(1)ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Syksy 2017 Välikoe 01 Ratkaisut s

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Syksy 2017

Välikoe 01 Ratkaisut s. 1/3 1. (a)

hx1(t)−x2(t),x1(t)i=hx1(t),x1(t)i − hx2(t),x1(t)i=|x1(t)|²=1 hx₁(t)−x₂(t),x₂(t)i=hx₁(t),x₂(t)i − hx₂(t),x₂(t)i=−|x₂(t)|²=−1 (b)

x₄(t)= d

dt2·tria(t/4)=rect_t+2

4

−rect_t−2

4

2

−4 −2 0 2 4

0 0.5 1 1.5 2

t x3(t)

−4 −2 0 2 4

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

t x4(t)

(c)

Z ∞

−∞

x3(t)δ(t−2)dt≈ Z ∞

−∞

x3(2)δ(t−2)dt =x3(2) Z ∞

−∞

δ(t−2)dt =x3(2)=1 (d) Konvoluution laskeminen jakautuu kahteen alueeseen.

t 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

λ x5(t−λ),x5(λ)

Kunt ≤0 pulssit eivät ole limittäin, niiden tulo on nolla, ja konvoluutioy(t≤0)=0.

0 t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

λ x5(t−λ),x5(λ)

Kunt >0 pulssit ovat päällekkäin välillä [0,t], eli niiden tulo poikkeaa nollasta vain tällä alueella.

y(t >0)=Z ∞

−∞

x₅(t−λ)x₅(λ)dλ=Z t 0

e^−(t−λ)e^−(λ)dλ=Z t 0

e^−tdλ

=e^−t

t

.

0

λ=te^−t y(t)=te^−t·u_H(t)

−1 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4

t

y(t)

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Syksy 2017

Välikoe 01 Ratkaisut s. 2/3 2. (a)

2πf t=20πt

f =10 Hz ja T₀=1/f =100 ms (b)

x_k = 1 T₀

Z T0/2

−T0/2x(t)e^{−2πjk f0t}dt = 2 T₀

Z T0/2

−T0/2cos(2πf₀t)e^{−2πjk f0t}dt= 1 T₀

Z T0/2

−T0/2

e^{2πj f0t}+e^{−2πj f0t}

e^{−2πjk f0t}dt

= 1 T0

Z T0/2

−T0/2

e^{2πj f0t(1−k)}+e^{2πj f0t(−1−k)} dt= 1

T0 T0/2

.

−T0/2

e^{2πj f0t(1−k)}

2πj f0(1−k)+ e^{2πj f0t(−1−k)} 2πj f0(−1−k)

!

= e^πj(1−k)−e^{−πj(1−k)}

2πj(1−k) +e^{πj(−1−k)}−e^{−πj(−1−k)}

2πj(−1−k) = sin(π(1−k))

π(1−k) +sin(π(−1−k)) π(−1−k)

=sinc(1−k)+sinc(−1−k)=sinc(1−k)+sinc(1+k) (c)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k

A

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.5 0 0.5 1

k

φ

(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2

k

P

(e) Sinimuotoisen signaalin teho.

P= A² 2 =2

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Syksy 2017

Välikoe 01 Ratkaisut s. 3/3 3. (a) Signaalin energia

E=Z ∞

−∞

|x(t)|²dt=((−1)−(−2))·(A/2)²+(1−(−1))·A²+(2−1)·(A/2)²= 5 2A² =1 A=

r2 5 (b)

X(f)=F (A

2rect t

4 + A

2rect t

2 )

= A 2F

rect

t

4 + A

2F

rect t

2 =2Asinc(4f)+Asinc(2f)

|X(f)|²=(2Asinc(4f)+Asinc(2f))² (c) i.

H(f)=F {h(t)}=F {δ(t)+δ(t−2)}=1+e^{−4πj f} ii.

Y(f)=F {y(t)}=F {(x⊗h)(t)}=X(f)H(f)=A

1+e^{−4πj f}

(2sinc(4f)+sinc(2f))

|Y(f)|²=A²

(1+cos(4πf))²+(sin(−4πf))²

(2sinc(4f)+sinc(2f))²

=A²

1+2 cos(4πf)+cos²(4πf)+sin²(4πf)

(2sinc(4f)+sinc(2f))²

=2A²(1+cos(4πf)) (2sinc(4f)+sinc(2f))²