Matemaattiset oppimisvaikeudet (69213, 5 op)

Matemaattiset oppimisvaikeudet (69213, 5 op)

- kurssi matemaattisten taitojen kehityksestä, oppimisvaikeuksista,

arvioinnista ja interventioista Osa 1: Kehitys

Lokakuu 2016 Professori Pirjo Aunio

Kurssin aikataulu ja paikat

Maanantai 10.10.2016 klo 8.15-9.45 Psy. Aud A132 (2 t) klo 16.15-17.45 Psy. Aud A132 (2 t) Tiistai 11.10.2016 klo 14.15-17.45 Psy. Aud A132 (3 + 1t)

klo 18.15-19.45 OTR (2 t) (Kehitys) Keskiviikko 12.10.2016 klo 8.15-9.45 Psy. Aud A132 (2 t)

klo 16.15-17.45 Psy. Aud A132 (2 t) klo 18.15-19.45 OTR (2 t)

(Arviointivälineet)

Torstai 13.10.2016 klo 8.15-11.45 Psy. Aud A132 (4 t) 18.15-19.45 OTR (2 t)

(Interventio-ohjelmat)

Perjantai 14.10.2016 Klo 8.15-11.45 Psy. Aud A132 (4t) 20 x 45 min luentoja ja OTR 6 x 45

5.10.2016

Pirjo Aunio 2

Kurssin tavoitteet (sisältö):

n 

Ymmärtää matemaattisten taitojen tavallista ja poikkeavaa kehitystä

n 

Oppi ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia ja niihin liittyvää arviointia sekä interventiotutkimusta

n 

Syventää osaamistaan matematiikan oppimisvaikeuksista ja niihin liittyvistä taustatekijöistä (esim. kognitiiviset

tekijät, ympäristölliset tekijät)

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)

Vaihtoehto 1:

n  Berch, D., & Mazzocco, M.M.M (toim.) (2007). Why is math so hard for some children? The nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Paul H. Brookes. 441 s.

JA

n  Chinn, S. (toim.) (2015). The Routledge international handbook of dyscalculia and mathematical learning difficulties. London: Routledge. 419 s.

Vaihtoehto 2:

n  Gersten, R., & Newman-Gonchar, R. (toim.) (2011). Understanding RTI in

mathematics: Proven methods and applications. Baltimore, Paul H. Brookes. 219 s.

JA

n  Henry, L. (2012). The development of working memory in children. Los Angeles:

Sage. 384 s.

Pirjo Aunio 4

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)

Vaihtoehto 3

n  Price, G.R., & Ansari, D. (2013). Dyscalculia: Characteristics, causes and treatments. Numeracy, 6(1), 1-16.

n  Jordan, N., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and individual

differences, 20(2), 82-88.

n  LeFevre, J-A., Berrigan, L., Vendetti, C., Kamawar, D., Bisanz, J., Skwarchuk, S-L.,

& Smith-Chant, B. L. (2013). The role of executive attention in acquisition of

mathematical skills for children in grades 2 through 4. Journal of experimental child psychology, 114(2), 243-261.

n  Korhonen, J., Linnanmäki, K., & Aunio, P. (2013). Learning difficulties, academic well-being and educational dropout: A person-centered approach. Learning and individual differences, 31, 1-10.

n  Toll, S. W.M., & Van Luit, J.E.H. (2012). Early numeracy intervention for low- performing kindergartners. Journal of early intervention, 34(4), 243-264.

n  Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to

Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060).

Kurssin suorittaminen

n 

Luentoasiat + yksi kokonaisuus vaihtoehtoisesta kirjallisuudesta

n 

Kaksi tieteellistä esseetä (yksilösuorite)

n aiheet annetaan perjantaina 14.10

n Palautus s-postilla on 4.11.2016 klo 16.00

n Arviointi 0-5, molemmat esseet oltava vähintään 1 päästäkseen läpi

n Uusinnat tiedekunta/laitostentissä

Pirjo Aunio 6

Matemaattisten perustaitojen

kehitys

Ennen koulua

Alakoulussa

Kehityksen taustatekijät

Työmuisti (toiminnan ohajusfunktiot)

SES

kieli

Matematiikan oppimisvaikeudet

Dyscalculia

Mat. Op. Vaik

Heikko osaaja

Taitojen arviointi

Kehit.psyk testit ja seulat

OPS-pohjaiset mittarit

Observointi, haastattelu,

portfolio,

Pedagoginen tukeminen

Interventioista

Kurssin sisältöä tarkemmin

Oppimisen/kehityksen ymmärtäminen

Oppimisen/kehityksen arviointi (heikkojen

löytäminen) Oppimiseen/

kehitykseen puuttuminen (interventio)

8

Erityispedagogisen ajattelun pilarit

Mitkä ovat matemaattiset perustaidot?

Mitä arvostetaan, mihin keskitytään, mistä ollaan huolissaan?

6.10.16 Pirjo Aunio

Keskeiset matemaattiset taitorypäät

esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla

I vaihe:

testit joiden tarkoituksena on arvioida 5-8 -vuotiaiden lasten matemaattista osaamista.

Tarkasteluun otimme testit,

n 

joihin oli julkaistu normit (eli on tieto miten lapset suoriutuvat testistä keskimäärin + validointiprosessi)

n 

jotka olivat opettajien käytössä useissa eri maissa

n 

joissa mitattiin erityyppisiä matemaattisia taitoja

n 

jotka eivät olleet opetussuunnitelma riippuvaisia

Lukukäsitetesti (Van Luit, et al. 1994), Number Knowledge Test (Griffin 2003), Early Numearcy (Wright et al. 2006) ja TEMA-3 (Ginsburg & al. 2006)

II Vaihe: Pitkittäistutkimukset

Keskeiset matemaattiset taitoryppäät esi-ja alkuopetusikäisillä lapsilla

(Aunio & Räsänen, 2016 kts. myös www.lukimat.fi

)

lukumäärän laskutaidot matemaattis-loogiset

periaatteet

yhteen- ja vähennyslaskutaidot Aritmeettiset perustaidot Laskemisen taidot

aritmeettiset yhdistelmät Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

aritmeettiset periaatteet

lukujonon luettelemisen taidot

paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä

Lukumääräisyyden taju

matemaattiset symbolit

numerosymbolien hallinta

6.10.16 Pirjo Aunio

Laskemisen taidot

Lukujonon luettelemisen taidot

1.  Lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin

(

usein: Osaatko sinä laskea?)

2.  Lukujonon luetteleminen hyppäyksittäin (l. sanomalla joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku)

3.  Lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta (l. jatka laskemista luvusta kahdeksan eteenpäin)

q  Number words sequence skills (synonyms often acoustic

counting, reciting number words, counting) (VanDerHeyden et al.

2006; Clarke and Shinn 2004)

Laskemisen taidot (jatkuu)

Lukumäärien laskemisen taidot:

1.  Osaa luetella lukujonon oikeassa järjestyksessä

2.  Osaa luoda yksi-yhteen-suhteen sanotun sanan ja laskettavan esineen sekä osoittavan eleen välille

3.  Oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo sen kuinka monta esinettä kokonaisuudessa on

4.  Oivaltaa, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä ja asioita voi laskea

5.  Tietää, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran

n  Enumeration (often counting the numerosity of a set, counting, cardinal meaning of number, counting objects) Child uses her/his number word sequence skills to

6.10.16 Pirjo Aunio

Laskemisen taidot (jatkuu)

Numerosymbolien hallinta:

1. Yhdistää sanottu lukusana -> numerosymboliin (nimeäminen ja tunnistaminen).

v Lapselle sanotaan joku lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaava numerosymboli

v  Lapselle näytetään joku numerosymboli ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaava lukusana.

2. Ilmaisee numerosymboleilla lukumääriä

v Pyydetään näyttämään se numerosymboli mikä on yhtä suuri kuin näytettyjen esineiden lukumäärä

v Näytetään numerosymboli ja pyydetään antamaan yhtä monta esinettä

n Symbol-verbal and verbal-symbol transitions = word identification and

recognition of numbers (e.g. choose number in VanDerHeyden et al. 2006)

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen

2 v .

• Primäärinen ymmärrys lukumääristä

• lukusanoilla viitataan eri lukumääriin

• hyvin karkeat lukumäärät selkeitä

3 v

• Lorumainen laskeminen

• käsittelee numeroita osana lauluja ja loruja

• ei välttämättä erota lukusanoja erillisinä sanoina vaan rimpsuna ‘yksikaksikolmeneljä

4 v

• Eriaikainen laskeminen

• Ymmärtää, että lukusanoja voidaan käyttää esineiden laskemiseen

• Osaa luetella lukusanat oikeassa järjestyksessä, mutta ei kykene osoittamaan esinettä ja merkkaamaan sitä samaan aikaan.

• Jättää laskematta jonkun esineen, laskee (merkkaa) yhden esineen kaksi kertaa

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen (2)

4-5 v

• Samanaikainen laskeminen

• Sanoo lukusanan , osoittaa esineitä

• Hallitsee 1-1-suhteella operoimisen

• Järjestää esineet , yhdistää niihin lukusanan (l. laskee)

5 v

• Tuloksen laskeminen

• Laskeminen alkaa luvusta yksi

• Jokainen esine lasketaan vain kerran

• Viimeinen lukusana kertoo esineiden lukumäärän

6 v.

• Lyhentynyt laskeminen

• Kykenee tunnistamaan tietystä lukujoukosta numeron, josta he jatkavat laskemista

• Ei enää tarvitse aloittaa luvusta yksi, kun heiltä kysytään esineiden lukumäärää.

6.10.16 Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

n  Lukujonon luettelemisen ja lukumäärän

laskemisen taitojen kehittyessä alkavat lapset myös harjoitella aritmeettisia perustaitoja

n  Pienillä luvuilla & lukujen luettelu ja sormilla esineillä laskeminen

n  Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy,

lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia ja usein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voi

palauttaa vastauksen suoraan muistista (l.

aritmeettisten yhdistelmien muistaminen)

n  Kehityksen kuluessa lapsi keksii uusia

6.10.16 Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

n  Aritmeettisista perustaidoista keskeisiä esi- ja alkuopetusiässä ovat yhteen- ja

vähennyslaskutaidot -> sujuva peruslaskutaito

n  2lkn keväällä ja 3:lla luokalla yhteen –ja

vähennyslaskutaidon oletetaan yksinumeroisilla

luvuilla olevan suhteellisen sujuvaa ja aletaan

opetella kerto- ja jakolaskua

Aritmeettiset perustaidot

n  Laskutoimitukset eroavat siinä, missä määrin niiden harjoittelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat

n 

Kertolasku pohjaa ulkoaoppimiseen ja siinä muistista hakeminen on keskeinen strategia

n 

Vähennys – ja jakolaskuissa on vähemmän ulkoaoppimista – niissä käytetään erilaisia

laskustrategioita useimmiten pohjaten yhteen – ja

kertolaskuun.

6.10.16 Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

n  Se mitä strategiaa lapsi käyttää riippuu esimerkiksi laskun tekijöistä:

n Esikoululainen voi muistaa ulkoa vastauksen osaan

”pienistä” laskuista (1+1, 2+2, 1+2)

n Kun laskuissa vaaditaan 10-ylitystä (8+6, 9+5) on se jo hankalampi (laskemisen strategia käyttöön)

n 0 ja 1 sisältävät laskut näyttää nojaavaan sääntöjen muistamiseen (esim. kun nollan lisääminen ei muuta lukumäärää)

Aritmeettiset perustaidot

n  Strategiat selviää seuraamalla lapsen laskemista ja

pyytämällä häntä selittämään, miten ratkaisee tehtävän

n  Tavallisesti lapsilla on käytössään useita strategioita

n  Sujuva laskija:

n Pääasiassa palauttaa vastauksen nopeasti muistista

n Tarvittaessa valitsee muista strategioista tehtävään sopivimman

n  Niillä lapsilla, joilla on matematiikan oppimisvaikeuksia

n on käytössään yleensä vain hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita

n Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen on heille vaikeaa (pysyy vaikeina – tarvitsee tukea!)

Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen

6.10.16 Pirjo Aunio

n 

Asteittain:

n Luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista

n 

Vähennyslaskustrategiat ovat vaikeampia kuin yhteenlaskustarategiat

- 

Vähennyslaskuissa pitää muistaa useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa

- 

Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteen- ja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa

§ 

Laskutehtävien ratkominen aloitetaan lukujen luetteluun pohjatuvien strategioiden kautta

§  Konkretian ja visuaalisen tuen avulla (esineet, sormet, piirtäminen)

§  Mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla

§  Eri tapoja käyttää lukujonoa laskemisessa tueksi:

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategita yhteenlaskussa – konkretia/visuaalinen tuki

Laske kaikki, aloita alusta Esim. 3 + 2 = ? Lapsi laskee kolme esinettä yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen

laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa tulokseksi viisi.

Laske toinen luvuista, aloita alusta Esim. 3 + 4 = ? Lapsi näyttää sormillaan suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen suoraan sormien lukumäärästä.

Laskeminen eteenpäin Esim. 4 + 3 = ? Lapsi näyttää sormillaan luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla

"5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi sanottu lukusana.

Laskeminen eteenpäin, aloittaen suuremmasta luvusta

Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän näyttää

sormillaan luvun viisi ja laskee sormien avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.

Pirjo Aunio 24

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia yhteenlaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen

Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä

luvusta Esim. 3 + 4 = ? Lapsi aloittaa

luvusta 3 ja laskee mielessään eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.

Laskeminen eteenpäin suuremmasta luvusta

Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa

laskemisen suuremmasta luvusta.

Hän sanoo luvun viisi ja laskee mielessään eteenpäin "6, 7".

Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia

vähennyslaskussa – konkretia/visuaalinen tuki

Laske kaikki, aloita alusta Esim. 5 – 3 = ? Lapsi laskee viisi esinettä yksitellen. Sitten hän laskee pois kolme esinettä, laskee jäljelle jääneet ja saa tulokseksi kaksi

Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin sormien tuella ”5, 6, 7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.

Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran

Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa

laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien avulla taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”.

Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.

Laskeminen eteen- ja taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla tavalla tarvitsee laskea vähemmän.

Esim. laskussa 9 – 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2.

Pirjo Aunio 26

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia

vähennyslaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen

Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin mielessään ”5, 6, 7”.

Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.

Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran

Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee

mielessään taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.

Laskeminen taaksepäin annettuun lukuun asti

Esim. 8 - 6 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään

taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli 2.

Laskeminen eteen- tai taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla

6.10.16 Pirjo Aunio

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen

§ 

Palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (2+3=5)

§ 

Johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta

§  6-3=3 joten 6-4=2, koska luku 4 on yhden suurempi kuin 3

§ 

Pilkkoo laskun osavaiheisiin ja kokoaa laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan

lukujärjestelmästä

§  7+5 -> 7 + (3+2) -> 10 + 2=12

§ 

Toisen laskun kautta laskun johtaminen voi auttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista

§  Tuplien kautta oppiminen + niitä lähellä olevat aritmeettiset yhdistelmät

Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa

Tupla +1, +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja

lisätään siihen yksi tai kaksi.

esim. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13

Tupla -1, -2 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja

vähennetään siitä yksi tai kaksi.

esim. 7 + 6 = (7 + 7) - 1 = 13

10-parit Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja.

esim. 8 + 2 = 10, joten 8 + 3 = 11

10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa

toisena tekijänä on 10.

esim. 10 + 8 = 18, joten 9 + 8 = 17

Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin

palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Myöhemmin tästä

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa – lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia

vähennyslaskuissa

Tupla +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa

ja lisätään siihen yksi.

esim. 13 - 6 --> 6 + __ = 13 --> 6 + (6 + 1) = 13

Tupla -1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa

ja vähennetään siitä yksi.

esim. 11 - 6 --> 6 + __ = 11 --> 6 + (6 - 1) = 11

Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin

palikoilla, kun toisesta

palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Tätä mielikuvaa käytetään hyväksi myös vähennyslaskussa.

esim. 12-7 --> 6+6=12, joten 7+5=12

Pirjo Aunio 30

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa – vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia

vähennyslaskuissa

10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa

toisena tekijänä on 10. Esim. 16-10=6, joten 16-9=7

Toisen tunnetun yhdistelmän kautta Esim 12-7=>12-8=4, joten 12-7=5

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa

Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä

kymmenen yli lisää. Esim 8+5->

(8+2)+3=10+3=13

Pirjo Aunio 32

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa

Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä

kymmenen yli lisää. Esim 13-6->

6+4=10, 10+3=13 -> 4 + 3= 7

Vähentäminen 10 kautta Luku vähennetään ensin kymmeneen ja otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä pois 12-7-> 12-2=10, 10-5=5

Vähentäminen kymmenestä Otetaan kymmenen yli menevä luku

”talteen”, sen jälkeen otetaan vähentäjä pois kymmenestä ja lisätään talteen laitettu luku muistista 12-4= (10-4) + 2=

8

Van den Heuvel-Panhuizen (1999/2001): Children Learn Mathematics

Wright et al. (2012): Developing Number Knowledge

Yksittäinen laskeminen esineillä ja/tai lukujonolla

• Välineiden lapsilähtöinen käyttö

Strukturoitu laskeminen välineillä

• Piilottaminen

• Välineiden ohjattu käyttö (ryhmittely, systemaattisuus)

• Välineiden nivominen strategioihin

Mielessä tapahtuva laskeminen ilman välineitä

• Muistista palauttaminen

• Toisten laskujen hyödyntäminen

• Faktojen muistaminen

34

Yhteen- ja vähennyslaskustrategioiden oppiminen ja kehityksen tukeminen

Aritmeettiset laskustrategiat

Lukujen luetteluun perustuvat strategiat

Välineet vapaasti

lasten käytössä Mielessä tapahtuva laskeminen

Strukturoitu laskeminen

Välineillä ohjatusti

Muistamiseen perustuvat strategiat

Toisen laskun kautta (derived facts)

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen (decomposition)

Suora muistista palauttaminen (fact

retrieval) Lukualue 1-20

Strukturoitu laskeminen – välivaihe/silta lukujen luettelusta muistista palautta

n 

Kymppipohja/viitospohja

n 

Helmitaulu (viiden kautta)

n 

Numeroruudukko -> lukusuoraan

n 

Tyhjä lukusuora

n 

Osa-kokonaisuus –pallomalli (esim. Emerson & Babtie, 2010)

n 

Matikka-vuori – Math-mountain (esim. Wright et al. 2012)

n 

Osa muistista palauttamista strategioista voidaan myös ottaa opetuksen kohteeksi

n 

Kielellistäminen

36

Strukturoidun laskemisen vaihe

n  Osa-kokonaisuus pallo –malli (esim.

Emerson & Babtie, 2010)

n  Matikka-vuori

(Wright et al. 2012)

12

2 10

6

Kerto – ja jakolaskutaidon kehittyminen

Pirjo Aunio 38

n 

Oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa

korostuu suuremmassa määrin ulkoaopettelu kuin yhteen- ja vähennyslaskussa

n 

Hakeminen muistista on keskeinen ratkaisutapa heti alusta lähtien

n 

Jakolaskun kehityksestä tiedetään vähemmän:

n Alussa yhteenlaskun avulla

n Kertolasku nousee nopeasti yleisemmäksi

n Jakolaskujen ratkaisu hankalaa ilman kertolaskun hallintaa (kertolaskun ja jakolaskun suhteen ymmärtäminen)

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kertolaskussa

§  Alkuvaiheessa toistuva yhteenlasku ja lukujonon

luetteleminen tietyn askeleen välein on yleisesti käytettjä strategioita

-  Ääneen tai mielessä luettelemalla lukujonoa (ei

visuaalista tukea) esim. viiden välein 5x4 -> 5, 10, 15, 20 -  Sormien avulla + luettelu, auttaa muistamaan montako

harppausta lukujonossa on menty (”viisi” yksi sormi,

”kymmenen” kaksi sormea)

n Osalle lapsista hyppiminen lukujonossa vaikeaa

-  Laskee yksitellen, piirtää viivoja, ryhmittelee, laskee ne -  => hidas, virhealtis, ei mielekäs

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen jakolaskussa

Pirjo Aunio 40

n Luettelupohjaiset strategiat:

-  Toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen kunnes saavutetaan jaettava

-  Toistuva vähennyslasku, jossa jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää kunnes päädytään nollaan -  Ryhmittely, lapsi miettii, kuinka monta jakajan suuruista

ryhmää jaettavasta saadaan

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa

n 

Aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista nousee yleisemmäksi strategiaksi

n  Kansainväliset tutkimukset (lisää lähde):

-  2- luokalla yleisin ratkaisutapa: lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuissa

-  4-luokalla (9 v) suurimmaksi osaksi (noin 70-80%

kertolaskuista)

n 

Jakolaskuissa

-  Muistiinpohjaavat strategiat: vastauksen hakeminen suoraan muistista, kertolaskun avulla vastauksen ratkaiseminen, sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin osiin -  Vähiten automatisoituva

-  6-7 luokalla yhdistelmien muistamista käytettiin vähemmän kuin kertolaskua

6.10.16 Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

Matemaattis-loogiset periaatteet

l. säännönmukaisuuksien ymmärtäminen ja soveltaminen määrällisessä kontekstissa

1. Sarjoittaminen (Bryant 1996)

(esim. Järjestä nämä kukat pisimmästä lyhyinpään) 2. Vertailu (Sophian 1998)

(esim. Kummassa laatikossa on enemmän kuulia?) 3. Luokittelu (Smith 2002)

(esim. Laita tähän laatikkoon kaikki siniset suuret pallot?) 4. Yksi-yhteen suhde (Alibali & DiRusso 1999)

(esim. Missä laatikossa on riittävästi pipoja näille viidelle lapselle?)

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen (jatkuu)

Aritmeettiset periaatteet

(l. osa-kokonaisuus -suhteiden ymmärtäminen)

1) kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista

luku kuusi voidaan muodostaa laskemalla yhteen esimerkiksi 5+1;

4+2; tai 3+2+1.

2) yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansa

järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos -> a+b=b+a.

6.10.16 Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –

aritmeettiset periaatteet (jatkuu)

3) yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja saadaan sama tulos

-> (a+b) + c = a + (b + c)

4) käänteisyyden periaate, millä tarkoitetaan sitä, että yhteen-ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa

->3+1-1=3

n  often the understanding of part-whole relations in addition or subtraction tasks (Canobi, Reeve & Pattison 2002; Robinson, Niowski & Gray, 2006, Wilkins, Baroody & Tiilikainen 2001)

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –

matemaattiset symbolit

n  Vertailun symbolit alkuopetuksessa

n 

mikä on suurempi kuin (>)

n 

pienempi kuin (<),

n 

yhtä suuri kuin (=)

n 

eri suuri kuin (≠)

Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –

paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä

n  Kun lapsi alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla.

2

23

233

2333

Lukumääräisyyden taju

n 

kykyä hahmottaa lukumääriä ilman kieleen perustuvaa laskemista

n 

lukumääräisyyden tajua pidetään

perustavimmanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonka päälle kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taito

rakentuu

(Dehaene, 1997/2011; Lipton & Spelke 2003)

6.10.16 Pirjo Aunio

Lukumääräisyyden taju (2)

n  Myötäsyntyinen kyky lukumäärien hahmottamiseen

n  Ei laskemista vaan suhteellinen, epätarkkaa, lukumäärien hahmotuskyky

n  Aistikanavasta riippumaton kyky

n  Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaa on ne erottaa toisistaan.

n  Kyky näyttää paranevan kohtuullisesti aina varhaislapsuuteen -> kehitys tasaantuu

ei muutu täysin tarkaksi -> ainoa keino tarkkaan määrän

hahmottamiseen on kieli ja laskeminen .

Mitkä taidot todettu hyviksi ennustajiksi?

n 

Pitkittäistutkimuksista (viimeisen 10 vuoden aikana) tietoa, mitkä taidot ennustavat myöhempää matematiikan osaamista

6.10.16 Pirjo Aunio

Tavalliset lapset

1)  Esiopetusikäisen lapsen lukujonotaidot ennustavat hyvin myöhempää yhteen- ja vähennyslaskun taitoa

2) Spontaani lukumäärien havaitseminen ja lukumääräisyyden taju nuorilla lapsilla

ennustaa myöhempää lukumäärän laskemisen taitoa.

3) Yleinen matematiikan osaaminen ennen

kouluikää ennustaa hyvin myöhempää

aritmetiikan osaamista koulussa.

Lapset, joilla oppimisvaikeuksia

1) Lukumäärän laskutaito esikoulussa on hyvä ennustaja myöhemmälle matematiikan osaamiselle.

2) Lapsilla, joilla on matematiikan ja/tai lukemisen vaikeuksia

- todennäköisesti vaikeuksia kaikkien taitoryppäiden kehityksessä - erityisesti: laskuprosessien ymmärtämisessä, aritmeettisten

faktojen muistamisessa ja aritmeettisten strategioiden käyttämisessä

3) Ristiriitaiset tulokset koskevat lukumäärän laskutaidon kehitystä lapsilla, joilla on kielen oppimisen vaikeuksia.

- Osa raportoi, että vaikeuksia laskutaidoissa ei ole

- Toiset taas, että esimerkiksi lukujonon hallinta on heikkoa nuorilla dysfasia

Heikkous lukumääräisyyden tajussa

-  Potentiaalinen selittäjä vaikeille matematiikan

oppimisvaikeuksille (Mazzocco, Feigenson & Halberda 2011a; Price & Ansari 2013)

-  Estimointiin keskittyvä lukumäärän ymmärräys (i.e., approximate number system) ennustaa myöhempiä taitoja (Libertus, Feigenson & Halberda 2011;

Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b)

-  Onko kyseessä mentaali mallinnus numerosymboleista vai ei-symbolinen lukumäärän representaatio? (De

Smedt, Nöel, Gilmore & Ansari, 2013)

52

Pirjo Aunio

Aunio, P., Laine, A. & Räsänen, P. (manuscript in preparation)

Development of mathematical skills in 9-12

years old children

Kehityksestä 9-12 vuotiaiden ikäryhmässä

n 

Lapset, joilla matamaattisia oppimisvaikeuksia ikäryhmässä 9-12 v:

n On pulmia etenkin perusaritmeettisissa taidoissa –

sujumattomuus (e.g. Geary 2014, Kucian & von Aster 2014)

n Syy voi olla poikkeavasta neurologisesta toiminnasta

lukumäärillä operoiminen on vaikeutunut (e.g. Price & Ansari, 2013)

n Pulmia sanallisissa tehtävissä (syynä heikot aritmeettiset taidot vai kielellinen pulma)

Tutkimuksen tavoite ja menetelmä

n 

Mitkä ovat keskeiset matemaattiset taidot, jotka kehittyvät ikäryhmässä 9-12?

n 

Vaihe 1:

n  Systemaattinen luenta arviointivälineet, joilla mitataan lasten (9-12v) matemaattisia taitoja

n Tehtävien luokittelu

n  Vaihe 2:

•  Pitkittäistutkimuksien analyysi, mitä on tehty koskien matemaattisten taitojen kehitystä ikäryhmässä 9-12 y.

•  ennustearvot

Vaihe 1– arviointivälineet

Finnish

1 

Räsänen (2005) Banuca. Lukukäsitteen ja laskutaidon hallinnan testi. 7-9 years old children.

2 

Räsänen (2004) RMAT. 9-12 years old children.

3 

Häyrinen, Serenius-Serve & Korkman (2013) Lukilasse-2. 7-12 years old

International

1 

Butterworth (2003) Dyscalculia Screener. 6-14 years.

2 

Woodcock, McGrew & Mather (2001; 2007) Woodcock- Johnson Test of Achievement. 2-90+ years

3 

Von Aster, Weinhold Zulauf & Horn (2006) ZAREKI-R (n 7-16 y.) leerjaar 3-> 2 klas voortgezet onderwijs

Banuca RMAT Lukilasse

Comparison bw

numerosities (Lukumäärien vertailu)

Numerosity-symbol-number word (Lukumäärä-symboli- lukusanan yhteys)

Symbol-number word

(symboli-lukusanan yhteys)

Continue the number word sequence (Lukujonon

jatkaminen ja ymmärtäminen)

Continue the number word sequence; natural numbers, fractions, desimal numbers

(lukujonon jatkaminen; luonnolliset luvut, murtoluvut, desimaaliluvut)

Addition and substraction without manipulatives

(Yhteen- ja vähennyslaskut;

päässälaskut)

Addition and substraction without manipulatives

(Yhteen- ja vähennyslaskut;

päässälaskut)

Addition and substraction without manipulatives (Yhteen-ja

vähennyslaskut; päässälaskut)

Addition and substraction;

algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut;

allekkain)

Addition and substraction;

algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut;

allekkain)

Multiplication and division without Multiplication and division without

Dyscalculia Screener WJ test of achievement III

Zareki-R-NL

Number size (Lukumäärien vertailu) Number comparison, manipulation,

(what is bigger?)

Number sequence skills, backwards Number-number word –numerosity relations (reading arabic numbers, writing numbers from dictation) Mental numberline

Enumeration skills

Quantitative concepts Digit span, repeating said number Addition (no manipulatives) Calculation: addition, subtraction,

division, algorithms, natural numbers, fractions, decimal numbers

Addition, subtraction and

multiplication without manipulatives

Multiplication (no manipulatives) Math Fluency: addition, subtraction, multiplication without manipulatives Applied problems (counting

numerosity, arithmetics, money, temperature, clock, percent, area, volume)

Verbally given problems, addition and subtraction, digit span, repeating said numbers

Vaihe 1 – alustavia tuloksia

n 

Arviointivälineissä mitattaan yleensä

n Yhteenlaskua ja kertolaskua

-  Myös vähennyslasku ja jakolasku

n Päässälaskua pienillä luvuilla (alle 100 )

n Joskus myös sanallisia tehtäviä

Authors Yea r

Name of article

Hecht,  S.,  Torgensen,  J.,  Wagner,  R.  

&  Rasho5e,  C.   2001  The  rela;ons  between  phonological  processing  abili;es  and   emergining  individual  differences  in  mathema;cal  computa;onal   skills:  A  longitudinal  study  from  second  to  fiKh  grades.  Journal  of   Experimental  Child  Psychology,  79,2,192-­‐227.  

Mazzocco  &  Kover     2007  A  longitudinal  assessment  of  execu;ve  func;on  skills  and  their   associa;on  with  math  performance.  Child  Neuropsychology  13   18-­‐45.  

Geary,  D.C.     2011  Cogni;ve  predictors  of  achievement  growth  in  mathema;cs:  5   year  longitudinal  study.  Developmental  Psychology  47  (6)   1539-­‐1552.  

Swanson,  H.L.    

2011  Working  memory,  a5en;on  and  mathema;cal  problem  solving:  A   longitudinal  study  of  elementary  school  children.  Journal  of  

Educa;onal  Psychology,  1-­‐17.  

Zheng,  G.,  Swanson,  H.L.  &  

Marcoulides,  G.   2011  Working  memory  components  as  predictors  of  children's   mathema;cal  problem  solving.  Journal  of  Experimental  Child   Psychology,  481-­‐498.  

Alloway,  T  &  Passolunghi,  M  C   2011  The  rela;onship  between  working  memory,  IQ,  and  mathema;cal   skills  in  children  

Alloway  T  P.  &  Alloway,  R.  G.   2010  Inves;ga;ng  the  predic;ve  roles  of  working  memory  and  IQ  in   academic  a5ainment.  Journal  of  Experimental  Child  Psychology,   20-­‐29.  

Vukovic,  R.K.  &  Lesaux,  N.K.   2013  The  language  of  mathema;cs:  Inves;ga;ng  the  way  language   counts  for  children's  mathema;cal  development.  Journal  of   Experimental  Child  Psychology  115,  227-­‐244.  

Vaihe 2: alustavia tuloksia

n 

Nyt kognitiiviset komponentit ja matematiikka

n Verbal problem solving and working (Lee, Swee, Fong, Ee- Lyn & Zee-Ying 2004; Swanson & Sachse-Lee 2001;

Swanson 2004;Swanson et Lee 2011; Fuchs et al 2006; Lee et al. 2009; Passolunghi, Cornoldis & Deliberto 1999; Zheng 2011)

n 

Vain muutamassa tutkimuksessa ennustetaan

matematiikan taitoja toisilla matemaattisilla taidoilla

(Landerl, Bevan & Butterworth 2004; Locuniak & Jordan 2008; Mazzocco & Thompson 2005)

YKSILÖLLISTEN EROJEN

SELITTÄMINEN MATEMAATTISESSA OSAAMISESSA

Katsaus suomalaiseen nykytutkimukseen

62

Katsaus (Lee & Aunio, manuscript in process)

n 

Viimeiset 15 vuotta

n 

Kv-julkaisut

n 

Kehityksen (osaamisen) selittäminen

n 

33 artikkelia

Muutama yleinen huomio

n 

Matemaattisten taitojen kehityksen tutkimusta tehdään useassa ryhmässä ja yliopistossa:

n Jyväskylän yliopisto (Aunola et al., Räsänen et al. Koponen et al.)

n Turun yliopisto (Kyttälä et al., Hannula-Sormunen et al.)

n Itä-Suomen yliopisto (Björn et al., Hakkarainen et al., )

n Helsingin yliopisto (Aunio et al.)

n 4-9 vuotiaat ja 15-16 -vuotiaat

Pirjo Aunio 64

Tuloksia koskien 4-9-vuotiaita lapsia

n 

Kyttälä et al. (2003) ja Kyttälä (2013) osoittivat, että 4-6 – vuotiaana erityisesti visuospatiaalista työmuistia tarvitaan kun ratkaistaan lukumäärän laskemisen tehtäviä ja

sanallisia tehtäviä (yksinkertaisia yhteen- ja vähennyslaskuja)

n 

Kyttälä et al. (2010) osoittivat, että mikäli lapsella oli 4-6 – vuotiaana heikkoutta matemaattisissa varhaistaidoissa hänellä oli heikoutta laajemmin kognitiivisessa

osaamisessa (työmuisti, kielen osaaminen, joustava älykkyys)

Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (1)

n 

Aunola et al. (2004) ja Aunio & Niemivirta (2010)

osoittivat, että varhaiset matemaattiset taidot, jotka on mitattuna ennen koulun alkua ennustaa hyvin osaamista ensimmäisellä ja toisella luokalla

n Erot lasten välillä kasvoivat koulun alun jälkeen

n 

Aunio et al. (2015) raportoi, että lapset, jotka aloittivat esikoulun heikoilla matemaattisilla taidoilla olivat heikkoja myös esikoulun lopussa, eivätkä tavoittaneet tavallisesti osaavien ikätoverien osaamistasoa.

n 

Hannula-Sormunen et al. (2015) lisää, että spontaani

lukumäärien havaitseminen ennen koulua ennustaa hyvin myöhempää matemaattista osaamista

66

Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (2)

n 

McMullen et al. (2016) tulokset osoittavat, että lasten spontaani fokusoiminen lukumääriin on hyvä ennustaja myöhemmälle rationaalilukujen osaamiselle

n 

McMullen et al. (2014) lisäävät, että pienten lasten

spontaani kyky kiinnittää huomiota lukumäärien suhteisiin ennustaa hyvin myöhempää murtolukujen osaamista.

n 

Zhang et al (2014) tutkimus osoitti, että kirjoitettu kielitaito on tärkeää varhaisille aritmetiikan taitojen kehitykselle

n 

Björn et al. (2016) toteavat, että luetun ymmärtämisen

Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (1)

n 

Aunola et al. (2006) osoittivat, että tehtäväorientoituminen matemaattisiin tehtäviin jo ennen koulun alkua on

merkityksellinen, koska korkea matematiikan osaaminen koulun alussa nosti tehtävä orientoitumista, joka ennusti osaamista toisen luokan alussa

n Opettajien toiminta vaikuttaa lasten tehtävä orientoitumiseen

n 

Viljaranta et al. (2009) täydentää edellistä tulosta raportoimalla, että mitä enemmän lapset raportoivat

tehtävä orientoitunutta motivaatiota esikoulun alussa sitä korkeampi oli heidän artimeettinen osaaminen esikoulun lopussa

- 

Mitä parempi aritmeettinen osaaminen, sitä kiinnostuneempia lapset olivat matematiikasta

Pirjo Aunio 68

Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (2)

n 

Aunola et al. (2003) raportoivat, että vanhempien usko lapsen yleiseen kouluosaamiseen lisäsi lapsen

tehtäväorientoitunutta toimintaa ja ennusti hyvää matemaattista osaamista.

n Vanhempien usko lapsen matemaattiseen osaamisen vaikutti positiivisesti lapsen matemaattiseen osaamiseen

n 

Slilinskas et al (2010) osoittivat, että mitä alhaisempi oli vanhempien sosio-ekonominen status, sitä enemmän he opettivat lapsiaan matematiikassa ja lukemisessa

ensimmäisellä luokalla

- 

Mitä heikommat taidot lapsella oli matematiikassa koulun alussa, sitä enemmän vanhemmat raportoivat

Matemaattiset erot ja kognitiiviset taidot yläkoulussa

n 

Kyttälä & Lehto (2008) osoittivat, että yläkoululaisten osaaminen matemaattisissa tehtävissä oli yhteydessä

joustavaan älykkyyteen ja passiiviseen visuospatiaaliseen työmuistiin

n 

Kyttälä (2008) toteaa, että sellaiset yläkoululaiste, joilla on oppimisvaikeutta matematiikassa ja lukemisessa, on myös yleisesti vaikeuttaa visuospatiaalisessa työmuistissa

n Ne, joilla oli vaikeuksia vain matematiikassa, heillä oli vaikeuksia vain passiivisen visaalisen informaation samanaikaisessa säilyttämisessä

Pirjo Aunio 70

Matemaattiset erot yläkoulussa

n 

Hakkarainen et al. (2013, 2015) osoittivat, että

matemaattiset ja lukemisen oppimisvaikeudet ennustivat vahvasti kouluosaamista 9-luokan lopussa

n siirtymistä toiselle asteelle

n Koulutuksellista syrjäytymistä

n 

Hakkarainen et al. (2013) ja Korhonen et al. (2010) toteavat, että lukemisen taidot olivat yhteydessä matemaattisten taitojen osaamiseen 9-luokalla

n 

Korhonen et al. (2014) löysi yläkoulun päättäjistä kaksi oppimisprofiilia, jotka olivat erityisen herkkiä koulutuksesta syrjäytymiselle

- 

Heikko osaaminen ja akateeminen hyvinvointi

Matemaattiset erot yläkoulussa

n 

Korhonen et al. (2016) havaitsi eroja tyttöjen ja poikien väillä siinä, miten matematiikka ja kiinnostus olivat

yhteydessä oppimisen tavoitteisiin

n Tyttöjen kohdalla kiinnostus matematiikkaan ennusti sitä mitä he tavoittelivat

n Pojilla osaaminen oli parempi ennustaja

n Tytöillä ja pojilla kouluun liittyvä loppuunpalaminen ennusti kiinnostuksen kautta osaamista matematiikassa ja

lukemisessa

-  Tytöillä suora postiivinen yhteys oppimiseen liittyviin tavoitteisiin

Pirjo Aunio 72

Matemaattiset erot yläkoulussa

n 

Niemivirta ja Tapola (2009)

n Minäpystyvyys + kiinnostus ongelmanratkaisutehtävässä

n Minäpystyvyys ja kiinnostus korreloi positiivisesti

n Kun osaamisen taso kontrolloitiin, alukuperäinen

minäpystyvyys ja muutos kiinnostuksessa ennusti tehtävän suoritustasoa

n Kyttälä & Björn (2010) toteavat, että matematiikkaan liittyvä ahdistuneisuus (anxiety) on enemmänkin opetuksellinen lopputulos kun oppimiseen vaikuttava tekijä 14-vuotiailla nuorilla

-  Vaikka ahdistuneisuus ei ennusta osaamista, se on uhka hyvinvoinnille kaikissa osaamisryhmissä