KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 4, kev¨at 2011 1. Olkoon jono (z

KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 4, kev¨at 2011

1. Olkoon jono (z_n) ⊂ C m¨a¨aritelty ehdoilla z₀ = 3 ja z_n+1 = ¹₃z_n + 2i.

Osoita, ett¨a jono (z_n) suppenee ja m¨a¨ar¨a¨a sen raja-arvo.

2. Tutki mitk¨a seuraavista funktioista ovat bijektioita M(f) → A(f) ja m¨a¨ar¨a¨a f⁻¹ : A(f) → M(f) mik¨ali mahdollista.

a) f(z) = ¯z +i, z ∈ C, b) f(z) = ¹_z, z ∈ C\ {0}, c) f(z) = z²+i, z ∈ C, d) f(z) = z²+i, z ∈ S[0, π).

3. Olkoon f : S[0, ^2π₃ ) → C funktio, jolle f(z) = z³ + i, z ∈ S[0, ^2π₃ ).

Tutki onko f bijektio M(f) → C. M¨a¨ar¨a¨a f⁻¹(1).

4. M¨a¨ar¨a¨a funktiof(z) = f(x+iy) muodossaf(z) =u(x, y)+iv(x, y), z ∈ M(f), kun

a) f(z) = z³, z ∈ C, b) f(z) = _z¹2, z 6= 0, c) f(z) = e^iz, z ∈ C.

5. Osoita, ett¨a funktion raja-arvo lim

z→z0

f(z) = a (mik¨ali on olemassa) on yksik¨asitteinen.

6. Tutki funktion f(z) raja-arvon olemassaoloa pisteess¨a z = 0, kun a) f(z) = ^Rez_z , b) f(z) = _|z|^z , c) f(z) = ^zRez_|z| .