χ 2 χ 2

5 Diskreettejä yksiulotteisia jakaumia 111

5.1 Diskreetti satunnaismuuttuja . . . 111

5.2 Bernoullinkokeet ja binomijakauma . . . 113

5.2.1 Jakauman symmetria . . . 118

5.3 Odotusaikojenjakaumat . . . 119

5.3.1 Odotusajat Bernoullin kokeissa . . . 119

5.3.2 Geometrinenjakauma ja negatiivinen binomijakauma . 122 5.3.3 Odotusajat peräkkäisotannassa . . . 125

5.3.4 Hypergeometrinen jakauma ja negatiivinen hypergeo- metrinen jakauma. . . 127

5.3.5 Tasajakauma . . . 129

5.4 Poissonin jakauma . . . 129

5.5 Poissonin prosessi . . . 135

5.5.1 Laskuriprosessi . . . 135

5.5.2 Poissonin prosessin määritely . . . 136

5.5.3 Satunnaistapahtumattila-avaruudessa . . . 138

Yhteenveto . . . 139

Harjoituksia . . . 141

6 Jatkuvat jakaumat 145 6.1 Jatkuvatsatunnaismuuttujat. . . 145

6.2 Tasajakauma ja eksponenttijakauma . . . 153

6.2.1 Tasajakauma . . . 153

6.2.2 Eksponenttijakauma . . . 154

6.2.3 Elinaikajakauma . . . 156

6.3 Normaalijakauma . . . 157

6.3.1 Keskeinen rajaväittämä. . . 157

6.3.2 Standardimuotoinen normaalijakauma . . . 160

6.4 Muuttujienvaihto. . . 162

6.4.1 Muunnos kertymäfunktio avulla . . . 162

6.4.2 Muunnos tiheysfunktionavulla . . . 163

6.5 Yleinen normaalijakauma. . . 166

6.6 Gammajakauma ja

χ ²

^{-jakauma . . . . . . . . . . . . . . . . . 169}

6.6.1 Gammajakauma. . . 169

6.6.2

χ ²

^{-jakauma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170}

6.6.3 Normaalijakautuneensatunnaismuuttujan muunnokset . . . 171

6.7 Satunnaismuuttujan odotusarvo . . . 173

6.7.1 Momentifunktio ja momentit. . . 174

6.7.2 Vinous ja huipukkuus. . . 175

Yhteenveto . . . 177

Harjoituksia . . . 179

Jatkuvat jakaumat

Sellaisetsuureet kuten esimerkiksiaika,lämpötila,pituusjapainoajatellaan

tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä

tahansa reaaliarvoja annetulla välillä. Esimerkiksi henkilön ikä on jatkuva

satunnaismuuttuja,joka voi saada tietyllä välilläpositiivisiareaalilukuarvo-

ja.Diskreetinsatunnaismuuttujanarvojoukkoonäärellinentainumeroituva,

mutta jatkuvan satunnaismuuttujan arvojoukko on ylinumeroituva. Satun-

naismuuttuja

X

määriteltiin alaluvussa 2.6.1 jatkuvaksi, jos sen kertymä- funktio

F X

^onjatkuva(Määritelmä2.7).

6.1 Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jokaiseen satunnaismuuttujaanliittyy kertymäfunktio. Satunnaismuuttujan

X

kertymäfunktio määriteltiin alaluvussa 2.6 (Määritelmä 2.6

(ii)

^{) piste-}

funktiona

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ R .

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on porrasfunktio, joka voi-

daan lausua hyppyfunktioiden summana (5.1.1) [ks. alaluku5.1℄.

Lauseen 2.9 mukaan funktio

F (x)

^on kertymäfunktio jos ja vainjos seu- raavat kolme ehtoa toteutuvat:

1.

lim

x→−∞ F (x) = 0

^ja

lim

x→∞ F (x) = 1

^.

2.

F (x)

^{on kasvava} (ei-vähenevä)funktio.

3.

F (x)

^{on oikealta jatkuva eli}

lim

x→x 0 + F (x) = F (x 0 )

^kaikilla

x 0 ∈ R

^.

Jos meillä on jokin satunnaismuuttuja

X

^{, niin} ominaisuudet 1.3. voidaan todeta todennäköisyysfunktion

P (X ≤ x)

ominaisuuksien avulla. Jos jokin funktio

F (x)

^{toteuttaa ehdot}

1

^.

3

^{., eioleaivanhelppoatodistaa, että}

F (x)

on todella jonkin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Todistus löytyy vaa-

tivistatodennäköisyyslaskennan oppikirjoista.

Esimerkki 6.1 Funktio

(6.1.1)

F (x) = 1

1 + e ^−x

on esimerkki jatkuvasta kertymäfunktiosta, joka siis toteuttaa Lauseen 2.9

ehdot

1

^.

3

^{. Koska}

x→−∞ lim e ^−x = ∞ ,

ⁿⁱⁱⁿ

lim

x→−∞ F (x) = 0

ja

x→∞ lim F (x) = 1,

^koska

lim

x→∞ e ^−x = 0.

Funktio

F (x)

^{onkasvava,koska sen}

1.

^derivaatta

F ^′ (x) = e ^−x

(1 + e ^−x ) ² > 0.

On myös helppo todeta, että

F (x)

^{ei ole ainoastaan oikealta jatkuva vaan}

jatkuva.

Keskitymme tarkastelemaan satunnaismuuttujia, joiden kertymäfunktio

F

^{ei ole pelkästään jatkuva, vaan myös} derivoituva.Olkoon

F

^{jatkuvan sa-}

tunnaismuuttujan

X

kertymäfunktio.Joskertymäfunktiolla

F

^onderivaatta

d F

dx = F ^′ (x),

paitsi mahdollisesti yksittäisissä pisteissä, joiden lukumäärä on äärellinen,

niin

X

^:n tiheysfunktioon

f (x) = F ^′ (x),

kun

F ^′ (x)

^onolemassa.Vastaavallatavallakuindiskreetinsatunnaismuuttu- jankertymäfunktiovoidaanlausuatodennäköisyysfunktionavullasummana,

jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan lausua integraalina:

(6.1.2)

P (X ≤ x) = F X (x) = Z x

−∞

f X (t) dt.

Jos

f X (t)

^{on jatkuva,niin}integraalilaskennanperuslauseenmukaan (6.1.3)

F _X ^′ (x) = f X (x),

missä

F _X ^′ (x)

^onkertymäfunktion

F _X (x)

derivaatta.

Määritelmä 6.1 Jatkuvan satunnaismuuttujan

X

tiheysfunktio

f X (x)

^on

funktio,jokatoteuttaa yhtälön

(6.1.4)

F X (x) = Z x

−∞

f X (t) dt

^kaikilla

x ∈ R .

Esimerkki 6.2 Olkoon

X

^tiettyynpalvelunumeroontulevienpuheluidenpi- tuus. Oletetaan, että

X

^:ntiheysfunktio on

f (x) = 1

20 e ^−x/20 , 0 ≤ x < ∞ .

Silloin

X

^noudattaans. eksponenttijakaumaa keskiarvolla

20

^{. Nyt}

S = { x | 0 ≤ x < ∞ }

^ja

f (x) > 0

^kun

x ∈ S.

Kertymäfunktio on

F (x) = Z x

−∞

1

20 e ^−t/20 dx = Z x

0

1

20 e ^−t/20 dx

= . x

0

− e ^−t/20 = 1 − e ^−x/20 .

Silloin

F ^′ (x) = d

dx 1 − e ^−x/20

= 1

20 e ^−x/20 = f(x), x ≥ 0

ja

f (x) = 0

^,kun

x < 0

^.

Huomaa, että yksittäisen pisteen

a ∈ R

todennäköisyys

P (X = a)

^on

aina nolla, jos

X

^{on jatkuva} satunnaismuuttuja. Silloin erityisesti kaikilla reaaliluvuilla

b > a

F (b) − F (a) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b)

= P (a ≤ X < b) = P (a < X < b).

Jatkuvan satunnaismuuttujan momentit määritellään vastaavasti kuin

diskreetinsatunnaismuuttujantapauksessa,muttamääritelmässäsummakor-

vataan integraalilla.Jatkuvansatunnaismuuttujan

r

^{. momentti on}

α r = E(X ^r ) =

Z ∞

−∞

x ^r f(x) dx,

missä

f(x)

^on

X

^:ntiheysfunktio. Satunnaismuuttujan

X r

^. keskusmomentti on

µ r = E[(X − µ) ^r ],

missä

µ = E(X) = α ₁

^on

X

^:nodotusarvo.Satunnaismuuttujan

X

^odotusarvo

onsiis integraali

µ = E(X) = Z ∞

−∞

xf (x) dx

ja

X

^:nvarianssi

σ ²

^{on 2.}keskusmomentti

σ ² = µ 2 = E[(X − µ) ² ]

= Z ∞

−∞

(x − µ) ² f(x) dx.

Merkitsemme myös

E

(X − µ) ²

= Var(X)

^,jolloin

X

^{:nhajonta on}

σ = p

Var(X).

Momenttifunktio on

(6.1.5)

M(t) = E(e ^tx ) = Z ∞

−∞

e ^tx f(x) dx,

josintegraali6.1.5onolemassajollakinavoimellavälillä

( − a, a)

^,missä

a > 0

^.

Tietystiesimerkiksi tulokset

σ ² = E(X ² ) − µ ² , µ = M ^′ (0),

α 2 = E(X ² ) = M ^′′ (0)

pitävät edelleen paikkansa samalla tavalla kuin diskreettien satunnaismuut-

tujien tapauksessa.

Esimerkki 6.3 LasketaannytEsimerkissä2.15määritellynsatunnaismuut-

tujan

X

^{odotusarvo ja varianssi:}

µ = E(X) = Z 1

0

x(2x) dx = 2 3

. 1

0

x ³ = 2 3

ja

σ ² = E(X ² ) − µ ²

= Z 1

0

x ² (2x) dx − 2

3 2

= 1 2

. 1

0

x ⁴ − 4 9 = 1

18 .

Kolmas momentti on

α 3 = E(X ³ ) = Z 1

0

x ³ (2x) dx = 2 5

. 1

0

x ⁵ = 2

5

ja 3. keskusmomenttion

µ 3 = E

(X − µ) ³

= Z 1

0

(x − µ) ³ (2x) dx

= Z 1

0

(x ³ − 3µx ² + 3µ ² x − µ ³ )(2x) dx

= Z 1

0

x ³ (2x) dx − 3µ Z 1

0

x ² (2x) dx + 3µ ² Z 1

0

x(2x) dx − µ ³ Z 1

0

2x dx

= α 3 − 3µα 2 + 3µ ³ − µ ³ = α 3 − 3µα 2 + 2µ ³

= 2

5 − 3 · 2 3 · 1

2 + 2 · 2

3 3

= − 3 5 + 16

27 = 1 15 .

Myös prosenttipisteet ovat tärkeitä jakauman tunnuslukuja. Jakauman

100p

-prosenttipiste

π p

määritelläänseuraavasti:

p =

π p

Z

−∞

f (x) dx = F (π _p ), 0 ≤ p ≤ 1.

Prosenttipistettä

π 0.50

^kutsutaanmediaaniksi japistettä

π 0.25

^ja

π 0.75

^alakvar-

tiiliksi ja yläkvartiiliksi. Esimerkissä 2.15 käsitellyn jakauman 36 %:n piste

on

0.6

^{, koska}

F (π 0.36 ) = π ² _0.36 = 0.6 ² = 0.36.

Esimerkki 6.4 Olkoon satunnaismuuttujan

X

kertymäfunktio määritelty seuraavasti

F (x) =



 

 



 

 



0, x < 0;

x ²

2 , 0 ≤ x ≤ 1;

1 − ^(2−x) 2 ² , 1 ≤ x < 2;

1, 2 ≤ x.

Tarkistamme ensin, että

F

^{on todella} kertymäfunktio. Toteamme helposti, että

1)

lim

x→−∞ F (x) = 0

^ja

lim

x→∞ F (x) = 1

^,

2)

F (x)

^on

x

^{:n kasvava (ei-vähenevä) funktioja}

3)

F (x)

^{on oikealta jatkuva, koska se onjatkuva.}

Tiheysfunktio saadaanderivoimalla

F (x)

^{. Nyt siis}

F ^′ (x) = x

^välillä

0 < x ≤ 1

^ja

F ^′ (x) = 2 − x

^välillä

1 ≤ x ≤ 2

^{. Näinsiis} tiheysfunktioon

f(x) =



 

 

x, 0 < x ≤ 1;

2 − x, 1 ≤ x ≤ 2;

0

^muualla.

Tiheysfunktio voidaan kirjoittaalyhyesti muodossa

f (x) = 1 − | x − 1 | , 0 ≤ x ≤ 2.

Koska

X

^:n tiheysfunktion kuvaaja on kolmion muotoinen,

X

^{:n jakaumaa}

kutsutaan kolmiojakaumaksi.

0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0 x f (x)

0.90

0.5 1.0 1.5 2.0 0.5

0.9 1.0

x F (x)

F (1.55) = 0.9

Kuvio 6.1. Kolmiojakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion ku-

vaajat.

Kolmiojakauman odotusarvo on

µ = Z 2

0

xf (x) dx = Z 1

0

x · x dx + Z 2

1

x(2 − x) dx

= . 1

0

x ³ 3 +

. 2

1

x ² − x ³ 3

= 1 3 +

4 − 8

3

−

1 − 1 3

= 1.

Koskajakaumaonsymmetrinenodotusarvon

1

^suhteen,on

1

^{myösjakauman}

mediaani

π 0.50

^{. Se voidaan todeta helposti myös} määritelmän perusteella, sillä

F (1) = ¹ ₂ ² = 0.5

^{. Jakauman 90 %:n piste}

π 0.90

^saadaan ratkaisemalla yhtälö

1 − (2 − π 0.90 ) ²

2 = 0.90.

Ratkaisu on

π 0.90 = 2 − √

0.2 = 1.55

^.

Itse asiassa relaatio (6.1.4) ei välttämättä ole voimassa kaikilla

x

^{:n ar-}

voilla,sillä

F (x)

^{voi ollajatkuva, mutta ei}derivoituva.Jos

f(x)

^onjatkuva,

niin silloin tietysti yhtälö (6.1.4) pitää paikkansa. Huomattakoon, että jat-

kuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio ei välttämättä ole jatkuva, mutta

kertymäfunktio on.

Esimerkki 6.5 Tarkastellaannyt satunnaismuuttujaa

X

^,jonkatiheysfunk- tioon

f(x) = ( 1

2 , 0 ≤ x < ¹ ₂ ;

3

2 , ¹ ₂ ≤ x ≤ 1.

Vastaavasti

X

^:nkertymäfunktio on

F (x) =



 

 

 

 

0, x < 0;

1

2 x, 0 ≤ x < ¹ ₂ ;

1

4 + ³ ₂ x − ¹ ₂

, ¹ ₂ ≤ x ≤ 1;

1, 1 ≤ x.

Havaitsemmenyt, että

X

^:ntiheysfunktio ei olejatkuva. Nytmyöskään

F

^ei

x f (x)

1

2 1

1 2

1

3 2

b b b

x F (x)

1

2 1

1 4 1 2

1

Kuvio6.2.Satunnaismuuttujan

X

tiheysfunktionjakertymäfunktion kuvaajat.

ole derivoituva pisteessä

1

2

^{. Pisteessä}

x = ¹ ₂

^{ei ole voimassa, että}

F ^′ (x) = f (x)

^{.Tässäonesimerkkijatkuvasta}satunnaismuuttujasta,jonkatiheysfunk- tio ei ole jatkuva ja jonka kertymäfunktio ei ole koko määrittelyalueella

S

derivoituva.

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla voi olla äärellinen mää-

rä epäjatkuvuuspisteitä, mutta kertymäfunktio on jatkuva. Esimerkin 6.5

satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla on määrittelyalueellaan yksi epäjatku-

vuuspistejakertymäfunktioonjatkuva.Relaatio(6.1.3)pitääpaikkansavain

tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä, mutta ei epäjatkuvuuspisteissä.

Esimerkki 6.6 Määritelläänsatunnaismuuttuja

X

^{siten, että sen kertymä-}

funktioon

(6.1.6)

F (x) =



 

 

 

 

0, x < 0;

1

2 , x = 0;

1

2 + ^x ₂ , 0 < x < 1;

1, 1 ≤ x.

x F (x)

1

2 1

1 2

1

b

x f (x)

1

2 1

1 2

1

b

Kuvio 6.3. Satunnaismuuttujan

X

kertymäfunktion ja 'tiheysfunk- tion' kuvaajat.

Kertymäfunktio eiolenytjatkuva,koskafunktiohyppää pisteessä

x = 0

^.

Kertymäfunktio ei ole myöskään porrasfunktio. Nyt myös yksittäisellä pis-

teellä

X = 0

^on positiivinen todennäköisyys

P (X = 0) = ¹ ₂

^{, joten}

f (x)

^ei

ole tiheysfunktio.Itse asiassa kertymäfunktio (6.1.6) voidaan kirjoittaapor-

rasfunktion(kertymäfunktio)ja jatkuvankertymäfunktionsummana.Alalu-

vussa 5.1 määriteltiinhyppyfunktio

ε(x)

^siten,että

ε(x) = 1

epänegatiivisil- la

x

^{:n arvoilla ja}

ε(x) = 0

^{, kun}

x < 0

^{. Funktio}

ε(x)

^on porrasfunktio ja siis diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Puoliavoimella välillä

(0, 1]

tasajakaumaanoudattavan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on

F _c (x) =



 

 

0, x ≤ 0;

x, 0 < x < 1;

1, 1 ≤ x.

Nyt kertymäfunktio (6.1.6) voidaan kirjoittaamuodossa

F (x) = 1

2 ε(x) + 1 2 F c (x).

Esimerkiksi todennäköisyys

P

X ≤ 1 2

= 1 2 ε

1 2

+ 1

2 F c

1 2

= 1

2 · 1 + 1 2 · 1

2 = 3 4 .

Satunnaismuuttuja

X

^{ei olediskreetti eikäjatkuva.}

Yleisestijatkuvasatunnaismuuttujavoidaanmääritelläidentiteetin(6.1.4)

avulla olettamatta tiheysfunktion

f (x)

jatkuvuutta. Jos on olemassa sellai- nen epänegatiivinen funktio

f (x)

^[ts.

f (x) ≥ 0

^kaikilla

x ∈ R

^{℄, että (6.1.4)}

pitää paikkansa kaikilla

x ∈ R

^{, niin} kertymäfunktion

F (x)

^{sanotaan olevan}

absoluuttisesti jatkuva. Absoluuttisesti jatkuvafunktio onjatkuva. Kaikkien

tässä luvussa käsiteltäviät jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot

ovatabsoluuttisestijatkuvia.

6.2 Tasajakauma ja eksponenttijakauma

6.2.1 Tasajakauma

Jatkuva satunnaismuuttuja

X

^noudattaa tasajakaumaa välillä

[0, 1]

^{,jos sen}

tiheysfunktio on

1

^{tällävälilläja}

0

^muualla:

(6.2.1)

f (x) =

( 1,

^kun

x ∈ [0, 1]

^,

0

^muualla.

Silloinmerkitään

X ∼ Tas(0, 1)

^{. Onhelppotodeta,että}

f(x)

^ontiheysfunk- tio,koska

f(x) ≥ 0

^ja

Z 1

0

f (x) dx = Z 1

0

dx = 1.

1

1 x f (x)

b b 1

1 x F (x)

Kuvio 6.4.Tasajakauman

Tas(0, 1)

tiheysfunktioja kertymäfunktio.

Tasajakauman keskiarvo ja varianssiovat:

E(X) = Z 1

0

x dx = 1 2

ja

Var(X) = E(X ² ) − [E(X)] ² = Z 1

0

x ² dx − 1 4 = 1

12 .

Satunnaismuuttujan

X

momenttifunktio on

M X (t) = Z 1

0

e ^tx dx = . 1

0

1

t e ^tx = e ^t − 1 t .

Huomaa, että

M X (0) = 1

^.

Olkoon

[a, b]

^{annettu suljettu väli,}

a < b

^{. Silloin} satunnaismuuttuja

U = (b − a)X + a

^noudattaa tasajakaumaa välillä

[a, b]

^{. Silloin merkitään}

U ∼ Tas(a, b)

^{. Koska}

E(U ) = (b − a) E(X) + a

^ja

Var(U ) = (b − a) ² Var(X)

^{, niin}

E(U ) = a + b

2

^ja

Var(U) = (b − a) ² 12 .

Satunnaismuuttujan

U

tiheysfunktio on

(6.2.2)

f (u) =

( 1

b − a ,

^kun

u ∈ [a, b]

^;

0

^muualla

ja

U

^:nmomenttifunktioon

M U (t) =







e ^tb − e ^ta

t(b − a) , t 6 = 0;

1, t = 0.

6.2.2 Eksponenttijakauma

Poissonin prosessissa tarkastellaan, montako tapahtumaa (lisäystä) sattuu

jollainaikavälillä.Merkitään

w

^{:npituisellavälilläsattuvien} tapahtumienlu- kumäärääsatunnaismuuttujalla

X w

^{. JosPoissonin prosessin} intensiteetti on

λ

^{, niin} Määritelmän 5.2 mukaan todennäköisyys, että

w

^{:n pituisella välillä}

sattuu

x

tapahtumaa,on

(6.2.3)

P (X w = x) = e ^−λw (λw) ^x x! .

Poissoninprosessillavoidaanmallintaaesimerkiksiasiakkaidensaapumis-

ta palvelupisteeseen, puheluiden tuloa vaihteeseen, onnettomuuksien sattu-

mistatarkasteltavallatieosuudellataiautojenkulkualiikenteentarkkailupis-

teen ohi. Tällöin ajatellaan, että yksittäiset tapahtumat sattuvat toisistaan

riippumatta täysinsatunnaisesti.

Tarkkaillaannyt Poissoninprosessia, jonka intensiteetti on

λ

^{. Olkoon}

W

odotusaika siihen hetkeen, kunnes seuraava tapahtuma sattuu. Odotusaika

onjatkuvasatunnaismuuttuja.Jostarkkailemmeprosessiahetkestä

t

^hetkeen

t +w

^eli

w

^{:npituisenaikavälin}

[t, t+w]

^{,niintapahtuma}

{ W > w }

^sattuujos

ja vainjos Poissoninprosessissa ei satu yhtään tapahtumaavälillä

[t, t + w]

^.

Siksi identiteetin (6.2.3)mukaan

P (W > w) = P (X w = 0) = e ^−λw .

× × × × × × × ×

Aika

1 2 3 4

| {z }

W 1 =0.5 | {z }

W 4 =0.88 t t + w

w=1.25

z }| { X w = 3 X w ∼ Poi(λw)

Kuvio 6.5. Kaaviokuva esittää Poissonin saapumisprosessia, esimer-

kiksi autojen kulkemista liikenteen tarkkailupisteen ohi. Esimerkiksi

W ₁

^{on1.auton odotusaika ja}

W ₄

^{on3.ja 4.auton välinen aika.Kiin-}

nitetyllä

w

^{:n pituisella välillä on kulkenut ohi}

X _w = 3

^{autoa. Peräk-}

käisetodotusajat

W ₁

^,

W ₂

^,

W ₃

^{, ... ovat toisistaan} riippumattomat ja noudattavat samaa jakaumaa.

Odotusajan

W

kertymäfunktio onsiis

F (w) = P (W ≤ w)

= 1 − P (W > w) = 1 − P (X w = 0)

= 1 − e ^{− λw} .

Koska odotusaika

W

^on epänegatiivinen,niin

F (w) = 0

^{, kun}

w < 0

^.

Odotusajan

W

tiheysfunktio on

F ^′ (w) = f (w) = λe ^−λw

derivointisäännön (6.1.3) nojalla. Usein merkitään

λ = ¹ _θ

^{, missä}

θ > 0

^{. Sa-}

nomme,että

W

^noudattaaeksponenttijakaumaaparametrilla

θ

^jamerkitsem-

me

W ∼ Exp(θ)

^{. Parametri}

θ

^{onjakaumankeskiarvo.}Eksponenttijakauman tiheysfunktio onsilloinmuotoa

(6.2.4)

f(w) = 1

θ e ^−w/θ .

Eksponenttijakauman

Exp(θ)

momenttifunktio on

M (t) = Z ∞

0

e ^tw 1

θ e ^−w/θ dw = . ∞

0

− e ^{− (1 − θt)w/θ} 1 − θt

= 1

1 − θt , t < 1 θ .

Eksponenttijakaumallaonvastaavaunohtamisominaisuus kuingeomet-

risella jakaumalla. Jos

T ∼ Exp(θ)

^{, niin}

(6.2.5)

P (T > a + b | T > a) = P (T > b)

kaikillaepänegatiivisilla

a

^ja

b

^{.Tulos voidaan todistaalaskemallaehdollinen}

todennäköisyys

P (T > a + b | T > a) = P (T > a, T > a + b)

P (T > a) = P (T > a + b) P (T > a)

= e ^−(a+b)/θ

e ^−a/θ = e ^{− b/θ} = P (T > b).

Huomattakoon, että edellä onkäytetty tulosta

P (T > t) = 1 − P (T ≤ t) = 1 − F (t) = e ^−t/θ , t ≥ 0.

Esimerkki 6.7 Oletetaan,ettäasiakkaidensaapuminenliikkeeseennoudat-

taa Poissonin prosessia intensiteetillä

20

^{asiakasta tunnissa. Mikä on toden-}

näköisyys, että myyjäjoutuu odottamaan seuraavaaasiakasta yli

5

^minuut-

tia?Olkoon

X

odotusaika,kunnes seuraavaasiakassaapuu.Silloinprosessis- sa(6.2.3)

λ = 1/3

^{asiakastaminuutissaja}

X ∼ Exp(3)

^,koskaeksponenttija- kauman keskiarvo

θ = 1/λ

^.Jakauman

Exp(3)

tiheysfunktio on

f (x) = 1

3 e ^{− x/3} , 0 ≤ x < ∞

ja

P (X > 5) = Z ∞

5

1

3 e ^{− x/3} dx = . ∞

5

− e ^{− x/3} = e ^{− 5/3} ≈ 0.1889.

Jatkuvan jakauman mediaani

m

^{on sellainen piste, että}

F (m) = 1/2

^{. Nyt}

jakauman

Exp(3)

^mediaanin

m

^{tulee toteuttaa ehto}

F (m) = 1 − e ^−m/3 = ¹ ₂

^,

joten

m = 3 log(2) ≈ 2.0794.

6.2.3 Elinaikajakauma

Ominaisuuden(6.2.5) perusteella eksponenttijakaumaon sopivaelinajan ja-

kauma silloin, kun jäljellä oleva elinaika ei riipu tämänhetkisestä iästä. Ol-

koon

T

esimerkiksi jonkin elektronisen komponentin ikä tunteina. Silloin

P (T > b)

^ontodennäköisyys,että uusi komponenttikestää ainakin

b

^tuntia,

kun taas

P (T > a + b | T > a)

^on todennäköisyys, että

a

^{tuntia käytössä}

ollut komponentti kestää vielä

b

^{tuntia. Jos elinaika noudattaa eksponent-}

tijakaumaa, niin ominaisuuden (6.2.5) nojalla todennäköisyydet

P (T > b)

ja

P (T > a + b | T > a)

^{ovat samat kaikilla}

a

^ja

b

^. Todennäköisyys, että komponenttirikkoontuu

b

^{:nseuraavantunninaikana,eiriipu lainkaan siitä,}

kuinka kauan komponenttion jo ollut käytössä.

Funktiota

G(t) = P (T > t)

^kutsutaan eloonjäämisfunktioksi.Eksponent- tijakauma määritteleeeloonjäämisfunktion

G(t) = e ^−t/θ

^{, jollaonunohtamis-}

ominaisuus

(6.2.6)

G(t + s) = G(t)G(s), t > 0, s > 0.

Määritelmänsä nojalla

G(0) = 1

^ja

G(t) → 0

^{, kun}

t

^{kasvaa. Onko ekspo-}

nenttifunktion lisäksi muita eloonjäämisfunktioita, joilla on unohtamisomi-

naisuus (6.2.6)? Voidaan osoittaa, että ehdon (6.2.6) toteuttavat eloonjää-

misfunktiot ovat aina muotoa

e ^{− λt}

^,

λ > 0

^.

Jos elinaika

T

^noudattaa eksponenttijakaumaa

Exp(θ)

^{, niinvakio}

λ = ¹ _θ

on hetkellinen kuolleisuusaste tai vaaran aste. Parametri

λ

^{säätelee toden-}

näköisyyttä kuollahetken

T = t

jälkeisellä yksikön pituisellaaikavälillä.

Olkoon

∆

tarkasteltavan aikavälinpituus. Määritelläään todennäköisyys

P (T ≤ t + ∆ | T > t) = 1 − P (T > t + ∆ | T > t)

= 1 − P (T > ∆) = 1 − e ^−λ∆ ,

missäviimeistäedellinenyhtäsuuruussaadaanunohtamisominaisuuden(6.2.6)

nojalla. Kun funktiota

e ^{− λ∆}

^{arvioidaan Taylorinpolynominavulla, saadaan}

1 − e ^−λ∆ = 1 − (1 − λ∆ + 1

2 λ ² ∆ ² − · · · )

= λ∆ − 1

2 λ ² ∆ ² + · · ·

≈ λ∆,

^kun

∆

^{on pieni.}

Arviointivirhe pienenee merkityksettömäksi verrattuna

∆

^{:aan, kun}

∆ → 0

^.

Silloin siis

P (T ≤ t + ∆ | t > t) ≈ λ∆

^.

1

2 4 6

1 2

t G(t)

f (t)

Kuvio 6.6.Eksponenttijakauman

Exp(2)

tiheysfunktio

f (t) = ¹ ₂ e ^−t/2

javastaava eloonjäämisfunktio

G(t) = e ^−t/2

^.

Nyt nähdään, että

∆ lim → 0

P (T ≤ t + ∆ | T > t)

∆ = λ

on riippumaton ajasta

t

^. Eksponentiaalisesti jakautuneen elinajan tapauk- sessa kuolleisuusaste

λ

^{on iästä} riippumaton vakio. Yleisesti kuolleisuusaste

λ(t)

^{ontietysti iänfunktio.}

6.3 Normaalijakauma

6.3.1 Keskeinen rajaväittämä

Jos

X 1 , X 2 , . . . , X n

noudattavatsamaaBernoullinjakaumaaa

Ber(p)

^ja

X i ⊥ ⊥

X j , i 6 = j

^{,niinsanomme,että}

X 1 , X 2 , . . . , X n

^{onotosBernoullinjakaumasta}

Ber(p)

^{.Tiedämme, että silloin}

X = X 1 + X 2 + · · · + X n ∼ Bin(n, p)

^{. Satun-}

naismuuttujan

X

^{jakaumariippuu siisotoskoosta}

n

^{. Olkoon}

X 1 , X 2 , . . . , X n

otos jakumasta, jonka keskiarvo on

µ

^{ja varianssi}

σ ² > 0

^{. Merkitään satun-}

naismuuttujien

X 1

^,

X 2

^{, ...,}

X n

^summaa

S n = X n

i=1

X i

^{ja keskiarvoa}

X n = S n

n .

Otoskeskiarvon odotusarvo ja varianssi on

E(X n ) = µ

^ja

Var(X n ) = σ ² n .

Satunnaismuuttujan

X n

^{varianssipienenee,kun}

n

^{kasvaa.Jokaista}

n

^:narvoa

kohtisaadaaerijakauma.Tarkastelemme satunnaismuuttujien

(X i ; i ≥ 1) = X ₁ , X ₂ , X ₃ , . . .

^{jonoa ja näiden}satunnaismuuttujienjakaumienjonoa.

Jos

X 1 , X 2 , . . . , X n

^{on otos jostain jakaumasta}

J(µ, σ ² )

^{, jonka keskiarvo}

on

µ

^{ja varianssi}

σ ²

^{, niin} otoskeskiarvon

X n

^{jakauman keskiarvo on}

µ

^ja

varianssi

σ ²

n

^{, joka riippuu}

n

^{:stä. Otoskoon}

n

^kasvaessa todennäköisyysmassa keskittyy yhä pienemmälle ja pienemmälle välille

µ

^:n ympäristöön. Tämä tarkoittaa, että

X n

^sattuu

n

^{:n kasvaessa yhä} suuremmalla ja suuremmalla todennäköisyydellä lähellekeskiarvoa

µ

^.Olkoot

W n = X n − µ

σ/ √ n , n = 1, 2, . . .

standardoitu muuttujia, joillepätee

E(W n ) = 0

^ja

Var(W n ) = 1

^{. Satunnais-}

muuttujilla

W 1 , W 2 , . . .

^{on siis sama varianssi}

1

^kaikilla

n

^{:n arvoilla. Lähe-}

neekö

W _n

^{:njakaumajotain jakaumaa, kun}

n

^kasvaa?

Momenttifunktioidenyhteydessäesitettiinmomenttifunktionja jajakau-

man (kertymäfunktion) yksikäsitteistä vastaavuutta koskeva Lause 4.10. Sa-

massayhteydessäesitettiinmyösmomenttifunktioidensuppenemistakoskeva

Lause 4.13, jota voidaan soveltaa raja-jakaumien määrittämiseen. Kirjoite-

taan

W n = X 1 + · · · + X n − nµ

√ nσ = (X 1 − µ) + · · · + (X n − µ)

√ nσ

= 1

√ nσ (Y 1 + · · · + Y n ),

missä

Y i = X i − µ, i = 1, . . . , n

^ja

Y i ⊥ ⊥ Y j

^{, kun}

i 6 = j

^. Määritelmänmukaan

W _n

^:n momenttifunktio on

M _{W n} (t) = E (e ^{tW n} ) = E(e ^{√ t nσ (Y 1 +···+Y n )} )

= M Y 1 +···+Y n ( t

√ nσ ).

Koska

Y i ⊥ ⊥ Y j

^{, kun}

i 6 = j

^{, niin}

M W n (t) = M Y 1 +···+Y n ( t

√ nσ )

(6.3.1)

= Y n

i=1

M Y i ( t

√ nσ ) = [M( t

√ nσ )] ⁿ ,

missä

M ( ^{√ t} _nσ )

^onsatunnaismuuttujien

Y i

^{yhteisenjakauman}momenttifunk- tio. Voidaan osoittaa, että

M _{W n} (t) → e ^{t 2 2}

^{, missä}

e ^{t 2 2}

^on standardimuotoi- sen normaalijakaumanmomenttifunktio. Kirjoitamme

W n

−→ d N(0, 1)

^,mikä

tarkoittaa, että

W n

^{:n jakauma lähenee} standardimuotoista normaalijakau- maa

N(0, 1)

^otoskoon

n

^{kasvaessa. Lévyn} jatkuvuuslauseen nojalla (Lause 4.13) satunnaismuuttujien

W n

kertymäfunktio

F W n

^lähenee normaalijakau- man

N(0, 1)

kertymäfunktiota

Φ

^.

Lause 6.1 (Keskeinen rajaväittämä) Olkoon

X 1 , X 2 , . . . , X n

^{otos jakau-}

masta, jonka keskiarvo on

µ

^{ja varianssi}

σ ²

^{. Merkitään}

W n = X n − µ

σ/ √

n = S n − nµ

√ nσ .

Silloin

W n

^{:n jakauma lähenee} normaalijakaumaa

N(0, 1)

^{, kun}

n → ∞

^.

Keskeisen rajaväittämän mukaan samaa jakaumaa noudattavien riippu-

mattomien satunnaismuuttujien summa noudattaa likimain normaalijakau-

maa, kun

n

^onsuuri. Merkitsemme

W _n ≃ N(0, 1),

kun

n

^{onsuuri.Merkki}

≃

^{tarkoittaanoudattaalikimainjakaumaa.Käytän-}

nössä keskeisen rajaväittämänavulla voidaan arvioida

W _n

^{:n jakaumaa, kun}

n

^{on riittävänsuuri. Silloin}

P (W _n ≤ w) ≈ Z w

−∞

√ 1

2π e ^{− w 2 /2} dx = Φ(w),

missä

Φ(w)

^on normaalijakauman

N(0, 1)

kertymäfunktio. Voimme merkitä saman asian myösseuraavasti:

P (W _n ≤ w) = F _{W n} (w) → Φ(w),

kun

n → ∞

^.Satunnaismuuttujan

W n

kertymäfunktio

F W n (w)

^{suppeneekohti}

normaalijakaumankertymäfunktiota

Φ(w)

^{kaikissa pisteissä}

w ∈ R

^.

6.3.2 Standardimuotoinen normaalijakauma

Tarkastelemme nyt todennäköisyysteorian ja tilastotieteen tärkeintä jakau-

maa,normaalijakaumaa.Olkoon

Z

^jatkuvasatunnaismuuttuja,jonkatiheys- funktioon

(6.3.2)

f(z) = 1

√ 2π e ^{−z 2 /2} − ∞ < z < ∞ .

Silloin

Z

^noudattaastandardimuotoistanormaalijakaumaa.Käytetäänmyös sanontaa

Z

^noudattaa standardoituanormaalijakaumaa.

Tarkistammenyt, että (6.3.2)on todellakin tiheysfunktio. Koska

f(z) >

0

^{, pitäävainosoittaa,että}

√ 1 2π

Z ∞

−∞

e ^{−z 2 /2} dz = 1.

Osoitamme siis,että

(6.3.3)

Z ∞

−∞

e ^{−z 2 /2} dz = √ 2π.

Emmepystysuoraanintegroimaanfunktiota

e ^{−z 2 /2}

^,koskasenintegraalifunk- tio ei olelausuttavissa suljetussa muodossa. Osoittautuu kuitenkin, että in-

tegraalin(6.3.3) neliö onhelppolaskea.

Integraalin arvo ei muutu, jos integrointimuuttuja nimetään uudelleen,

joten

I = Z ∞

−∞

e ^{− z 2 /2} dz = Z ∞

−∞

e ^{− x 2 /2} dx = Z ∞

−∞

e ^{− y 2 /2} dy.

Riittää osoittaa,että

I ² = 2π

^{. Nyt}

I ² =

Z ∞

−∞

e ^{−x 2 /2} dx

! Z ∞

−∞

e ^{−y 2 /2} dy

!

= Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e ^{− (x 2 +y 2 )/2} dx dy = Z ∞

0

re ^{− r 2 /2} dr

! Z 2π

0

dθ

!

= 2π Z ∞

0

e ^{− u} du = 2π.

Näin siis tulos (6.3.3) pitää paikkansa. Edellä kolmas yhtäsuuruus saadaan

siirtymällänapakoordinaatteihin:

x = r cos θ

^ja

y = r sin θ.

Silloin

x ² + y ² = r ²

^,

dx dy = r dθ dr

^ja integrointirajat ovat

0 < r < ∞

^,

0 < θ < 2π

^.

Integraalilla(6.3.3)on myösläheinen yhteys gammafunktioon

(6.3.4)

Γ(α) =

Z ∞

0

x ^α−1 e ^−x dx.

Jos

α > 0

^{, niin}

Γ(α)

^on äärellinen. Jos

α

^on positiivinen kokonaisluku, niin

Γ(α)

^{voidaan lausua suljetussa muodossa, muutoin ei. Koska integraa-}

lissa (6.3.3) integroitava on symmetrinen nollan suhteen, niin integraalit yli

välien

( −∞ , 0)

^ja

(0, ∞ )

^{ovatyhtäsuuret. Siksi}

(6.3.5)

Z ∞

0

e ^{−z 2 /2} dz = r π

2 .

Tekemällä sijoitus

x = ¹ ₂ z ²

integraaliin (6.3.5) saadaan integraali, joka on

Γ ¹ ₂

. Silloin

(6.3.6)

Γ

1 2

= Z ∞

0

x ^−1/2 e ^−x dx = √ π.

Lause 6.2 Oletetaan, että

Z

^noudattaa standardimuotoista normaalijakau- maa. Silloin

1.

Z

^:n momenttifunktio on

M (t) = e ^{t 2 /2} , −∞ < t < ∞ .

2.

E(Z) = 0

^ja

Var(Z) = 1

^.

Todistus. 1. Määritelmän mukaan

M (t) = Z ∞

−∞

e ^tz 1

√ 2π e ^{− z 2 /2} dz.

Tehdään sijoitus

x = z − t

^.Silloin

dz = dx

^ja

e ^tz e ^{−z 2 /2} = e ^{(t 2 −x 2 )/2}

^{, joten}

M (t) =

Z ∞

−∞

√ 1

2π e ^{(t 2 −x 2 )/2} dx = e ^{t 2 /2} Z ∞

−∞

√ 1

2π e ^{−x 2 /2} dx = e ^{t 2 /2} .

Viimeinenyhtäsuuruus seuraasiitä, että integraaliyli normaalijakaumanti-

heysfunktion

√ 1

2π e ^{−x 2 /2}

^on

1

^.

2.Koska

M(t) = e ^{t 2 /2}

^,niin

M ^′ (t) = te ^{t 2 /2}

^ja

M ^′′ (t) = e ^{t 2 /2} +t ² e ^{t 2 /2}

^.Silloin

M ^′ (0) = 0

^,

M ^′′ (0) = 1

^ja

Var(Z) = M ^′′ (0) − [M ^′ (0)] ² = 1

^.

Merkitään

Z ∼ N(0, 1)

^{, missä siis}

E(Z ) = 0

^ja

Var(Z) = 1

^. Seuraavassa pykälässämääritelläännormaalijakauma,jonkakeskiarvoon

µ

^javarianssi

σ ²

^.

Esimerkki 6.8 Olkoon

X 1 , X 2 , . . . , X 15

^otos jakaumasta, jonkatiheysfunk- tio on

f(x) = ³ ₂

x ²

^,

− 1 < x < 1

^{. Jakauman odotusarvo}

µ = 0

^{ja varianssi}

σ ² = 3/5

^.Esimerkiksitodennäköisyys

P (X ≤ 0.15)

^{voidaanlaskeajohtamal-}

laensin

X

^:njakaumaja määrittämälläsiitäkysyttytodennäköisyys.Keskei- sen rajaväittämän avulla saadaan tämän todennäköisyyden likiarvo ilman

tietoa

X

^:ntarkasta jakaumasta:

P (X ≤ 0.15) = P

X − 0 p 3/5 √

15 ≤ 0.15 − 0 p 3/5 √

15

= P (Z 15 ≤ 0.75)

≈ Φ(0.75) = 0.7734.

Arviontarkkuudestakeskeinenrajaväittämäeikuitenkaanannakäsitystä.

6.4 Muuttujien vaihto

Oletetaan, että

X

^{on jatkuva} satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on

F (x)

^{. Lukuisissa}sovelluksissa tarvitaansatunnaismuuttujan

X

^jonkinfunk-

tion

Y = h(X)

^{jakaumaa, kun}

X

^{:n jakauma tunnetaan. T}ehtävänämme on nyt siis määrittää satunnaismuuttujan

Y = h(X)

^{jakauma, missä}

h(x)

^on

x

^:n reaaliarvoinen funktio.

6.4.1 Muunnos kertymäfunktio avulla

Voimmepyrkiäjohtamaan

Y

^:n kertymäfunktion

G(y) = P (Y ≤ y)

suoraan

X

^:n kertymäfunktion

F (x)

^avulla.

Y

^:n tiheysfunktio

g (y)

^voidaan

määrittääsitten identiteetin(6.1.3) avulla,kun

G(y)

^{on derivoituva.}

Esimerkki 6.9 Olkoon

X

^jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on

f (x) = 3x ²

2 , − 1 ≤ x ≤ 1.

Tarkastellaan satunnaismuuttujan

Y = X ²

^{jakaumaa. Silloin}

Y

^{:n arvoava-}

ruus on

S _Y = [0, 1]

^ja

Y

^:nkertymäfunktio on

G(y) = P (Y ≤ y) = P (X ² ≤ y) = P ( − √ y ≥ X ≥ √ y)

=

√ y

Z

− √ y

3x ² 2 dx =

√ y

.

− √ y

x ³

2 = y ^3/2 , 0 ≤ y ≤ 1.

Derivoimallasaadaan

Y

^:ntiheysfunktioksi

g(y) = G ^′ (y) = 3y ^1/2

2 , 0 ≤ y ≤ 1.

Esimerkki 6.10 Olkoon

X

^jatkuvasatunnaismuuttuja,jonkakertymäfunk- tioon

F (x) = 1 − (1 + x)e ^−x , x > 0.

Johdetaan satunnaismuuttujan

Y = e ^−X

^{jakauma. Merkitään}

Y

^{:n kertymä-}

funktiota

G

^{:llä.Silloin}

G(y) = P (Y ≤ y) = P e ^−X ≤ y

= P [ − X ≤ log(y)]

= P [X ≥ − log(y)] = 1 − P [X < − log(y)]

= 1 − F [ − log(y)],

missä

F (x)

^on

X

^:n kertymäfunktio. Sijoittamalla

x = − log(y) X

^{:n kerty-}

mäfunktioonsaadaan

G(y) = [1 − log(y)]e ^log(y) = [1 − log(y)]y.

Koska

S X = (0, ∞ )

^,niin

S Y = (0, 1)

^.

Y

^onjatkuvasatunnaismuuttuja,koska

G(y)

^{onjatkuvajasilläonjatkuvaderivaattamuuallapaitsi pisteessä}

y = 0

^.

Y

^:n tiheysfunktio on

g(y) = G ^′ (y) =

( − log(y),

^kun

0 < y < 1

^;

0

^muualla.

Huomaa, että

− log(y) > 0

^{, kun}

0 < y < 1

^{. Nyt siis}

g(y) ≥ 0

^kaikilla

y ∈ S Y = (0, 1)

^.

6.4.2 Muunnos tiheysfunktion avulla

Seuraavaksiesitetään yleinenmenetelmä,jonkaavullavoidaanjohtaa satun-

naismuuttujan

X

^funktion

Y = h(X)

tiheysfunktiosuoraan

X

^:ntiheysfunk- tion

f X (x)

^{avulla. Menetelmän edellyttää kuitenkin, että funktiolla}

h(x)

^on

tarkasteltavallavälilläkäänteisfunktio.Esimerkiksi funktion

y = e ^x

^käänteis-

funktio on

x = log(y)

^{. Myös funktio}

y = x ²

^{on kääntyvä, kun}

x > 0

^{, sillä}

silloin

x = √ y

^{. Funktio}

y = x ²

^{ei olekääntyvä koko}reaaliakselilla,koskasil- loin

x = ± √ y

^{, joka eiolefunktio.} Huomattakoon, että jatkuva funktio

h(x)

onkääntyvä, jos ja vainjos se onjoko aidostikasvava taiaidosti vähenevä.

Lineaarinen munnos

Tarkastellaanensin yksinkertaista lineaaristamuunnosta

Y = aX + b

^{, missä}

a

^ja

b

^{ovat annettuja vakioita. Nyt siis}

h(X) = aX + b

^{. Funktion}

y = h(x)

derivaattaon

dy

dx = h ^′ (x) = a.

Funktiolla

h(x)

^on käänteisfunktio

g(y) = y − b

a , a 6 = 0

ja

dy

dx = g ^′ (y) = 1 a .

Esimerkki 6.11 Oletetaan, että

X ∼ Tas(0.5, 1.5)

^ja

Y = 2X

^{. Mitäjakau-}

maa

Y

^noudattaa?

x y = 2x

A B

f _Y (y) z }| {

1 2 3

y y + ∆y

| { z }

f _X (x)

} ∆x

0.5 x x + ∆x 1.5

Kuvio 6.7. Tasajakaumaa

Tas(0.5, 1.5)

noudattavan satunnaismuut- tujan

X

lineaarinen muunnos.

Kuviossa 6.7 on alueen

A

^pinta-ala

P [X ∈ (x, x + ∆x)] = f _X (x) · ∆x = ∆x

ja alueen

B

^pinta-ala

P [Y ∈ (y, y + ∆y)] = f Y (y) · ∆y.

Tapahtumat

X ∈ (x, x + ∆x)

^ja

Y ∈ (y, y + ∆y)

^{sattuvattäsmälleensaman-}

aikaisesti, joten

(6.4.1)

P [X ∈ (x, x + ∆x)] = P [Y ∈ (y, y + ∆y)].

Koska

y = 2x

^ja

y + ∆y = 2(x + ∆x)

^,niin

∆y = 2∆x

^jaidentiteetistä(6.4.1) seuraa, että

f Y (y) = ¹ ₂

^{. Koska}

0.5 < x < 1.5

^{, niin}

1 < y < 3

^{. Näin siis}

Y ∼ Tas(1, 3)

^:

f Y (y) = ( 1

2 , 1 < y < 3;

0,

^muualla.

Olkoon

X

satunnaismuuttuja, jonka arvoavaruus on

S X

^{. Silloin satun-}

naismuuttujan

Y = h(X)

arvoavaruus

S Y

^{määräytyy siten, että}

X ∈ S X ⇔ Y ∈ S Y .

Seuraavassa lauseessaesitettävässämenetelmässäoletetaan,että funktio

y = h(x)

^on tarkasteltavallaarvoalueellakääntyvä. Silloin onolemassa sellainen funktio

x = g(y)

^{, että}

y = h(x) ⇔ x = g(y).

Lause 6.3 Olkoon

X

^jatkuvasatunnaismuuttuja,jonkatiheysfunktioon

f X (x)

ja arvoavaruus

S X

^{. Olkoon}

Y = h(X)

^{sellainen funktio, että sillä on kään-}

teisfunktio

x = g(y)

^ja käänteisfunktion derivaatta

g ^′ (y)

^{onolemassa kaikilla}

y ∈ S Y

^{, missä}

S Y

^on

Y

^:n arvoavaruus. Silloin

Y

^:n tiheysfunktio on

f _Y (y) = f _X g(y)

| g ^′ (y) | , y ∈ S _Y .

Todistus. Oletuksenmukaan

g(y)

^onderivoituva,jotenseonjatkuva.Koska

h

^ja

g

^{ovatkääntyviä,niin}

h

^ja

g

^{ovatmolemmatjokokasvaviataiväheneviä.}

Oletetaan

h

^ja

g

^{ovat väheneviä. Silloin}

F Y (y) = P (Y ≤ y) = P (h(X) ≤ y) = P (X ≥ g(y)) = 1 − F X g(y) .

Derivoidaan

1 − F X [g(y)]

ketjusäännön avulla,jolloin saadaan

f Y (y) = F _Y ^′ (y) = − F _X ^′ g (y) g ^′ (y)

= − f X g(y)

g ^′ (y) = f X g(y)

| g ^′ (y) | .

Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että

g ^′ (y)

^on negatiivinen, koska

g

^on

vähevä.

Jos

h

^ja

g

^{ovatkasvavia,niintodistus onmelkein} samanlainenja sejäte-

tään harjoitustehtäväksi.

Esimerkki 6.12 Olkoon

X

^jatkuvasatunnaismuuttuja,jonkatiheysfunktio on

f X (x) = e ^−x

^ja

S X = { x | x > 0 }

^{. Olkoon}

Y = X ^1/2

^{, joten}

X = Y ² = g(Y )

^ja

S Y = S X

^{. Koska}

g ^′ (y) = 2y

^{, niin}

f Y (y) = f X (y ² ) | 2y | = 2ye ^{− y 2} , y > 0.

Tarkastellaanvielä satunnaismuuttujaa

V = e ^{− X}

^{. Silloin}

X = − log(V )

^.

Merkitään nyt

− log(V ) = ˜ g(V )

^{. Silloin}

S V = [0, 1]

^ja

˜ g ^′ (v) = − 1/v

^{. Siksi}

f V (v) = f X [ − log(v )] | − 1

v | = v v = 1,

joten

V

^{noudattaa tasajakaumaa välillä}

[0, 1]

^.

Mikälimuunnosfunktiolla

h

^eiolekäänteisfunktiota

X

^:narvoavaruudessa

S X

^{, niin Lauseen 6.3} muunnosmenetelmää ei voi suoraan soveltaa. Jos kui- tenkin on olemassasellainen

S _X

^:nositus yhteispisteettömiin osaväleihin

A ₁

^,

A 2

^{, ...,}

A m

^{, että}

(6.4.2)

S X = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A m

ja

h

^{onkääntyvä jokaisella} osavälillä,voidaanmuunnos tehdäjokaisella osa- välilläerikseen. Sitä varten määritellään funktiot

h(x) =

( h i (x),

^kun

x ∈ A i

^;

0

^muualla.

Silloin

h(x)

^{voidaan kirjoittaa muodossa}

h(x) = P m

i=1 h i (x)

^{, missä jo-}

kainen

h i (x)

^{on kääntyvä välillä}

A i

^{. Olkoot} funktioiden

h i

käänteisfunktiot vastaavasti

g i

^,

i = 1, 2, . . . , m

^. Satunnaismuuttujan

Y = h(X)

tiheysfunktio voidaannyt esittääLauseen 6.3 avulla muodossa

(6.4.3)

f Y (y) = X m

i=1

f X g i (y)

| g _i ^′ (y) | . y ∈ S Y .

Huomattakoon, että joskus tarvitaan äärellisenosituksen (6.4.2) sijastaosi-

tus, jossa jakovälejä

A ₁

^,

A ₂

^{, ... onääretön määrä (}

m = ∞

^).

6.5 Yleinen normaalijakauma

Satunnaismuuttuja

X

^noudattaa normaalijakaumaa keskiarvolla

µ

^{ja va-}

rianssilla

σ ² > 0

^{,jos se voidaan esittää muodossa}

X = µ + σZ,

missä

Z ∼ N(0, 1)

^{. Silloin merkitään}

X ∼ N(µ, σ ² )

^{. Jos}

X ∼ N(µ, σ ² )

^{, niin}

vastaavasti

Z = X − µ

σ ∼ N(0, 1).

Seuraavassa lauseessa esitetään jakaumaakoskevat perustulokset.

Lause 6.4 Jos

X ∼ N(µ, σ ² )

^{, niin}

1.

E(X) = µ

^,

Var(X) = σ ²

^ja

2.

M X (t) = E e ^tX

= e ^{µt+σ 2 t 2 /2} , −∞ < t < ∞ .

3.

X

^:n tiheysfunktioon

f (x) = 1

√ 2πσ e ^{− (x − µ) 2 /2σ 2} , −∞ < x < ∞ .

Todistus. 1. Koska

X ∼ N(µ, σ ² )

^{, niin}

X = µ + σZ

^{, missä}

Z ∼ N(0, 1)

^.

Silloin

E(X ) = E(µ + σZ) = µ + σ E(Z) = µ

ja

Var(X) = Var(µ + σZ) = σ ² Var(Z ) = σ ² .

2. Määritelmänmukaan (ks.myös Lause 4.12)

M _X (t) = E e ^tX

= E

e ^t(µ+σZ)

= e ^tµ E e ^tσZ

= e ^tµ M Z (tσ) = e ^tµ e ^{t 2 σ 2 /2} = e ^{tµ+t 2 σ 2 /2} .

3. Tehdään muunnos

x = h(z) = µ + σz

^{. Silloin}

h

^:llaon käänteisfunktio

g

^ja

z = g(x) = ^x−µ _σ

^sekä

g ^′ (x) = _σ ¹

^{. Alaluvussa 6.4} esitettävänmuunnostek- niikanavulla saadaan

X

^:n tiheysfunktioksi

f X (x) = f Z

x − µ

| σ | 1

| σ |

= 1

√ 2π | σ | e ^{−(x−µ) 2 /2σ 2} .

(6.5.1)

Tavallisesti tiheysfunktiokirjoitetaan muodossa

f X (x) = 1

√ 2πσ e ^{−(x−µ) 2 /2σ 2} ,

missä

σ = + p

Var(X) = + √ σ ²

on

X

^{:n hajonta.T}odistuksessa ei oletettu, että

σ > 0

^.

Esimerkki 6.13 Jos

X

^:ntiheysfunktio on

f (x) = 1

√ 32π e ^{−(x+7) 2 /32} , −∞ < x < ∞ ,

niin

X ∼ N( − 7, 16)

^ja

M X (t) = e ^{−7t+8t 2} .

Esimerkki 6.14 Jos

X

^:nmomenttifunktio on

M X (t) = e ^{5t+12t 2} ,

niin

X ∼ N(5, 24)

^ja

X

^:ntiheysfunktio on

f (x) = 1

√ 48π e ^{−(x−5) 2 /48} , −∞ < x < ∞ .

Jos

X ∼ N(µ, σ ² )

^{, niin}

X

^:n tiheysfunktio saavuttaa maksimin pisteessä

x = µ

^jakäänteispisteetovat

x = µ ± σ

^.Todennäköisyysmassaonjakautunut siten, että

P ( | X − µ | ≤ σ) = P ( | Z | ≤ 1) = 0.6826, P ( | X − µ | ≤ 2σ) = P ( | Z | ≤ 2) = 0.9544, P ( | X − µ | ≤ 3σ) = P ( | Z | ≤ 3) = 0.9974,

missä

Z ∼ N(0, 1)

^.Esimerkiksi

P ( | X − µ | ≤ σ) = P ( | Z | ≤ 1) = P ( − 1 ≤ Z ≤ 1)

= Φ(1) − Φ( − 1) = 0.8413447 − 0.1586553 = 0.6826895,

missä

Φ(z) = Z z

−∞

√ 1

2π e ^{− v 2 /2} dv

onstandardimuotoisennormaalijakaumankertymäfunktio.Senarvotontau-

lukoitu ja se saadaan laskettua useilla ohjelmistoilla. Edellä esitettyjen to-

dennäköisyyksien kahden numeron likiarvoina käytetään tavallisesti lukuja

0.68

^,

0.95

^ja

0.99

^{,jotkaeivätole}pyöristettyjä vaan katkaistuja arvoja.Myös yllä esitetyt neljän numeron likiarvotovat katkaistuja arvoja.

Lause 6.5

1. Olkoon

X ∼ N(µ, σ ² )

^ja

U = aX + b

^{, missä}

a 6 = 0

^ja

b

^{ovat annettuja}

vakioita. Silloin

U ∼ N(aµ + b, a ² σ ² ).

2. Olkoot

X 1

^,

X 2

^{, ...,}

X n

riippumattomat,

X i ∼ N(µ i , σ ² _i )

^,

i = 1, 2, . . . , n

ja

a ₁

^,

a ₂

^{, ...,}

a _n

^,

b

^{ovatannetut vakiot,joista ainakinyksi}

a _i

^poikkeaa

nollasta. Silloin

Y = P n

i=1 a i X i + b

^noudattaa normaalijakaumaa

Y ∼ N n

X

i=1

a i µ i + b, X n

i=1

a ² _i σ _i ²

.

6.6. Gammajakaumaja

χ ²

^{-jakauma 169}

Esimerkki 6.15 Riippumattomat satunnaismuuttujat

X 1

^,

X 2

^,

X 3

^noudat-

tavat normaalijakaumaa siten, että

X i ∼ N(2 ⁱ , i ⁱ )

^,

i = 1, 2, 3

^{. Silloin}

Y = X 1 + X 2 + X 3 ∼ N(14, 32)

^{, sillä}

E(Y ) = 2 + 2 ² + 2 ³ = 14

^ja

Var(Y ) = 1 + 2 ² + 3 ³ = 32

ja Lauseen 6.5 mukaan

Y

^noudattaa normaalijakaumaa.Satunnaismuuttuja

Y = X 1 + 2X 2 + 3X 3 ∼ N(34, 260)

^{, koska}

E(Y ) = 2 + 2 · 2 ² + 3 · 2 ³ = 34

ja

Var(Y ) = 1 + 2 ² · 2 ² + 3 ² · 3 ³ = 260.

6.6 Gammajakauma ja

χ ²

^-jakauma

Gammajakaumajakauma on välillä

[0, ∞ )

^{määritelty jakauma tai jakauma-}

perhe,koskaparametrienvaihdellessasaadaanhyvinkinerinäköisiäjakaumia,

vaikkane ovat matemaattisestisamaamuotoa.Gammafunktio

Γ(α) = Z ∞

0

x ^{α − 1} e ^{− x} dx

onäärellinen, kun

α > 0

^.

Gammafunktiototeuttaa rekursiivisen relaation

Γ(α + 1) = αΓ(α),

joka voidaan osoittaa osittaisintegroinnilla.Jos

α = n

^on positiivinen koko- naisluku, niin

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1) · · · 2 · 1 · Γ(1) = n!Γ(1).

Koska

Γ(1) = 1

^,niin

Γ(n + 1) = n!

kaikilla positiivisillakokonaisluvuilla.Myös

Γ( ¹ ₂ ) = √

π

^{on tärkeä erikoista-}

paus.

6.6.1 Gammajakauma

Funktio

(6.6.1)

f (t) = t ^α−1 e ^−t

Γ(α) , 0 < t < ∞

määrittelee tiheysfunktion, sillä gammafunktiossa integroitava on positiivi-

nen välillä

(0, ∞ )

^. Sanokaamme, että (6.6.1) on satunnaismuuttujan

T

^ti-

heysfunktio. Kaikkien gammajakaumien perhe saadaan määrittelemällä sa-

tunnaismuuttuja

X = βT

^{, missä}

β

^on positiivinen vakio.

X

^:n tiheysfunktio voidaan johtaa soveltamalla Lauseen 6.3 muunnostekniikkaa. Merkitsemme

X ∼ Gamma(α, β)

^{ja sanomme, että}

X

^noudattaa gammajakaumaa para- metrein

α

^ja

β

^{. Jakauman}

Gamma(α, β )

tiheysfunktioksi saadaan

(6.6.2)

f (x) = 1

Γ(α)β ^α x ^{α − 1} e ^{− x/β} , 0 < x < ∞ , α > 0, β > 0.

Esitämme nyt gammajakauman perusominaisuudet seuraavassa lausees-

sa.

Lause 6.6 Oletetaan, että

X ∼ Gamma(α, β)

^.

1. Funktio (6.6.2) määrittelee tiheysfunktion kaikilla

α > 0

^,

β > 0

^.

2.

E(X) = αβ, Var(X) = αβ ²

ja

M(t) = E(e ^tX ) = 1

1 − βt α

, t < 1 β .

3.

E(X ^c ) = Γ(α + c)β ^c Γ(α)

kaikilla

c > − α

^.

4. Olkoon

U = bX

^,

b > 0

^{. Silloin}

U ∼ Gamma(α, bβ)

^.

Eksponettijakauma on gammajakauman erikoistapaus. Kun sijoitetaan

tiheysfunktioon(6.6.2)

α = 1

^{, saadaan}

f(x; β) = 1

β e ^−x/β , x > 0.

Havaitaansiis, että

Gamma(1, β) = Exp(β)

^.

6.6.2

χ ²

^-jakauma

Toinen tärkeä gammajakauman erikoistapaus on

χ ²

^{-jakauma. Jos valitaan}

α = ^r ₂

^{, missä}

r

^on positiivinen kokonaisluku, ja

β = 2

^{, tulee} tiheysfunk- tio(6.6.2) muotoon

(6.6.3)

f (x) = 1 Γ ^r ₂

2 ^r/2 x ^(r/2)−1 e ^−x/2 , 0 < x < ∞ ,