• Ei tuloksia

(a) Laske todenn¨ak¨oisyys, ett¨a seuraavan kolmen kuukauden aikana valmistuu ainakin 2 opiskelijaa

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "(a) Laske todenn¨ak¨oisyys, ett¨a seuraavan kolmen kuukauden aikana valmistuu ainakin 2 opiskelijaa"

Copied!
3
0
0

Kokoteksti

(1)

Matemaattisen tilastotieteen perusteet Kurssin lopputentti 17.12.2010

Ratkaisut

1. Er¨a¨alt¨a laitokselta valmistuu opiskelijoita Poissonin prosessin mukai- sesti 10 per vuosi. (a) Laske todenn¨ak¨oisyys, ett¨a seuraavan kolmen kuukauden aikana valmistuu ainakin 2 opiskelijaa. (b) Seuraavan kah- den kuukauden aikana ei valmistu yht¨a¨an opiskelijaa.

Ratkaisu. Katso harjoitus 3.1.

2. Tietokoneohjattu tentti koostuu monivalintateht¨avist¨a, joissa on 3 vas- tausvaihtoehtoa. Vaihtoehdoista t¨asm¨alleen yksi on oikein ja muut kaksi v¨a¨ari¨a. Arvaajan todenn¨ak¨oisyys osua oikeaan on 13. Testiohjelma antaa kysymyksi¨a per¨akk¨ain yhden kerrallaan ja ilmoittaa v¨alitt¨om¨asti, onko vastaus oikein vai v¨a¨arin. Testi p¨a¨attyy, kun testattava on vastannut 3:een kysymykseen oikein tai yritt¨anyt 6 kertaa.

(a) Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a arvaajan testi p¨a¨attyy nelj¨anteen kysymykseen (Kolmas onnistuminen nelj¨annell¨a)?

(b) Mill¨a todenn¨ak¨oisyydell¨a arvaaja suoriutuu testist¨a hyv¨aksytysti?

(c) Mik¨a on arvaajan antamien vastausten lukum¨a¨ar¨an odotusarvo?

Ratkaisu. (a) Satunnaismuuttujan W3 ∼ NBin(313) arvo on w, w = 3,4, . . ., kun arvaaja osuu oikeaan 3.kerran teht¨av¨ass¨a numero w.

P(W3 = 4) =

4−1 3−1

(1

3)32 3 = 2

27 ≈0.074 (b) Arvaaja l¨ap¨aisee tentin, kun 3 ≤W3 ≤6. Silloin

P(3≤W3 ≤6) =

6

X

w=3

w−1 3−1

(1

3)3(2

3)x−3 ≈0.3196.

(c) Olkoon X arvaajan antamien vastausten lukum¨a¨ar¨a. Silloin

E(X) =

5

X

x=3

x P(W3 =x) + 6P(W3 >5)

=

5

X

x=3

x

w−1 3−1

1 3

3 2 3

x−3

+ 6 [1−

5

X

x=3

x−1 3−1

1 3

3 2 3

x−3

]≈5.64.

(2)

3. Jatkuvan satunnaismuuttujanX tiheysfunktio on f(x) =

(4x3, 0< x <1;

0, muualla.

(a) Laske todenn¨ak¨oisyys P(X >1/2).

(b) M¨a¨arit¨aX:n kertym¨afunktio.

(c) Olkoon Y = 2X+ 1/2. Laske P(0< Y <1).

(d) M¨a¨arit¨a satunnaismuuttujanV = 1−3X tiheysfunktio.

Ratkaisu. (a)

P(X >1/2) = 1−P(X ≤1/2) = 1−F(1/2) = 1−(1/2)4 = 15/16 = 0.9375.

(b) Satunnaismuuttujan X kertym¨afunktio

F(x) =





0, x≤0 x4, 0< x <1 1, x≥1, miss¨a F(x) = P(X≤x) = Rx

0 4x3dx, kun 0< x < 1.

(c)

P(0< Y <1) = P(0<2X+ 1/2<1) = P(−1/2<2X <1/2)

= P(−1/4< X <1/4) =P(X <1/4)

= F(1/4) = (1/4)4

(d) Satunnaismuuttujan V = 1−3X tiheysfunktio on fV(v) =f[g(v)]|g0(v)|= 4 1−v

3 31

3 = 4

34(1−v)3,

kun −2 ≤ v ≤ 1 ja 0 muualla. Muunnos x = 13(1− v) = g(v) ja

g0(v) = −13.

4. Jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on

f(x, y) =

(x+y, 0≤x≤1, 0≤y≤1;

0, muualla.

(a) M¨a¨arit¨aX:n reunajakauman tiheysfunktio fX(x).

(b) Laske E(Y),

(c) fY|X(y|0) (Y:n ehdollinen tiheysfunktio ehdolla X = 0) ja (d) E(X|y) (X:n ehdollinen odotusarvo ehdolla Y =y).

(3)

(e) Ovatko X ja Y riippumattomat (perustelu)?

(f) Laske P(X ≤1/2, Y ≤1/2).

Ratkaisu. (a) Satunnaismuuttujan X reunajakauman tiheysfunktio

fX(x) =

1

Z

0

(x+y)dy=

1

Z

0

xdy+

1

Z

0

ydy=x+ 1

2, 0≤x≤1.

(b) Vastaavasti kuin a-kohdassa, fY(y) =y+ 12, 0≤y≤1, joten

E(Y) =

1

Z

0

y(y+ 1 2)dy=

1

Z

0

(y2+ y

2)dy= 7 12. (c) fY|X(y|0) = ff(0,y)

X(0) = 1/2y = 2y, 0≤y≤1.

(d) Koska fX|Y(x|y) = ff(x,y)

Y(y) = y+x+y1 2

= 2y+12 (x+y), 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y≤1, niin

E(X|Y =y) = 2 2y+ 1

1

Z

0

(x+y)dx= 2 + 3y 3(1 + 2y).

(e) SatunnaismuuttujatX ja Y eiv¨at ole riippumattomat riippumatto- mat, koska

f(x, y) =x+y6= (x+ 1

2)(y+ 1

2) =fX(x)fY(y).

(f) P(X ≤1/2, Y ≤1/2) =F(1/2,1/2) = 1/8, sill¨a P(X ≤x, Y ≤y) = F(x, y)

=

x

Z

0 y

Z

0

(s+t)dsdt=

x

Z

0

y

Z

0

(s+t)dt ds

= x2y

2 +xy2

2 , 0≤x≤1, 0≤y≤1.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Avaruusaluksessa on kolme kameraa, joiden toiminta-ajat ovat riippumattomia Exp(λ)-jakautuneita satunnaismuuttujia... a) Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a kaikki kamerat toimivat

Viidentoista arvan joukossa on kolme, joilla voittaa 10 euroa, ja nelj¨a, joilla.. voittaa

Laske Bin(n, p)-jakauman odotusarvo ja varianssi todenn¨ak¨oisyyden generoivan funktion avulla.. 3. Lausu G:n avulla todenn¨ak¨oisyys, ett¨a X saa

Valitaan satunnaisesti yksi kaksi- lapsinen perhe ja havaitaan, ett¨a perheess¨a on poika?. Mill¨a todenn¨ak¨oi- syydell¨a h¨anell¨a

Olkoon X sen synnytyksen j¨ arjestysnumero, jonka j¨ al- keen pariskunnalla on ensimm¨ aisen kerran kumpaakin sukupuolta oleva lapsi.. Oletetaan, ett¨ a pojan todenn¨ ak¨ oisyys on p

Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a 60 satunnaisesti valitun verovelvollisen joukossa korkeintaan kolmella tulot ovat yli 100000 euroa?. Laske toden- n¨ak¨oisyys Poissonin

Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a otokseen tulee x kappaletta tyyppi¨a 1 olevia alkio- ta ja n − x kappaletta tyyppi¨a 2.. Tavanomainen todenn¨ak¨oisyyslaskennassa

Er¨ as viallinen julkinen puhelin on sellainen, ett¨ a se palauttaa rahan todenn¨ ak¨ oisyydell¨ a 0.6, se yhdist¨ a¨ a antamaasi numeroon todenn¨ ak¨ oi- syydell¨ a 0.2 ja