T I E TE ES
S
ÄTA
A P TU H U
76
TIETEESSÄ TAPAHTUU 4/2005
asettelut laajempiin filosofisiin teemoihin. Näin se erinomaisella tavalla täydentää muuta alan oppikirjatarjontaa, johon kuuluu muun muas- sa alan keskeisten artikkelien kokoelma (Biagio- li 1999) ja konstruktivistiseen tieteen- ja tekno- logiantutkimukseen keskittyvä oppikirja (Sis- mondo 2004) edellä mainittujen suomalaisten teosten lisäksi. Kiikerin ja Ylikosken teoksensa loppuun kokoama luettelo eri aiheisiin liittyvis- tä keskeisistä teksteistä on lisäksi hyödyllinen apuväline niille, jotka haluavat perehtyä johon- kin teemaan syvällisemmin kuin mihin kirjassa on voitu mennä.
Oppikirjamuodosta seuraa kuitenkin se, että kirjoittajien oma tieteenfilosofinen näkemyk- sensä ei tule kirjassa kovinkaan hyvin näkyviin, ellei sellaisena pidetä heidän kykyään selven- tää tieteentutkimukseen liittyviä tietoteoreetti- sia ja ontologisia näkökohtia tai läpi kirjan käy- vää sovittelevaa asennetta alan erimielisyyksiin nähden.
Kirjan ajankohtaisuutta olisi voinut lisätä sil- lä, että kirjoittajat olisivat esittäneet selkeäm- min sen, mikä tieteentutkimuksen keskeisin anti tähän mennessä on ollut ja mitkä sen tär- keimmät tulevaisuuden haasteet ovat. Tällai- sen kokeneemmallekin tutkijalle kiinnostavan ja hyödyllisen jakson olisi voinut helposti liit-
tää kirjan viimeiseksi luvuksi ilman, että se olisi haitannut teoksen oppikirjakäyttöä tai vaaran- tanut sen pitkäikäisyyttä.
KIRJALLISUUS
Biagioli, Mario (toim.) (1999): The Science Studies Reader.
New York: Routledge.
Garfinkel, Harold, Michael Lynch & Eric Livings- ton (1981): ”The Work of a Discovering Science Construed with Materials From the Optically Discovered Pulsar”. Philosophy of the Social Sciences 11(2):131-58.
Husu, Liisa & Kristina Rolin (toim.) (2005): Tiede, tieto ja sukupuoli. Helsinki: Gaudeamus.
Lemola, Tarmo & Petri Honkanen (toim.) (2004): In- novaatiopolitiikka – Kenen hyväksi, keiden ehdoilla?
Helsinki: Gaudeamus.
Miettinen, Reijo (2002): National Innovation System:
Scientific Concept or Political Rhetoric. Helsinki:
Edita.
Sismondo, Sergio (2004): An Introduction to Science and Technology Studies. Oxford: Blackwell Publishing.
Kirjoittaja on valtiotieteen tohtori ja tieteen- ja tekno- logiantutkija Helsingin yliopiston Toiminnan teorian ja kehittävän työntutkimuksen yksikössä.
Seppo Miettinen: Logiikka – perusteet. Gaude- amus, Helsinki 2003. 249 sivua, ovh. 25 € Erilaiset logiikan perusoppikirjat palvelevat eri- laisia kohderyhmiä. Osa on suunnattu ensi si- jassa matematiikan tai tietojenkäsittelyn opiske- lijoille (esimerkiksi Salminen – Väänänen: Johda- tus logiikkaan), osa taas erityisesti filosofian opis- kelijoille (esimerkiksi Rantala – Virtanen: Logiik- kaa – teoriaa ja sovelluksia). Käännöskirjallisuu- den puolelta löytyy myös kielitieteilijälle suun- nattu teos (Allwood – Anderson – Dahl: Logik för Lingvister (suom. Logiikka ja kieli)).
Seppo Miettisen uusin logiikan oppikirja Lo- giikka – perusteet pyrkii huomioimaan kaikkien sellaisten oppiaineiden tarpeet, joissa logiikkaa opetetaan. Miettiseltä on aikaisemmin (1970-lu- vulla) ilmestynyt kaksiosainen Logiikan perus-
teet, jonka ensimmäiseen osaan sisältyvät ne pe- rustiedot, jotka nykyään muodostavat logiikan alkeiskurssin keskeisen sisällön. Perustietojen lisäksi jo kyseisen teoksen ensimmäinen osa si- sältää ainesta, joka ylittää tavanomaisen perus- kurssin tason. Logiikan perusteet -teoksen rinnal- le ilmestyi sittemmin pieni oppikirja Logiikan peruskurssi, joka on tarkoitettu yliopistolliseksi oppikirjaksi kahden opintoviikon kurssia var- ten. Logiikka – perusteet on sisällöltään ja sivu- määrältään laajempi kuin Logiikan peruskurssi, mutta kuitenkin suppeampi ja helpompi kuin Logiikan perusteet -kirjan ensimmäinen osa.
*
Miettisen uuden kirjan johdantoluku sisältää tärkeiden alkuselvitysten (kuten formaalikie- len rakenne, objekti- ja metakielen ero) lisäksi
Logiikasta perusteellisesti
Antti Keskinen
ET TI E E
ÄSS
TAPAHT UU
77
TIETEESSÄ TAPAHTUU 4/2005
lyhyen katsauksen logiikan ja joukko-opin sekä logiikan filosofian historiaan. Tällainen histori- allis-filosofinen katsaus toimii logiikan perus- opetuksessa lähinnä lisälukemistona, johon lo- giikan alkeiden opiskelija voi palata omaksut- tuaan ensin kirjan varsinaisen sisällön. Luento- kurssilla tällainen tarkastelu on parasta siirtää kurssin loppupuolelle, sillä nollatasolta lähte- vällä opiskelijalla ei ole valmiuksia sitä seurata.
Kirjan toisessa luvussa Miettinen käsittelee klassisen logiikan konnektiivien suhdetta luon- nollisen kielen konjunktioihin ja kieltopartik- keliin. Nämä tarkastelut tuovat esiin ongelmia, jotka liittyvät luonnollisen kielen formalisoin- tiin lauselogiikan avulla. Logiikan oppikirjoissa esitetään tavallisesti huomautus siitä, että loogi- set konnektiivit eivät täysin vastaa merkityksel- tään niitä luonnollisen kielen sanoja, joita usein käytetään kaavoja luettaessa. Miettinen omistaa kokonaisen luvun konnektiivien ja niiden luon- nollisen kielen vastineiden merkityseroille.
Pelkän varoittavan huomautuksen sijas- ta näitä merkityseroja tarkastellaan kielifiloso- fian välinein. Presupposition (taustaoletuksen) ja implikatuurin (pragmaattisen päätelmän) kä- sitteiden avulla pyritään osoittamaan, millaisia luonnollisen kielen ilmaisujen merkityksiä ei si- sälly klassisen logiikan konnektiiveihin.
Tämä kielitieteellinen tai -filosofinen ma- teriaali tuo kirjalle lisäarvoa. Sen tarjoama nä- kökulma on hyödyllinen varsinkin filosofian ja kielitieteen opiskelijoille, jotka ovat kiinnostu- neita logiikan ja luonnollisen kielen suhteesta sekä logiikan tehokkuudesta (tai tehottomuu- desta) kielianalyysin välineenä.
Kuten luvun alussa huomautetaan, näihin tarkasteluihin on syytä perehtyä vasta lauselo- giikan perusteiden opiskelun jälkeen tai sen yh- teydessä. Kirjan lukeminen tavanomaisessa jär- jestyksessä ”kannesta kanteen” ei ole tässä, ku- ten muutamassa muussakaan kohdassa, oikea lukutapa. Nollatasolta lähtevä lukija ei saa toi- sen luvun tarkasteluista paljoakaan irti, ellei hän tutustu samalla lauselogiikan alkeisiin, eli kirjan kolmanteen lukuun.
Lauselogiikan perusteet esitetään tavan- omaisen kaavan mukaan, eli syntaksin (aak- koston ja kaavanmuodostussääntöjen) yhtey- dessä puhutaan jo sen verran semantiikasta, että annetaan konnektiivien merkitys perusto- tuustaulujen avulla. Miellyttävä lisä sekä lau- se- että predikaattilogiikan kohdalla on kirjal- lisuudessa esiintyvien erilaisten merkintätapo- jen esittely. Lauselogiikan syntaksin määritte- lystä edetään luonnollisen kielen formalisoin-
tiin lauselogiikan avulla. Esimerkkejä luonnol- lisen kielen väitelauseiden formalisoinnista an- netaan riittävästi. Viittaukset edelliseen lukuun tukevat näiden esimerkkien tarkastelua, koska ne saavat lukijan ymmärtämään, että formali- sointi voidaan joissain tapauksissa myös prob- lematisoida.
*
Luonnollisen kielen formalisoinnin yhteydes- sä kirjassa kiinnitetään huomiota konnektiivi- en välisiin yhteyksiin, siis kaavanmuunnos- sääntöihin. Olennaista näiden kaavanmuun- nossääntöjen perustelussa on loogisen ekviva- lenssin (tai ”loogisen yhtäpitävyyden”) käsite.
Miettinen esittää kuitenkin kaavanmuunnoksia jo ennen loogisen ekvivalenssin määritelmää, ja käytettyjen sääntöjen pätevyyttä perustellaan lähinnä luonnollisen kielen esimerkkien avulla.
Kaavanmuunnossääntöjen yhteydessä käyte- tään kyllä termiä ”loogisesti yhtäpitävä”, mut- ta semanttisen välineistön (mallit, kompleksis- ten kaavojen totuustaulut) puuttuessa tämä ter- mi jää jossain määrin epätäsmälliseksi.
Ehkä parempi esitysjärjestys olisi ollut se, että ensin määritellään keskeiset semanttiset käsitteet (looginen totuus, seuraus ja ekviva- lenssi), ja tämän jälkeen käsitellään kaavojen muuntamista, sillä kaavanmuunnosten ja kon- nektiivien keskinäisten yhteyksien ymmärtämi- nen edellyttää näiden käsitteiden hallintaa. To- sin varsinainen lista kaavanmuunnossäännöis- tä annetaankin vasta semantiikan käsittelyn yh- teydessä, ja luonnollisesti tarkkaavainen luki- ja ymmärtää tällöin yhteyden aikaisempiin tar- kasteluihin.
*
Lauselogiikan semantiikan osuus aloitetaan määrittelemällä lauselogiikan mallin käsite. To- tuustaulujen laatiminen kompleksisille kaavoil- le esitellään vasta mallisemantiikan jälkeen, jol- loin painotetaan totuustaulun roolia ratkaisu- menetelmänä. Mallien ja totuustaulujen yhteys tuodaan selkeästi esiin, ja loppuviitteistä löytyy jopa tautologiateoreeman todistus.
Lauselogiikan semantiikasta todetaan, että se perustuu ”totuuden vastaavuusteorialle”.
Totuuden vastaavuusteoria esitetään käsitykse- nä, että atomaariset väitelauseet ilmaisevat, että maailmassa vallitsee tietty atomaarinen asiain- tila (tämän näkemyksen yhteydessä viitataan Wittgensteinin Tractatukseen teorian klassisena esityksenä). Lisäksi väitelauseiden semantiik- kaa kuvaillaan siten, että atomaarinen väitelau- se olisi asiaintilan nimi. Tällaista näkemystä ei
T I E TE ES
S
ÄTA
A P TU H U
78
TIETEESSÄ TAPAHTUU 4/2005
kuitenkaan ole yleisesti hyväksytty kieli- ja lo- giikan filosofiassa.
Lauselogiikan formaalissa semantiikassa mallin käsite – kaikkien atomilausesymbolien joukon osajoukko – ei sinänsä vaadi tällaisia fi- losofisia taustaoletuksia. Tämän kaltaiset filoso- fiset ongelmat ovat kuitenkin tässä yhteydes- sä toissijaisia, eikä niihin ole syytä takertua lo- giikan perusteita opiskeltaessa. Formaali mal- lin käsite täytyy kuitenkin jollain tavalla selit- tää aloittelijalle, jotta syntaktis-joukko-opillinen konstruktio ei jäisi vain abstraktioksi ilman in- tuitiivista perustelua. Puhe mahdollisista maa- ilmoista ja niiden asiaintiloista, lauseista asi- aintilojen niminä, sekä totuudesta väitelauseen ja maailman välisenä ”vastaavuutena” on täy- sin hyväksyttävää, jos se auttaa logiikan opis- kelijaa ymmärtämään, mistä semantiikassa on kysymys. En usko, että edes filosofian pääai- neopiskelija problematisoi tällaisia seikkoja lo- giikan opintojensa alkuvaiheessa.
*
Predikaattilogiikan esittely aloitetaan perus- symbolien määrittelyllä. Kirjassa hyväksytään myös funktiosymbolit aakkostojen primitii- visiksi symboleiksi, mutta myös niiden kon- tekstuaalinen eliminointi esitellään. Ennen var- sinaisen mallisemantiikan määrittelyä predi- kaattilogiikan perussymbolien merkitys selite- tään luonnollisen kielen avulla. Kuten lauselo- giikankin kohdalla, tällainen ”intuitiivinen se- mantiikka” helpottaa mallin käsitteen omaksu- mista.
Erityisesti muuttujien rooli sekä sidotun ja vapaan muuttujan ero selitetään selkeästi arki- kielellä. Kvantifioinnin idean sisäistäminen ai- heuttaa usein ongelmia logiikan alkeiden opis- kelussa. Miettinen selvittää lukijalle yksinker- taisen esimerkin avulla, miten muuttujanmer- keillä osoitetaan, mikä loogisen subjektin paik- ka on minkäkin kvanttorin vaikutuskohta.
Ennen predikaattilogiikan semantiikan esit- telyä käsitellään luonnollisen kielen lauseiden formalisointia predikaattilogiikan avulla. For- malisoinneissa opetetaan käyttämään hyväk- si myös funktiosymboleita (esim. ”x:n äiti”).
Funktiosymbolin rooli luettavuutta helpottava- na lyhenneilmaisuna tuodaan kyllä esiin, mutta funktiosymbolien eliminointia lausekontekstis- sa voisi käsitellä pidempäänkin.
Lukumäärän ilmaisua predikaattilogiikassa olisi voinut käsitellä tekstissä hieman tarkem- minkin, koska asiaa kysytään myös harjoitus- tehtävässä. Tekstissä jää kaipaamaan sitä, että
lukijalle selitettäisiin, millainen kaava yksinään ilmaisee ”korkeintaan n kappaletta”. Kirjan esi- merkit ilmaisuista ”täsmälleen yksi” ja ”täsmäl- leen kaksi” eroavat toisistaan sen suhteen, mi- ten korkeintaan-ehto ilmaistaan niissä. Aloitte- lijalle asia saattaa jäädä hieman hämäräksi, var- sinkin, jos kirjaa käytetään itseopiskeluun il- man luentojen tukea.
Osa harjoitustehtävissä formalisoitavista lauseista vaatisi ehkä malliratkaisujen puolel- le useamman kuin yhden vaihtoehtoisen rat- kaisun, tai ainakin jonkinlaisen lisäselvityk- sen. Esimerkiksi lause ”Vihaiset koirat eivät ole hauskoja tuttavuuksia” voitaisiin varmaankin formalisoida myös siten, että käytettäisiin kak- sipaikkaista predikaattia ”x on y:n (hauska) tut- tavuus”. Mallivastauksissa on ainoastaan yksi vaihtoehto, jossa ”tuttavuus” on yksipaikkainen predikaatti. Voisi jopa kuvitella, että useimpien opiskelijoiden mieleen tulisi tulkita ”tuttavuus”
kaksipaikkaiseksi relaatioksi. Lause ”Musti on tuttavuus” herättää helposti kysymyksen ”Ke- nen tuttavuus?” Toisen esimerkin tarjoaa yllät- tävä imperfektin käyttö lauseen ”Joku lääkäri totesi hoitovirheen” predikaatissa. Hämmentä- vän tästä lauseesta saattaa tehdä se, että kaik- ki muut kyseisen luvun formalisointitehtävät ovat preesensissä. Aloittelija saattaa hämääntyä huomautuksesta, että ajallisia suhteita ei predi- kaattilogiikassa voida ilmaista – vaikka kysei- sessä lauseessa ei olekaan kysymys ajallisesta suhteesta.
*
Predikaattilogiikan semantiikka hyödyntää joukko-oppia, joten logiikan perusteita opiske- levan olisi hyvä tutustua myös joukko-opin al- keisiin. Miettinen sisällyttää kirjaansa itsenäi- sen luvun, jossa joukko-opin peruskäsitteet ja - merkintätavat esitellään lyhyesti mutta selkeäs- ti. Tosin esittely on välillä hiukan liiankin tiivis- tä; esimerkiksi potenssijoukosta ei anneta lain- kaan esimerkkiä määritelmän jälkeen, ja järjes- tysrelaatioiden määritelmät annetaan ainoas- taan loppuviitteessä.
Logiikan perusteiden luento-opetusta saat- taa usein hankaloittaa se, että luentokurssille ei ole varattu aikaa joukko-opin perusteiden esit- telyyn. Joukko-opin perusteita käsittelevä luku toimii tällöin hyvänä lisälukemistona, ja itse- opiskelijalle se on olennaisen tärkeä.
Predikaattilogiikan totuusmääritelmä anne- taan yksinkertaistetussa muodossa. Määritel- mää ei perusteta tarskilaiselle ”toteuttamisen”
(satisfaction) käsitteelle, vaan atomikaavan to-
ET TI E E
ÄSS
TAPAHT UU
79
TIETEESSÄ TAPAHTUU 4/2005
tuus mallissa määritellään sillä oletuksella, että jokaiselle perusjoukon alkiolle löytyy aakkos- tosta yksilötermi, jonka tulkinta kyseinen alkio on (toisin sanoen, kaikilla muuttujan arvoilla on erisnimi). Tällainen yksinkertaistettu totuus- määritelmä onkin riittävä logiikan alkeisope- tuksen tarpeisiin.
*
Klassisen logiikan ekstensionaalisuudesta ei kirjassa puhuta, yhtä loppuviitettä lukuun ot- tamatta. Predikaattilogiikan semantiikan yh- teyteen olisi voinut lisätä vaikkapa esimerkin luonnollisen kielen ei-ekstensionaalisesta kon- tekstista, jonka formalisointi aiheuttaa ongel- mia.
Todistusteoriassa käytetään Gerhard Gent- zenin luonnollisen päättelyn systeemiä. Gent- zenin systeemi sisältää vähemmän (primitiivi- siä) päättelysääntöjä kuin Logiikan peruskurssi - kirjassa käytetty luonnollisen päättelyn systee- mi. Systeemi soveltuukin varmasti paremmin alkeisopetukseen; sen säännöt ainakin muis- taa helposti ulkoa. Systeemin päättelysääntöjen käytöstä annetaan runsaasti esimerkkejä. Ne ovat monipuolisia, niissä esitetään teoreemo- jen todistuksia, luonnollisesta kielestä formali- soitavia päättelyitä sekä puhtaita kaavamani- pulaatioita.
Vaikka teoreemojen todistuksista on esi- merkkejä, teoreeman ja todistuvuuden käsittei- tä olisi ehkä syytä käsitellä tarkemmin todistus- teorian yhteydessä. Todistusteorian ja semantti- sen tarkastelun välistä eroa olisi myös tarpeen korostaa enemmän. Yleinen virhe todistusteori- an tehtävissä näet on, että opiskelija soveltaa se- mantiikan puolelta tuttuja loogisia ekvivalens- seja tai seurauksia päättelysysteemissä todista- matta niitä ensin systeemin primitiivisten sään- töjen avulla. Joissakin todistusteorian osuuden esimerkeissä käytetään ”surkastuineita versi- oita” päättelysäännöistä, esimerkiksi negaati- on tuonnin yhteydessä ristiriidasta johdettaval- le kaavalle ei aina tehdä sääntöskeeman vaati- maa vastaoletusta. Samalla tavoin käytetään yhdessä esimerkissä implikaation tuontisään- töä, ilman että tällaisten ”surkastuneiden sään- töjen” käyttöä selitetään. Tällaiset pikkuseikat saattavat aiheuttaa tarpeetonta hämmennystä, varsinkin itseopiskelijalle. Yleisesti ottaen kir- jan esimerkit deduktioista ovat kuitenkin erin- omaisia.
Vaativammat todistukset ja syventävät lisä- tiedot (esimerkiksi tautologiateoreema ja osia täydellisyyslauseiden todistuksista) on sijoitet-
tu loppuviitteisiin. Tämä on mielekästä, sillä se tekee oppikirjatekstistä helppolukuisempaa; to- distukset, joihin opiskelija ei aluksi kuitenkaan perehtyisi, eivät keskeytä asiassa etenemistä.
Kirjan pääteksti sisältää myös matemaattisem- pia osioita, esimerkiksi lukuteorian epästandar- dimallien ja Gödelin epätäydellisyystuloksen esittelyn sekä itsenäisen luvun induktiosta ja rekursiosta. Nämä jaksot eivät kuitenkaan vaa- di erityisiä matemaattisia esitietoja, ja ne ovat yleissivistävinä osuuksina paikallaan myös sel- laisille logiikan opiskelijoille, joiden pääaine ei ole matematiikka. Rekursion käsitteeseen tu- tustuminen taas on hyödyllistä ainakin teoreet- tisen filosofian, kielitieteen ja tietojenkäsittely- opin opiskelijoille.
*
Logiikka – perusteet on helppolukuinen. Asiat esitetään selkeästi ja arkikieliset lisäselvitykset tukevat vaikeampien asioiden omaksumista.
Lisäksi kaikkiin harjoitustehtäviin löytyy malli- ratkaisut kirjan lopusta. Näistä syistä kirja sopii hyvin myös itseopiskelumateriaaliksi. Ei-mate- maattisten esimerkkien vuoksi myös muiden kuin matemaattisten aineiden opiskelijat voi- vat helposti saada tuntuman logiikan formaa- likieleen. Logiikka – perusteet soveltuu logiikan perusoppikirjaksi kaikkiin oppiaineisiin, joissa logiikan opetusta tarvitaan. Kirja tarjoaa klassi- sesta logiikasta perustiedot, joiden varaan kun- kin oppiaineen mahdollinen logiikan jatko- tai syventävä opetus voidaan laskea.
Kirjoittaja on FM ja tutkija Tampereen yliopiston Filosofian laitoksella.
