ELEC-C4140 Kenttäteoria 2015–16/I–II
Välikoe 1, esimerkkiratkaisut 20.10.2015
1. (a) Coulombin laki ilmaiseekahden pistevarauksen välistä sähköistä voimaa:(1) samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan, vastakkaismerkkiset vetävät toisiaan puoleensa; (2)voiman suuruus on verrannollinen varausten suuruuksien tuloon ja kääntäen verrannollinen varausten välimatkan neliöön.
(b) Kun siirtojohdossa etenee kaksi (samantaajuista) aaltoa vastakkaisiin suuntiin, aaltojen summa muodostaa seisovan aallon.Seisovan aallon suhde onseisovan aallon amplitudimaksimin suhde amplitudiminimiin.
Seisovan aallon suhde mittaa siirtojohdon ja kuorman epäsovitusta.
(c) Piste on xy-tasolla (z = 0), jotenθ = 90°. Kulma tasolla onφ = 45° ja etäisyys origosta on R = √ 2.
xy-tasolla yksikkövektoriˆzon sama kuin yksikkövektori−θˆ(θ=90°).
(d) Integraalimuotoinen Gaussin laki ilmaisee, että sähkövuo(eli D-kentän pintaintegraali) suljetun pinnan läpi ulospäin on yhtä suuri kuin pinnan sisään jäävä kokonaisvaraus.
(e) Kondensaattorin kapasitanssi mittaakondensaattorin kykyä varastoida sähköstaattista energiaaja onkon- densaattorin varauksen ja jännitteen vakiosuhdeluku.
(f) Tasaisessa magneettikentässä (eli kentässä, jonka suunta ja suuruus ovat vakioita)pyöreään virtasilmuk- kaan ei kohdistu magneettista kokonaisvoimaa olipa silmukan asento mikä tahansa (symmetrian vuok- si voimat kumoavat toisensa).Silmukaan kohdistuu magneettinen vääntömomentti(voimapari ja voiman varsi ovat olemassa), josmagneettikentällä on komponentti silmukan tasossa(jos silmukan taso on kohti- suorassa magneettikenttää vastaan, vääntömomentti on nolla).
2. (a) Pallosymmetrian vuoksi sähkövuontiheysvektori on muotoaD = Rˆ DR(R). Soveltamalla integraalimuo- toista Gaussin lakiaR-säteiseen origokeskiseen palloon saadaan ensiksi sähkövuo pallopinnan läpi:
I
S
D·ds=
2π
Z
φ=0 π
Z
θ=0
Rˆ DR(R)
·Rˆ R2sinθdθdφ= DR(R)R2
2π
.
0
φ
π
.
0
(−cosθ)
=4πR2DR(R).
Pallopinnan sisään jäävä kokonaisvarausQ(R) vaihtelee säteen funktiona:
Q(R)= Z
V
ρvdV=
2π
R
φ=0 π
R
θ=0 R
R
R=0
ρ0R2sinθdRdθdφ= 43πρ0R3, 0≤R≤a Q(a)= 43πρ0a3, R>a.
Integraalimuotoisen Gaussin lain mukaan kokonaisvaraus pinnan sisällä on yhtä suuri kuin pinnan läpi kulkeva sähkövuo, jotenDR(R) eri alueissa voidaan ratkaista:
I
S
D·ds=4πR2DR(R)=Q(R) =⇒ D=Rˆ DR(R)=Rˆ Q(R) 4πR2 =
Rˆ ρ0
3 R, 0≤R≤a Rˆ ρ0a3
3R2 , R>a.
(b) Konservatiivisuus tarkoittaa, että varaukselle tehty työ on riippumaton tiestä, jota pitkin varaus siirretään kahden pisteen välillä. Integraalimuotoisena ehto kuuluu
I
C
E·dl=0
ja (Stokesin lauseen perusteella) differentiaalimuotoisena
∇ ×E=0.
Tutkitaan jälkimmäisen ehdon toteutuminen juuri määritetylle kentällä. SähkövuontiheysD=0E, joten E=D/0=Rˆ ER(R)=Rˆ DR(R)/0. Siispä pallokoordinaatistossa
∇ ×E= 1 R2sinθ
Rˆ θˆR φˆ Rsinθ
∂R∂ ∂
∂θ ∂
∂φ
DR(R)/0 R×0 (Rsinθ)×0
1
= 1 R2sinθ
hRˆ (0−0)−θˆR(0−0)+φˆ Rsinθ(0−0)i
=0.
Sähkökenttä on siis konservatiivinen.
Jos tehtävän ratkaisisi integraalimuotoista ehtoa tutkimalla, osoittautuisi, että ehdosta jäisi jäljelle vain integrointia säteeltä toiselle ja takaisin eli nollasumma, koska kenttä on säteittäissuuntainen.
3. (a) Suoran virtalangan magneettikenttätehtävän koordinaatistossaon H1 =−ˆz I1
2πx, a< x<a+w.
(Kentän suunnaksi ei kelpaaφˆ ilmanφ-kulman uudelleenmäärittelyä.)
(b) Magneettivuo silmukan läpi on (dsvoi olla+ˆz- tai−ˆz-suuntainen –valitaan−ˆz, jotta (c)-kohdassa saadaan positiivinen keskinäisinduktanssi)
Φ12=Z
S
B·ds=
h
Z
y=0 a+w
Z
x=a
−ˆzµ0I1 2πx
·(−ˆz dx dy)= µ0I1h 2π
a+w
.
x=a
lnx= µ0I1h
2π lna+w a .
(c) Koska silmukassa on vain yksi kierros, käämivuoΛ12= NΦ12 = Φ12. Keskinäisinduktanssi L12= Λ12
I1 = µ0h
2π lna+w a .
2
