Acoustic Field Theory

4FQQP6PTVLBJOFO

01&564."5&3*""-* 5*&%&

" L VT U J OF OL F OU U »U F P SJ B

9HSTFMG*affaga+

*44/-9

*44/9

*44/ QEG

"BMUPZMJPQJTUP

4»ILÍUFLOJJLBOLPSLFBLPVMV

4JHOBBMJOL»TJUUFMZOKBBLVTUJJLBOMBJUPT XXXBBMUPGJ

,"611"

5"-064 5"*%&

.6050*-6

"3,,*5&)5663*

5*&%&

5&,/0-0(*"

$304407&3

"BMUP55 4FQQP6PTVLBJOFO"LVTUJOFOLFOUU»UFPSJB"BMUPZMJPQJT

Akustinen kenttäteoria

Seppo Uosukainen

Aalto-yliopisto

© Seppo Uosukainen ISBN 978-952-60-5506-0 ISBN 978-952-60-5507-7 (pdf) ISSN-L 1799-487X

ISSN 1799-487X (printed) ISSN 1799-4888 (pdf)

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-5507-7 Unigrafia Oy

Author

Seppo Uosukainen Name of the publication Acoustic Field Theory

Publisher School of Electrical Engineering

Unit Department of Signal Processing and Acoustics

Series Aalto-yliopiston julkaisusarja TIEDE + TEKNOLOGIA 17/2013 Field of research Acoustics

Abstract

In this publication are presented the foundations of acoustic field theory based on kinetic fluid theory, the basic theory of acoustic wave motion, the basics of radiation, propagation and scattering of sound, the foundations of the theory of vibration, and some analytical and numerical calculation methods applicable to acoustics.

Keywords Kinetic fluid theory, wave motion, sound, radiation, propagation, scattering, vibration, calculation methods

ISBN (printed) 978-952-60-5506-0 ISBN (pdf) 978-952-60-5507-7

ISSN-L 1799-487X ISSN (printed) 1799-487X ISSN (pdf) 1799-4888

Tekijä

Seppo Uosukainen Julkaisun nimi Akustinen kenttäteoria

Julkaisija Sähkötekniikan korkeakoulu Yksikkö Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos

Sarja Aalto-yliopiston julkaisusarja TIEDE + TEKNOLOGIA 17/2013 Tutkimusala Akustiikka

Tiivistelmä

Julkaisussa esitetään akustiikan kenttäteorian perusteet kineettiseen fluiditeoriaan pohjautuen, akustisen aaltoliikkeen perusteoria, äänen sä tei lyyn, etenemiseen ja sirontaan liittyvät perusteet, värähtelyteorian perusteita sekä eräitä akustiikkaan soveltuvia analyyttisiä ja numeerisia las ken ta me ne tel miä.

Avainsanat Kineettinen fluiditeoria, aaltoliike, ääni, säteily, eteneminen, sironta, värähtely, laskentamenetelmät

ISBN (painettu) 978-952-60-5506-0 ISBN (pdf) 978-952-60-5507-7

ISSN-L 1799-487X ISSN (painettu) 1799-487X ISSN (pdf) 1799-4888

ALKUSANAT

Tämä julkaisu sisältää oppimateriaalin, jonka olen kehittänyt kurssissa Akustinen kenttäteoria, alkaen vuodesta 1983 silloisessa Teknillisen kor- keakoulun Sähköteknillisen osaston Akustiikan laboratoriossa aina tähän päivään asti nykyisessä Aalto-yliopiston Sähkötekniikan korkeakoulun Sig- naalinkäsittelyn ja akustiikan laitoksessa.

Julkaisussa esitetään akustiikan kenttäteorian perusteet kineettiseen fluidi- teoriaan perustuen, akustisen aaltoliikkeen perusteoria, äänen säteilyyn, etenemiseen ja sirontaan liittyvät perusteet, värähtelyteorian perusteita sekä eräitä akustiikkaan soveltuvia analyyttisiä ja numeerisia laskentamenetel- miä. Aineisto ei rajoitu perinteiseen fluideja koskevaan teoriaan, vaan myös kiinteiden aineiden ja kappaleiden elastisia aaltoja ja värähtelyjä tarkastel- laan. Virtaussyntyisiä äänikenttiä ei käsitellä.

Helsinki, 5.12.2013 Seppo Uosukainen

SISÄLLYS

ALKUSANAT ... I

SISÄLLYS ... II

SYMBOLILUETTELO ... XII

1 JOHDANTO ... 1

1.1 DYADILASKENTA... 1

1.2 LAGRANGENJAEULERINLIIKEKUVAUKSET ... 8

KIRJALLISUUTTA ... 9

2 KINEETTISTÄ FLUIDITEORIAA ... 10

2.1 JAKAUTUNEENVÄLIAINEENMALLI... 10

2.2 TILAYHTÄLÖT ... 11

2.3 TERMODYNAMIIKANENSIMMÄINENPÄÄSÄÄNTÖ ... 11

2.4 OMINAISLÄMMÖT ... 13

2.5 ENTROPIA ... 14

2.6 TERMODYNAMIIKANTOINENPÄÄSÄÄNTÖ ... 16

2.7 MAXWELLINYHTÄLÖT ... 16

2.8 LIIKKUVATFLUIDIT ... 19

2.9 MASSANSÄILYVYYSLAKI(JATKUVUUSYHTÄLÖ)... 19

2.10 LIIKEYHTÄLÖ ... 21

2.11 JÄNNITYSDYADI... 25

2.11.1 Ideaalifluidit ... 26

2.11.2 Newtonin fluidit ... 27

2.12 NAVIER-STOKESINYHTÄLÖ ... 34

2.13 ENERGIAYHTÄLÖ ... 35

2.14 ADIABAATTIYHTÄLÖ ... 39

2.15 BERNOULLINYHTÄLÖ ... 42

2.16 YHTEENVETO ... 44

KIRJALLISUUTTA ... 45

3 AALTOYHTÄLÖ ... 46

3.1 IDEAALIFLUIDIT ... 46

3.1.1 Perusyhtälöt ... 46

3.1.2 Linearisointi ... 48

3.1.3 Linearisoitu aaltoyhtälö ja tasoaalto virtauksettomassa väliaineessa ... 53

3.1.3.1 Homogeeninen väliaine ... 54

3.1.3.2 Epähomogeeninen väliaine ... 58

3.1.4 Linearisoitu aaltoyhtälö ja tasoaalto virtauksellisessa väliaineessa ... 63

3.2 NEWTONINFLUIDIT ... 69

3.2.1 Perusyhtälöt ... 69

3.2.2 Linearisointi ... 74

3.2.3 Linearisoitu aaltoyhtälö ja tasoaalto virtauksettomassa fluidissa ... 79

3.2.3.1 Poikittainen hiukkasnopeus ... 79

3.2.3.2 Pitkittäiseen hiukkasnopeuteen liittyvät kentät ... 80

Fluidissa vain viskositeettihäviöitä ... 84

Fluidissa vain lämmönjohtumishäviöitä ... 86

Fluidissa sekä viskositeetti- että lämmönjohtumishäviöitä ... 88

3.3 KIINTEÄTAINEET ... 90

3.3.1 Häviöttömän isotrooppisen aineen jännitysdyadi ... 90

3.3.2 Häviöttömän isotrooppisen aineen aaltoyhtälö ... 93

3.3.3 Anisotrooppisen pietsosähköisen aineen liikeyhtälö ... 99

3.3.4 Eteneminen äärellisissä väliaineissa ... 100

KIRJALLISUUTTA ... 103

4 AKUSTISET ENERGIASUUREET ... 105

4.1 AKUSTINENENERGIATASAPAINO ... 105

4.1.1 Lähtöyhtälö ... 105

4.1.2 Virtaukseton lähteetön ideaalifluidi ... 108

4.1.3 Virtauksellinen lähteetön ideaalifluidi ... 111

4.1.4 Virtaukseton lähteetön Newtonin fluidi ... 113

4.1.5 Virtaukseton lähteitä sisältävä ideaalifluidi ... 116

4.1.6 Yhteenveto ... 119

4.2 ENERGIATIHEYS ... 120

4.3 INTENSITEETTI ... 121

4.3.1 Intensiteetin ominaisuuksia ... 121

4.3.2 Lähteiden tuottama ääniteho ... 127

4.3.3 Häviöiden absorboima ääniteho ... 129

KIRJALLISUUTTA ... 132

5 TASOAALTO ... 133

5.1 TASOAALTOFLUIDISSA ... 133

5.1.1 Homogeeninen tasoaalto ... 135

5.1.3 Kompleksiset materiaalivakiot ... 138

5.2 REUNAEHDOT ... 140

5.2.1 Reunaehdot fluidilla ... 140

5.5.1.1 Pintaan kohdistuvan voimavaikutuksen jatkuvuus ... 140

5.2.1.2 Hiukkasnopeuden normaalikomponentin jatkuvuus ... 141

5.2.1.3 Hiukkasnopeuden tangentiaalikomponentin jatkuvuus ... 142

5.2.2 Reunaehdot kiinteillä aineilla ... 142

5.2.2.1 Normaalisuuntainen vetojännitys ... 143

5.2.2.2 Tangentiaalinen leikkausjännitys ... 143

5.2.3 Muita reunaehtoja ... 144

5.2.3.1 Lämpötilaan liittyviä reunaehtoja ... 145

5.2.3.2 Impedanssireunaehto ... 145

5.3 HOMOGEENISENTASOAALLONHEIJASTUMINENÄÄRETTÖMISTÄ TASOKERROKSISTA ... 145

5.3.1 Kohtisuora tulokulma ... 146

5.3.2 Äänikenttä rajapinnan edessä ... 149

5.3.3 Äärellinen tasokerros kahden eri väliaineen välissä; kohtisuora tulokulma ... 152

5.3.4 Mielivaltainen tulokulma; häviöttömät materiaalit ... 154

5.3.5 Mielivaltainen tulokulma; häviölliset materiaalit ... 158

5.3.6 Paikallinen reagointi ... 160

5.3.7 Tasoaalto kerroksittain muuttuvassa häviöllisessä väliaineessa ... 162

5.3.8 Siirtojohtoanalogia ideaalifluideilla ... 164

5.4 MUITARAJAPINTAILMIÖITÄ ... 166

5.4.1 Viskositeettiaalto ... 166

5.4.2 Lämpöaalto ... 168

5.4.3 Sähkömagneettinen analogia... 173

5.5 TASOAALTOKIINTEÄSSÄAINEESSA ... 175

5.5.1 Heijastuminen väliaineen rajapinnalta ... 177

5.5.1.1 Tuleva aalto poikittainen ja poikkeama y-akselin suuntainen, heijastuminen tyhjön reunalta ... 179

5.5.1.2 Tuleva aalto pitkittäinen ja poikkeama x-z-tason suuntainen, heijastuminen tyhjön reunalta ... 180

5.5.1.3 Tuleva aalto poikittainen, poikkeama aaltolukuvektorin ja pinnan normaalin määräämässä tasossa, heijastuminen tyhjön reunalta ... 182

5.5.1.4 Heijastus kahden väliaineen rajapinnalta, tuleva aalto pitkittäinen ... 184

5.5.2 Rayleigh-aallot ... 186

KIRJALLISUUTTA ... 190

6 AALTOYHTÄLÖN RATKAISU XYZ -KOORDINAATISTOSSA ... 192

6.1 YLEINENRATKAISU ... 192

6.2 ETENEVÄAALTO ... 193

6.2.1 Samanvaiheisesti värähtelevä taso ... 194

6.2.2 Etenevä suoraharjainen taivutusaalto tasossa ... 197

6.2.3 Suoraharjainen seisova taivutusaalto tasossa ... 203

6.2.4 Yleinen seisova taivutusaalto tasossa ... 206

6.2.5 Yleinen taivutusaaltojakautuma tasossa ... 207

6.3 SUORAKULMAINENRESONAATTORI ... 209

6.3.1 Ominaismuodot ... 209

6.3.2 Ominaismuototiheys ... 216

6.3.3 Aikaharmonisen monopolijakauman tuottama äänikenttä ... 222

6.3.4 Tilan impulssivaste ... 225

KIRJALLISUUTTA ... 227

7 AALTOYHTÄLÖN RATKAISU SYLINTERIKOORDINAATISTOSSA ... 228

7.1 YLEINENRATKAISU ... 228

7.2 ETENEVÄAALTO ... 231

7.2.1 Sykkivä sylinteri ... 233

7.2.2 Värähtelevä sylinteri ... 238

7.2.3 Etenevä kurouma-aalto ... 242

7.2.4 Seisova kurouma-aalto ... 250

7.2.5 Etenevä taivutusaalto ... 254

7.2.6 Seisova taivutusaalto ... 259

7.2.7 Yleinen värähtelevä sylinteri ... 262

7.3 SYLINTERIRESONAATTORI ... 266

KIRJALLISUUTTA ... 268

8 AALTOYHTÄLÖN RATKAISU PALLOKOORDINAATISTOSSA ... 269

8.1 YLEINENRATKAISU ... 269

8.2 ETENEVÄAALTO ... 277

8.2.1 Sykkivä pallo ... 277

8.2.2 Värähtelevä pallo ... 280

8.2.3 Yleinen pallosäteilijä ... 283

8.2.3.1 Värähtelevä kalotti pallonpinnalla ... 285

8.2.3.2 Säteen suuntaisesti värähtelevä kalotti... 286

8.2.3.3 Alkiomonopoli pallonpinnalla ... 287

8.2.4 Akustinen säteilyimpedanssi ... 287

8.2.5 Mekaaninen säteilyimpedanssi ... 289

8.3 PALLORESONAATTORI... 290

KIRJALLISUUTTA ... 291

9 AKUSTISET AALTOPUTKET ... 293

9.1 JOHDANTO... 293

9.2 YLEINENAKUSTINENAALTOPUTKI ... 293

9.2.1 Perusyhtälöt ... 293

9.2.1.1 Virtaukseton putki ... 293

9.2.1.2 Staattinen virtaus putkessa ... 294

9.2.2 Aaltoyhtälön ratkaisu ... 296

9.2.2.1 Virtaukseton putki ... 296

9.2.2.2 Staattinen virtaus putkessa ... 298

9.2.3 Aaltomuotojen rajataajuudet ... 299

9.2.3.1 Virtaukseton putki ... 299

9.2.3.2 Staattinen virtaus putkessa ... 301

9.2.4 Tasoaaltomuoto ... 302

9.2.4.1 Virtaukseton putki ... 302

9.2.4.2 Staattinen virtaus putkessa ... 302

9.2.5 Vaihe- ja ryhmänopeus ... 302

9.2.5.1 Virtaukseton putki ... 302

9.2.5.2 Staattinen virtaus putkessa ... 304

9.3 POIKKILEIKKAUKSELTAANSUORAKULMAINENPUTKI ... 305

9.3.1 Aaltoyhtälön ratkaisu ... 305

9.3.2 Aaltomuotojen tarkastelua ... 308

9.3.3 Aaltomuotojen detektointi ja synnyttäminen ... 309

9.3.4 90° mutka ideaalisessa suorakulmaisessa putkessa ... 310

9.4 POIKKILEIKKAUKSELTAANPYÖREÄAALTOPUTKI ... 312

9.4.1 Aaltoyhtälön ratkaisu ... 312

9.4.2 Aaltomuotojen tarkastelua ... 315

9.5 VÄLIAINEENVISKOSITEETINVAIKUTUSAALTOPUTKISSA ... 317

9.6 VÄLIAINEENLÄMMÖNJOHTAVUUDENVAIKUTUSAALTOPUTKISSA ... 324

9.7 SEINÄMIENABSORPTIOAALTOPUTKISSA ... 330

9.7.1 Poikkileikkaukseltaan pyöreä aaltoputki ... 330

9.7.2 Poikkileikkaukseltaan suorakulmainen aaltoputki ... 334

9.8 AALTOPUTKENSIIRTOJOHTOANALOGIA ... 338

9.8.1 Yleistä ... 338

9.8.2 Siirtojohdon häviöt viskositeetti- ja lämpöaallosta ... 341

9.8.3 Aaltoputken seinämän äärellisen impedanssin vaikutus ... 344

9.9 KETJUMATRIISITJAVAIMENNUSKYVYNMITTAYKSIKÖT... 348

9.9.1 Akustinen aaltoimpedanssi ... 348

9.9.2 Ketjumatriisit... 348

9.9.3 Vaimennuskyvyn mittayksiköt ... 352

9.10 REAKTIIVISIAPUTKI-JAVAIMENNINKONSTRUKTIOITA ... 357

9.10.1 Vakiopoikkipintainen putki ... 357

9.10.2 Impedanssilla päätetty aaltoputki ... 360

9.10.3 Aaltoputkiliitos ... 362

9.10.4 Kolmen aaltoputken liitos ... 364

9.10.5 Kammiovaimennin ja putken kavennus ... 366

9.10.5.1 Virtaukseton putki ... 366

9.10.5.2 Staattinen virtaus putkessa ... 371

9.10.6 Sivuhaara putkessa ... 374

9.10.6.1 Poikittainen sivuhaara ... 374

9.10.6.2 Reikä-kammio -resonaattori ... 377

9.10.6.3 Pidennetty ulostulo- tai sisäänmenoputki ... 378

9.10.6.4 Sisäkkäiset putket ... 379

9.10.6.5 Ketjumatriisi ... 379

9.10.7 Helmholtzin resonaattori sivuhaarana ... 380

9.10.8 Putkessa oleva 90° mutka ... 383

9.10.9 Raollinen väliseinä putkessa ... 384

9.10.10 Kartioelementti ... 385

9.11 ABSORBOIVAVAKIOPOIKKIPINTAINENPUTKI ... 391

9.12 RINNANKYTKETYTELIMET ... 394

KIRJALLISUUTTA ... 397

10 ÄÄNENSÄTEILYN LASKENTA GREENIN FUNKTION AVULLA ... 399

10.1 EPÄHOMOGEENINENAALTOYHTÄLÖ ... 399

10.2 GREENINFUNKTIOVAPAASSAAVARUUDESSA ... 402

10.2.1 Kolmiulotteinen avaruus ... 402

10.2.1.1 Ajasta riippumaton Greenin funktio ... 402

10.2.1.2 Ajasta riippuva Greenin funktio ... 404

10.2.2 Kaksiulotteinen avaruus ... 406

10.2.2.1 Ajasta riippumaton Greenin funktio ... 406

10.2.2.2 Ajasta riippuva Greenin funktio ... 409

10.2.3 Yksiulotteinen avaruus ... 411

10.3 LÄHDEJAKAUTUMANAIHEUTTAMAKENTTÄ ... 412

10.4 LÄHDEJAKAUTUMAT ... 415

10.4.1 Monopolijakautuma ... 415

10.4.2 Dipolijakautuma ... 417

10.4.3 Kvadrupolijakautuma ... 418

10.4.4 Säteilijäelementtien esitysmuodot ... 420

10.4.5 Yhteenveto lähdejakautumista ... 421

10.5 PINTAJAKAUTUMAT ... 422

10.6 GREENINKAAVA ... 425

10.7 HELMHOLTZ-HUYGENSININTEGRAALI ... 427

10.7.1 Teorian yleistys ... 429

10.7.2 Tulosten tulkinta ... 429

10.8 HUYGENSINPERIAATE ... 430

10.9 GREENINFUNKTIOTEI-VAPAASSATILASSA ... 431

10.9.1 Rayleigh’n ensimmäinen integraali ... 431

10.9.2 Rayleigh’n toinen integraali ... 432

10.9.3 Huygensin periaate ja Rayleigh´n integraalit... 433

KIRJALLISUUTTA ... 434

11 TASOMAISTEN KAPPALEIDEN ÄÄNENSÄTEILY ... 436

11.1 SUORAKULMAINENMÄNTÄÄÄRETTÖMÄLLÄPINNALLA ... 436

11.2 YLEINENSUORAKULMAINENTASOSÄTEILIJÄ ... 440

11.3 SUORAKULMAISENTASOSÄTEILIJÄNSINIMUOTOISENJAKAUTUMAN AIHEUTTAMAKAUKOKENTTÄ ... 443

11.3.1 Symmetrinen jakautuma ... 443

11.3.2 Muita jakautumia ... 450

11.3.3 Säteilyresistanssi ... 453

11.3.3.1 Pintasäteilijät ... 453

11.3.3.2 Reunasäteilijät... 453

11.3.3.3 Nurkkasäteilijät ... 454

11.3.3.4 Värähtelyjakaumien kokonaissäteily ... 456

KIRJALLISUUTTA ... 458

12 SÄTEILIJÄRYHMÄT ... 459

12.1 RYHMÄKERROIN ... 459

12.2 SÄTEILIJÖIDENKESKINÄISVAIKUTUS ... 464

KIRJALLISUUTTA ... 471

13 MEKAANINEN VÄRÄHTELY MUUTAMILLA YKSINKERTAISILLA

KAPPALEILLA... 472

13.1 TASAPAKSULANKA... 473

13.1.1 Vapaan värähtelyn värähtely-yhtälö ... 473

13.1.2 Värähtelyn ominaismuodot vapaassa värähtelyssä ... 474

13.1.3 Jatkuvan tilan pakkovärähtely ... 477

13.1.4 Pistemäisen impulssivoiman aiheuttama värähtely ... 479

13.2 TASAPAKSUKALVO... 481

13.2.1 Vapaan värähtelyn värähtely-yhtälö ... 481

13.2.2 Värähtelyn ominaismuodot vapaassa värähtelyssä ... 482

13.2.3 Jatkuvan tilan pakkovärähtely ... 487

13.2.4 Pistemäisen impulssivoiman aiheuttama värähtely ... 488

13.3 ELASTINENSAUVA ... 489

13.3.1 Kvasipitkittäisen vapaan värähtelyn värähtely-yhtälö ... 489

13.3.2 Vapaan kvasipitkittäisvärähtelyn ominaismuodot ... 491

13.4 ELASTINENPALKKI ... 492

13.4.1 Vapaan taivutusvärähtelyn yhtälö ... 492

13.4.2 Vapaan taivutusvärähtelyn ominaismuodot... 496

13.4.3 Jatkuvan tilan taivutuspakkovärähtely ... 499

13.4.4 Pistemäisen impulssivoiman aiheuttama taivutusvärähtely ... 501

13.5 ELASTINENLAATTA ... 502

13.5.1 Vapaan taivutusvärähtelyn yhtälö ... 503

13.5.2 Reunaehdot ... 505

13.5.3 Suorakulmaisen laatan vapaan värähtelyn ominaisvärähtelymuodot ... 507

13.5.4 Suorakulmaisen, reunoiltaan yksinkertaisesti tuetun laatan vapaan värähtelyn ominaisvärähtelymuodot ... 509

13.5.5 Suorakulmaisen, reunoiltaan yksinkertaisesti tuetun laatan pakkovärähtely jatkuvuustilassa ... 510

13.5.6 Suorakulmaisen, reunoiltaan yksinkertaisesti tuetun laatan värähtely, kun heräte on pistemäinen impulssivoima ... 513

13.6 KOINSIDENSSITAAJUUSJASÄTEILYSUHDE ... 515

13.7 OMINAISMUOTOTIHEYDET ... 522

13.8 LAMB-AALLOT... 524

KIRJALLISUUTTA ... 532

14 ÄÄNEN SIRONTA... 534

14.1 TASOAALLONSIRONTAPALLOSTA ... 534

14.1.1 Sironta pallosta, jolla on tietty impedanssi ... 540

14.2 TASOAALLONSIRONTASYLINTERISTÄ ... 542

KIRJALLISUUTTA ... 544

15 GEOMETRINEN AKUSTIIKKA ... 545

15.1 SÄDETEORIAA ... 545

15.1.1 Eikonaaliyhtälö... 545

15.1.2 Sädeviivan yhtälö ... 548

15.1.3 Kuljetusyhtälöt... 553

15.1.4 Fermat'n periaate ... 557

15.2 SÄTEENSEURANTA ... 558

15.3 KUVALÄHTEET ... 559

15.2.1 Suorakulmainen huone ... 562

KIRJALLISUUTTA ... 564

16 TILASTOLLINEN AKUSTIIKKA ... 565

16.1 TILASTOLLINENHUONEAKUSTIIKKA ... 565

16.1.1 Kokonaishäviökerroin ... 566

16.1.2 Absorbentti diffuusissa kentässä ... 569

16.2 TILASTOLLINENENERGIA-ANALYYSI(SEA) ... 571

16.2.1 SEA:n periaate ... 573

16.2.2 Mallin redusointi ... 576

16.2.3 SEA-malli kahdelle väliseinän kautta yhdistyvälle huoneelle ... 579

16.2.4 Muita esimerkkejä SEA-malleista ... 580

16.2.5 Ominaismuototiheydet ... 582

16.2.6 Kytkentähäviökertoimet... 582

16.2.7 Vasteet... 585

KIRJALLISUUTTA ... 585

17 NUMEERISIA LASKENTAMENETELMIÄ ... 587

17.1 SISÄTULO... 587

17.2 KENTTÄYHTÄLÖIDENOPERAATTORIESITYS ... 588

17.2.1 Deterministinen probleema ... 588

17.2.1 1 Yleistä ... 588

17.2.1.2 Aikaharmoniset akustiset kentät ... 589

17.2.1.3 Aikariippuvat akustiset kentät ... 591

17.2.2 Ominaisarvoprobleema ... 591

17.2.2.1 Yleistä ... 591

17.2.2.2 Akustiset kentät... 592

17.3 VAHVAJAHEIKKOMUOTO ... 592

17.4 VARIAATIOMENETELMÄT ... 593

17.4.1 Lähtökohta ... 593

17.4.2 Energiafunktionaali ... 594

17.4.2.1 Yleistä ... 594

17.4.2.2 Akustiset kentät... 595

17.4.3 Ominaisarvofunktionaali ... 598

17.4.3.1 Yleistä ... 598

17.4.3.2 Akustiset kentät... 599

17.4.4 Rayleigh-Ritzin menetelmä ... 601

17.5 MOMENTTIMENETELMÄT ... 602

17.5.1 Lähtökohta ... 602

17.5.2 Akustiset kentät ... 603

17.6 ELEMENTTIMENETELMÄ ... 605

17.7 REUNAELEMENTTIMENETELMÄ ... 606

KIRJALLISUUTTA ... 607

SYMBOLILUETTELO

A pinta, poikkipinta-ala, rajapintojen kokonaisala

AT dyadin A transpoosi (1.13)

1

A dyadin A inverssi (1.18)

B tilavuuskimmokerroin

lineaarinen reunaehto-operaattori (17.7)

B^a B:n adjungoitu reunaehto-operaattori (17.8) C aaltoputken poikittaiskapasitanssi pituusyksikköä kohti CA akustinern kapasitanssi

D akustinen energia tilavuusyksikköä kohti (4.69)

taivutusjäykkyys (13.129) D_k kineettisen energiatiheys (4.71), (4.75)

D_p potentiaalienergiatiheys (4.71), (4.75)

E sisäenergia, energia, kimmokerroin E0 sisäenergian staattinen arvo

E_L Lagrangen energia (17.33)

F voima

&

F massavoima tilavuusyksikköä kohti, dipolimomentti

&

F₀ massavoimien staattinen osa

G liukukerroin, aaltoputken poikittaiskonduktanssi pituusyksik- köä kohti

H entalpia massayksikköä kohti (2.10)

H₀ entalpian staattinen arvo Hm(1)

Hankelin ensimmäisen lajin funktio kertalukua m Hm(2)

Hankelin toisen lajin funktio kertalukua m (7.14) I poikkipinnan jäyhyysmomentti (13.84), (13.127)

&

I akustinen energiavuovektori (akustinen intensiteetti)

(4.33), (4.40)

I_r hiukkasnopeuden radiaalikomponentti I identtinen dyadi

IL insertion loss (9.191), kuva 9.22

J funktionaali

&

J energiavuovektori (energia / pinta-ala ja aika) Jm Besselin m:nnen kertaluvun funktio

K lämmönjohtavuus

K_m MacDonaldin funktio kertalukua m (7.57)

[K] ketjumatriisi

L Lagrangen energiatiheys (4.83)

aaltoputken pitkittäisinduktanssi pituusyksikköä kohti

aaltorintama (15.1)

lineaarinen operaattori (17.5)

L^a L:n adjungoitu operaattori (17.6) L_A akustinen induktanssi

Lx, Ly suorakulmaisen laatan dimensiot kuva 13.15

M Machin luku (3.101), (9.3)

taivutusmomentti

N taitekerroin (15.8)

NR noise reduction (9.191), kuva 9.22

N_m Neumannin m:nnen kertaluvun funktio P (termodynaaminen) paine, ääniteho

P0 staattinen paine (3.10)

P´ termodynaamisen ja mekaanisen paineen erotus (2.79) P_q´ massalähteiden synnyttämä teho (4.97) Pf massavoimalähteiden synnyttämä teho (4.97)

Pn Legendren polynomi

P_n^m assosioitu Legendren funktio

PT liikemäärälähteiden synnyttämä teho (4.97) P_H lämpölähteiden synnyttämä teho (4.97) P lähteiden tuottaman tehon ja häviötehon erotus tilavuusyksik-

köä kohti

Ps äänilähteiden tuottama teho tilavuusyksikköä kohti (4.67)

P_h häviöihin kuluva teho tilavuusyksikköä kohti (4.56) Q lämpömäärä massayksikköä kohti, puristuvuus

QS isentrooppinen puristuvuus (2.128)

Q0 linearisoitu isentrooppinen puristuvuus (3.13) vakionopeutta vastaava puristuvuus luku 15

Q0 kompleksinen puristuvuus (5.27)

R kaasuvakio, säde

äänenpaineen heijastuskerroin (5.44), (5.73), (9.199) aaltoputken pitkittäisresistanssi pituusyksikköä kohti

RA akustinen aaltoresistanssi aaltoputkessa Rmn värähtelymuodon (m,n) säteilyresistanssi

S entropia massayksikköä kohti (2.17)

pinta, aaltoputken poikkipinnan ympärysmitta

sirontapoikkipinta (14.20)

seisovan aallon suhde (5.55)

lähdejakauma (10.8), (10.9)

&

S poikkeama

&

S_n poikkeaman normaalikomponentti pinnalla (5.35)

&

St poikkeaman tangentiaalikomponentti pinnalla (5.35)

S0 staattinen entropia (3.129)

entropian vakioarvo

&

S0 staattinen poikkeama T lämpötila

jännitysvoima luku 13

T_ij siirtovakiot ketjumatriisissa, i, j = 1,2

äänenpaineen läpäisykerroin (5.44), (5.73), (9.199) T₀ staattinen lämpötila

T´ perturbaatiolämpötila

T liikemääräntuottojakauma tilavuusyksikköä kohti

T kvadrupolimomentti

TL transmission loss (9.191), kuva 9.22

’ ˜T¹ ’ ˜T:n pyörteetön osuus

’˜T² ’ ˜T:n lähteetön osuus U&

(hiukkas)nopeus

&

U₀ staattinen virtausnopeus (3.12)

&

U₁, &

U₂ hiukkasnopeuden pyörteetön ja lähteetön komponentti (3.112) V tilavuus

V* ominaistilavuus (tilavuus massayksikköä kohti) (2.8) W fluidille tehdystä työstä peräisin oleva kokonaisenergia mas-

sayksikköä kohti

lähteiden tekemä työ (17.33)

WS rajapinnan tekemä työ (17.33)

X_A akustinen aaltoreaktanssi aaltoputkessa

Y aaltoputken rinnakkaisadmittanssi pituusyksikköä kohti (9.144)

Y&

ominaisadmittanssi (8.61) Z akustinen ominaisimpedanssi

aaltoputken sarjaimpedanssi pituusyksikköä kohti (9.144)

Z₀ ominaisaaltoimpedanssi aaltoputkessa (9.145) ZA akustinen aaltoimpedanssi aaltoputkessa (9.179)

Zr (akustinen ominais)säteilyimpedanssi (6.20)

Z_mr mekaaninen säteilyimpedanssi (8.86)

a, b poikkileikkaukseltaan suorakulmaisen aaltoputken x- ja y- suuntaiset poikittaisdimensiot kuva 9.4

suorakulmaisen säteilijän dimensiot x- ja y-suunnassa

kuva 11.1

) (u a& &

hiukkasnopeuden polarisaatiovektori (4.90)

c äänen paikallinen nopeus (3.6)

c₀ linearisoitu äänen nopeus (3.13)

vakionopeus luku 15

c0 kompleksinen äänennopeus (5.5)

c jäykkyyskvadradi kiinteässä aineessa (3.230) cb pitkittäisaallon etenemisnopeus sauvassa (13.70) cfp taivutusaallon vaihenopeus

palkille (13.90)

laatalle (13.138)

c_fg taivutusaallon ryhmänopeus

palkille (13.91)

laatalle (13.139)

c_k poikittaisaallon etenemisnopeus kalvossa (13.35) c_L pitkittäisaallon nopeus kiinteässä aineessa (3.215)

poikittaisaallon etenemisnopeus langassa (13.4)

c_P ominaislämpö vakiopaineessa (2.14)

cR Rayleigh-aallon nopeus

cT isoterminen äänen nopeus (3.118)

poikittaisaallon nopeus kiinteässä aineessa (3.215)

cV ominaislämpö vakiotilavuudessa (2.13)

cp Lamb-aallon etenemisnopeus d deviaatiodyadi

fluideille (2.72)

kiinteille aineille (3.198)

A

det dyadin A determinantti (1.17)

e suhteellinen nopeusdyadi (2.68)

suhteellinen poikkeamadyadi (3.198)

e&n pinnan yksikkönormaalivektori

ep pietsosähköinen kerrointriadi (3.231) f taajuus

yleinen kenttämuuttuja luku 17

f_i, f_n, f_mn, f_mnl ominaistaajuus

fmn aaltomuodon (m,n) rajataajuus aaltoputkessa (9.18)

&

f dynaaminen massavoima tilavuusyksikköä kohti, massavoi- mien ajasta riippuva osa

&

f₁, &

f₂ &

f :n pyörteetön ja lähteetön osuus f_c koinsidenssitaajuus (kriittinen taajuus)

(11.36), (13.178), (13.179)

f_g ryhmäkerroin (12.4)

f&c

dipolijakauma f&S

dipolipintakakauma f~

f:n Fourier-muunnos (11.20)

g, g& maan vetovoiman kiihtyvyys

g Greenin funktio, yleinen lähde

gD Dirichletin reunaehdon toteuttava Greenin funktio (10.106) g_N Neumannin reunaehdon toteuttava Greenin funktio (10.110) g_v vapaan tilan Greenin funktio

kolmiulotteinen kenttä, ajasta riippumaton (10.21) kolmiulotteinen kenttä, ajasta riippuva (10.29)

kaksiulotteinen kenttä, ajasta riippumaton (10.42) kaksiulotteinen kenttä, ajasta riippuva (10.54) yksiulotteinen kenttä, ajasta riippumaton (10.56) yksiulotteinen kenttä, ajasta riippuva (10.58) hn(1)

Hankelin ensimmäisen lajin pallofunktio kertalukua n (8.34) hn(2)

Hankelin toisen lajin pallofunktio kertalukua n (8.34) j_n Besselin pallofunktio kertalukua n

k aaltoluku (3.50)

k₀ virtauksettoman kentän aaltoluku (9.3) vakionopeutta vastaava aaltoluku (15.2)

kc aeroakustinen aaltoluku (9.209)

k_m, k_n aaltoluvun x- ja y-suuntaiset komponentit (11.32) kmnl ominaisaaltoluku

&

k kompleksinen aaltolukuvektori (5.2)

&

k_r, &

k_i &

k :n reaali- ja imaginääriosa (5.2) k_s taivutusaallon aallonpituuteen sidottu rakenteellinen aaltoluku

(6.27)

k_x, k_y, k_z &

k :n x-, y- ja z-komponentit (xyz-koordinaatisto) kr, kz

&

k :n r- ja z-komponentit (sylinterikoordinaatisto)

ksmn rakenteellinen aaltoluku (11.34)

k_zmn aaltomuotoa (m,n) vastaava etenemissuuntainen aaltoluku aal-

toputkessa (9.11), (9.14)

k_Amn aaltomuotoa (m,n) vastaava poikittainen aaltoluku aaltoput- kessa

jn Besselin n:nnen kertaluvun pallofunktio r säteilysuhteen reaaliosa m takertunut massa, massa

n ominaismuototiheys (6.78), (6.79), (6.80)

n rajapintaheijastusten keskimääräinen lukumäärä sekunnissa

n_n Neumannin n:nnen kertaluvun pallofunktio p perturbaatiopaine

äänenpaine (3.10)

p_c aeroakustinen paine (3.23), (4.39)

pd dipolipintajakauman aiheuttama äänenpaine (10.91) pq äänenpaineen massalähdetermi (10.63) monopolipintajakauman aiheuttama äänenpaine (10.90)

p_H äänenpaineen lämpölähdetermi (10.63)

pf äänenpaineen voimalähdetermi (10.63) p_T äänenpaineen liikemääräntuottotermi (10.63) q´ tilavuusnopeusjakauma tilavuusyksikköä kohti (massantuotto-

jakauma)

q´´ monopolijakauma q tilavuusnopeus

&

q lämpövuo

q_S monopolipintajakauma

r0 ominaisvirtausvastus r&

, r&₀ kenttäpiste- ja lähdepistevektori

s perturbaatioentropia (3.129)

&

s poikkeaman ajasta riippuva osa

&

s , s& ^&s:n pyörteetön ja lähteetön komponentti

x säteilysuhteen imaginääriosa x, y, z karteesiset koordinaatit

r, M, z sylinterikoordinaatit r, T, M pallokoordinaatit

A

tr dyadin A jälki (1.19)

&

u (perturbaatiopaineeseen liittyvä) hiukkasnopeus (3.12) u&1

, u&₂ &

u:n pyörteetön ja lähteetön komponentti

u&c aeroakustinen hiukkasnopeus (3.23), (4.39)

u_mn värähtelymuodon (m,n) nopeusjakauma

un hiukkasnopeuden normaalikomponentti pinnalla, pitkittäisvä- rähtelyn ominaismuoto

u_r hiukkasnopeuden radiaalikomponentti

u, v, w poikkeaman x-, y- ja z-suuntaiset komponentit (5.149) us, vs, ws symmetrisen poikkeaman x-, y- ja z-suuntaiset komponentit

kuva 13.18

ua, va, wa antisymmetrisen poikkeaman x-, y- ja z-suuntaiset komponen-

tit kuva 13.18

v värähtelynopeus v&

taivutusaaltovektori w painofunktio

wn, wmn poikittaisvärähtelyn ominaismuoto

H

H

3dissk osasysteemissä k kuluva häviötehoteho (16.28)

3ink osasysteemiin k tuotava heräteteho 6&

jännitys

&

6n pinnan normaalin suuntainen vetojännitys (5.32)

6&t

pinnalla vaikuttava leikkausjännitys (5.32)

) viskoottinen häviöfunktio (2.115)

kompleksisen etenemiskertoimen J reaaliosa (vaimennusker-

roin) (3.147)

absorptiokerroin (16.26)

i ilmakehän vaimennuskerroin D rajapintojen keskimääräinen absorptiokerroin

lämpölaajenemiskerroin (2.32)

kompleksisen etenemiskertoimen J imaginääriosa (etenemis-

kerroin) (3.147)

G Diracin deltafunktio

Gl lämpöaallon rajakerroksen paksuus (5.129) Gv viskositeettiaallon rajakerroksen paksuus (5.108) H lämpölähdejakauma tilavuusyksikköä kohti

I nopeuspotentiaali (3.45)

poikkeaman skalaaripotentiaali kiinteässä aineessa (3.217)

Ii muotofunktio Imn aaltoputken aaltomuoto (m,n)

J adiabaattivakio (2.15)

Eulerin vakio

J, J& kompleksinen etenemiskerroin (5.2), (9.145)

&

J liukuvenymävektori (3.201)

K sirontasuhde (14.21)

häviökerroin Ki, Kii osasysteemin i häviökerroin

Kij osasysteemien i ja j välinen kytkentähäviökerroin O aallonpituus

ominaisarvo luku 17

Oc aeroakustinen aallonpituus (9.213)

Os taivutusaallon aallonpituus O, P Lamén elastisuusvakiot

P, Pv viskositeettikerroin, viskositeettilaajenemiskerroin

P´ (3.110)

Z kulmataajuus

Zn, Zmn, Zmnl ominaiskulmataajuus

U tiheys

U0 staattinen tiheys (3.10) vakionopeutta vastaava tiheys luku 15

U´ perturbaatiotiheys (3.10)

U0 kompleksinen tiheys (5.27)

US tiheys kiinteässä aineessa

V säteilysuhde (säteilykerroin) (6.23), (7.34)

&

V vetojännitysvektori (3.200)

V pitkittäisjännitys

V jännitysdyadi

Vij jännitystensorin komponentti kuva 2.3

VP viskoosijännitysdyadi (2.82)

tilavuus

tehonläpäisykerroin luku 9

&

W leikkausjännitysvektori (3.200)

Q suppeumakerroin (Poissonin luku)

&

\ poikkeaman vektoripotentiaali kiinteässä aineessa (3.217)

’0 lähdepistekoordinaatteihin operoiva ’

’t poikittaislaplace (13.35)

’A etenemissuuntaan nähden poikittaiskoordinaatteihin operoiva

’

1 JOHDANTO

Johdannossa eitetään pohjustuksena muutamia tarkasteluja varten dyadi- merkintätapa sekä eri liikekuvaustyypit.

1.1 DYADILASKENTA

Tarkempaa dyadeihin perehtymistä varten esitetään viitteet (Lindell, 1992) ja (Lindell, 2004). Tämä osio perustuu pääosin esitettyihin viitteisiin. Li- säksi dyadeihin liittyviä ominaisuuksia ja kaavoja on löydettävissä mm.

viitteistä (Lindell, 2001) ja (Van Bladel, 1985).

Dyadi on vektoriavaruuden lineaarikuvauksen eräs esitystapa. Dyadin pe- rustana on kahdesta vektoriargumentista muodostettu bilineaarinen funktio, dyaditulo, jonka merkki on tyhjä

b a b

a&,&o&& . (1.1)

Dyadi on dyadituloista muodostuva polynomi. Merkintätapana tässä käyte- tään kahta yläpuolista viivaa, esim.

A ab& & & & &&cdef

. (1.2)

Dyaditulo on bilineaarinen eli lineaarinen kummankin vektoriargumentin suhteen. Bilineaarisuuden nojalla on todettavissa, että mielivaltainen dyadi on esitettävissä aina vektoriavaruuden dimensioluvun osoittamalla määrällä dyadituloja.

Vektoriavaruuden lineaarikuvaus, joka on esitettävissä dyadien avulla, voi- daan esittää myös matriisien tai tensorien avulla. Dyadiesityksen eräs etu on sen riippumattomuus koordinaatistosta.

Tarkastellaan mainittujen kuvauksien vastaavuutta. Otetaan lähtökohdaksi matriisiesitykseen perustuva lineaarikuvaus, missä kolmiulotteinen vektori

x&

(komponentit x₁, x₂ ja x₃) on kuvattu kolmiulotteiseksi vektoriksi f&

(komponentit f1, f2 ja f3) f f f

a a a

a a a

a a a

x x x

1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 2 3

ª

¬

««

« º

¼

»»

» ª

¬

««

«

º

¼

»»

» ª

¬

««

« º

¼

»»

»

. (1.3)

Tensoriesityksenä kyseinen kuvaus on

f_i a x_{ij j} . (1.4)

On huomattava, että tensoriesityksessä suoritetaan aina summaus yli toistet- tujen indeksien, ts. edellä esitetyn kuvauksen oikea puoli tarkoittaa suuretta

a x_{ij j} a x_{ij j}

¦

. (1.5)

Huomattakoon tähän liittyen myös, että tensoriesityksessä merkintä aii ei vastaa matriisikuvauksen kerroinmatriisin diagonaalitermiä, vaan kaikkien diagonaalitermien summaa

a_ii a_ii

¦

. (1.6)

Tarkasteltava kuvaus voidaan esittää dyadimerkinnöillä seuraavasti

& &

f ˜a x . (1.7)

Kerroindyadi voidaan esittää esimerkiksi seuraavasti a a_{ij i j}

j

i

¦

¦

e e

1 3

1 3

, (1.8)

missä e^&_i ja ^&e_j ovat i- ja j-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Esityksen (1.8) termit a_ij ovat täsmälleen samat kuin esityksen (1.3). Dyadikuvaus voidaan täten yhtälön (1.8) nojalla kääntää aina matriisikuvaukseksi.

Dyaditulo ei kommutoi yleensä

& & & &

abzba . (1.9)

Esimerkkejä dyadikuvauksista ovat

& && & & & &

& & && & & &

& & &

& & & & &

b dc a d c a b a dc a d c

b a a

b c a c a

˜ ˜

˜ ˜

˜

u ˜ u I

I .

(1.10)

Mainituissa lineaarikuvauksissa I on identtinen kuvaus (identtinen dyadi, vastaa yksikkömatriisia)

I˜ ˜ a& &a I a& . (1.11) Identtinen dyadi voidaan esittää ortonormaalin kannan avulla

I e e& & & &e e e e& &

1 1 2 2 3 3 . (1.12)

Dyadin transponointi määritellään seuraavasti

& & &&

ab ba

T . (1.13)

Jos AT A, niin dyadi A on symmetrinen. Jos AT A, niin dyadi A on antisymmetrinen. Symmetrisiä dyadeja ovat esimerkiksi ab& & &&ba, aa&& & &bb ja I, antisymmetrisiä esimerkiksi & & & &

abba. Koska

2

1 ab ba ab ba

b

a&& &&&& &&&& , (1.14)

jokainen dyadi voidaan esittää symmetrisen ja antisymmetrisen dyadin summana.

Kaavojen (1.10) mukaisten dyadien ja vektorien välisten tulojen lisäksi määritellään dyadien väliset tulot

- pistetulo ab& & & &˜

- kaksoispistetulo ab& & & &: cd ˜a c b d& & & &˜ - kaksoisristitulo ab& & u cd& &

u u u (1.15)

- ristipistetulo ab& & u cd& &

˜ u ˜

- pisteristitulo ab& & ˜ cd& & a c b& & & &d u ˜ u .

Dyadien välinen pistetulo vastaa matriiseilla normaalia matriisien välistä tu- loa ja kaksoispistetulo matriisien vastaavien elementtien tulojen summaa.

Esitetyille tuloille voidaan osoittaa seuraavia ominaisuuksia

A B C A B C

A B B A A B B A A B

A B B A

A B A B

A B B A

˜ ˜ ˜ ˜

˜ z ˜ uu u

u

uu u

u

˜ ˜

: : :

.

T T

T

T T

T

T T

(1.16)

Dyadin determinantti on (vastaa matriisin determinanttia) A

A A

A :

det ₆¹ ¸¹·

¨©§

uu (1.17)

ja inverssi (vastaa käänteismatriisia)

A AuA A

u

1 1

2 T

/ det . (1.18)

Dyadin jälki on (vastaa matriisin diagonaalitermien summaa)

trA A:I . (1.19) Erityisesti identtisen kuvauksen jälki on yhtä kuin avaruuden dimensio

tr I 3 . (1.20)

Differentiaalioperaatioille voidaan johtaa esimerkiksi seuraavanlaisia omi- naisuuksia

, 0

: I

T 2 T

T

’ u

’

’

˜

’

˜

˜

˜

’

˜

’

˜

’

˜

’

˜

’

’

’

˜

’

’

’

˜

’

u u

’

’

’

u

’’

˜ u˜’

’

’

˜ u

’

u u

’

˜

’

’

˜

˜

’

˜

’

’

’

’

a

a A A a a A

A a A a A a

a a

a a

a a

a

b a

b a b a

b a a

b b a

b a b a b

a

b a b a b a

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(1.21)

missä vektorin gradientti on dyadi, ollen karteesisessa koordinaatistossa (ks.

kuva 1.1)

z a y

a x

a _x a _{y z}

w w w w w

’& &e w& &e & &e & , (1.22)

sylinterikoordinaatistossa (ks. kuva 1.2)

z a a

r r

a _r a _z

w w wM w

w

’ w M

&

&

&

&

&

&

& 1 e

e

e (1.23)

ja pallokoordinaatistossa (ks. kuva 1.3)

wM w T

wT w w

’ w _{T M} a

r a r r a _r a

&

&

&

&

&

&

&

sin e 1 e 1

e . (1.24)

P z

x

y e_x

e_z

e_y

0

Kuva 1.1. Pisteen P koordinaatit x, y ja z karteesisessa koordinaatistossa ja vastaavat yksikkövektorit.

M r

z P z

x

y e_r e_z

e_M

0

Kuva 1.2. Pisteen P koordinaatit r, M ja z sylinterikoordinaatistossa ja vas- taavat yksikkövektorit.

r

M

P z

x

y e_r

e_M

0

e_T T

Kuva 1.3. Pisteen P koordinaatit r, T ja M pallokoordinaatistossa ja niitä vastaavat yksikkövektorit.

Yo. lausekkeita käytettäessä derivointeja joutuu kohdistamaan myös yksik- kövektoreihin. Karteesisessa koordinaatistossa ne häviävät. Sylinterikoor- dinaatistossa on voimassa (Väisälä, 1968)

e 0 e 0

e 0

e 0 e e

e 0

e 0 e e

e 0

w w wM

w w

w w

w wM w w

w w

w wM

w w

w

M M

M

M

z r

z r

z r

z z

z

r r r

r

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(1.25)

ja pallokoordinaatistossa vastaavasti (Väisälä, 1968)

T M

M M

T M T

T

M T

T T wM

w wT

w w

w

wM T w

wT w w

w

wM T w wT

w w

w

e ) cos(

e ) e sin(

e 0 e 0

e ) e cos(

e e e 0

e ) e sin(

e e e 0

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

r r

r r

r

r r r

(1.26)

1.2 LAGRANGEN JA EULERIN LIIKEKUVAUKSET Lagrangen kuvaus (ks. kuva 1.4) kuvaa liikettä liikkuvan partikkelin muka- na, kun taas Eulerin kuvaus (ks. kuva 1.5) kuvaa liikettä tietyssä avaruuden pisteessä (Morse & Ingard, 1968).

partikkelin siirtymä ajassa t

u x₀,0 u x t₀,

x₀ x x t₀,

Kuva 1.4. Nopeus u Lagrangen kuvauksessa.

u x t,

x

Kuva 1.5. Nopeus u Eulerin kuvauksessa.

Funktion f(x,t) aikaderivaatta Lagrangen kuvauksessa on df/dt (kokonaisde- rivaatta) on sidottu liikkuvaan partikkeliin ja Eulerin kuvauksessa wf/wt (osittaisderivaatta) avaruuden pisteeseen. Näiden välinen yhteys on (Morse

& Ingard, 1968)

x u f t f t x x f t f f

w w w w w w w w w w dt

d , (1.27)

missä u on partikkelin nopeus. Kolmiulotteisessa avaruudessa vastaava yh- teys on skalaarifunktiolle f ja vektorifunktiolle f&

. d

d d d

f t u f t f

f t u f t f

&

&

&

&

&

’

˜ w w

’

˜ w w

(1.28)

Akustiikassa, missä &

u kuvaa hiukkasnopeutta, yhtälön (1.28) oikean puolen jälkimmäinen termi on yleensä mitättömän pieni. Poikkeuksen muodostaa tilanne, jossa akustinen aaltoliike etenee virtauksellisessa väliaineessa.

KIRJALLISUUTTA

Lindell, I. V. (2001). Advanced Field Theory. Espoo: Helsinki University of Technology.

Lindell, I. V. (2004). Differential Forms in Electromagnetics. John Wiley &

Sons, Inc.

Lindell, I. V. (1992). Methods for Electromagnetic Field Analysis. Oxford:

Clarendon Press.

Morse, P. M. & Ingard, K. U. (1968). Theoretical Acoustics. New York:

McGraw-Hill Book Company.

Van Bladel, J. (1985). Electromagnetic Fields. Washington: Hemisphere Publishing Corporation.

Väisälä, K. (1968). Vektorianalyysi. Porvoo: WSOY.