman katkoksen mahdollisimman pienelle alueelle minimoiden vikavirran aiheuttamat vahingot.

3.1 Katkaisijat

Katkaisijan päätehtävä on kyetä yhdistämään ja erottamaan laitoksia, kuormituksia ja verkon osia toisistaan kaikissa käyttöolosuhteissa. Näihin tilanteisiin lukeutuvat myös vikatilanteet ja yleisesti korkeimmat vaatimukset katkaisijan toiminnalle antaa oiko sulku virta, joka katkaisijan on oikosulkutilanteessa pystyttävä katkaisemaan.

Oikosulkuvirta voi olla moninkertainen nimellis virtaan verrattuna. Muut katkaisijan ominaisuudet valitaan kytkettävänä olevan kohteen mukaisesti. (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.5)

Katkaisijoiden toiminta voi olla joko manuaalista tai automaattista. Automaattinen toiminnanohjaus tapahtuu useimmiten releiden välityksellä, jolloin jokin suojarele antaa avauskäskyn ja jälleenkytkentärele sulkemiskäskyn.

3.2 Releet

Yleisesti relesuojauksen tarkoitus on erottaa verkon viallinen osa muusta verkosta henkilöihin tai aineelliseen omaisuuteen kohdistuvien vaaratilanteiden ja vahinkojen välttämiseksi. Verkko on jaettu suojausalueisiin, joista jokainen voidaan erottaa jännitteettömäksi katkaisijoiden avulla. Suojauksen luotettavuuden parantamiseksi jokainen verkon kohta kuuluu ainakin kahden suojareleen toiminta-alueeseen. Tämä varmennus on yleisesti toteutettu joko asettamalla kaksi eri relettä suoraan suojaamaan samaa suojausaluetta tai siten, että varasuojana toimii pääasiallisesti toista suojausaluetta suojaavan releen hidastettu porras.

Releiden tulee toimia luotettavasti ja nopeasti riittävällä herkkyydellä.

Luotettavuusmäärittely tarkoittaa sitä, ettei laukaisu saa tapahtua jos suojausalueella ei ole vikaa ja sen tulee tapahtua jos suojausalueella on vika. Riittävä herkkyys taas tarkoittaa että relesuojauksen tulee toimia myös tilanteessa jossa vikavirrat ovat käyttötilanteen muuttumisen takia pienempiä kuin normaalikäyttötilanteessa.

Myöhemmin tässä dokumentissa esitetään miten nämä relesuojauksen vaatimukset toteutuvat rinnakkaisten johtojen kuormitusvirran indusoiman no 11avirran tapauksissa.

Yleisesti releet jaetaan mittaaviin releisiin ja apureleisiin. Mittaavat releet tarkkailevat haluttuja sähköisiä suureita ja muodostavat sen perusteella tiedon katkaisijan laukaisu- tai hälytystarpeelle. Apureleet puolestaan ottavat toimintaa ohjaavat mittaussuureensa mittaavilta releiltä ja toimivat täydentäen tai avustaen mittaa vien releiden toimintaa.

Mittaavien releiden toiminnot selitetään tarkemmin seuraavissa kappaleissa työn kannalta olennaisten reletyyppien esittelyn ohessa. (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.8)

Työn kannalta on olennaista käsitellä vain niitä reletyyppejä joiden toiminta perustuu nollavirtaan tai nollajännitteeseen. Siksi tarkastelu rajoittuu jännitemittauksiin perustuvissa releissä ainoastaan nollajännitereleen tarkasteluun ja virtamittauksiin perustuvissa releissä nollavirtareleeseen ja maasulun suuntareleeseen.

3.2.1 Nollajänniterele

Nollajännitereleitä käytetään yleisesti suojaukseen käämivikojen, generaattorin staattorin maasulun ja verkon maasulun varalta. Suomen kantaverkossa tätä reletyyppiä käytetään ainoana maasulkusuojana vain 20kV:n reaktorilaitoksissa. Tämän lisäksi nollajännitereleitä käytetään kantaverkossa 110kV:n jännitetasolla johtojen maasulkusuojauksen parantamiseen. Nollajänniterele ei osaa määrittää vian suuntaa ja sitä voidaan käyttää maasulkusuojana vain kun selektiivisyysvaatimusta ei ole. Tämän puutteen vuoksi sitä käytetään jatkuvana maasulkusuojana vain erittäin pienissä verkoissa. (El-Hawary, 1995, luku 9.5, s. 569) (Lehtonen, 1996, luku 7.3, s.91)

Kantaverkossa jännitemuuntajien avokolmioon kytketty nollajänniterele hoitaa maasulkusuojauksen, jos llOkV verkon osa jää ilman tähtipistemaadoitusta.

Nollajännitereleitä käytetään siis vain tilapäistapauksissa, joissa virtaan perustuva maasulkusuojaus ei voi maadoituksen puutteen vuoksi toimia. (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.8, s. 5)

Normaalissa kantaverkon llOkV johdon käyttötilanteessa nollajännite on hyvin pieni releen asetteluarvoon nähden, eikä nollajännitereleen asetteluarvoa saavuteta rinnakkaisten siirtojohtojen keskinäisvaikutusten aiheuttaman epäsymmetrian takia.

Tästä syystä nollajänniterele jätetään jatkossa tarkastelun ulkopuolelle.

Yleisesti nollajänniterele asetetaan havahtumaan kun nollajännite on noin 30% johdon vaihejännitteen nimellisarvosta. (CIRED, 1998, luku 2.3.1, s. 29)

3.2.2 Nolla virta rele

Nollavirtarele seuraa joko muuntajan tähtipisteessä kulkevaa virtaa tai vaihtoehtoisesti vaihevirtojen summaa. Nollavirtarelettä käytetään maasulkujen havaitsemiseen ja kantaverkossa ne jakaantuvat kahteen eri luokkaan: herkkiin ja karkeisiin nollavirtareleisiin. Herkkä nollavirtarele toimii pienemmällä virran asetteluarvolla kuin karkea nollavirtarele, mutta sen hidastus on aseteltu huomattavasti karkean releen hidastusta suuremmaksi. Uusissa releissä on mahdollista asettaa kaksi toisistaan eroavaa virta- ja aika-asetteluparia, jolloin nämä molemmat toiminnot voidaan toteuttaa yhdellä laitteella. Nollavirtarele ei tunnista vian suuntaa tai etäisyyttä. Sitä käytetään yleisesti

samoilla aika-asetteluilla kuin ylivirtareleitä. (Blackburn, 1998, luku 11.8, s. 366) (Mörsky, 1992, luku 10.7.8.2, s. 290) (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.8, s. 8 - 9)

Aiemmin voimassa olleet sähköturvallisuusmääräykset vaativat, että releiden tulee havaita maasulut joiden vikaresistanssi on pienempi tai yhtä suuri kuin 500Í2. Tämä ohjesääntö on edelleen käytäntönä Suomen kantaverkossa, vaikka nykyään voimassa oleva standardi SFS 6001 ei tätä vaadi. Käytetty nollavirtareleen asettelu määritetään yksivaiheisen maasulun mukaisesti, koska monivaiheisissa vioissa suuri vikaresistanssi on epätodennäköinen. Releen kannalta tämä yksivaiheisen maasulun synnyttämä virta on pienimmillään silloin, kun kahden aseman välissä olevaa johtoa syöttävät tasapuolisesti molemmat asemat. Herkän nollavirtareleen asettelun tulee tällöin olla 400kV johdolla alle 23IA ja llOkV johdolla alle 64A. Asettelurajat on laskettu kaavoilla 3.2-1 ja 3.2-2. Todelliset käytössä olevat asettelurajat ovat kantaverkossa 60A ja 225A. Nämä asetetut arvot ovat kiinteitä, eikä niitä säädetä verkon jännitteen mukaisesti. (Sähkötarkastuskeskus, 1993, luku II, s. 24) (Fingrid Oyj, 2001, luku 2.8, s.

8-9) (Mörsky, 1992, luku 10.7.8.2, s. 290) 400kV

2л/3-5000 = 23 IA 3.2-1

/ = llOkV

2V3-500Q = 64A 3.2-2

Tavanomainen 400kV johdon maasulkusuojaus hoidetaan distanssirelein. Suuri vikaimpedanssi aiheuttaa kuitenkin vikapaikan tulkintavirheen ja siten maasulku saattaa releen näkökulmasta sijoittua kaukaisimmalle suojausalueelle tai kokonaan releen toiminta-alueen ulkopuolelle. Tällöin distanssilleen hidastus on suuri tai laukeamista ei tapahdu lainkaan. Siksi suuren vikaresistanssin omaavien vikojen havaitsemiseen käytetään nollavirtarelettä. Yleisesti nollavirtarele toimii hidastettuna siten, että distanssireleen kolmas suojausvyöhyke aiheuttaa laukaisun ennen nollavirtarelettä.

Tämän lisäksi nollavirtareleen karkea porras toimii usein distanssireleen varareleenä ensimmäisen suojausvyöhykkeen alueen maasuluissa.(Fingrid Oyj, 2001, luku 3.2, s.7) (Mörsky, 1992, luku 10.7.8.2, s. 290)

Myöhemmässä tarkastelussa rinnakkaisten johtojen kuormitusvirtojen aiheuttaman nollavirran suuruutta verrataan nollavirtareleen virta-asetteluihin. Aika-asettelulla ei ole tässä tapauksessa merkitystä, koska kuormitusvirtojen aiheuttamien vaikutusten kestoaika voidaan olettaa aina aika-asettelua suuremmaksi.

3.2.3 Maasulun suuntarele

Nollavirtarelettä parempi maasulkusuoja saadaan aikaan maasulun suuntareleen, Qo- rele, käytöllä. Maasulun suuntarele mittaa nollavirran lisäksi myös nollajännitettä sekä nollavirran ja nollajännitteen välistä vaihekulmaa. Releen laukaisu tapahtuu, kun kaikki nämä mitattavat suureet ovat laukaisun sallivalla alueella. Alueet määritetään verkon maadoitustavan ja releeltä haluttujen ominaisuuksien mukaisesti. (Lehtonen, 1996, luku 7.1, s. 86)

Maasulun suuntarele pystyy määrittämään mittaamiensa arvojen avulla nollavirran suunnan ja omaa siten huomattavasti paremman selektiivisyyden kuin pelkkä nollavirta- tai nollajänniterele. Selektiivisyyttä voidaan parantaa edelleen käyttämällä viestiyhteyttä, jonka avulla vasta-aseman laukaisu voidaan tarvittaessa lukita tai sallia.

(Mörsky, 1992, luku 10.7.8.2, s. 291)

Kantaverkossa tämän reletyypin käyttö rajoittuu 110kV:n jännitetasolle, eikä viestiyhteyttä yleisesti käytetä. Releisiin asetellaan hidastus, jotta selektiivinen suojaus voidaan saavuttaa. Käytössä olevat hidastusasettelut ovat 0,7 ... 3,1 sekuntia.

Koska maasulun suuntarele vaatii toimiakseen nollajännitteen, voidaan se jättää nollajännitereleen kanssa yhtenevistä syistä jatkotarkastelujen ulkopuolelle.

3.3 Ukkosjohtimet

Salaman osuessa jännitteiseen vaihejohtimeen aiheuttaa se vaihejohtimeen kytkeytyvään verkkoon suuren virta- sekä jänniterasituksen ennen vaimenemistaan harmittomaksi virta- ja jännitepulssiksi. Yksi suojauskeino näitä suoria salamaniskuja

vastaan on sijoittaa vaihejohtimien yläpuolelle yksi tai kaksi ukkosjohdinta.(Aro, 2003, kappale 6.4.3, s. 285)

Ukkosjohtimia käytetään suojana suorilta salamaniskuilta kaikilla kantaverkon johdoilla. Ukkosjohtimien lukumäärä, sijoittelu ja käytetyt pylväsmaadoitukset määräävät ukkosjohtimien antaman suojaavan vaikutuksen. Karkeasti voidaan sanoa suojaamattomalle johdolle asennettujen ukkosjohtimien ja pylväsmaadoitusten vähentävän ukkosesta syntyviä häiriöitä suhteessa 1:4,7. (Aro, 2003, kappale 6.4.4, s.

294 - 295) Salamasuojauksen lisäksi ukkosjohtimia käytetään maadoituksen parantamiseksi ja vaarajännitteiden pienentämiseksi.

Ukkosjohtimien läsnäolo vaikuttaa vaihejohtimien impedanssien ja kapasitanssien kautta kaikkien johtoon liittyvien sähköisten arvojen laskentaan. Tämä vaikutus otetaan huomioon luvun 4.2.3 osoittamalla tavalla.

4 Johdinten sähköisten arvojen laskenta

Tämä kappale esittelee johdinten sähköisten arvojen laskennassa käytetyt menetelmät ja kaavat, joita käytetään myöhemmin johtimien virtojen ja jännitteiden laskentaan.

Kaikkia yleisiä kaavoja ei ole johdettu, mutta tarvittaessa niiden johtaminen löytyy helposti viitemateriaalin tai alan perusteosten kautta. Tällaisiksi yleisiksi kaavoiksi oletetaan kaikki kaavat välillä 4.1-1 ... 4.1-6.

4.1 Impedanssilaskenta

Impedanssilaskenta alkaa itseisinduktanssin ja keskinäisinduktanssin laskennalla, josta siirrytään usean osajohtimen vaikutustarkasteluun. Lopuksi induktanssilaskentaan otetaan mukaan Carsonin korjauskertoimet, joiden avulla korjataan maapaluuvirran todellisen kulkutien vaikutus. Induktanssilaskennassa paluuvirran oletetaan kulkevan peilikuvajohtimessa ja Carsonin korjauskertoimien avulla huomioidaan paluuvirran todenmukaisempi jakautuminen maahan taajuuden ja maaperän resistiivisyyden funktiona.

Magneettikenttien ja magneettivuon perusteella tehdyn induktanssilaskennan voi suorittaa kahdella erilaisella tavalla. Ensimmäinen tapa on tarkastella johtimen ympärille syntyvää kokonaiskiertovuota, ja toinen tapa on tarkastella vaihejohtimen ja paluujohtimen muodostaman silmukan lävistävää magneettivuota. Yleisempi käytäntö tämän tyyppiselle induktanssilaskennalle on tarkastella sitä magneettivuota, joka lävistää vaihejohtimen ja paluujohtimen muodostaman silmukan. Tässä työssä on kuitenkin valittu käytettäväksi menetelmä, jossa tarkastellaan sitä kokonaiskiertovuota, joka syntyy kyseessä olevan johtimen ympärille. Menetelmän käyttö perustuu Martti

Paavolan julkaisuun Sähköjohdot vuodelta 1975.

4.1.1 Johtimen itseisinduktanssi

Laskuissa käytetty johtimen induktanssilaskenta lähtee yleisesti tunnetusta pyöreän johtimen sisäisen magneettivuon kaavasta 4.1-1, joka kertoo magneettivuon pituusyksikköä kohden. (Paavola, 1975, kaava 51.10, s. 216)

/¿гИо*

2л • г(.2 zjdx: = 2л • г

i¡ • Jx3dx Mi,-

8л 4.1-1

Tämä yhdistetään kahden samansuuntaisen johtimen muodostaman ulkoisen magneettivuon kaavaan (Paavola, 1975, numeroimaton kaava, s. 217)

<P„u +<Pij =^-hln —

2л n 4.1-2

joka pätee kun johtimissa z ja j kulkevat virrat toteuttavat yhtälön

= -z, 4.1-3

sekä johtimien välillä olevan aineen suhteellinen permeabiliteetti on 1. Kyseessä on siis yksivaihejärjestelmän vaihejohdin ja paluujohdin. Näitä kaavoja hyväksikäyttämällä saadaan vaihejohtimen kokonaismagneettivuolle arvo

(P = <Püs+<Pi,u+<Pij ^Po_

2л И r‘ 4.1-4

Induktanssin määritelmän, kaavan 4.1-5 mukaisesti, saadaan induktanssi pituusyksikköä kohti kaavasta 4.1-6.

4.1-5

^ + ln^lX v4

4.1-6

Nämä edellä mainitut kaavat ovat kaikki peruskaavoja, eikä niiden tarkemman johtamisen katsota olevan tarpeellista. Kaavaa 4.1-6 voidaan havainnollistaa kuvan 4.1 avulla. Itseisinduktanssin laskentatavan vuoksi on riittävää tarkastella vain tätä yksinkertaista induktanssin kaavaa, jossa säteet ovat molemmilla johtimilla yhtä suuret.

Tähän kaavaan palataan uudelleen keskinäisinduktanssin laskennassa, jolloin tuo säteiden eroavaisuus otetaan huomioon.

johdin i johdin j

Kuva 4.1 Kaksi yhdensuuntaista johdinta

Kaava 4.1-6 siis määrittelee kahden r-säteisen ja yhdensuuntaisen johtimen induktanssin. Seuraavaksi tämä kaava johdetaan askeleittain vastaamaan yleistä laskentaan soveltuvaa itseisinduktanssin kaavaa 4.1-11.

Laskennassa jokainen johdin käsitellään johdinparina, jossa ensimmäisen johtimen muodostaa reaalinen johdin ja paluujohtimen muodostaa maan pinnan suhteen muodostettu peilikuvajohdin. Näin saadaan siis laskennallisesti kaksi yhdensuuntaista johdinta. Johtimen i itseisinduktanssin kaava saadaan kaavasta 4.1-6 korvaamalla johtimien välinen etäisyys johtimen etäisyydellä peilikuvastaan A¿¿. Saatua kaavaa 4.1-7 havainnollistaa kuva 4.2, jossa johdin i kuvastaa reaalista johdinta ja johdin j sen peilikuvaa. Selvennykseksi sanottakoon vielä, ettei todellisessa tilanteessa maapaluuvirta kulje peilikuvajohtimessa. Tässä tapauksessa niin voidaan muodollisesti olettaa, koska laskentatulosta korjataan kappaleessa 4.2.4 Carsonin korjauskertoimilla.

Carsonin korjauskertoimet kompensoivat maassa kulkevan paluuvirran todellisen kulkusyvyyden vaikutusta ja peilikuvajohdinmenetelmää käytetään vain näiden kertoimien käytön helpottamiseksi.

4.1-7

johdin i

johdin i i

\ч /

Kuva 4.2 Reaalinen johdin peilikuvineen

Peilikuva sijoitetaan laskennassa maatason alapuolelle siten että se on maatasosta yhtä kaukana kuin reaalinen johdin. Tällöin etäisyyden A„ suuruus on suoraan riippuvainen reaalisen johtimen korkeudesta h.

4.1-8

Koska johtimen korkeus maahan nähden ei ole pylväiden välillä vakio, tulee se ottaa huomioon johtimen korkeuden määrittelyssä. Tämä huomioidaan johtimen kiinnityspisteiden pystykoordinaatin y ja johtimen riippuman / avulla seuraavasti:

h=y--f- 0.5

3 4.1-9

Tällöin johtimen riippumakäyrän on oletettu kulkevan paraabelin muotoisesti, ja johtimen korkeudeksi on asetettu sen keskikorkeus. Kaava ei itsessään ota huomioon tilannetta, jossa johtimen kiinnityspisteet olisivat eri korkeuksilla. Kiinnityspisteiden välisen korkeuseron voi huomioida käyttämällä kiinnityspisteen korkeutena molempien päiden korkeuden keskiarvoa.

Seuraava itseisinduktanssin kaavan tarkennus suoritetaan johtimen säteen aiheuttaman virhelähteen eliminoimiseksi ja laskentatuloksen tarkkuuden parantamiseksi. Kaavassa 4.1-7 käytetään johtimen verhokäyrän sädettä johtavan pinnan säteenä, vaikka käytännössä näin ei aivan ole. Todellisuudessa johdin muodostuu useasta johdinlangasta, joiden väliin jäävä tyhjä tila aiheuttaa sen, että johtava pinta-ala on hivenen pienempi kuin johtimen verhokäyrän mukaan laskettu johtava pinta-ala.

Syntyvä virhe on suurimmillaan kun johdinlangat ovat pyöreitä. Suomen kantaverkossa käytettyjen voimajohtojen johtimien johdinlangat ovat pyöreitä, joten myös seuraavaksi esitettyjen kaavojen johtamisessa oletetaan johdinlangat pyöreiksi.

Laskennassa johdinlankojen väliin jäävä tyhjä tila huomioidaan siten, että käytettävä johtimen ekvivalenttisäde lasketaan johdinlankojen lukumäärän ja yksittäisen johdinlangan halkaisijan perusteella. Ekvivalenttisäteen rekv laskenta on nähtävissä kaavassa 4.1-10. Kyseisessä kaavassa ensimmäisestä materiaalista olevan johdinlangan sädettä merkitään rm¡ ja toisen materiaalin johdinlangan sädettä Гщ?. Johdinlankojen lukumäärät merkitään kaavassa vastaavasti nmi ja nn-¿.

n-к

геь =■ ml ' ”ml + 71 ' rm2 • «m2 Л

4«ml • «ml + «m2 ‘m2 4.1-10

Yleinen johtimen poikkileikkauskuva on nähtävissä kuvassa 4.3, jossa eri materiaalia olevat johdinlangat on merkitty eri väreillä.

verhokäyrä

teräsjohdinlanka

alumiinijohdinlanka

Kuva 4.3 Johtimen poikkileikkaus

Näin itseisinduktanssin kaava muotoutuu seuraavan kaavan mukaiseksi.

/ =bL.

“ 2n r 4.1-11

Jotta päästään työhön liittyvän laskentaohjelman käyttämään itseisinduktanssin laskentakaavaan, tulee kaavaan 4.1-11 lisätä vielä Carsonin korjauskertoimien vaikutus, luku 4.1.4, ja luvussa 4.1.3 tarkemmin käsitelty osajohtimien lukumäärän vaikutus.

Carsonin korjauskertoimet kompensoivat maassa kulkevan paluuvirran todellisen kulkusyvyyden vaikutusta, ja osajohtimet pienentävät kokonaisuudessaan syntyvää itseisinduktanssia. Tarkastelun ulkopuolelle jätetään muutama virhelähteen aiheuttaja, kuten esimerkiksi virranahto ja kyllästyminen, joiden ei oleteta vaikuttavan merkittävästi normaaleihin käyttötilanteisiin liittyvään laskentaan. Huomiotta jätetään myös virhe, joka syntyy johtimen koostuessa useammasta kuin yhdestä johdinlankamateriaalista. Kyseisessä tapauksessa virta jakautuu epätasaisesti eri materiaalien kesken, aiheuttaen itseisinduktanssin kaavaan pienen virheen. Tällainen esimerkkitapaus on nähtävissä kuvassa 4.3. Virhe jätetään huomiotta koska sen tarkkaan huomioimiseen vaadittaisiin myös virranahdon ja kyllästymisen huomiointi.

4.1.2 Johtimien keskinäisinduktanssi

Johtimen itseisinduktanssin lisäksi tulee laskennassa ottaa huomioon myös johtimien keskinäiset vaikutukset. Induktiivisen kytkeytymisen aiheuttama vaikutus kuvataan johtimien välisenä keskinäisinduktanssina. Tässä kappaleessa esitetään keskinäisinduktanssin kaavat sekä yleisessä muodossaan että työhön liittyvän laskentaohjelman karmalta.

Keskinäisinduktanssin ratkaisun johtaminen aloitetaan yleisesti tunnetuista pyöreän johtimen ulkoisen magneettivuon kaavasta (Paavola, 1975, kaava 51.11, s. 217)

тип ~ tl o 1

2 n J Y 'TT r 4.1-12

Kaava 4.1-12 kertoo johtimen i aiheuttaman magneettivuon etäisyyksien r, ja ro välille.

Lopputulokseen ei aiheudu virhettä vaikka alussa magneettivuon oletetaankin ulottuvan

vain etäisyyteen ro asti, koska integrointietäisyyden vaikutus supistuu pois lopullisista kaavoista. Kaavan integrointialue selvennetään kuvassa 4.4, johon on kuvattu johdin i integrointialueineen. Kuvan tilanteessa virta kulkee katsojasta pois päin ja integrointisuunta, johon etäisyys ro kohdistuu, voidaan valita vapaasti.

Kuva 4.4 Johtimen ulkoisen magneettivuon integrointialue

Esimerkkitilanteeksi valitaan kuvan 4.5 esittämä tilanne, josta keskinäisinduktanssitarkastelu johdetaan vaihejohtimelle z syntyvän kokonaiskiertovuon kautta.

Kuva 4.5 Kaksi vaihejohdinta peilikuvilleen

Kuvan 4.5 tilanteen käsittely aloitetaan tarkastelemalla vaihejohtimen j vaikutusta vaihejohtimen i ulkoiseen kiertovuohon. Ulkoisella kiertovuolla tarkoitetaan sitä kokonaiskiertovuon osaa, joka on johtimen ulkopuolella. Kuva 4.6 esittää molemmat vaihejohtimet ja niiden synnyttämät ulkoiset kierto vuot. Johtimen i itsensä aiheuttama ulkoinen kiertovuo saadaan kaavalla 4.1-12 ja johtimen j vaikutus johtimen i ulkoiseen kiertovuohon saadaan kaavalla 4.1-13. Integrointi tapahtuu kaukana olevaan pisteeseen asti, joka on etäisyydellä r0 johtimesta i. Integrointietäisyys esitetään kuvassa 4.6.

Kaavan 4.1-14 mukainen likiarvoistus voidaan tehdä koska ay « ro.

Kuva 4.6 Johtimet i ja j, sekä johtimien aiheuttamat ulkoiset kiertovuot

Johtimen j peilikuvan vaikutus vaihejohtimen i ulkoiseen kiertovuohon voidaan ratkaista korvaamalla kaavassa 4.1-13 esiintyvä johtimien välinen etäisyys ay etäisyydellä Ay, joka kertoo johtimen i etäisyyden johtimen j peilikuvasta. Lisäksi tulee huomata että peilikuvajohtimessa kulkeva virta on -ij. Johtimen j peilikuvan vaikutus johtimen i ulkoiseen magneettivuohon voidaan laskea kaavalla 4.1-15.

ij _ peilikuva

2 n

dx x

£o_

2n 2 n Au

4.1-15

4 +ro = 4.1-16

Kokonaisvaikutus vaihejohdinta ympäröivään ulkoiseen kiertovuohon saadaan kaavalla 4.1-17, josta saadaan keskinäisinduktanssi kaavan 4.1-18 mukaisesti. Johtimen i peilikuvan vaikutusta ei tarvitse käsitellä, koska se huomioidaan itseisinduktanssin arvossa.

4.1-17

4.1-18 di j 2 л atJ

Työhön liittyvä laskentaohjelma hyödyntää keskinäisinduktanssilaskennassaan tätä samaa keskinäisinduktanssin kaavaa yhdessä Carsonin koijauskertoimien kanssa.

4.1.3 Useamman osajohtimen vaikutus induktanssilaskentaan

Voimajohdoissa käytetään yhden johtimen sijaan usein nippujohtimia, jolloin jokaiseen vaihejohtimeen kuuluu useampi osajohdin. Suomen kantaverkossa käytetään 2 tai 3 osajohtimen ratkaisuja, mutta laskennassa varaudutaan myös mahdollisuuteen käyttää neljää osajohdinta. Osajohtimien etäisyys toisistaan määräytyy johdon jännitetason mukaan siten, että 110 ja 220kV:n jännitetasoilla johtimien etäisyys toisistaan on 30 cm ja 400 kV:n jännitetasolla 45 cm. Useamman osajohtimen käyttö parantaa johdon voimansiirtokykyä kapasitanssin kasvun ja induktanssin sekä resistanssin pienenemisen kautta (Paavola, 1975, luku 51.7, s. 227). Samalla nippujohtimen pintakentänvoimakkuus alenee, jolloin syntyy vähemmän koronahäviöitä.

Osajohtimien lukumäärän vaikutuksen määritys aloitetaan tarkastelemalla osajohdinmäärän vaikutusta keskinäisinduktanssiin. Tarkastelun ensimmäinen askel on olettaa nippujohdin pistemäiseksi johtimeksi, joka sijaitsee osajohtimien muodostaman nipun keskipisteessä. Tämä oletus vastaa tilannetta, jossa kaikki osajohtimet ovat samassa potentiaalissa, sijaitsevat toisiinsa nähden symmetrisesti ja osajohtimen säde on huomattavasti johdinnippujen välistä etäisyyttä pienempi. Keskinäisinduktanssin laskentakaavaa 4.1-17 tarkasteltaessa huomataan helposti että

keskinäisinduktanssilaskennassa osajohtimien lukumäärä voi vaikuttaa ainoastaan johtimien tai johdinnippujen välisten etäisyyksien kautta. Kun ottaa huomioon tehdyn oletuksen, jossa nippujohtimet oletetaan pistemäisiksi johtimiksi, jotka sijaitsevat osajohtimien geometrisessä keskipisteessä, tulee kaavassa esiintyvä etäisyys ay korvata johdinnipun i ja johdinnipun j keskipisteiden välisellä etäisyydellä. Samalla tavoin tulee etäisyys Ay korvata johdinnipun i keskipisteen etäisyydellä johdinnipun j peilikuvan keskipisteestä. Keskipisteiden välisiä etäisyyksiä laskettaessa tulee huomioida riippuman vaikutus johtimen keskipisteen korkeuteen kaavojen 4.1-8 ja 4.1-9 opastamalla tavalla.

Valittujen oletuksien vallitessa osajohtimien lukumäärä ei siis vaikuta keskinäisinduktansseihin lainkaan, vaan vaikutuksensa antaa ainoastaan osajohtimien muodostaman nipun keskipisteen sijainti. Itseisinduktansseihin osajohdinten lukumäärä sen sijaan vaikuttaa. Osajohtimien lukumäärän vaikutus itseisinduktanssiin aloitetaan tarkastelemalla itseisinduktanssin yhtälöitä yksivaiheisen nippujohdon tapauksessa.

Johdin kuvataan osajohdinnippuna, jossa jokainen osajohdin on samanlainen ja osajohtimet ovat keskenään samassa potentiaalissa. Jokaisessa osajohtimessa oletetaan kulkevan yhtä suuri osa kokonaisvirrasta. Paluuvirran oletetaan kulkevan maaperän kautta ja sitä kuvataan maan pinnan alapuolelle sijoitetulla peilikuvajohtimella.

Tilannetta havainnollistaa kuva 4.7, jossa on kuvattuna kolmesta osajohtimesta koostuva vaihejohdin peilikuvineen. Osajohdinten välinen etäisyys on osoitettu kuvassa merkinnällä a. Osajohtimet esitetään kuvassa hieman erilaisina vain siksi, että ne voidaan kuvassa erottaa toisistaan ja yhdistää oikeaan peilikuvaan. Osajohtimet eivät ole fyysisesti erilaisia.

johdinnipun

maan pinta

f//ftf>>^{'77777777777777777777777771}

Kuva 4.7 Osajohtimista koostuva vaihejohdin peilikuvineen

Osajohdinten välisten induktanssien tarkastelu voidaan aloittaa yhden johtimen kokonaiskiertovuon kaavasta. Tähän kaavaan päästään kätevästi jo johdettujen kaavojen 4.1-4 ja 4.1-17 kautta, yhdistämällä ensin johtimen itsensä ja sen peilikuvan aiheuttaman kiertovuon kaava toisen johtimen aiheuttaman kiertovuon kaavaan. Vielä kun oletetaan muita johtimia olevan n kappaletta, saadaan kokonaiskiertovuo johtimelle i määritettyä kaavan 4.1-19 mukaisesti.

(Pi = (Pii, + ty im +%+■■■+ (Pin 4-1 -19

(pi =y2л" + + — + -In —

V aiJ

4.1-20

Koska virran oletetaan jakautuvan tasan kaikkien osajohtimien kesken, voidaan yhtälön osajohdinkohtaiset virrat korvata koko vaiheen virralla i. Siten yhden osajohtimen kokonaiskiertovuoksi saadaan

^ + lnA + in^l + ...+ ln^

V ^r. av a,.

4.1-21

Ho • 2л

Mr | ]n^”

4n n/r • a ■ • ...-a-У ' l **ij in

4.1-22

ja induktanssi osajohtimelle i saa alla olevan muodon.

/,= d (Pji Iß, . 1

dfi] 2 лу 4n n r ■ a ■ • ...• a-V 1 V In ^ Vn )

4.1-23

Koska laskennassa ei ole järkevää laskea jokaiselle osajohtimelle induktanssia erikseen, käytetään osajohtimille keskimääräistä induktanssin arvoa, joka määritellään ekvivalenttietäisyyden avulla, Ackv. Ekvivalenttietäisyyden käytöllä tehdään oletus, jonka mukaisesti jokainen osajohdin on yhtä kaukana kaikista osajohtimien peilikuvista.

Kyseinen ekvivalenttietäisyys lasketaan geometrisenä keskiarvona kaavan 4.1-26 mukaisesti.

Ekvivalenttietäisyyttä käyttämällä kaikilla osajohtimilla on sama keskiarvoistettu induktanssi. Tällöin osajohtimien rinnankytkennän, eli osajohtimien muodostaman vaihejohtimen, kokonaisinduktanssi muodostuu kaavan 4.1-24 esittämällä tavalla.

n / Ho.

2л 4 n In 4.1-24

Kun tätä saatua induktanssin kaavaa verrataan yleiseen johtimen itseisinduktanssin kaavan 4.1-11, huomataan että osajohdinten läsnäolo voidaan ottaa huomioon käyttämällä sisäisen magneettivuon termin nimittäjässä kerrointa n ja korvaamalla johtimen säde sekä etäisyys peilikuvastaan ekvivalenttitermein Ackv ja rekv. Näin saadaan

itseisinduktanssin kaava 4.1-25.

Ho H, i ^ekv

2л |^4n rekv ^ 4.1-25

X|S

■чГ

JS

II M VV- _■ (4, ■ A„j ■ ■.,Aj 4.1-26

= yjr¡ - dj 4.1-27

Ekvivalenttisäteen kaavassa r¡ on siis osajohtimen säde ja ay osajohtimen i etäisyys osajohtimesta j. Ekvivalenttietäisyyden kaavassa Ay tarkoittaa osajohtimen i etäisyyttä

osajohtimen j peilikuvasta. Laskennan helpottamiseksi voidaan vielä olettaa peilikuvien ekvivalenttietäisyys samaksi kuin nippujohtimen ja sen peilikuvan keskipisteiden välinen etäisyys koska Ay » ay. Tätä oletusta käytetään myös työhön liittyvässä laskentaohjelmassa.

Käytännön tapauksissa, joissa käytetään kahta tai kolmea osajohdinta, kaava 4.1-27 saa muodon 4.1-28.

4.1-28

Neljän osajohtimen tapauksessa on kuitenkin mahdotonta asetella johtimia siten että ne olisivat yhtä kaukana toisistaan. Tällöin johtimet oletetaan asetelluiksi ympyrän kehälle siten että kehällä vierekkäin olevat osajohtimet ovat yhtä kaukana toisistaan.

Asetteluesimerkki on esitetty kuvassa 4.8. Ekvivalenttietäisyys voidaan neljän osajohtimen tapauksessa laskea samalla tavoin kuin kahden tai kolmen osajohtimen tapauksissa, mutta ekvivalenttisäteen kaava saa kaavan 4.1-29 mukaisen muodon.

Kaavoja 4.1-28 ja -29 käytetään ekvivalenttisäteen määritykseen työhön liittyvässä laskentaohjelmassa.

osajohdin

Kuva 4.8 Neljän osajohtimen sijoittelu

4.1-29

Työhön liittyvässä laskentaohjelmassa itseisinduktanssin kaavaa 4.1-25 korjataan vielä Carsonin korjauskertoimilla, luvun 4.1.4 mukaisesti.

4.1.4 Carsonin korjauskertoimet

Aikaisemmin esitetyssä impedanssin laskentamallissa paluuvirran on oletettu kulkevan peilikuvajohtimissa. Käytännössä näin ei kuitenkaan ole, vaan paluuvirta jakautuu maaperän eri kerroksiin taajuuden ja maaperän resistiivisyyden funktiona. Paluuvirran kulkutie vaikuttaa johtojen impedansseihin ja tämä impedanssimuutos huomioidaan Carsonin korjauskertoimien avulla. Impedanssilaskennan yhtälöt johdettiin peilikuvajohdinta käyttäen siksi, että Carsonin korjauskertoimien hyödyntäminen olisi mahdollisimman helppoa. Näiden kertoimien käyttö on yleisesti hyväksyttyä ja vaikka tekniikka onkin vanha, pidetään sitä edelleen hyvänä laskentatapana. (EPRI, 1982, luku 8.9, s.364)

Esitetty Carsonin korjauskertoimien käyttötapa pohjautuu Electric Power Research Institutem (EPRI) julkaisuun vuodelta 1982: "Transmission Line Reference Book, 345kV and above, Second edition". Teoria verifioitiin vertaamalla sitä muihin luotettaviin julkaisuihin. (Carson, 1926, Wave Propagation, s. 539 - 554)(Methods Analysis Unit, 1982, Appendix 1, s 168)

Paluuvirran kulkutien aiheuttamat laskennalliset muutokset olisi mahdollista ratkaista myös monella muulla menetelmällä, kuten esimerkiksi kompleksisen syvyyden käytöllä. Kuitenkin nämä muut tarkoituksenmukaiset laskentamenetelmät ovat melko vanhoja, ja siksi menetelmissä on käytetty usein yksinkertaistuksia jotta yhtälöitä olisi helppo ratkaista käsin laskemalla. (Gross, 1953, s. 1323-1336) Nykyaikana käytettävissä oleva tietokoneiden suuri laskentakapasiteetti tekee kuitenkin nämä yksinkertaistukset tarpeettomiksi. Tätä liiallisten yksinkertaistuksien ongelmaa ei esiinny Carsonin kertoimissa, koska tekniikka perustuu päättymättömiin sarjoihin. Näin ollen haluttu laskennan tarkkuus ja monimutkaisuus voidaan suoraan ratkaista sillä, kuinka monta termiä näistä päättymättömistä sarjoista hyödynnetään. Carsonin kertoimien käyttö on yksi vanhimmista edelleen tarkkoina ja luotettavina pidetyistä menetelmistä. Sitä on käytetty jo kymmenien vuosien ajan. Tämä pitkä käyttöaika antaa takeen menetelmän luotettavuudelle ja tarkkuudelle käytännössä.

Carsonin korjauskertoimien käyttöönotto aloitetaan matriisimuotoisesta jänniteyhtälöstä 4.1-30. Yhtälössä johtimen itseisimpedanssit, ZiU sijoittuvat impedanssimatriisin

lävistäjälle ja muut impedanssialkiot ovat siten keskinäisimpedansseja, Z,y. Yhtälössä esiintyvä jännite Us¡ kuvastaa johtimen i syöttävän pään jännitettä. Jännitteen nollakohdaksi on valittu syöttävän pään maaperän potentiaali. (EPRI, 1982, kaava 3.4.20, s.133)

~un~ "z„ Z,2 .

. zv- A

US2 Z2\ Z 22

. zv

= . • 4.1-30

Um. Za Z i2 ■ • •

4.

Kun maaperä on kuvattu ideaalisena johteena, muodostuvat itseisimpedanssit johtimen itseisinduktanssista ja resistanssista. Keskinäisimpedanssit ovat tällöin puhtaasti imaginaarisia. Induktanssien laskentakaavojen 4.1-25 ja 4.1-18 avulla saadaan impedanssien ratkaisukaavat seuraavaksi esitettyjen kaavojen muotoon.

z,j =j<- = j^ln^

2л 4

a„ 4.1-31

Z„ ~Ri + j °^n - Ri +j^0 2л v

£L 4 n

-In ^2-

ekv

4.1-32

Tähän asti on siis oletettu maaperän olevan ideaalinen johde. Kun maaperän epäideaalinen johtavuus halutaan ottaa huomioon, käytetään Carsonin koijauskertoimia kaavojen 4.1-33 ja -34 esittämillä tavoilla. (EPRI, 1982, kaavat 3.4.22 ja 3.4.24, s. 133)

z</=j 0)lv = <щ0 2л

jln-^ + 2(P + jß) a„

\ v

4.1-33

zn = P, + j <d¡, -R¡ + (Ур.0 27Г J-

4п _'ekv + 2(Р+)Q) 4.1-34

Kaavoissa 4.1-33 ja -34 Carsonin korjauskertoimia merkitään kirjaimin Q ja P.

Korjauskertoimet määritellään alun perin päättymätöminä sarjoina, mutta työssä käytettävälle laskennalle riittävä tarkkuus on oletettu saavutettavan neljällä

ensimmäisellä sarjan termillä. Näiden neljän ensimmäisen termin mukaisesti P ja Q määritellään kuten yhtälöissä 4.1-35 ja -36. (EPRI, 1982, kaavat 3.4.26 ja 3.4.27, s. 134)

P = —----\=kcos6 +—cos(20) •

8 Зл/2 16

k2 „ . / ч k2 cos(30) 7i • k4 cos(4ö)

16 v ' 45V2 1536

f ( 2 X\

0,6728 + In -

v

UJJ

Q = -0,0386 + —In

* 2

* Г

k cos в - Я ^ - cos(2^)

к2 cos(30) к4в . ---i---L--- ci

45V² 384 (46)- к4 cos(40) 384

64 r Л

V U у

4.1-36

Itseisimpedanssin ja keskinäisimpedanssin korjauskertoimet eroavat toisistaan sekä muuttujan k, että muuttujan 0 määrittelyn osalta. Näiden muuttujien määritelmät itseisimpedanssin osalta esitetään kaavoissa 4.1-37 ja -38. Vastaavat määritelmät keskinäisimpedanssille esitetään kaavoissa 4.1-39 ja -40. Kaavoissa esiintyvä pg on maaperän resistiivisyys [Hm] ja H¡j johtimien i ja j horisontaalinen etäisyys toisistaan [m]. Taajuuden f yksikkö on Hz.

i = j

k = 2.81 • 10-3 • Au • 4.1-37

0 = 0 4.1-38

i*j

k = 2.81 -10-3 - Ay 4.1-39

0 = arcsin л

У

4.1-40

4.1-41

Carsonin korjauskertoimien teoriasta kertovat lähteet eivät anna tarkkaa kuvaa siitä, miten yksiköt muuttujan k vakiokerroinosalle johdetaan. Tämän diplomityön laajuuden ja työhön käytettävissä olevan ajan puitteissa Carsonin korjauskertoimien perinpohjainen uudelleenjohtaminen yksikkötarkastelua varten nähdään tarpeettomaksi, ja tyydytään antamaan kyseiselle vakiokertoimelle lähdekirjallisuuden mukainen yksikkö, kaava 4.1-41. Kyseistä yksikköä käyttämällä muuttujasta k saadaan laaduton suure, eikä logaritmia oteta laadullisesta luvusta yhtälöissä 4.1-35 ja -36. Tämä ratkaisu voidaan tehdä, koska Carsonin korjauskertoimien käyttö on yleisesti hyväksytty laskentatekniikka, ja ratkaisu on yhtenevä lähdekirjallisuuden teorian kanssa. (EPRI, 1982, luku 3.4, s. 134) (Carson, 1926, Wave Propagation, s. 539 - 554)(Methods Analysis Unit, 1982, Appendix 1, s 168)

Työhön liittyvässä laskentaohjelmassa käytetään siis kaavojen 4.1-33 ja -34 mukaista impedanssilaskentaa. John R. Carsonin kehittämien korjauskertoimien tarkempi teoria ja johtaminen on nähtävissä julkaisussa Bell System Technical Journal, volume 5.

Kertoimia käsittelevä osuus löytyy otsikon "Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return" alta, sivulta 539. Julkaisu on vuodelta 1926.

4.2 Kapasitanssilaskenta

Rinnakkaisten johtojen keskinäisten vaikutusten määrittämiseksi on induktanssien lisäksi olennaista tietää myös johtimien kapasitanssit, joiden ratkaisu tapahtuu potentiaalikertoimien kautta. Tämä ratkaisuprosessi aloitetaan esittämällä miten kapasitanssien ratkaisussa päädytään potentiaalikertoimiin, jonka jälkeen paneudutaan itse potentiaalikertoimien ratkaisuun.

Ratkaisu aloitetaan sähkö vuon tiheyden peruskaavoista 4.2-1 ja 4.2-2, joissa D merkitsee sähkövuon tiheyttä ja A on pinta-ala jonka lävitse sähkövuo 4* kulkee.

(Paavola, 1975, kaavat 52.3 ja 52.4, s.244)

4.2-1

D = еК 4.2-2

Käyttämällä kaavaa 4.2-1 voidaan johtimen i aiheuttama hetkellinen sähkövuon tiheys valitulla lieriöpinnalla määrittää kaavan 4.2-3 mukaisesti. Tilannetta selventää alla oleva kuva 4.9. Valitun lieriöpinnan säde on x ja q¡ on johtimen hetkellinen varaus pituusyksikköä kohden.

4.2-3 2л-x

fr- j У

Kuva 4.9 Johtimen hetkellinen varaus ja sitä ympäröivät lieriöpinnat

Sähkövuon tiheyden hetkellisarvosta voidaan ratkaista kaavan 4.2-2 avulla sähkökentän voimakkuuden hetkellisarvo, kaava 4.2-4.

e 2ne-x

Kun tämä sähkökentän voimakkuuden hetkellisarvo ja varaus q¡ tiedetään, voidaan siitä ratkaista kaavan 4.2-5 avulla kyseisen lieriöpinnan potentiaali, eli jännite maan suhteen.

Tämä esitetään kaavalla 4.2-6. Kaavassa 4.2-5 oleva matka 5 on positiivinen kun se kuljetaan sähkökentän suuntaisesti, eli poispäin positiivisesta varauksesta. (Paavola,

1975, luku 52.2, s.245)

4.2-5

u¡ =

J

n

=-2¡-.fIdr 2ле ; x

Ч,

2 ne 4.2-6

Seuraavaksi tilannetta muutetaan siten, että kyseinen johdin ajatellaan yksivaiheisena johtimena ja mukaan otetaan myös paluujohtimen vaikutus potentiaaliin. Tällöin vaihejohtimen varauksen aiheuttama osajännite saadaan kaavasta 4.2-6, ja paluujohtimen varauksen aiheuttama osajännite on

и, =--- in —.

2ne rj

Johtimien väliseksi jännitteeksi muodostuu siten 4i , a2

и - и, - и--- ln--- . 1 2ле rirj

4.2-7

4.2-8

Kuva 4.10 Vaihejohtimen ja paluujohtimen muodostama sähkökenttä

Kaava 4.2-8 kertoo siis kaukana maasta olevan yksivaihejohdon potentiaalin ja siitä voidaan johtaa edelleen johtimen ja maan välisen jännitteen laskukaava siten että paluujohdin sijoitetaan maatason alapuolelle vaihejohtimen peilikuvaksi. Tällöin maataso toimii tasapotentiaalipintana, johon kenttäviivat kohdistuvat kohtisuoraan, ja jonka suhteen johtimella on jännite

u,-Uj и ---

2

4.2-9

Kun vielä johtimen sekä sen peilikuvan säteet merkitään yhteneviksi ja johdinten välinen etäisyys a määritellään johtimen korkeuden avulla, saadaan johtimen ja maan väliseksi jännitteeksi kaava 4.2-11. Kyseisen kaavan johtaminen tehdään jo lasketun kaavan 4.2-8 avulla. Korkeutena h käytetään johtimen keskikorkeutta ja siihen voidaan jälleen huomioida riippuman vaikutus kaavan 4.1-9 mukaisesti. (Paavola, 1975, luku

52.3, S.246)

4.2-10 a = 2h

4.2-11 2ne

Koska maataso voidaan laskennallisesti kuvata vakiopotentiaalipintana, voidaan mielivaltaisen vaihejohtimen vaikutus minkä tahansa pisteen 7 potentiaaliin maan suhteen laskea peilikuvamenetelmää käyttämällä (Lindell ja Sihvola, 1995, luku 4.6.1, s. 118). Kaavoissa esiintyvä a\¡ on johtimen i ja pisteen Y välinen etäisyys. Vastaavasti peilikuvajohtimen etäisyyttä pisteeseen Y merkitään tunnuksella ayy. Ensin saadaan vaihejohtimen synnyttämäksi osajännitteeksi pisteen Y ja maatason välille

4.2-12

ja peilikuvajohtimen synnyttämäksi osajännitteeksi pisteen 7ja maatason välille

4.2-13

Johtimen ja sen pelikuvan synnyttämä potentiaaliero pisteeseen 7 on siten

W y. "I" U у; 4i 2 ne

f , \ ln— a

4i 2 ne

f . л ln —

aTj

-ьЛ

2ле ок 4.2-14

Tämän mielivaltaiseen pisteeseen aiheutetun potentiaalieron laskukaavan avulla voidaan siirtyä useampien johtimien aiheuttamien potentiaalierojen ratkaisuun. Potentiaalierojen yleinen ratkaisukaava johdetaan asteittain kolme johdinta sisältävän esimerkkitapauksen kautta. Kuva 4.11 esittää tarkasteltavan kolmen johtimen mallin.

Kuva 4.11 Kolmessa vaihejohtimessa kulkevien hetkellisen varausten kapasitanssit

Kun johtimia tarkastelussa useampi kuin yksi, on jokaisen johtimen jännite kaikkien siihen vaikuttavien osajännitteiden summa.

U\=un+un+uu 4.2-15

Johtimen itsensä aiheuttama osajännite saadaan kaavasta 4.2-11 ja muiden johtimien aiheuttamat osajännitteet saadaan kaavasta 4.2-16. Kyseinen kaava saadaan kaavasta 4.2-14 valitsemalla mielivaltainen piste Y sen johtimen paikalle, johon kohdistuvat osajännitteet halutaan laskea.

U a =

J 2 KE 1»A

a,:

4.2-16

w, =- Чх

2ke

h3í

v У + Ч 2

2пе

( л Л1п^

V а₁₂

Чъ 2ле

/ л л 1п^

V а₁₃ 4.2-17

Tämä yhtälö voidaan esittää myös Maxwellin potentiaalikertoimia käyttäen, jolloin se saa kaavan 4.2-18 esittämän muodon. (Paavola, 1975, kaava 52.14, s.249)

Mi =ЧхРи+Ч2Рх2+ЧзРхз 4.2-18

Samojen potentiaalikertoimien avulla voidaan helposti muodostaa matriisiyhtälö, joka esittää kaikkien johtimien jännitteiden riippuvuuden johdinten varauksista.

“l ^>11 Pn Px ъ Чх u2 = P2\ Pii Р2з Ч2 M3 _Ръ\ P32 Ръъ „ Чъ,

4.2-20

Jos johtimessa kulkevaa hetkellisen varauksen suuruutta tarkastellaan kapasitanssien ja yleisesti tunnetun yhtälön 4.2-20 kautta, saadaan johtimen 1 varaukseksi kuvan 4.11 perusteella

4x =Micu +(«i -м2)с12 +(m, -m3)c13 4.2-21 ja vastaavaksi kaikkia varauksia koskevaksi matriisiyhtälöksi

Ч\ ^{С11 С12 С13 Ci 2 — С13}

V

Ч2 ^{— — С21} С2 2 + С21 + С23 — С23 • и2

Чъ, ^{— С31 — С32} с33 +с31 +с32 и3

Kun matriisiyhtälö itä 4.2-19 ja 4.2-22 verrataan toisiinsa, on helppo havaita käänteismatriisin ja potentiaalikerroinmatriisin kaavan 4.2-23 välinen yhteys. Jos käsiteltävien johtimien lukumäärä on n, saadaan kapasitanssien arvot potentiaalikertoimien kautta kaavan 4.2-24 mukaisesti

Рп Р\1 Рхъ

-1

С11 С12 С13 — С12 _ С13

Рг\ Pil Ргъ = ^{— С2)} С21 +С2| + С23 — С23

_Ръ\ Ръ2 Ръъ, ^{— C3i — С32 С33} + ^{СЪХ С32 _}

4.2-23

Pu - Pu ^-1 C„ + ... + C,„ C¡ 2 -c,„

=

~C21 C21 C22 +••• + C2n

Pm P ^{nn .} ~cm Cn\ +- + cnn_

4.2-24

4.2.1 Useamman osajohtimen vaikutus kapasitanssilaskentaan

Aivan kuten vaihejohtimen induktanssiin, on useamman osajohtimen käytöllä vaikutusta myös vaihejohtimen kapasitanssiin. Tämä luku esittää miten useamman osajohtimen vaikutus voidaan huomioida kapasitanssilaskennassa. Osajohtimien lukumäärän vaikutusta tarkastellaan siten, että osajohtimien oletetaan olevan fyysisesti identtisiä ja samassa jännitteessä. Osajohtimien lukumäärän vaikutuksen määritys aloitetaan tarkastelulla jossa nippujohdin oletetaan pistemäiseksi johtimeksi, joka sijaitsee osajohtimien muodostaman nipun keskipisteessä. Tässä tapauksessa ei osajohtimien rakenne tai lukumäärä vaikuta lainkaan kyseisen nippujohtimen ja toisten johtimien välisiin potentiaalikertoimiin. Tämä havaitaan keskinäispotentiaalikertoimen kaavasta 4.2-16. Osajohtimien lukumäärä vaikuttaa siis ainoastaan itseispotentiaalikertoimiin. Merkillepantavaa kuitenkin on, että matriisin kääntämisen takia, kaava 4.2-23, osajohtimien lukumäärä vaikuttaa kuitenkin kaikkiin kapasitansseihin.

Seuraavaksi tarkastellaan miten osajohtimien lukumäärä vaikuttaa vaihejohtimen potentiaalikaavoihin ja sitä kautta vaihejohtimen itseispotentiaalikertoimeen. Koska osajohtimien lukumäärällä on vaikutusta vain itseispotentiaalikertoimeen, tarkastelussa voidaan käyttää esimerkkinä yksivaiheista järjestelmää. Tarkastelu aloitetaan kirjoittamalla johdinnipussa a olevan osajohtimen / jännitteen kaava 4.2-25. Kyseisessä kaavassa on osajohtimen i itsensä aiheuttama osajännite ja щ on osajohtimen j aiheuttama osajännite osajohtimen i jännitteeseen. Merkintä n kertoo osajohtimien lukumäärän.

и = tl- + и +...+ и_{ia ii ij} ... 4.2-25