3.1.2 Skalaaritulo eli pistetulo
cos |
b | | a | b
a
a
b
0 b
a niin ,
0 b
tai 0 a
Jos
180
0
Huom. alkavat samasta pisteestä
E.1. Laske , kun |a| = 6, |b| = 10 ja vektoreiden välinen kulma on a) 0° b) 60° c) 90° d) 120° e) 180°.
b a
b a a)
b a b)
b a c)
b a d)
b a e)
6 10 cos0º = 6 10 1 = 60 6 10 cos60º = 6 10 ½ = 30 6 10 cos90º = 6 10 0 = 0
6 10 cos120º = 6 10 -½ = -30 6 10 cos0º = 6 10 (-1) = -60
cos |
b | | a | b
a
3.1.3 Skalaaritulo xyz-koordinaatistossa
zt ys
xr )
k t j
s i
(r )
k z j
y i
(x
E.2. Olkoon Laske
k i
- b
ja k - j 4 i
3
a
) b 2 - a ( a 2 b) b a
a)
) k i
(- ) k - j 4 i
(3
a) 3 (-1) (-1) 1 -4
b a 4 a
a 2 ) b 2 - a ( a 2
b) 2(3
2 4
2 (-1)
2) - 4(-3 0 - 1) 68
(-4) 4
- 26
2
3.1.4 Laskulait a
b b
a
1)
c · a b
· a ) c b
(
· a
2)
) b · a (rs)(
) b (s · ) a (r
3)
Vektorin neliö
2 2
a a
a
a
Muistikaavat
2 2
- b a
) b - a ( ) b a
(
1)
2 2
2
a 2 a b b
) b a
(
2)
2 2
2
a 2 a b b
) b a
(
3)
E.3. (t. 198a)
) b 3 a
(2 ) b a
(
b b 3 b
a 2 - b a 3 - a a
2
b b 3 b
a 5 - a a
2
2
2
- 5 a b 3 b
a
2
1) Vektorin pituus
2 2
a a
a
a
E.4. Olkoon |a| = 4 , |b| = 7 ja
Laske vektorin pituus
8 b a
b a
) b a
( ) b a
(
| b a
|
a)
2 a2 2 a b b
2
81 7
8 2
4
2
2
9
| b a
|
3.2 Skalaaritulon sovelluksia
0 b
, a
| b |
| a |
b
cosα a
2) Vektorien välinen kulma
9
8 6 -
| b |
| a |
b cosα a
a)
2
1 3
2 2
6
-
135
5
25
1 3 - 2 cosα 4
b)
5 1 5
5
5
63,4
α
E.5. a) Laske vektorien välinen kulma, kun
b) Laske vektoreiden välinen kulma
b ja a
-6 b
a ja 9 b
b 8, a
a
j - i 2 ja j 3 i
4
3) Vektorien kohtisuoruus 0 b
, a kun
, 0 b
a
b
a
) j 12 i
(15 )
j 5 i
(4 b
a 4 15 5 12 0 b
a niin
, 0 b
a
Koska
E.6. Osoita, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan 4 i -5j ja 15 i12 j
