Analyysi I Harjoitus 6, kev¨at 2006 1. Tutki majorantti- ja minoranttiperiaatteen avulla suppeneeko sarja

Analyysi I

Harjoitus 6, kev¨at 2006

1. Tutki majorantti- ja minoranttiperiaatteen avulla suppeneeko sarja X∞

k=1

1 k³ + 5k.

2. Tutki majorantti- ja minoranttiperiaatteen avulla suppeneeko sarja X∞

k=1

1 k³ −5k.

3. Tutki suppeneeko sarja X∞ k=1

(−1)^k(k²−1) k² + 1 .

4. Tutki suppeneeko sarja

X∞

k=0

1

2^k(2 + sink).

5. Todista, ett¨a sarja

X∞ k=1

1 k!

suppenee.

6. Oletetaan, ett¨a xk ≥ 0, yk ≥ 0 kaikilla k = 1,2,· · · ja ett¨a sarjat P∞

k=1

x_k ja P∞ k=1

y_k suppenevat. Todista, ett¨a sarja X∞

k=1

√x_ky_k

suppenee.

7. Oletetaan, ett¨a xk, yk > 0 kaikilla k = 1,2,· · · ja ett¨a raja-arvo a = lim

k→∞

x_k yk

on olemassa.

a) Todista, ett¨a jos a 6= 0, niin P∞ k=1

x_k suppenee jos ja vain jos P∞ k=1

y_k suppenee.

b) Todista, ett¨a jos a = 0, niin P∞ k=1

x_k suppenee, jos P∞ k=1

y_k suppenee.

c) Tutki, ett¨a jos a = 0, niin seuraako sarjan P∞ k=1

x_k suppenemisesta sarjan

P∞ k=1

y_k suppeneminen.

8. Oletetaan, ett¨a x_k >0 kaikilla k = 1,2,· · · . (i) Todista, ett¨a jos

P∞ k=1

xk suppenee, niin P∞ k=1

x²_k suppenee.

(ii) Jos P∞ k=1

xk suppenee, niin suppeneeko P∞ k=1

√xk?

Oppimisp¨aiv¨akirja

5. teht¨av¨akokoelma; Deadline 24.2.2006

1. N¨ayt¨a, ett¨a sarja

X∞

k=1

1 + 2^k+1 3^k suppenee ja laske sen summa.

2. Tutki mill¨a x ∈ R sarja X∞ k=0

2x−1 3x+ 1

k

, x 6=−1 3, suppenee ja laske silloin sen summa.

3. Todista, ett¨a 0,999· · ·=1.

(Opastus: 0,999· · · = P∞ k=1

9 10^k.)

4. Todista, ett¨a

X∞

k=0

1

(k+ 1)(k + 2) = 1.

5. Tutkitaan suppenevaa sarjaa P∞ k=1

1 k³.

a) Arvioi kuinka paljon 100. osasumma poikkeaa sarjan summasta.

b) Arvioi kuinka monta termi¨a osasummaan on otettava, jotta se poikkeaisi sarjan summasta v¨ahemm¨an kuin 10⁻⁵.

(Opastus: Arvioi virhett¨a integraalin avulla.)