Rakenneosien toiminta rakennusta jäykistävässä sivusiirtyvässä teräsbetonikehässä

(1)

Rakennustekniikan maisteriohjelma

Rakenneosien toiminta rakennusta jäykistävässä sivusiirtyvässä

teräsbetonikehässä

Mikko Riipinen

Diplomityö 2021

(2)

(3)

Tekijä Mikko Riipinen

Työn nimi Rakenneosien toiminta rakennusta jäykistävässä sivusiirtyvässä teräsbeto- nikehässä

Koulutusohjelma Rakennustekniikan maisteriohjelma Pääaine Building Technology

Vastuuopettaja/valvoja Professori Jari Puttonen Työn ohjaajat DI Arto Sivill, DI Jari Toijonen Yhteistyötaho Sweco Rakennetekniikka Oy

Päivämäärä 22.11.2021 Sivumäärä 127+22 Kieli suomi Tiivistelmä

Toisen kertaluvun vaikutukset hoikissa betonipilareissa ovat olleet tutkimusten kohteena viimeisinä vuosikymmeninä. Kasvava kysyntä rakenteiden materiaalimenekkien optimoin- nissa rakentamisessa on lisännyt epälineaaristen analyysimenetelmien käyttöä teräsbeto- nirakenteiden parissa.

Tällä hetkellä voimassa oleva eurokoodi 2 (SFS-EN 1992-1-1) ei tarjoa muuta mahdolli- suutta olla ottamatta huomioon toisen kertaluvun vaikutuksia kuin otaksua niiden vaikutusten olevan alle 10 % ensimmäisen kertaluvun vaikutuksista. Kun sivusiirtyvässä teräs- betonikehässä ilmenevien toisen kertaluvun vaikutusten johdosta kuormat ja momentit jakaantuvat muuttuvan jäykkyyden vuoksi uudelleen jäykemmille rakenneosille, rakenneanalyysi voi muuttua työlääksi.

Diplomityössä etsittiin sopivaa raja-arvoa kriittiselle kuormakertoimelle sivusiirtyvien teräsbetonikehän mitoitukseen toisen kertaluvun vaikutusten huomioinnissa. Tutkimus koostui kirjallisuustutkimuksesta sekä tapaustutkimuksesta. Kirjallisuustutkimuksessa so- pivia kriittisen kuormakertoimen raja-arvoja etsittiin aiheeseen liittyvistä aiemmista tutkimuksista sekä kansainvälisten suunnittelustandardien menettelytavoista ja rajoitteista toisen kertaluvun vaikutusten tarkasteluissa.

Tapaustutkimuksessa suoritettiin kuusikerroksisen paikallavaletun kehäjäykisteisen parkkitalon analyysi Dlubal RFEM -ohjelmiston lisäosan yleiseen menetelmään perustuvalla laskennalla ja vertaamalla pilareiden taivutusjäykkyyden laskennallista jakaumaa eurokoodi 2:n liitteessä H esitettyihin likiarvoihin. Lisäosalla saatavan taivutusjäykkyyden kehittymisen vertailemiseksi saatuja tuloksia verrattiin hoikkien pilareiden koetuloksiin sekä Excel-laskentataulukko-ohjelmistoon ohjelmoidulla ohjelmalla saatuihin tuloksiin.

Koska koetulokset ja RFEMin tulokset eivät olleet ristiriitaisia, katsottiin perustelluksi verrata RFEMin tuloksia liitteen H likiarvomenettelyllä saataviin tuloksiin kriittisen kuormakertoimen arvioimiseksi. Laskennallisten tulosten perusteella kehän kriittisen kuormakertoimen arvot vaihtelivat tasokehän osalta välillä 7,2-8,6, mutta analyysin tuloksien perusteella pilareiden taivutusjäykkyydet alittivat samalla liitteen H likiarvojäykkyyden.

Avainsanat Toisen kertaluvun teoria, epälineaarinen analyysi, yleinen menetelmä, hoi- kat teräsbetonipilarit, sivusiirtyvä kehä, kriittinen kuormakerroin

(4)

Author Mikko Riipinen

Title of thesis Behavior of structural members in sway-sensitive frames of reinforced con- crete

Programme Master’s Programme in Building Technology Major Building Technology

Thesis supervisor Prof. Jari Puttonen

Thesis advisors Arto Sivill M.Sc, Jari Toijonen, M.Sc Collaborative partner Sweco Structures Ltd

Date 22.11.2021 Number of pages 127 + 22. Language Finnish.

Abstract

The second order effect in slender reinforced concrete columns has been an interesting re- search topic for recent decades. Increasing demand for optimization of material consump- tion in construction industry has increased the utilization of nonlinear analysis for reinforced concrete structures.

At the moment, eurocode 2 (SFS-EN 1992-1-1) does not provide other limits for second order effects except that they can be ignored if their effects remain below 10% of the first order effects. However, in moment resisting frames because of the redistribution of internal forces and moments, the analysis of the structure may become cumbersome.

This thesis aimed to derive a suitable limit for a critical load factor of sidesway portal cast-in-situ reinforced concrete frames using the general method described in eurocode 2.

The study comprises literature review and case study. In the first phase, guidelines on con- trolling the second order effects were searched from currently valid standards and literature.

In the case study, analysis of a cast-in-situ frame was carried out using an add-on module in FEA program Dlubal RFEM and comparing the flexural stiffness of columns with approximate values given in Annex H of current eurocode 2. The results received by the add-on module was compared to experimental results of slender concrete columns and to the results calculated by Excel-based calculation sheet with programmed general method solver.

As the experimental and RFEM results matched, the distribution for flexural stiffness calculated by the add-on module was compared to approximate stiffness given in Annex H of eurocode 2 for deriving the limiting critical load factor. According to the case study, the results for critical load factor of the frame varied between 7,2- 8,6. However, flexural stiffness of columns was noticed to fall significantly under the approximate flexural stiffness values given in Annex H of eurocode 2.

KeywordsSecond order effects, nonlinear analysis, general method, slender reinforced- concrete columns, sway frame, critical load factor

(5)

Sisällys

Esipuhe ... 8

Symbolit, operaattorit ja lyhenteet ... 9

Symbolit ... 9

Operaattorit ... 10

Lyhenteet ... 11

1 Johdanto ... 12

2 Epälineaarisuus rakenneanalyysissa ... 15

2.1 Toisen kertaluvun vaikutusten teoriaa ... 16

2.2 Lokaalit vaikutukset ... 17

2.3 Globaalit vaikutukset ... 18

3 Sivusiirtyvien kehien luokittelu ... 21

3.1 Sivusiirtyvyyden taustaa ... 21

3.2 Pilarit sivusiirtyvissä kehissä ... 21

3.3 Pilareiden analyysimenetelmät eurokoodi 2:ssa ... 22

3.3.1 Nimellisen jäykkyyden menetelmä ... 22

3.4 Kriittinen kuormakerroin osana sivusiirtyvän systeemin herkkyyden arviointia ... 23

3.4.1 Momenttien suurennusmenetelmä ... 24

3.5 Yksinkertaisten mallien rajoitukset ... 26

4 Sivusiirtyvyyden tarkastelu suunnittelunormeissa ... 28

4.1 ACI 318 ... 28

4.2 NBR 6118 ja kriittinen kuormakerroin kehän stabiliteetin arvioinnissa ... 30

4.3 Rakennekokonaisuuden toisen kertaluvun vaikutukset eurokoodi 2:n mukaan ... 31

4.4 Hoikkuuden määrittelytavat standardeissa ... 32

4.5 Toisen kertaluvun vaikutusten arviointi eurokoodi 2:n liitteessä H ... 34

5 Materiaalimallit epälineaarisessa analyysissa... 38

5.1 Jännitys-muodonmuutosyhteys epälineaarisessa analyysissa ... 38

5.1.1 Puristus- ja vetolujuuden mitoitusarvot... 39

5.2 Viruma ... 40

5.2.1 Viruman käsittely epälineaarisessa analyysissa ... 40

(6)

5.3 Kutistuman käsittely epälineaarisessa analyysissa ... 42

5.4 Kimmokerroin ... 45

5.5 Vetojäykistysvaikutus ... 46

5.5.1 Betoniterästen muokattu jännitys-muodonmuutosyhteys ... 48

5.5.2 Betonin vetokestävyyden hyödyntäminen ... 51

5.5.3 Vetojäykistysvaikutuksen kuvaaminen eurokoodi 2:ssa... 53

6 Epälineaariset rakenneanalyysimenetelmät eurokoodi 2:ssa... 55

7 Hoikkien sauvojen nurjahduskestävyyden koetulosten arviointi eurokoodi 2:n epälineaarisiin mitoitusmenetelmiin ... 58

7.1 Yksinkertaistetut menetelmät suhteessa hoikkien pilareiden koetuloksiin ... 65

7.1.1 Nimellisvarmuuden arviointi ... 65

7.1.2 Nimellisvarmuus suhteessa Itävallan ja Saksan kumottuihin standardeihin ... 69

7.1.3 Yhteenveto nimellisvarmuuden arvioinneista ... 70

7.2 Vertailulaskelma Strauss et al. (2015) koetulokseen nähden ... 71

7.2.1 Kriittinen kuormakerroin α_cr vertailulaskelmissa ... 75

7.3 Vertailulaskelma Khalil et al. (2001) koetuloksiin... 79

8 Tapaustutkimuksena pysäköintihallin kehärakenne ... 84

8.1 Kuormitukset ja kuormitusyhdistelmät ... 85

8.1.1 Kuormien tasapainottaminen ... 86

8.2 Rakenneanalyysi tasokehänä ... 88

8.2.1 Lineaarinen analyysi ... 88

8.2.2 Epälineaarinen analyysi ... 88

8.2.3 Kehän siirtymät - palkkielementti suorakaidepoikkileikkauksena 95 8.2.4 Kehän siirtymät - palkkielementti T-poikkileikkauksena ... 98

8.2.5 Rakenneosien rasitustilan vertailu murtorajatilassa – palkkielementti suorakaidepoikkileikkauksena ... 101

8.2.6 Rakenneosien rasitustilan vertailu murtorajatilassa – palkkielementti T-poikkileikkauksena ... 105

8.2.7 RF-CONCRETE Members -lisäosan jäykkyysjakaumat eri kuormitusyhdistelmillä ... 108

8.2.8 Pilareiden taivutusjäykkyyksien vertailu... 110

8.2.9 Kriittiset kuormakertoimet analyysitapojen välillä ... 116

(7)

8.3 3D-kehän nurjahdusmuodot ja taivutusjäykkyydet ... 117

9 Yhteenveto ... 122

Lähteet ... 125

Liite 1. Taivutusjäykkyysjakauma pilarissa M11, RFEM. ... 128

Liite 2. Pilarin M11 taivutusjäykkyys epälineaarisen laskennan perusteella 129 Liite 3. Pilareiden taivutusjäykkyydet rakennemallissa T-poikkileikkauksena mallinnetun elementin tapauksessa... 130

Liite 4. Pilarin M11 rasitustilan vertailu Excel-laskentataulukko-ohjelmiston laskennalla ... 131

Liite 5. Nurjahdusmuodot, tasokehä ... 132

Liite 6. Tasokehän kriittiset kuormakertoimet käyttörajatilan yhdistelmällä ... 134

Liite 7. Lisävaakavoimat ... 135

Liite 8. 3D-kehän nurjahdusmuodot murtorajatilan yhdistelmällä ... 140

Liite 9. 3D-kehän nurjahdusmuodot käyttörajatilan ominaisyhdistelmällä . 142 Liite 10. Käyristymien ja puristuman arviointi pilarille C9, Khalil et al. (2001) ... 144

Liite 11. Käyristymien ja puristuman arviointi pilarille C19, Khalil et al. (2001) ... 147

(8)

Esipuhe

Tämä opinnäytetyö on tehty Sweco Rakennetekniikka Oy:n toimeksiannosta sel- vittää epälineaaristen analyysimenetelmien käyttöä teräsbetonista tehtyjen kehä- jäykisteisten rakennusten analysoimiseksi ja pyrkiä tulkitsemaan nykyisen normin osin avoimesti kuvattuja ohjeita. Nykyisen eurokoodin standardissa SFS-EN 1992-1-1 ei ole olemassa selkeitä raja-arvoja, kuinka kehän nurjahdus tulisi huomioida. Tutkimuksessa pyrittiin hakemaan vertailukohtaa kriittisen kuormakertoimen hyväksyttäville arvoille ulkomaisista suunnittelunormeista, kirjallisuu- desta ja vertailulaskelmien avulla yksittäisten hoikkien pilareiden koetuloksista Dlubal RFEM -ohjelmistoa hyödyntäen.

Haluan lausua lämpimät kiitokset työn ohjaajille DI Arto Sivillille ja DI Jari Toi- joselle niin ohjauksesta sekä neuvoista, kenen puoleen talon sisällä kannatti kääntyä työn suorittamisen aikana. Näistä matkan varrella konsultoiduista swecolaisista mainittakoon erityiset kiitokset DI Ilkka Uotilalle ja TkT Jussi Jal- kaselle. Suuret kiitokset myös työn valvojalle, professori Jari Puttoselle näkökul- mista ja ohjauksesta työn painopisteiden kanssa. Sweco Rakennetekniikka Oy:lle kiitos opinnäytteen taloudellisesta tukemisesta.

Lopuksi haluan kiittää ystäviäni lukuisista opiskeluaikana syntyneistä, elämän läpi kantavista muistoista sekä perheenjäseniäni vankkumattomasta kannustuk- sesta opintojen parissa.

Espoossa 22.11.2021

(9)

Symbolit, operaattorit ja lyhenteet Symbolit

A Poikkileikkausala

As Raudoituksen poikkileikkausala Bs Sivusiirtyvyyttä kuvaava kerroin Cm Kerroin

Ec Normaalibetonin tangenttimoduuli jännityksen ollessaσc= 0 ja 28 vuorokauden iässä

Ec,eff Betonin tehollinen kimmokerroin Ecd Betonin kimmokertoimen mitoitusarvo Ecm Betonin sekanttimoduuli

E^s Betoniteräksen kimmokertoimen mitoitusarvo EI Taivutusjäykkyys

FV,Ed Pystysuuntainen kokonaiskuorma H Vaakasuuntainen kuorma

Ic Betonipoikkileikkauksen jäyhyysmomentti

Icr Haljenneen betonipoikkileikkauksen jäyhyysmomentti M Taivutusmomentti

Mcr Halkeamamomentti

MEd Taivutusmomentin mitoitusarvo N Normaalivoima

NEd Normaalivoiman mitoitusarvo P Aksiaalinen kuorma

Pcr Kriittinen nurjahduskuorma P^u Pilarin enimmäiskuorma Q Stabiiliusindeksi

V Leikkausvoima e Epäkeskisyys e⁰ Alkuepäkeskisyys

fcd Betonin puristuslujuuden mitoitusarvo

fck Betonin lieriölujuuden ominaisarvo 28 vuorokauden ikäisenä fctk Betonin vetolujuuden ominaisarvo (betonin ominaisvetolujuus) fy Betoniteräksen myötölujuus

k Kerroin; redusointikerroin l pituus

ns Kerrosmäärä

r Säde

1/r Kaarevuus Δ Siirtymä; muutos

α_cr Kriittinen kuormakerroin

α_ss Sivusiirtyvyyttä kuvaava herkkyyskerroin

β Kerroin

γ_C Betonin osavarmuusluku

γ_S Betoniteräksen tai jänneteräksen osavarmuusluku δ Siirtymä; suhde

(10)

ε_c Betonin puristuma

εc1 Betonin puristuslujuutta fckvastaava puristuma εcu Betonin murtopuristuma

ε_cs Kokonaiskutistuma ε_cd Kuivumiskutistuma ε_ca Sisäinen kutistuma

εuk Betoniteräksen tai jänneteräksen suurinta voimaa vastaavan venymän ominaisarvo

ε_sm Keskimääräinen teräsvenymä ζ Jakaumakerroin

η Suhde

λ Hoikkuusluku

λ_cr Kriittinen kuormakerroin σ_c Betonin puristusjännitys

σcu Murtopuristumaa εcuvastaava betonin puristusjännitys σs Betoniterästen jännitys

σ_sm Keskimääräinen teräsjännitys φ Virumaluku

φ_eff Tehollinen virumaluku ρ Raudoitussuhde

Operaattorit

Derivaatta muuttujant suhteen

Osittaisderivaatta muuttujantsuhteen Σ_i summa indeksiniyli

(11)

Lyhenteet

ACI American Concrete Institute

EC2 Eurokoodi 2 (SFS- EN 1992-1-1)

FEM Finite Element Method, elementtimenetelmä

JCSS Joint Committee of Structural Safety

KRT Käyttörajatila

MRT Murtorajatila

RFEM Dlubal RFEM 5.21 -laskentaohjelmisto

RF-CONCRETE Members Dlubal RFEM 5.21 -laskentaohjelmiston lisäosa RF-Stability Dlubal RFEM 5.21 -laskentaohjelmiston lisäosa

(12)

1 Johdanto

Rakenneanalyysissa hyödynnetään kaupallisia ohjelmistoja, joihin on liitetty rakenteiden mekaniikan kannalta keskeinen teoria globaalien ja lokaalien toisen kertaluvun vaikutusten tarkastelusta. Käytännön suunnittelussa kehäjäykistei- sissä rakennuksissa pilareiden mitoittaminen toteutetaan usein kehärakenteesta erotettuna yksittäisenä rakenneosana yksinkertaistetuilla menetelmillä.

Betonin epälineaarisen käyttäytymisen vuoksi rakennekokonaisuuden toiminnan analysointi on haasteellinen prosessi. Ongelmalliseksi tilanne voi muodos- tua, jos rakenneosan mitoituksessa tehdyt yksinkertaistukset johtavat rakenneosien jäykkyyden virheelliseen approksimointiin, mikä puolestaan vaikuttaa rakennekokonaisuuden toimintaan. Tällä hetkellä teräsbetonista valmistettujen ke- häjäykisteisten rakennusten mitoittaminen voidaan toteuttaa eurokoodi 2:n (SFS-EN 1992-1-1) liitteessä H esitetyn menettelytavan avulla, jota voidaan soveltaa sivusiirtyvien kehärakenteiden tapauksessa. Toisaalta eurokoodi 2 ei tarjoa selkeitä raja-arvoja, mihin asti liitteessä H kuvattua iteratiivista menettelyä voidaan hyödyntää rakennekokonaisuuden kokonaisvakauden kannalta. Samalla toisen kertaluvun vaikutusten kuvaamiseen käytettyjen, liitteessä H kuvattujen lineaarisesti jäykkyyttä redusoivien kertoimien käytölle ei ole asetettu rakennekokonaisuuden kannalta selkeää raja-arvoa, johon kehärakenteen toimivuutta voisi verrata.

Stabiilisuusteoriasta johdettua kriittistä kuormakerrointa αcr, joka kuvaa omi- naisarvoanalyysina ratkaistun nurjahduskuorman ja Eulerin nurjahduskuorman suhdetta, on hyödynnetty muun muassa teräsnormeissa. Aiemmissa tutkimuk- sissa (Vieira et al. 2017) teräsbetonisten sivusiirtyvien kehien kannalta kriittiselle parametrille αcr on pyritty löytämään raja-arvoja, joilla koko kehän sortumisen todennäköisyys kasvaa. Läheisesti tähän kytkeytyy myös Helleslandin (2019a, 2019b, 2020) aihepiiriä koskeva tutkimus, jossa ensimmäisen kertaluvun momenttien suurennuskertomiin perustuvat menetelmät eivät välttämättä huomioi yksittäisten pilareiden momenttien kasvua koko kerroksessa. Viimeksi maini- tusta johtuen paikallisten vaikutusten aiheuttamat muutokset saattavat johtaa merkittäviin eroihin toisen kertaluvun vaikutusten arvioinnissa rakennekokonaisuudelle. Tällöin esimerkiksi nimelliseen kaarevuuteen perustuvassa menetel- mässä kaarevuuden jakauma momentista rakennekokonaisuuden osalta saattaa poiketa tunnetuksi oletetun nurjahduspituuden kaarevuuden jakaumasta, jolloin menetelmässä määritettävä taipumaan perustuva lisämomentti voi mahdollisesti jäädä matalaksi. Nimellisjäykkyyteen perustuvan menetelmän osalta pilarin tai- vutusjäykkyyden arvo muodostetaan betonille ja teräkselle annettujen paramet- rien avulla, joilla pyritään approksimoimaan muun muassa viruman ja halkeilun vaikutus käytettävään taivutusjäykkyyden arvoon. Eurokoodissa SFS-EN 1992 1- 1 ei toistaiseksi ole esitetty vastaavaa tapaa, jolla kehän sortumisen herkkyyttä voisi arvioida.

Tutkimuksen tavoitteena on selvittää, voidaanko eurokoodi 2:n liitteessä H esitettyjen likiarvojäykkyyksien perusteella laskettuja raja-arvoja hyödyntää

(13)

suuruusluokkatarkasteluun sekä alustavaan mitoitukseen sivusiirtyviksi luokitel- tavien kehien tapauksessa vertaamalla kriittistä kuormakerrointa yleiseen mene- telmään pohjautuvaan analyysiin yksinkertaistetun teräsbetonikehän FEM-mallin avulla. Tutkimuksen ongelmaan pyrittiin vastaamaan seuraavien tutkimuskysymysten avulla:

· Miten pitkälle EC2 liitteen H menettelyä likimääräisestä taivutusjäykkyy- den arvosta kohdassa H.1 voidaan soveltaa, mikäli kriittisen kuormakertoimen αcr arvo on esimerkiksi lähellä arvoa 3–5?

· Miten herkkä sivusiirtyvä systeemi on yksittäisen pilarin vaurioitumiselle?

· Missä tilanteissa yksinkertaistetut nimellisen jäykkyyden ja kaarevuuden menetelmät johtavat erilaisiin tuloksiin ja missä tilanteissa erot analyysimenetelmien väleillä ovat suurimpia?

Diplomityön tutkimus rajoittuu staattiseen kuormitukseen, jossa kuormitusker- tojen vaikutusta ei huomioida (ts. oletetaan kuormien kasvavan samaan suuntaan). Syklisen kuormituksen vaikutusta ei myöskään tarkastella tässä tutkimuksessa.

Tutkimus toteutettiin kahdessa osassa. Kirjallisuustutkimuksessa pyrittiin et- simään aiemmista tutkimuksista ja kansainvälisistä suunnittelustandardeista mahdollisia raja-arvoja kriittisen kuormakertoimen arvolle. Samalla näistä eh- doista pyrittiin tulkitsemaan niihin liittyviä rajoitteita. Luvussa 2 luonnehditaan yleisesti toisen kertaluvun vaikutusten jakautumista paikallisiin rakenneosata- solla näkyviin ilmiöihin ja rakennekokonaisuutta koskeviin vaikutuksiin. Luvussa 3 käsitellään sivusiirtyvyyteen liittyvää terminologiaa, kriittisen kuormakertoimen taustaa ja siihen kytkeytyviä likimenetelmiä. Kolmannessa luvussa nostetaan myös esille nykyisen ohjelmistopohjaisen mitoituksen ja yksinkertaisten mallien välinen ongelma kriittisen kuormakertoimen osalta. Luvussa 4 tarkastellaan kansainvälisistä standardeista sekä aiemmista tutkimuksista löydettyjä kriittisen kuormakertoimen arvoja. Luku 5 käsittelee materiaalimallien osuutta eurokoodi 2:n yleisen menetelmän soveltamisessa. Luku 6 selventää lukijalle eurokoodissa olevien kahden epälineaarisen menetelmän eroja.

Luku 7 käsittelee työn tapaustutkimukselle olennaisia tekijöitä liittyen hoikkien pilareiden yleisellä menetelmällä tapahtuvaan laskentaan. Kappaleessa tuo- daan esille, kuinka epälineaariset analyysimenetelmät suhtautuvat viimeisim- pien tutkimusten mukaan eurokoodin edellyttämään varmuustasoon. Luvun 7 lo- pussa diplomityön tapaustutkimuksen suorittamiseksi elementtimenetelmään perustuvan Dlubal RFEM -ohjelmiston lisäosan RF-CONCRETE Members toimintaa verrattiin hoikkien pilareiden koetuloksiin sekä Excel-taulukkolasken- taan ohjelmoidulla yleiseen menetelmään perustuvalla iteratiivisella laskennalla saatuihin tuloksiin.

Luvussa 8 käsitellään paikallavaletun pysäköintihallin laskentaa RFEM-ohjelmiston yleisellä menetelmällä. Tuloksista saatuja taivutusjäykkyysjakaumia ver- rataan RFEM-Stability-lisäosalla laskettuihin kehän kriittisen kuormakertoimen

(14)

arvoihin lineaarisen ja eurokoodi 2:n likiarvojäykkyyksiin perustuvan analyysin välillä. Luku 9 tiivistää tutkimuksen sisällön ja esittelee yhteenvetona diplomi- työn tutkimuksen tulokset kriittisen kuormakertoimen arvosta esimerkkikehän tapauksessa.

(15)

2 Epälineaarisuus rakenneanalyysissa

Epälineaarisuus rakenneanalyysissa jaetaan tyypillisesti geometriseen ja materi- aaliseen epälineaarisuuteen. Geometrista osuutta tarkastellaan tyypillisesti toisen kertaluvun vaikutusten avulla. Materiaalin todellinen epälineaarinen käyt- täytyminen riippuu epälineaarisen jännitys-venymäyhteyden ohella ajasta sekä teräsbetonin tapauksessa rakenteen halkeilusta. Viruman osuus tuo jännitys-ve- nymäyhteyteen aikariippuvuuden sekä muodonmuutosnopeuden.

Tasapaino- ja yhteensopivuusehdoilla tarkoitetaan poikkileikkaustasolla ve- nymien ja siirtymän välistä riippuvuutta. Siinä missä lineaarisessa tapauksessa kuvan 1 mukaisten käsitteiden väliset riippuvuudet voiman ja vastaavan siirty- mätilan sekä materiaalin vastetta kuvaavan konstitutiivisen yhteyden välillä ovat lineaarisia, epälineaarisessa analyysissa nämä ehdot muuttuvat. Geometrisen epälineaarisuuden osalta kinemaattisten suureiden, kuten venymän ja siirtymän, välinen yhteys on epälineaarinen, koska voimat riippuvat siirtymistä. Materiaali- sen epälineaarisuuden osalta konstitutiivinen yhteys sisältää todellisuudessa usein kimmokertoimen vaihtelun myötä kuvatun epälineaarisen ulottuvuuden.

Kuva 1. Peruskäsitteiden ja yhtälöiden väliset riippuvuudet.

Rakenneanalyysia laajennettaessa edellä kuvattujen yleisten yhteyksien kannalta ja analyysissa tehtävien yksinkertaistusten osalta epälineaarisuuden käsitettä on rajattava. Toisen kertaluvun vaikutusten osalta esimerkiksi geometrisiin epätark- kuuksiin voitaisiin ottaa huomioon niihin kohdistuvat toisen kertaluvun vaikutukset (Hellesland et al. 2013, s. 176), mutta tyypillisesti alkuepätarkkuus määri- tellään ensimmäisen kertaluvun voimasuureiden laskennan yhteydessä, jonka jälkeen syntyvästä siirtymätilasta lasketaan toisen kertaluvun rasitukset.

Materiaalisen epälineaarisuuden tarkastelussa rajoitukset liittyvät analyysi- menetelmän tapaan tarkastella teräsbetonin toimintaa. Konstitutiivisten yhtälöi- den kuvatessa materiaalin makroskooppista käyttäytymistä, ilmiötä lähestytään

(16)

usein tarkastelemalla erikseen materiaalin eri käyttäytymisen muotoja, kuten elastisen, plastisen, viskoelastisen, viskoplastisen tai vaurioituvan mallin mukai- silla formuloinneilla. Modernimmat kontinuumimekaniikan lähestymistavat perustuvat puolestaan hyvin funktionaalisiin konstitutiivisten yhteyksien formu- lointeihin ja periaatteisiin, jotka asettavat rajoituksia myös yhtälöiden muodoille.

(Kouhia 2013, s.11).

Betonin osalta eräs olennaisimmista ja samalla myös hankalimmin kuvatta- vista ominaisuuksista on betonin halkeilu. Jännitysvapaiden halkeamien kuvaaminen sekä halkeamien aukenemisen ja sulkeutumisen kuvaaminen rasitustilan muuttumisen myötä edellyttää usein kehittyneempien materiaalimallien hyödyn- tämistä, joissa halkeilun kuvaamiseksi mallin tulisi kuvata plastisen muodon- muutoksen ohella myös kuormituksen aikaansaamaa vauriota. Halkeilun kuvaaminen perustuu tyypillisesti kolmeen eri tapaan, joita Kouhian (2013, s. 10-11) mukaan ovat:

· Diskreetit halkeilumallit, jotka voidaan jakaa

o lineaariseen elastiseen murtumismekaniikkaan perustuviin tai o epälineaarisiin halkeilumalleihin, jotka perustuvat kuvitteelliseen

säröön tai epälineaariseen murtumismekaniikkaan.

· Tasoitetut halkeilumallit (engl. smeared crack models), jotka voidaan ja- kaao Suuntaansa muuttamattoman särön malleihin (engl. fixed crack

models)

o Kiertyvän särön malleihin (engl. rotating crack models)

· Jatkuvan vaurion malleihin (engl. continuum damage models).

2.1 Toisen kertaluvun vaikutusten teoriaa

Toisen kertaluvun vaikutukset perustuvat rakenteen sivusiirtymästä aiheutuvan momentin kasvuun. Lineaarisessa analyysissa siirtymätila arvioidaan geometriasta riippuvan alkuepätarkkuuden, kuten epäkeskisyyden tai alkukaarevuuden tuottamien momenttien ja ulkoisen kuormituksen avulla. Toisen kertaluvun analyysissa siirtymän ja kuorman yhteisvaikutus aiheuttaa toisen kertaluvun momentin. Toisen kertaluvun vaikutukset jaetaan mekaniikan kannalta kahteen ka- tegoriaan lokaaleihin, rakenneosan tasolla tarkasteltaviin vaikutuksiin sekä glo- baaleihin, rakennekokonaisuutta kuvaaviin vaikutuksiin (Bidoli 2019; MacGre- gor & Wight 2012, s. 458, 565).

Pystyrakenteissa toisen kertaluvun vaikutusten muutokset voimasuureisiin ja deformoituneeseen tilaan seuraavat liittyvien rakenteiden aiheuttamista kuormi- tuksista rakenteiden liitosalueilla. Liittyvien palkkien kuormat jakaantuvat sekä rakenteen geometriasta että materiaaliominaisuuksista johtuen eri suuruisina pystyrakenteille aiheuttaen vaakasuuntaisia siirtymiä. Kun näissä pystyrakenteissa vaikuttaa samaan aikaan pystykuorma, sen vaikutus vaakasuuntaisen

(17)

siirtymän kautta tuottaa lisämomenttia pystyrakenteelle. Erityisesti tämä tuottaa lisäkiertymää pystyrakenteen päissä niin pilarille kun liitoksesta riippuen myös liittyvälle rakenneosallekin.

2.2 Lokaalit vaikutukset

Toisen kertaluvun vaikutusten paikalliset eli lokaalit ilmiöt voidaan ymmärtää rakenneosan tasolla tapahtuvana tarkasteluna. Kuvassa 2 esitetyllä yhteisvaiku- tuskäyrällä on kuvattu erityyppisten pilareiden murtotapoja. Yksinkertaisessa ideaalitapauksessa pilarin pystykuorman ja momentin välistä suhdetta kuvaa katkoviivalla esitetty kuvaaja, jossa huomioon on otettu ainoastaan ensimmäisen kertaluvun vaikutukset. Lyhyeksi luokiteltavan pilarin kannalta todellinen pystykuorman ja momentin välinen vaste on usein lähestulkoon lineaarinen. Tällöin puristusmurron voidaan ajatella noudattavan likimain lineaarisesti kasvavaa käyrää A. Kun rakenneosan geometrinen ja materiaalinen epälineaarisuus otetaan huomioon analyysissa, kuvan 2 kuvaajien B ja C epälineaarinen vaste on nähtävissä selvemmin. Kuvaaja B kuvaa tyypillisesti jäykistettyä pilaria, jossa si- vusiirtymä on tuennasta johtuen rajatumpi. Murtotapa pilarilla on tällöin hauras poikkileikkauksen saavuttaessa ensin puristuskestävyyden arvon, mikä edellyt- tää myös suurempaa varmuustasoa murtotavan äkillisen luonteen vuoksi. Ku- vaaja C kuvaa puolestaan lokaalilla tasolla P-δ-vaikutusta selvimmin. Pystykuor- man kasvaessa alkuperäinen siirtymä δ₀ kasvaa arvon δ_averran, jolloin lopullinen siirtymä voidaan lausua yhtälön 2.1 kuvaamana summana

missä

δ₀ on alkuperäinen epäkeskisyyden arvo ja

δ_a on pystykuorman suuruudesta riippuva siirtymä.

Hoikaksi luokiteltavan pilarin kannalta epälineaarinen käyttäytyminen johtaa tilanteeseen, jossa asteittain kasvavan pystykuorman arvo saavuttaa kokonaissiir- tymän, jolla momentin ja pystykuorman osittaisderivaattojen suhde dp/dM on nolla, jolloin pilarin stabiiliuden luonne on indifferentti. Raja-arvon 0 jälkeen pystykuormaa pitäisi voida pienentää poikkileikkaukselta, joka ei yleensä ole käy- tössä mahdollista. Pystykuorman kasvaessa tämän arvon yli dp/dM muuttuu ne- gatiiviseksi, ja rakenneosan stabiliteetti on luonteeltaan labiili siirtymän kasvaessa edelleen kriittistä kuormaa suuremmilla pystykuorman arvoilla. Kuvan 2 käyrällä C rakenneosan murtotapa on stabiiliuden menetyksen vuoksi nurjahdus, eli kuormankantokyky menetetään ennen kuin poikkileikkauksen jännityskestä- vyys saavutetaan.

(18)

Kuva 2. Kuorma-momenttikuvaajia yhteisvaikutuskäyrällä (mukaillen Wight &

MacGregor 2012, s. 567).

2.3 Globaalit vaikutukset

Yksittäisten kerrosten pilareiden siirtymä kehärakenteessa kytkeytyy välittö- mästi myös koko kehärakenteen siirtymän suuruuteen. Sivusiirtyväksi luokitel- tavassa kehässä vaakasuuntainen siirtymä riippuu pystyrakenteen kyvystä ottaa vastaan vaakasuuntaisten kuormien momentteja ja siirtymiä. Kuvassa 3 on esitetty yksinkertaisen sivusiirtyvän kehärakenteen kuormitukset. Tasapainoehdon toteutumiseksi pilareiden ylä- ja alapäiden momenttien summan täytyy vastata vaakakuormaa vastaavaa momenttia V∙l ja pystykuormien sekä vaakasuuntaisen siirtymien suuruisten momenttien summaa ∑P∙Δ.

(19)

Kuva 3. Yksinkertainen sivusiirtyvä kehärakenne (mukaillen Wight & MacGregor 2012, s. 601).

Ideaalitilanteessa, jossa palkin aksiaalijäykkyys ei muutu, kehän pilarit siirtyvät sivusuunnassa siirtymän Δ verran. Todellisessa tilanteessa siirtymän Δ suuruus pilaria kohden on kehän suuntaisen palkin aksiaalijäykkyyden ohella riippuvai- nen pilareiden poikkileikkauksen massiivisuudesta ja laatan paksuudesta. Tästä johtuen sivusiirtyvän kehän pilareita ei voida tarkastella yksittäin, sillä pilarin toiminta osana kehärakenteen jäykistystä vaikuttaa kuormien jakautumisen kautta edelleen toisen kehäpilarin vaakasuuntaisen siirtymän Δ suuruuteen ja mitoittavien voimasuureiden kasvuun. Momentin kasvaminen sivusiirtymästä riippuen on täten keskeisin ero ensimmäisen ja toisen kertaluvun analyysin vä- lillä, joista ensiksi mainitussa tämä riippuvuus jätetään huomioimatta.

Epälineaarinen riippuvuus kuormituksen ja siirtymän välillä luo haasteita käytännön mitoituksessa arvioitaessa betonirakenteen jäykkyyttä. Sivusiirtyvän kehän stabiiliuden kannalta jäykkyys tulisi arvioida luotettavasti, sillä jäykkyyden yliarvioiminen todellisuutta suuremmaksi voi johtaa kehärakenteen stabiiliuden kannalta vaakasuuntaisen siirtymän kasvamiseen rajatta, joka tarkoittaa kehä- rakenteen sortumista. Teräsbetonikehässä tämä voidaan käsittää taivutusjäyk- kyyden vähenemisenä, johon vaikuttavat mm. viruma, kutistuma ja halkeilu. Eri- tyisesti viruman ajasta riippuva vaikutus luo jäykkyyteen epälineaarisen ulottuvuuden, joka usein otetaan huomioon yksinkertaistetusti tehollisen virumaluvun avulla. Tällöin betonin materiaalista epälineaarisuutta kuvataan skaalaamalla jännitys-muodonmuotosyhteyttä kuvan 4 mukaisesti. Viruma vaikuttaa rakenneosien muodonmuutoksiin lähinnä pysyvien kuormien kautta, kun taas muuttu- vien kuormien osuus on hyvin usein lyhytaikainen, jolloin viruman merkitys ly- hytkestoisille kuormille jää usein vähäiseksi. Näin ollen kimmokertoimen valinta eri kuormitusyhdistelmille edellyttää tilannekohtaista arviointia.

(20)

Kuva 4. Viruman vaikutus jännitys-venymäkäyrään (Westerberg 2008, s. 2).

(21)

3 Sivusiirtyvien kehien luokittelu 3.1 Sivusiirtyvyyden taustaa

Kehärakennetta pidetään sivusiirtyvänä, kun kehän siirtymät vaikuttavat merkit- tävästi pystyrakenteiden kuormituksiin. Päinvastaisessa tapauksessa kehä luoki- tellaan sivusiirtymättömäksi ja siirtymien vaikutus pystykuormiin voidaan jättää rakenneanalyysissa huomioimatta. (Leskelä 2008, s. 114). Rakenteen jäykistyk- sen kannalta rajanveto sivusiirtyvän ja sivusiirtymättömän välille liittyy vaakasuuntaisen stabiiliuden tasoon. Kehä voidaan katsoa jäykistetyksi, kun sen jäy- kistysjärjestelmän osat kykenevät ottamaan vastaan kaikki vaakakuorman vaikutukset (Hellesland et al. 2013, s. 115). Leskelän (2008, s. 114) mukaan tällainen ehto voidaan katsoa toteutuneeksi, kun jäykistysrakenteet ovat tarpeeksi sym- metrisesti sijoiteltuna ja lineaarisen tarkastelun perusteella jäykistysrakenteet välittävät perustuksille vaakakuorman, jonka suuruus on vähintään 90 % koko rakennukseen kohdistuvien vaakakuormien suuruudesta. Samalla jäykistysra- kenteiden tulisi säilyä halkeilemattomana käyttörajatilassa vaakakuormien ja niitä vastaavien pystykuormien vaikuttaessa rakenteessa. Käyttörajatilamitoituk- sessa tämä edellyttää, että rakenteen siirtymät rajataan niin rakenneosakohtai- sesti kuin rakennekokonaisuuden kannalta sellaiselle tasolle, jossa ne eivät hei- kennä rakenteen toimintaa ja säilyvyyttä.

Toisen kertaluvun vaikutusten yhteydessä sivusiirtyneen rakenteen siirtymien tulee olla sellaiset, ettei rakenteen tasapainotila ja rakenneosien kestävyys vaa- rannu (SFS-EN 1992-1-1, s. 66). Rakenteiden laskentamenetelmissä geometri- sesti epälineaarisessa toisen kertaluvun analyysissa teräsbetonirakenteiden hal- keilua huomioidaan tyypillisesti käyttämällä redusointikertoimia, joilla epäline- aarista toimintaa pyritään kuvaamaan käyttämällä lineaarisesti pienennettyjä jäykkyysarvoja. Tässä yhteydessä vähennyskerroin muodostetaan suoraan haljenneen ja halkeamattoman betonipoikkileikkauksen välisestä suhteesta. Tyypil- lisesti laskennassa hyödynnettävän redusointikertoimen arvo k tulee muodostaa betoniteräkset huomioivan, halkeilleen betonipoikkileikkauksen ja halkeilemattoman betonin bruttopoikkileikkauksen suhteesta, jotta vähennys laskennassa muodostetaan oikeassa suhteessa. (Väyrynen 2019, s. 99).

3.2 Pilarit sivusiirtyvissä kehissä

Sivusiirtyvien kehien pilareita voidaan luokitella kahteen eri luokkaan. Ensim- mäinen näistä on ns. sivusuunnassa tukevat (jäykistävät) sivusiirtyvät pilarit (engl. supporting (bracing) sway columns), jotka ottavat vastaan rakenteelle koh- distuvia vaakasuuntaisia kuormia (leikkausvoimia) sekä sivusuunnassa tuetta- viin (jäykistettäviin) pilareihin (engl. supported (braced) sway columns) (Hel- lesland 2019). Sivusiirtyväksi luokiteltava kehärakenne saattaa sisältää tällöin pilareita, jotka jäykempinä toimivat kehässä jäykistävänä rakenneosana niille

(22)

pilareille, joiden jäykkyys on pienempi ja jotka siirtyvät enemmän. Tämän kyt- kennän myötä rakenteella on sivusiirtyvänä kykyä vastustaa vaakasuuntaisten voimien aiheuttamaan kehän kokonaisvakavuutta. (Hellesland et al. 2013, s. 115).

3.3 Pilareiden analyysimenetelmät eurokoodi 2:ssa

Eurokoodi 2:ssa esitetään kaksi yksinkertaistettua menetelmää pilareiden laskentaa varten, jotka ovat nimellisen jäykkyyden ja nimellisen kaarevuuden me- netelmä. Yksinkertaistetuille menetelmille ominaista on betonin epälineaaristen materiaaliominaisuuksien sekä taivutuksesta johtuvan taivutusmomentin ap- proksimoiminen tavalla (Hakola 2014, s. 33), joka tuottaa varmalla puolella olevia tuloksia epälineaarisiin analyysimenetelmiin nähden. Näillä menetelmillä lineaarisen laskennan perusteella saatuja voimasuureita korotetaan vastaamaan toisen kertaluvun vaikutuksia, kun pilarin hoikkuus ylittää rajahoikkuuden. Yk- sinkertaistettujen menetelmien osalta tulee kuitenkin huomioida, että rakenne- kokonaisuuteen liittyvän mitoituksen osalta menetelmiin sisällytettävien oletuk- sien ja yksinkertaistuksien osalta mitoittamisessa voi esiintyä tilanteita, joissa tulosten arvioimiseksi mitoitus on suoritettava tarkempien menetelmien avulla, jotta varmuustasosta voisi saada käsityksen. Yksinkertaistettujen menetelmien osalta menetelmäkuvausta ei esitetä tässä diplomityössä yksityiskohtaisesti, vaan pyrkimyksenä on havainnollistaa näistä analyysitavoista keskeisimpiä kehien mitoitukseen liittyviä parametreja, joita on yksinkertaistettu epälineaarisesta analyysista. Lukija voi tutustua niin pilareiden sekä yleisemminkin pystyrakenteiden edellä mainittuihin mitoitusmenetelmiin eurokoodi 2:n ohella myös analyysita- poja käsittelevien oppikirjojen (Leskelä 2008, Nykyri 2015) sekä diplomitöiden (Hakola 2014) avulla.

3.3.1 Nimellisen jäykkyyden menetelmä

Toinen eurokoodin yksinkertaistetuista menettelytavoista on eurokoodi 2:n luvussa 5.8.7 esitetty nimellisen jäykkyyden menetelmä. Tällöin taivutusjäykkyy- den EI arvo arvioidaan yhtälön 3.1 avulla

( ) missä EI on pilarin taivutusjäykkyys, E^cdon kimmokertoimen mitoitusarvo standardin kohdan 5.8.6 (3) mukaan, K^c on betonin halkeilun ja virumisen huomioiva kerroin, I^c on betonipoikkileikkauksen jäyhyysmomentti, K^s on raudoituksen vai- kutuksen kerroin, E^s on raudoituksen kimmokerroin, ja I^s on raudoituksen jäyhyysmomentti betonipoikkileikkauksen painopisteen suhteen.

Kertoimien osalta betoniteräkselle hyödynnetään usein arvoa K^s=1, mutta betonin osalta kertoimen K^c arvon määrittämiseen tarvitaan tieto raudoituksesta ja pilarin hoikkuudesta. Kertoimen K^c arvo määräytyy yhteydestä K^c=k¹ k²/(1+φ_eff), jossa kertoimen k¹ suuruus riippuu betoninpuristuslujuudesta ja k²suhteellisesta

(23)

normaalivoimasta. Viruman osuus näkyy analyysissa tällöin tehollisen virumaluvun kautta.

Eurokoodi 2:n mukaan vierekkäisten pilareiden halkeilun epäedullisten vaikutusten kuvaamiseen nimellisen jäykkyyden standardissa kuvattujen kaavojen parametrit eivät itsessään välttämättä riitä. Pilarin mitoittamiseen tarvittava tehollinen pituus riippuu kiinnitysasteiden ohella myös jäykkyysarvosta. Tällöin kehän tapauksessa eurokoodissa kuvattu kehien pilareiden hoikkuusehto mää- räytyy tehollisesta pituudesta, jonka määrittämisessä huomioidaan sauvojen päi- den kiertymäjoustavuuksien arvot sekä edustava, halkeilun ja viruman huomioiva taivutusjäykkyys. Sivusiirtyvän kehän tapauksessa menetelmällä lasketta- vien päätemomenttien osalta momentit eivät kuitenkaan ole riittäviä mitoituksen kannalta, ja analyysia tulee laajentaa ottamalla huomioon kehän kokonaistoi- minta muilla menettelytavoilla. Eräs tapa tähän liittyen on käsitelty eurokoodi 2:n liitteessä H, johon viitataan tarkemmin tämän työn kappaleessa 4.5.

3.4 Kriittinen kuormakerroin osana sivusiirtyvän systeemin herkkyyden arviointia

Stabiilisuusteorian kannalta siirtymän huomioiminen johtaa rakenneosan aksiaalisen kuorman kantokyvyn vähenemiseen. Kriittisellä kuormakertoimella tarkoitetaan kriittisen nurjahduskuorman P^cr ja ideaalitilannetta kuvaavan Eulerin elastisen nurjahduskuorman P^E välistä suhdetta. Kriittisen nurjahduskuorman määrittäminen perustuu ominaisarvoanalyysiin, jossa rakenteen tasapainoeh- doista laaditun yhtälöryhmän kerroinmatriisin determinantin nollakohdasta saa- tava pienin ominaisarvo vastaa pienintä nurjahduskuormaa. Staattisen kuormituksen tapauksessa menetelmätavat voivat olla luonteeltaan muun muassa tasa- painomenetelmään, energiamenetelmään tai epäkeskisyysmenetelmään perus- tuvia.

Stabiilisuusteoriassa vallitsevan kuorman ja kriittisen kuorman vaikutusta rakenteen stabiiliuteen kuvataan usein tasapainopolkujen avulla. Kuvassa 5 on ha- vainnollistettu, kuinka sinimuotoisen vaakakuorman aikaansaama siirtymä muuttaa todellisen rakenteen toimintaa alkuepätarkkuuden vuoksi. Mitä suuremmaksi vasemmanpuoleisessa kuvassa alkuepätarkkuutta kuvaava suhteelli- nen vaakavoima kasvaa, sitä nopeammin vaakasuuntainen siirtymä kasvaa asymptoottisesti kohti ääretöntä.

(24)

Kuva 5. Ideaalisen ja todellisen nurjahduskuorman suhdetta kuvaavat käyrät (Ba- zant & Cedolin 2010, s.22).

Kriittinen kuormakerroin α_cr esitetään usein vallitsevan kuorman ja elastisen nurjahduskuorman suhteena yhtälössä 3.2

( ) missä

P^cr on kriittinen nurjahduskuorma ja

P on rakenneosalle kohdistuva aksiaalinen kuorma.

3.4.1 Momenttien suurennusmenetelmä

Usein suunnittelunormien toisen kertaluvun vaikutuksia kuvataan yksinkertaistettujen kriteereiden avulla. Yksi näistä on niin kutsuttu momenttien suurennus- menetelmä (engl. moment magnification procedure). Menettelytavassa ensim- mäisen kertaluvun analyysista saadut rasitukset kerrotaan suurennuskertoimilla, joihin on sisällytetty toisen kertaluvun vaikutukset.

(25)

Kuva 6. Ekvivalentin momentin suurennuskerroin sauvalle, jolla eri suuret pääte- momenttien arvot (Bazant & Cedolin 2010, s. 28).

Kuvassa 6 on esitetty päätemomenttien kertoimien arvoja päätemomenttien vä- lisen suhteen funktiona eri kriittisen kuormakertoimen arvoille. Näitä arvoja on kuvattu seuraavalla yhtälöllä 3.3

( )

missä

C^m on kerroin, joka ottaa huomioon päätemomenttien jakautumisen sauvan päi- den välillä,

M¹ on sauvan yläpäähän kohdistuva taivutusmomentti ja M² on sauvan alapäähän kohdistuva taivutusmomentti.

Tämä päätemomenttien kertoimien käyttäminen momenttien jakaantumiselle on esitetty sekä ACI 318-19:n mukaisille (s. 82–83) sivusiirtymättömille kehille, kuin myös EC2:n kohdassa 5.8.8.2 (s. 71). Raja suuremmalle arvolle kuin 0,4 ku- vastaa tilannetta, jossa alkuperäinen samaan suuntaan vaikuttava kaksoiskaare- vuus palautuu yhteen suuntaan vaikuttavaksi kaarevuudeksi ja tätä kaarevuutta vastaavaa kriittisen nurjahduskuorman arvoa. Tämän vuoksi suurennuskertoimiin perustuva menetelmä ei approksimoi tilannetta kovin hyvin. Niissä tilanteissa, joissa ensimmäisen kertaluvun momentit aiheutuvat puhtaasti vaaka- suuntaisesta voimasta, kertoimeksi C^m suositellaan arvoa 1. (Bazant & Cedolin 2010, s. 28-29). Samalla yhtälön käyttöä on rajattu yksinkertaisten jäykkien

(26)

kehien pilareiden analysoimiseksi (Bazant & Cedolin 2010, s. 28-29; Westerberg 2002, s.43) sekä rakenteille, joissa jäykistävät rakenteet ovat leikkausseiniä, joihin ei kohdistu suuria globaaleja leikkausmuodonmuutoksia (Westerberg 2002, s. 43).

3.5 Yksinkertaisten mallien rajoitukset

Sivusiirtyviksi ja sivusiirtymättömäksi luokiteltavia kehiä koskevissa aiemmassa tutkimuksessa on esitetty myös väittämiä 2D-mallien toimivuudesta pilareiden ja kehän mitoituksessa. Aristizabal-Ochoan (2003, s. 1267; 2009, s. 1430) mukaan nykyisissä normeissa pilareita jaotellaan kaksiulotteisten mallien perusteella ja niiden mitoitusehdot perustuvat kolmiulotteisten kehien osalta kaksiulotteisten mallien nurjahduksen tarkastamiseen. Nämä yksinkertaistetut ehdot eivät vält- tämättä huomioi kolmiulotteisen rakenteen toimintaa, mikä saattaa altistaa kehien suunnittelun perustumisen epäkonservatiivisille nurjahduskuormien arvoille. Aristizabal-Ochoan mukaan kolmiulotteisten kehien osalta sivusiirtymän ja väännön yhteisvaikutuksen tarkastelemiseen tulisi kiinnittää nykyistä enem- män huomiota, sillä kolmiulotteisen kehän nurjahduskuormat saattavat olla huomattavasti kaksiulotteisten kehämallien nurjahduskuormia pienempiä. Täysin jäykistetyn säännöllisen kolmiulotteisen kehän, joka ei ole sivusiirtyvä tai kierry tasonsa ympäri, voidaan todeta menettävän vakautensa yksittäisen pilarin nurjahduksen kautta. Sivusiirtyvyyden ollessa huomattava nurjahdus kolmiulottei- selle kehälle tapahtuu usein nurjahdusmuodolla, joka on yhdistelmä taivutuksesta ja väännöstä. Aristizabal-Ochoan tutkimuksessa esitellyissä kolmiulotteisten kehien tarkasteluissa (2003, s. 1259-1261) säännöllisellä suorakulmaisella 3D-kehällä väännön osuus on pienempi ja nurjahdusmuoto mukailee enemmän sivusuunnassa tapahtuvaa nurjahdusta. Vastaavasti tapauksessa, jossa kehässä on asymmetriaa geometrian tai kuormien suhteen, nurjahdusmuoto on usein kuorman intensiteetistä, kiinnitysasteista ja pilareiden pääakseleiden orientaati- osta riippumatta pitkälti väännön hallitsema sisältäen myös taivutusta. (Aristiza- bal-Ochoa, 2003, s. 1262-1265).

Tutkimukseen liittyvä mielenkiintoinen havainto on kriittisen kuormakertoimen sisällyttäminen tarkasteltujen kehien SAP2000-ohjelmistolla toteutettuun numeeriseen laskentaan sekä Aristizabal-Ochoan laatimiin analyyttisiin yhteyk- siin. Analyyttiset kaavat rajoittuvat kolmiulotteisen kehän tapauksessa oletuk- seen, jossa niin tasojen liittymä pilareihin kuin myös pilareiden alapään liittymä perustuksiin on jäykkä. Analyyttisista yhteyksistä lasketut kriittisen kuormakertoimen arvot vastaavat tosin suurella tarkkuudella ohjelmistolla laskettuja, ja kuormakertoimen vaihteluväli on ohjelmistolla likimain 3,3-7,6. Tämän tutkimuksen kannalta edellä mainitun kriittisen kuormakertoimen arvon soveltami- sen hankalaksi tekee sen keskittyminen erityisesti I-profiilin muotoisten teräs- pilareiden muodostamiin kehiin, jolloin materiaalisen epälineaarisuuden osuu- den tulkinta kuormakertoimen suuruudessa ei ole teräsbetonista valmistettuun kehärakenteeseen nähden suoraan vertailtavissa. Toisaalta tutkimuksessa

(27)

osoitetaan, ettei kaksiulotteisten mallien nurjahduskuormat ylipäätään ole kon- servatiivisia kolmiulotteisiin malleihin nähden tilanteissa, joissa joko tason geo- metria tai kuormitusten intensiteetti pilaria kohden vaihtelee.

(28)

4 Sivusiirtyvyyden tarkastelu suunnittelunormeissa

Tässä luvussa kuvataan, miten sivusiirtyvyyttä ja siihen liittyviä parametreja on tarkasteltu mm. yhdysvaltalaisessa ACI 318- sekä brasilialaisessa NBR 6118 - suunnittelustandardeissa ja käsitelty eurokoodi 2:n menettelytapoja huomioida toisen kertaluvun vaikutukset rakennekokonaisuudessa.

Eurokoodi 2:n kohdassa 5.8.7 mahdollistetaan myös lineaarisen toisen kertaluvun analyysin käyttäminen. Tällöin vaikutuksia arvioidaan hyödyntämällä jäykkyyden pienentämistä ottaen huomioon halkeilu, viruma ja materiaalin epä- lineaarisuus yksinkertaistetusti. Eurokoodi 2:n osalta hyödynnettäessä yksinker- taistettuja menetelmiä kehärakenteiden mitoituksen yhteydessä mitoitusmo- menttien muodostamiseksi analyysitapaa on kuitenkin laajennettava sisällyttä- mällä laskentaan kehän siirtymätilan vaikutus, jotta nk. toisen kertaluvun vaikutukset sisällytetään laskentaan riittävällä tarkkuudella. Yksinkertaistettua tapaa eurokoodi 2:n liitteen H osalta on avattu tämän luvun alaluvussa 4.5.

4.1 ACI 318

Teräsbetonikehien sivusiirtyvyyden vaikutusten arvioimiseksi hyödynnettäessä geometrista epälineaarisuutta rakenneanalyysissa yhdysvaltalaisessa ACI 318:ssa esitetään ylärajakriteeriksi toisen kertaluvun ja ensimmäisen kertaluvun momenttien suhdetta. Normissa momenttien suhteen raja-arvoksi on asetettu 1,4, eli maksimimomentti jossa on huomioitu toisen kertaluvun vaikutukset, ei saa ylittää 40 % vastaavasta lineaarisen analyysin mukaisesta ensimmäisen kertaluvun momentista. Suunnittelustandardin kommenteissa on taustoitettu lyhyesti MacGregorin ja Hagen (1977) tekemän tutkimuksen tulosta, jonka mukaan epästabiilius kasvaa toisen ja ensimmäisen kertaluvun momentin välisen suhteen ollessa noin 1,25. (ACI 318-19, s. 70). Raja-arvo perustuu kerroskohtaiseen stabiliteetti-indeksiin Q, joka voidaan esittää yhtälön 4.1 avulla muodossa

∑ ∙ ∆

∙ ( )

missä ∑Pû ja Vûs ovat suurennettujen pystykuorman ja vaakasuuntaisen kerros- kohtaisen leikkausvoiman arvo, ja ∆₀ vastaa ensimmäisen kertaluvun suhteellista vaakasuuntaista siirtymää kerroskorkeuden pituudella kuorman Vûs suuntaan.

(ACI 318-19, s. 79). MacGregor ja Hage osoittivat vuonna 1977, että stabiliteetin menettämisen todennäköisyys kasvaa voimakkaasti muuttujan Q ylittäessä arvon 0,2, joka vastaa toisen ja ensimmäisen kertaluvun momenttien suhteen arvoa 1,25. Arvon 1,4 valinta perustuu ACI 318:n kommenttiosion mukaan konsensuk- seen yhdysvaltalaisen ASCE:n mukaan teräsrakenteille johdettuun vastaavan kal- taisen indeksin arvoon 0,25, josta toisen ja ensimmäisen kertaluvun momenttien suhteen arvoksi saadaan 1,33. (ACI 318-19, s. 70).

(29)

Kriittisen kuormakertoimen ja momenttien välisen suhteen arvolle on johdet- tavissa yhteys vaakavoimien suurennusmenetelmään perustuvasta yhtälöstä (Vieira et al. 2017). Tämä voidaan esittää yhtälön 4.2 avulla muodossa

(λ )

−λ

( )

missä

f(λ_cr) on toisen kertaluvun vaikutusten suhde ensimmäisen kertaluvun vaikutuksiin ja

λ_cr on kriittinen kuormakerroin.

Yhtälöä 4.2 esitetään useasti myös muodossa, jossa osoittaja sekä nimittäjä on lavennettu kriittisellä kuormakertoimella. Suhde voidaan esittää kriittisen kuormakertoimen osalta myös yhtälön 4.3 avulla muodossa

(λ ) λ

λ − ( )

tai vallitsevan kuorman P ja kriittisen kuorman P^cr funkiona yhtälön 4.4 avulla muodossa

(λ) λ ∙

λ ∙ − − ( )

Kun yhtälö 4.2 ratkaistaan kriittisen kuormakertoimen λ suhteen, toisen kertaluvun vaikutuksia kuvaavan suhteen avulla voidaan esittää kriittiselle kuormakertoimelle kuvattu raja-arvo yhtälön 4.5 avulla

λ

− (λ )

( )

Yhtälön 4.5 perusteella ACI 318:n raja-arvo kriittiselle kuormakertoimelle on edellä mainitun suhteen 1,4 perusteella 3,5. Vastaavasti suunnittelustandardin kommenteissa mainittu, MacGregorin ja Hagen (1977) tutkimustuloksen raja- arvo 1,25 tuottaa kriittisen kuormakertoimen arvoksi 5. Edellä mainitut arvot ovat olleet yksi tutkimuskysymysten lähtökohta, joiden tausta on juuri ACI 318:n kuvaaman ensimmäisen ja toisen kertaluvun vaikutusten suhteessa.

Teräsbetonirakenteen kannalta suunnittelustandardissa esitettyä konsensusta arvosta 3,5 tulisi kenties kyseenalaistaa, sillä teräs ja teräsbetoni ovat muodon- muutosalueiltaan erilaisia. Samalla teräsbetoni materiaalina sisältää teräkseen nähden huomattavasti enemmän epävarmuuksia, jolloin teräsbetonisten

(30)

rakenteiden osalta konservatiivisempi oletus olisi käyttää suurempaa kriittisen kuormakertoimen arvoa.

4.2 NBR 6118 ja kriittinen kuormakerroin kehän stabiliteetin ar- vioinnissa

Brasilialaisen normin NBR 6118 osalta rakenteille on annettu sen kumotussa ver- siossa vuodelta 1980 kriittisen kuormakertoimen enimmäisarvo. Kriittisen kuorman tuli olla vähintään kolminkertainen ominaiskuormaan nähden, josta kaavan 4.4 avulla suhteeksi saadaan 1,5. Nykyiseen brasilialaiseen normiin soveltuvia arvoja on pyritty johtamaan Vieira et al. (2017) tutkimuksessa vastaavalla tavalla kuin MacGregorin ja Hagenin esittämän epästabiiliutta kuvaavan vallitsevan kuorman ja kriittisen kuorman välisestä suhteesta. Vieira et al. (2017) hyödynsi rajojen määrittämiseen likiarvoisia taivutusjäykkyyden arvoja voimassa olevan NBR 6118 -suunnittelustandardin mukaan ja pyrkimällä kuvaamaan epälineaari- suuden vaikutusta kriittiseen kuormakertoimeen tällä tavoin. Brasilian suunnittelustandardin mukaisten taivutusjäykkyyden oletusten perusteella vastaavan kriittisen kuormakertoimen arvo λcr voidaan luokitella kehärakenteelle seuraavasti:

· λ_cr > 11à Ensimmäisen kertaluvun analyysi on riittävä

· 4,33 < λ_cr < 11à Edellyttää toisen kertaluvun analyysia

· λcr < 4,33à Sortuman todennäköisyys kasvaa

Tässä yhteydessä arvosta 4,33 voidaan johtaa yhtälön 4.2 avulla toisen kertaluvun ja ensimmäisen kertaluvun analyysin vaikutusten väliseksi suhteeksi 1,3.

Vieira et al. (2017) tutkimuksessa todettiin, että likimääräisten jäykkyyksien osalta tutkimuksessa kriittisen kuormakertoimen rajoja ei huomioitu rakenneosien rajatilamitoituksen kannalta. Tässä mielessä likiarvoisella taivutusjäykkyy- dellä voitaisiin saavuttaa tilanteita, joissa rajatilamitoituksen kannalta rakenneosien detaljointiin liittyvät säännöt ja kriteerit eivät välttämättä täyty joko mur- torajatilamitoituksessa tai käyttörajatilamitoituksessa. Kyseisen tutkimuksen kannalta tätä voidaan pitää hienoisena heikkoutena, ja tarkasteluita tulisi koh- dentaa tulosten vertailemiseksi rakennekokonaisuuksille, joissa ehdot rajatilamitoituksessa täyttyvät hyväksyttävin kriteerein.

Toinen, olennaisempi huomio kriittisen kuormakertoimen ja toisen kertaluvun vaikutusten väliseen suhteeseen liittyi analysoitujen rakennusten osalta ha- vaintoon, jossa kriittisen kuormakertoimen ja toisen kertaluvun vaikutuksille muodostetun suhteen voitiin katsoa olevan pätevä, kun nurjahdus tapahtui rakennekokonaisuuden osalta jommassakummassa pääsuunnassa. Tutkimuksessa havaittiin, että erään numeerisesti analysoidun esimerkkirakennuksen osalta alin nurjahdusmuoto oli väännön hallitsema. Kyseiselle rakennukselle tehdyssä jat- kotarkastelussa toisen kertaluvun vaikutusten enimmäissuhteeksi asetettiin

(31)

kumotun NBR 6118:n mukainen arvo 1,3, joka saavutettiin vähentämällä laskennassa käytettyä kimmokertoimen arvoa. Kyseiselle suhteelle SAP2000-ohjelmistolla laskettu kriittinen kuormakerroin saavutti arvon 2,47, joka alittaa kaavalla 4.5 saatavan raja-arvon 3, mikäli vaikutusten suhde olisi ollut 1,5. Vieira et al.

(2017) mukaan tätä voidaan pitää osoituksena, että kriittisen kuormakertoimen tarkastelu tilanteissa, joissa vääntönurjahdus on hallitseva nurjahdusmuoto stabiiliuden menettämisen kannalta, voi tuottaa epävarmalla puolella olevia tuloksia.

4.3 Rakennekokonaisuuden toisen kertaluvun vaikutukset eu- rokoodi 2:n mukaan

Eurokoodi 2:ssa toisen kertaluvun vaikutusten huomioimiseksi esitetään kriteeri, jonka mukaan toisen kertaluvun vaikutukset on huomioitava analyysissa, mikäli niiden vaikutus on yli 10 %. Rakennekokonaisuuden kannalta eurokoodi 2:ssa on kuvattu myös käytännöllisempi kriteeri, jolla voidaan tarkastella tarvetta toisen kertaluvun vaikutuksille. (Beeby & Narayanan 2005, s. 123). Rakennekokonai- suuteen vaikuttavat globaalit vaikutukset voidaan jättää SFS-EN 1992-1-1 (s. 66- 67) mukaan huomioimatta, mikäli epäyhtälön 4.6 mukainen ehto rakennukseen kohdistuvasta pystykuormasta F^v,Ed toteutuu

≤ ∙ ∙∑ ∙

( ) missä F^V,Ed on (jäykistettyihin ja jäykistäviin sauvoihin vaikuttava) pystysuuntainen kokonaiskuorma, n^s on kerrosten lukumäärä, L on momenttijäykistyksen yläpuolisen rakennuksen kokonaiskorkeus, E^cdon kimmokertoimen mitoitusarvo standardin kohdan 5.8.6 (3) mukaan ja I^c on jäykistävien sauvojen jäyhyysmo- mentti (laskettuna halkeilemattoman betonipoikkileikkauksen perusteella). Ker- toimen k¹ suositusarvoksi eurokoodi 2:ssa on annettu lukuarvo 0,31.

Standardissa epäyhtälön 4.6 mukaisen tarkastelun käyttämiselle on asetettu lisäehtoja, joiden on täytyttävä. Eurokoodi 2:n mukaan edellä kuvatun epäyhtä- lön 4.6 käyttöä voidaan hyödyntää rakennekokonaisuudelle, jossa vääntönurjah- dus ei voi olla määräävä nurjahdusmuoto. Tällöin epäyhtälön 4.6 käyttämisen asettavat haasteelliseksi muun muassa luvussa 3.5 käsitellyn tutkimuksen esille tuomat rajoitukset, joiden mukaan nurjahdusmuodot voivat muuttua taivutuk- sen sijaan väännön dominoimiksi, kun huomioidaan kuormien intensiteetin, eli suuruuden vaikutus yhdistettynä vaikutuspinta-alaan, tai rakenteen asymmetri- sen geometrian vaikutus.

Toinen oletus leikkausmuodonmuutosten pienestä osuudesta rakennekokonaisuudessa (SFS-EN 1992-1-1, s. 67) on haasteellinen sen vuoksi, että kehä- rakenteen kantaessa sekä pysty- että vaakasuuntaisia kuormia, on kehäjäykistei- nen runko itsessään laajasti aukkoja sisältävä rakennejärjestelmä. Tämä

(32)

edellyttäisi jäykistysjärjestelmän laatimista siten, että kehäjäykisteistä runkoa tu- ettaisiin esimerkiksi seinärakenteiden avulla.

Muita standardissa mainittuja ehtoja ovat vaatimukset jäykistyssauvojen liit- tymäkohtien jäykästä kiinnityksestä, jonka vuoksi kiertymät olisivat käytännössä lähes olemattomia. Samaten jäykistävien sauvojen jäykkyys olisi analyysin perusteella oltava koko pituudeltaan likimain vakio, eikä rakennuksen pystykuormassa sallittaisi merkittäviä kerroskohtaisia eroja. (SFS-EN 1992-1-1, s. 67). Viimeksi mainitun ajatuksen osalta kuorman intensiteetin vaikutusta on sinänsä sivuttu standardissa, mutta toisaalta tilanteessa, jossa analyysi edellyttää epäyhtälön 4.6 käytöstä poikkeavaa lähestymistapaa, ei eurokoodi 2:ssa ole esitetty selkeää pa- rametria, johon rakennekokonaisuutta voisi verrata stabiiliuden kannalta.

4.4 Hoikkuuden määrittelytavat standardeissa

Toisen kertaluvun vaikutusten huomioimiseksi hoikkuus on eräs yksinkertaistetuista kriteereistä, jonka nojalla on mahdollista päätellä, voidaanko toisen kertaluvun vaikutukset jättää rakenneosan tarkastelussa huomioimatta. Samalla eri standardien väliset raja-arvot hoikkuudelle eivät ole suoraan vertailukelpoisia keskenään. Eroja voidaan havaita muun muassa joko tavoista käsitellä virumaa tai siinä, kohdistuuko varmuuden huomioiminen mitoittavan kuorman kasvatta- miseen vaiko kapasiteetin vähentämiseen. Jälkimmäiseen ehtoon vaikuttaa myös itse varmuuden mittaluokan kasvattaminen materiaalitasolla. Hellesland (2005) kuvaa tutkimuksessaan toisen kertaluvun vaikutusten kuvaamiseen tarkoitettu- jen yksinkertaistettujen menetelmien hoikkuuden ehtoja sovellettavan usein eri tavoin standardien välillä. Toisen kertaluvun vaikutuksia, joita ei voida jättää huomiotta, on usein sisällytetty standardien menetelmiin joko kuorman vaihtelun sallitun ylityksen tai kapasiteetin vähentämisen muodossa. ACI 318:ssa momentin suurennuskertoimien osalta tyypillinen menettely on perustunut hoikkuudesta johtuvan momentin arvon 5 %:n kasvulle. Vastaavasti eurokoodi 2:n edeltävässä standardissa ENV-1992-1-1 on sovellettu mitoitusmomentin kasvat- tamista 10 %:lla ja nykyisen eurokoodi 2:n standardiluonnoksessa prEN-1992-1- 1 momenttikapasiteetin pienennystä 10 %:lla. (Hellesland 2005, s. 12).

Helleslandin (2005) tutkimuksessa esitetyissä menettelytavoissa on pyritty kuvaamaan standardien hoikkuutta määrittäviä tarkastelutapoja ja keskinäistä konservatiivisuutta. Kuvan 7 sisältämässä kuvaajassa on esitetty hoikkuuden muodostamiseen vaihtelevia lähestymistapoja, jotka on laskettu hyödyntäen momentin suurennuskertoimiin perustuvaa menettelyä kapasiteettikäyrältä saa- duilla lähtöarvoilla. Kuvan 7 ehdot voidaan määritellä seuraavasti:

(33)

a) 5 %:n vähennys momenttikapasiteetista aksiaalista yhteisvaikutuskäyrän mukaista nimelliskuormitusta P^u kohden

b) 5 %:n vähennys aksiaalisen kuorman kapasiteetista (ja momenttikapasiteetista) lisättyä aksiaalisen kuorman epäkeskisyyden vakiosuuruista arvoa kohden (e² = M²/P^u)

c) 5 %:n vähennys aksiaalisen kuorman kapasiteetista lisättyä vakiosuuruista momenttia kohden.

Kuvan 7 käyrät voidaan muodostaa kaavasta 4.7

− ( )

missä

δ = M^c/ M², mitoitusmomentin M^c ja momentin M² välinen suhde, C^m = 0,6+0,4M¹/M², kuten yhtälössä 3.2,

P^u on kestävyyskäyrän mukainen nimelliskuormituksen suurin arvo, P = P^u/Φ, aksiaalisen nimelliskuormituksen rajoitettu arvo,

Φ= kerroin, jolla rajoitetaan betonin puristuslujuuden ominaisarvoa (riippuen standardista) ja

EI on pilarin taivutusjäykkyys.

Kuva 7. Hoikkuuden approksimoituja arvoja 5 % kapasiteetin vähennyksellä (mukaillen Hellesland 2005).

(34)

Kuvassa 7 vasemmanpuoleisella pystyakselilla kuvataan jokaisen kolmen ehdon käyrät suhteutettuna ehtoon a). Näin ollen vaakasuoralla viivalla ehdosta a) enimmäiskuormitukselle P^u määritetty hoikkuuden arvo tuottaa poikkileikkauksen geometriasta riippumatta vakiosuuruisen hoikkuuden arvon, kun 5 %:n vä- hennys momenttien suhteessa δ = 1/0,95 on huomioitu. Katkoviivalla kuvatussa tapauksessa b) momenttisuhteen δ arvo määräytyy aksiaalisen kuorman 5 % vä- hennyksen P = 0,95P^u/Φ mukaisesti yhteisvaikutusdiagrammista (momenttien suhteena δ = M^c/M^2’) ja pistekatkoviivalla kuvatussa tapauksessa c) vakiosuuruisen momentin suhteesta δ = M^c/M².

Kuvasta 7 voidaan todeta, että yksinkertaistettu hoikkuutta approksimoiva tapa tuottaa useita raja-arvoja. Kun tulkitaan oikealla pystyakselilla olevaa pää- tymomenttien suhdetta, päätymomenttien suhteen M¹/M² heiketessä käyrät lä- hestyvät vakiosuuruisen hoikkuuden arvoa. Hellesland (2005, s. 12) toteaakin, että tämä on yksinkertaistettu tapa tulkita hoikkuutta yleisessä muodossa. Kri- teeri b) johtaa varsin laveaan rajaan erityisesti suurilla aksiaalisilla kuormilla, ja kuvaan symbolilla ν merkityn, hieman alle tasapainomurtoa vastaavan tilanteen kanssa, hieman konservatiivisempia arvoja kuin kriteerit a) ja c). Hellesland (2005, s. 12) suosittaa, että erityisesti alimpien kerrosten pienien epäkeskisyyk- sien kuormittamien pilareiden tarkasteluissa, joissa betonin puristuskestävyys on yleensä määräävä parametri, voi sallivampien kriteerien b) ja c) käyttö olla perusteltua.

4.5 Toisen kertaluvun vaikutusten arviointi eurokoodi 2:n liit- teessä H

Eurokoodi 2:n liitteessä H nostetaan esille jäykistysjärjestelmien analysoinnissa tehtäviä eroja riippuen siitä, sallitaanko rakennekokonaisuudelle merkittävää leikkausmuodonmuutosta. Standardin kohdan H.1.2 tapauksessa jäykkyyden arvioimiseksi on annettu likiarvomenettelyyn perustuva lauseke, jossa haljenneen poikkileikkauksen likimääräistä jäykkyyttä voidaan kuvata yhtälöllä 4.8

≈ ( )

missä EI on taivutusjäykkyys, E^cd = E^cm/γ_cE, on kimmokertoimen mitoitusarvo, E^cm on betonin sekanttikerroin, γ_cE on osavarmuusluku kohdan 5.8.6 mukaisessa yleisen menetelmän analyysissa (kansallinen suositusarvo 1,2) ja I^c on jäykistä- vän rakenneosan jäyhyysmomentti. Arvo 0,4 voidaan korvata myös arvolla 0,8, mikäli osoitetaan, että rakenteet eivät halkeile. (SFS-EN 1992-1-1, s. 209-210).

Westerberg (2002, s. 43) nostaa esille, kuinka hoikkuutta ei tulisi käyttää yk- sinomaan toisen kertaluvun vaikutuksia kuvaavana parametrina. Globaalien toisen kertaluvun vaikutusten ollessa merkittäviä, halkeilun aiheuttaman taivutus- jäykkyyden merkitys yksittäiselle rakenneosalle voi olla suuri. Toinen huomion- arvoinen asia materiaalisesti lineaarisen toisen kertaluvun analyysin osalta liittyy

(35)

tilanteeseen, jossa toisen kertaluvun vaikutusten merkitys voi olla suuri koko rakenteen toiminnan kannalta myös suhteellisen pienillä hoikkuuden lukuarvoilla, mikäli jäykistävät osat kantavat suuria pystykuormia.

Eurokoodi 2:n laadinnan aikana on käyty Westerbergin mukaan keskustelua, jonka mukaan suunnitteluarvojen hyödyntäminen koko rakenneosan pituudella olisi liian konservatiivinen oletus esimerkiksi toisen kertaluvun analyysissa. Ra- kenneosan jäykkyyden vähentämistä koko rakenneosan pituudella voidaan pitää perustellumpana vaihtoehtona yksittäiseen kriittiseen poikkileikkaukseen muun muassa sen vuoksi, että betonin puristuskestävyyden laskiessa myös kimmokertoimen arvo laskee. Tämän vuoksi rakenteen vaste kasvattaa siirtymiä ja muuttaa siten myös jäykkyyttä sekä kestävyyttä. (Westerberg 2008, s. 22).

Eurokoodi 2:n liitteen H menettelytapaa kuvataan momenttien suurennuskertoimiin perustuvaa menettelyä paremmaksi. Tällöin rakenteen analysointi perustuu vaakavoimien suurentamiseen. Kuvassa 8 on kuvattu yksinkertaistettu me- nettelytapa, jolla toisen kertaluvun vaikutuksia voitaisiin arvioida erityisesti ke- häjäykisteisille rakennuksille. Aluksi lasketaan ainoastaan vaakavoimaa H⁰ vastaava siirtymä y⁰. Tämän jälkeen lasketaan pystykuormaa V vastaava lisäsiirtymä y¹. Seuraavaksi ratkaistavaksi suureeksi muodostuu lisäsiirtymää y¹ vastaavan vaakasuuntaisen kuorman H¹ arvo. Tämän jälkeen siirtymän y¹ siirtyneelle rakenteelle lasketaan pystykuormasta V lisäsiirtymä y². Iteratiivisen laskennan perusteella lasketuista vaakasuuntaisista siirtymistä voidaan täten muodostaa geometrinen sarja. Mikäli sarja suppenee (peräkkäisten termien Hⁱ ja H^i-1 välinen suhde on alle yhden), on rakenne luonteeltaan stabiili. Vastaavasti hajaantuva geometrinen sarja tarkoittaa epästabiilia rakennetta.

Kuva 8. Esimerkki toisen kertaluvun vaikutusten arvioinnista ekvivalentin vaaka- voiman avulla iteratiivisesti (Westerberg 2002, s. 45).

Yksinkertainen tapa on olettaa deformoituneen tilan viimeistä vaihetta edustavat jäykkyysarvot, jolloin geometrinen sarja muodostuu kaikista vaakasuuntaisista voimista. Tätä voidaan kuvata yhtälöllä 4.9 (SFS-EN 1992-1-1, s. 213)

−

( )

missä H¹ on nimellinen, kuvitteellinen vaakakuorma, joka aiheuttaa pystykuormaa V vastaavan taivutusmomentin deformoituneeseen rakenteeseen. Tämän