• Ei tuloksia

':(; 'i 'i,: ) 1 f ,e ): [' yg1n1*sor.

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "':(; 'i 'i,: ) 1 f ,e ): [' yg1n1*sor."

Copied!
1
0
0

Kokoteksti

(1)

Teknillinen korkeakoulu Peltonen, Eirola / Vesanen Mat-1.1030, Matematiikan peruskurssi L B

2. välikoe, 17.11.2009

Kirjoita selvästi jokaiseerr koepaperiin kysytyt tiedot !

Koulutusohjelmalyhenteet: AUT, BIO, EST, GMA, INF, KEI\4, KON, KTA, I\[AK.

MAR, PUU, RYK, TFY, TLT, TIK, TUO

Mitkä seuraavista joukoista ovat vektoriavaruuksia?

(a) \rälillä (0, 1) määritellyt kahdesti derivoituvat reaalifunktiot.

(b) Välillä [0,1] määriteltyjen funktioiden r '- sin(kr.z)ja z i- cos(krr) j o u k k o , kun k € {0, 1,...}.

(c) I\4uotoa (a,b, c) olevien vektorien kokoelma kun o, ö ja c ovat positii- visia reaalilukuja.

Perustele vastauksesi.

olkoon I,/ yhden reaalimuuttujan reaalipolynomien muodostama *ekto- riavaruus. Mitkå seuraavista kuvauksista Ä : v --+ v ovat lineaarisia?

Myönteisessä tapauksessa selvitä myös onko kuvaus injektio tai surjektio.

N{iksi?

(a) ,4 : A(p):O(å), missä p(k) o., funktion p €V k:s derivaatta, k e N, ( b ) , a : A(p) : p2, t * (p(t))',

(c) ,4 : A(p) : p(2)p, t r-+ p(2)p(t) .

Tarkastellaan r'åilillä [0, 1] määriteltyjen jatkuvien reaalilukuarvoisten funk- tioiden muodostamaa vektoria:i'aruutta v : cfO, 1l varustettuna sisdtulol- la

1 f ,e ): [' yg1n1*sor.

J o

Olkoon [/ polynomie\ {p1,p2}p3} r'irittämä I/:n vektorialiataruus, missä Pt : Pr(t) : I, P2 : p2(t) : 2t - 7 ja ps : ps(t) : 12t2.

(a) Muodosta [/:lle ortogonaalinen kanta.

(b) N,Iäärää funktiota f r+ et, t € [0, 1] parhaiten approksimoiva funktio aliavaruudesta sp{pr }.

Tarkastellaan matriisia

(a) NIåärää matriisinormit llr{ll* ju lllllr.

(b) I\{ilci seuraavista kompleksitason joukoista antaa tarkimman arvion -4:n ominåisarr,'oille: reaaliakselin väli [7, 14] tai [8, 12] tai kuuta a1to.tr, s.s)?

NIiksi?

(c) Anna edellisen kohdan perusteella yläraja matriisinormille ll,4ttz.

1 .

3 .

A

':(; 'i 'i,: )

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Merkitse kurssikoodi-kohtaan opintojakson numero' nimi ia onko kyseessä tentti vai välikoe?. Mitkä ovat sarjojen

Embryologian perustajiin lukeutuva Karl Ernst von Baer muisteli opiskeluaikojaan Tartossa 1810-luvun alussa: ”Meitä varoitettiin kovasti luonnonfilosofiasta (Naturphilosophie),

Nicodemus ja Godard ovat yhtä mieltä siitä, että vaihtoehto kapita- lismille olisi sosialismi, joka ei olisi poliittinen järjestelmä vaan kult- tuurimuoto, sillä

Jos on jotenkin sellaisen asian äärellä, joka on niin iso, että sitä ei pysty käsittämään ja silti lähtee sitä tait- tamaan, niin siinä toivottomuudessa, että

Kerho kokoontuu joka kuukauden toinen torstai klo 13.00 Tarina Tuvalla.. Vetäjä Reijo

Toisaalta se myös rikkoo sen – esimerkiksi Knausgårdin tapauk- sessa voi epäillä, onko Taisteluni-sarjan kirjoittaminen korvannut hänen muistikuviaan uusilla,

Leinonen perustelee nä- kemystään siten, että jos luemme Kailan tekstejä hänen filosofiakäsityksensä vastaisesti arvofilosofiana, niin luo- vumme pitämästä Kailaa

Vastakkaista dogmia, jonka mukaan filosofia tarjoaa kiis- tattoman tosia apriorisia peruslauseita, meidän tosin täytyy pitää tämän vaiston erittäin epäonnistuneena ilmaisuna,