Optinen bistabiilisuus Fourier-moodimenetelmällä

OPTINEN BISTABIILISUUS FOURIER-

MOODIMENETELM ¨ ALL ¨ A

Henri Pesonen

Opinn¨ aytety¨ o Maaliskuu 2017

Fysiikan- ja matematiikanlaitos

It¨ a-Suomen Yliopisto

Henri Pesonen Maisteriopiskelija, 70 sivua It¨a-Suomen Yliopisto Fotoniikan koulutusohjelma Ohjaajat Prof. Pasi Vahimaa

Dos. Jani Tervo

Tiivistelm¨ a

Opinn¨aytety¨on keskeisin tavoite oli ohjelmoida Fourier-moodimenetelm¨a¨an perus- tuva koodi atomisen optisen bistabiilisuuden tutkimista varten Fabry-Perot’n inter- ferometriss¨a. Kirjoitetulla ohjelmalla tutkittiin ep¨alineaarisen materiaalin ominai- suuksia pitkien gaussisten pulssien tapauksessa ja yleisimpien parametrien vaikutusta saatuihin hysteresisk¨ayriin. Saatujen tulosten pohjalta voitiin tehd¨a johtop¨a¨at¨os, ett¨a moodimenetelm¨a soveltuu bistabiilisuuden tutkimiseen ja ett¨a mahdollinen lis¨atutki- mus voidaan aloittaa kirjoitetun koodin pohjalta. Lis¨aksi ty¨oss¨a esitet¨a¨an muutama uusi idea, josta jatkotutkimusta voisi tehd¨a.

Sis¨ alt¨ o

1 Johdanto 1

2 Ty¨on tavoitteet 4

3 Teoria 6

3.1 S¨ahk¨okent¨an eteneminen v¨aliaineessa . . . 6 3.2 V¨aliaineen vaste s¨ahk¨okent¨alle . . . 7

4 Menetelm¨at 15

4.1 FMM-koodin esittely . . . 15 4.2 Fourier-moodimenetelm¨an teoria . . . 18

5 Tulokset 22

6 Tulosten j¨alkitarkastelu 37

7 Johtop¨a¨at¨okset 40

Kirjallisuutta 42

Liitteet

A Ep¨alineaarinen aaltoyht¨al¨o . . . 46 B Bloch-yht¨al¨oiden johtaminen . . . 50 C Kaava suskeptibiliteetille . . . 58

D Helmholtzin yht¨al¨on johto . . . 62 E Tensorisuskeptibiliteetti optiselle bistabiilisuudelle. . . 64

Luku I

Johdanto

Ensimm¨aiseksi m¨a¨aritell¨a¨an, mit¨a bistabiilisuus on, ja kerrotaan sen yleisominai- suudet. Lis¨aksi tarkastellaan t¨am¨an opinn¨aytety¨on kannalta oleellisemmat aiemmat tutkimustulokset kronologisessa j¨arjestyksess¨a.

Optisella bistabiilisuudella tarkoitetaan tilannetta, jossa s¨ahk¨omagneettisen ken- t¨an vaikuttaessa ep¨alineaarisen materiaalin kanssa yht¨a sis¨a¨anmenokentt¨a¨a voi tie- tyiss¨a olosuhteissa vastata kaksi erisuuruista ulostulokentt¨a¨a. Kasvattamalla sis¨a¨an- menokentt¨a¨a, ulostulokentt¨a kasvaa ensin paljon hitaammin kuin lineaarisessa ta- pauksessa kunnes sitten tietyn rajan j¨alkeen ulostulokentt¨a kasvaa ¨akisti. Vastaa- vasti pienent¨am¨all¨a sis¨a¨anmenokentt¨a¨a, ulostulokentt¨a laskee ensin tasaisesti ja sit- ten romahtaa l¨ahelle nollaa. T¨allainen kent¨an sis¨a¨anmeno-ulostulok¨aytt¨aytyminen muodostaa hystereesik¨ayr¨an. Esimerkki hystereesik¨ayr¨ast¨a on esitetty kuvassa 5.7.

V¨ali¨a, jolla ulostuloarvoja on enemm¨an kuin yksi, kutsutaan bistabiilisuusalueeksi.

Tilanne, jossa on useita bistabiilisuusalueita, kutsutaan multistabiilisuudeksi.

Optisen bistabiilisuuden aiheuttavat mekanismit voidaan jakaa kahteen osaan:

absorptiiviseen ja refraktiiviseen. Absorptiivisest¨a bistabiilisuudesta (eng. absorb- tive bistability) puhutaan silloin, kun laserin taajuus on resonanssissa atomitaa- juuden kanssa. Refraktiivisell¨a tai dispersiivisell¨a bistabiilisuudella (eng. refracti- ve/dispersive bistability) tarkoitetaan puolestaan sit¨a, kun laser-atomisivuunviritys on suuri ja absorptio on mit¨at¨on. N¨aiden tapausten v¨alille on luonnollisesti vaikea vet¨a¨a selv¨a¨a rajaa, ja usein kyseess¨a onkin n¨aiden yhdistelm¨a (eng.mixed bistabili- ty).

Optisen kahtaistabiilisuuden syntymiseen tarvitaan kolme asiaa. Ensimm¨ainen on materiaalin ep¨alineaarisuus, ja toinen on voimakas kentt¨a, joka nostaa ep¨ali-

neaarisuuden esiin. N¨aiden lis¨aksi kolmas v¨altt¨am¨at¨on edellytys bistabiilisuudelle on takaisinkytkent¨amekanismi. T¨ass¨a ty¨oss¨a takaisinkytkent¨amekanismin synnytt¨a¨a Fabry-Perot’n interferometri, vaikka pelkk¨a dielektrinen laatta useine sis¨aisine hei- jastuksineen t¨aytt¨a¨a takaisinkytkent¨aehdon.

Erinomaiset johdatukset bistabiilisuuteen l¨oytyv¨at Gibbsin [1] tai Joshin [2] kir- joista mutta my¨os Lugiaton [3] laajasta katselmusartikkelista. My¨os Boydin [4] kir- jassa on lyhyt mutta helposti ymm¨arrett¨av¨a luku bistabiilisuudesta, joka soveltuu hyvin ensikosketukseksi aiheeseen. Hyv¨an ymm¨arryksen bistabiilisuudesta saa my¨os tutustumalla Mandelin klassikkoteokseen [5] varsinkin, jos lukee my¨os muutaman lu- vun ennen bistabiilisuus-lukua. Mielenkiintoisen ja hieman erilaisen l¨ahestymistavan antavat Duffing-oskillaattoriin perustuvat mallit [6–11]. Kvanttimekaanisiin laskui- hin kolmannen asteen ep¨alineaarisista materiaaleista p¨a¨asee k¨asiksi Boydin kirjassa, vaikkei siin¨a johdetakaan kaavoja juuri bistabiilisuudelle. My¨os artikkelit [12] ja [13]

antavat ensikosketusta kvanttimekaaniseen l¨ahestymistapaan.

Kiinnostus atomista optista bistabiilisuutta (AOB) kohtaan johtuu sen mah- dollisesta k¨ayt¨ost¨a optisena kytkimen¨a [1, 4, 5] ja sen yksityiskohtaisesta ja moni- ilmi¨oisest¨a teoriasta. Bistabiilisuuden havaitsi teoreettisen tarkastelun pohjalta en- simm¨aisen¨a Sz¨oke et al. vuonna 1969 [14]. Tuolloinen malli oli johdettu klassiselle kent¨alle Fabry-Perot’n interferometrin sis¨all¨a, ja se oli ainoastaan absorptiobistabii- lisuudelle. My¨ohemmin, vuonna 1976, Gibbs et al. esitti taitekertoimeen pohjautu- van klassisen bistabiilisuusmallin [15] huomattuaan, ett¨a pelkk¨a absorptiivinen mal- li oli riitt¨am¨at¨on. T¨ast¨a sai alkunsa laaja optisen bistabiilisuuden tutkimus, jonka suosituimmaksi malliksi on noussut Bonifacion ja Lugiaton vuonna 1976 esittelem¨a semiklassinen keskiarvokentt¨amalli (eng. Mean Field Theory) ympyr¨ainterferomet- rille [16]. Siin¨a johdetaan yht¨al¨o bistabiilisuudelle Maxwell-Bloch -yht¨al¨oiden avulla.

T¨ass¨a mallissa j¨atet¨a¨an huomiotta tosin resonaattorin sis¨all¨a olevat kent¨an vaihtelut.

Vuonna 1978 Meystre sovelsi keskikentt¨ateorian Fabry-Perot’n interferometrille [17].

Edell¨a mainitut mallit ovat olleet vakiokent¨alle; pulssien tapauksessa bistabiili- suuden ja teoriaan ja tuloksiin voi tutustua Gibbsin [1] teoksessa, jossa on esitelty alun perin Bischofbergerin ja Shenin [18] julkaisema teoria gaussisen ja kolmiopulssin tapaukselle. Pulsseja on k¨asitellyt my¨os Abraham et al [19].

Perusteorian asetettua uomiinsa tutkimus on suuntautunut ilmi¨on tehostamiseen ja hallittavuuteen sek¨a laitekoon pienent¨amiseen. T¨all¨a hetkell¨a tutkimus suuntau- tuu yleisten trendien mukaan. Paljon tutkimusta tehd¨a¨an kvanttipisteiden yhdis-

t¨amiseen bistabiilisuuteen [20–22] sek¨a nano- ja mikrokoon bistabiilisten laittei- den valmistukseen [21, 23]. T¨allaista tutkimusta tehdess¨a numeeriset menetelm¨at ovat suuressa roolissa. Er¨as yleisimmist¨a numeerisista menetelmist¨a on Fourier- moodimenetelm¨a (eng. Fourier Modal Method, FMM), ja sen soveltuvuutta optisen bistabiilisuuden tutkimiseen ollaan tutkittu verrattaen v¨ah¨an.

Seuraavassa luvussa esitell¨a¨an lyhyesti opinn¨aytety¨on tavoite, ja kerrotaan mi- ten se pyrit¨a¨an saavuttamaan. Kolmannessa luvussa johdetaan kaava suskeptibili- teetille ja keskiarvokentt¨ateoria optiselle bistabiilisuudelle. Nelj¨anness¨a luvussa esi- tell¨a¨an opinn¨aytety¨on p¨a¨aty¨okalu eli FMM-koodi ja sen toimintaperiaate. T¨am¨an j¨alkeen seuraa p¨a¨apainoltaan suurin luku, jossa esitell¨a¨an koodista saadut tulokset.

Tuloksien pohjalta syntyneet uudet ideat esitell¨a¨an toiseksi viimeisess¨a luvussa. Yh- teenvedossa kerrataan, mit¨a t¨ass¨a opinn¨aytety¨oss¨a ollaan tehty ja arvioidaan ty¨on tuloksia.

Luku II

Ty¨ on tavoitteet

Kuten edellisess¨a luvussa mainittiin, numeerisen laskennan rooli suurenee jatku- vasti optisessa suunnittelussa ja tutkimusty¨oss¨a. Analyyttisten mallien l¨oyt¨aminen ep¨alineaarisille ilmi¨oille on hyvin vaikeaa, mutta numeerisilla menetelmill¨a niit¨a on suhteellisen helppo tutkia. Lis¨aksi optisten komponenttien valmistaminen ja testaa- minen vie paljon aikaa ja on eritt¨ain kallista. Numeerisin menetelmin sen sijaan kus- tannukset tippuvat minimiin ja suunnitteluprosessit tehostuvat. T¨am¨a opinn¨aytety¨o pyrkii osaltaan vastaamaan tarpeeseen kehitt¨a¨a numeerisia menetelmi¨a.

Opinn¨aytety¨oll¨a on kaksi toisiinsa kytkeytyv¨a¨a tavoitetta. Ensimm¨ainen tavoite on pyrki¨a selvitt¨am¨a¨an, ett¨a voidaanko Fourier-moodimenetelm¨a¨a soveltaa bista- biilisuuden tutkimiseen pitkien gaussisten pulssien tapauksessa. Toinen tavoite on selvitt¨a¨a my¨ohemmin m¨a¨aritelt¨avien parametrien vaikutus hystereesik¨ayr¨a¨an.

Tavoitteet pyrit¨a¨an toteuttamaan kirjoittamalla Fourier-moodimenetelm¨a¨an pe- rustuva koodi, ja tutkimalla kuinka parametrien muuttaminen vaikuttaa hystereesi- k¨ayr¨a¨an. Jos koodilla lasketut tulokset ovat selitett¨avi¨a aiemman tiedon pohjalta ja yhtenevi¨a aikaisempien tulosten kanssa, voidaan p¨a¨atell¨a, ett¨a menetelm¨a soveltuu optisen bistabiilisuuden tutkimiseen.

Tavoitteisiin p¨a¨asemist¨a helpotettaan rajaamalla tutkimusalue tiukasti. Kuten edellisess¨a luvussa k¨avi ilmi, ehdot optisen bistabiilisuuden synnytt¨am¨alle hysteree- sille ovat hyvin laajat, ja sit¨a voi muodostua optiikan saralla useissa tilanteissa.

T¨ass¨a ty¨oss¨a keskityt¨a¨an ainoastaan sellaiseen bistabiilisuuteen, joka syntyy l¨ahes monokromaattisen s¨ahk¨okent¨an voimakkuuden vaihtuessa ja siten muuttaessa ma- teriaalin absorptiivisia tai dispersitiivisi¨a ominaisuuksia takaisinkytkent¨asysteemin sis¨all¨a. T¨ass¨a yhteydess¨a voidaan puhua ominaisbistabiilisuudesta (eng.intrinsic tai

all optical), koska se syntyy materiaalista itsest¨a¨an. Toisaalta aihealueen ulkopuo- lelle rajataan hydridibistabiilisuus (eng. hydrid bistability), jossa hystereesisilmukka saadaan aikaan vaikuttamalla materiaaliin ulkoisin mekanismein, kuten muuttamal- la materiaalin ominaisuuksia s¨ahk¨oisesti tai akustisesti.

Hystereesisilmukka voidaan toteuttaa my¨os esimerkiksi sis¨a¨anmenokent¨an kul- mataajuutta muuttamalla ja vertaamalla sit¨a ulostulevaan kent¨an voimakkuuteen.

T¨ass¨a ty¨oss¨a pidet¨a¨an kulmataajuus vakiona, ja tutkitaan ainoastaan oleellisimpien parametrien vaikutusta sis¨a¨anmenev¨an ja ulostulevan kent¨an muodostamaan hyste- reesik¨ayr¨a¨an.

Tulokset olivat odotetunlaisia, ja ne pystyttiin liitt¨am¨a¨an suureksi osaksi aiem- piin tuloksiin. My¨os muutama mielenkiintoinen ilmi¨o nousi esiin, ja esitell¨a¨an my¨o- hemmin t¨ass¨a opinn¨aytety¨oss¨a.

Saatuihin tuloksiin on kuitenkin syyt¨a suhtautua kriittisesti. Varsinkin pulssi- sis¨a¨anmenokentt¨a suurine taajuuskaistoineen aiheuttaa ep¨ailyst¨a, koska koodi on kehitetty yhdelle taajuudelle. T¨am¨a ongelma korostuu sit¨a enemm¨an, mit¨a lyhyem- pi pulssi on. Lis¨aksi parametrien vaikutusta ei varmistettu kokeellisesti eik¨a siten simulaatiotuloksia voitu varmistaa.

Nyt kun opinn¨aytety¨on tavoitteet on listattu ja kerrottu miksi t¨am¨a tutkimus on t¨arke¨a¨a, voidaan menn¨a eteenp¨ain esittelem¨all¨a optisen bistabiilisuuden perusteoria.

Luku III

Teoria

T¨ass¨a luvussa johdetaan semiklassinen ja skalaarinen keskiarvokentt¨ateoria sek¨a tensoriluontoinen suskeptibiliteetti. Viimeisint¨a tarvitaan numeerisessa laskennas- sa mutta my¨os luvussa 6 esitett¨av¨a¨an ideaan. T¨ass¨a esitet¨a¨an ainoastaan oleellisim- mat kaavat ja tulokset. Liitteiss¨a on esitetty yksityiskohtaiset johdot kaavoille sek¨a kerrottu niist¨a laajemmin. Kaavojen johtamisessa on noudatettu Boydin Nonlinear Optics -kirjaa [4] sek¨a l¨ahteit¨a [5, 24].

3.1 S¨ ahk¨ okent¨ an eteneminen v¨ aliaineessa

Luonnollinen aloituskohta on s¨ahk¨omagneettisen kent¨an k¨aytt¨aytymist¨a optisessa materiaalissa kuvaavat Maxwellin-yht¨al¨ot. Ajan suhteen esitettyn¨a ne ovat:

∇ ·D(r, t) = ρ (3.1)

∇ ·B(r, t) = 0 (3.2)

∇ ×E(r, t) = −∂B(r, t)

∂t (3.3)

∇ ×H(r, t) = ∂D(r, t

∂t +J(t,r) (3.4)

Yht¨al¨oryhm¨a kertoo kuinka s¨ahk¨okentt¨a voimakkuusE ja magneettivuon tiheys Bk¨aytt¨aytyv¨at ajan tja paikanr suhteen. S¨ahk¨ovuon tiheysD ja magneettikent¨an voimakkuusHovat yhteydess¨a s¨ahk¨okentt¨a¨an ja magneettivuontiheyteen konstituu- tiorelaatioiden kauttaD =ǫ0ǫǫǫE+ jaB =µ0H, joissaǫ0on tyhji¨on jaǫǫǫon v¨aliaineen permittiivisyys vastaavasti. Alleviivaus tarkoittaa tensoria erotuksena vektorista, jo-

ka on merkitty lihavoituksella. Tyhji¨on permeabiliteetti¨a on µ0, jolla voidaan ap- proksimoida varsinaista permeabiliteetti¨a ei-magneettisissa aineissa. Permittiivisyys ja permeabiliteetti, jotka molemmat ovat tensoreita, antavat materiaalin vastuksen sm-kent¨alle makroskooppisen polarisaation ja s¨ahk¨ovuon tiheyden avulla. Varausti- heys ρ kertoo varauksien vaikutuksen, ja dielektrisiss¨a aineissa se voidaan asettaa nollaksi. Samoin, jos varaukset eiv¨at p¨a¨ase liikkumaan, eli virtaa ei synny, niin s¨ah- k¨ovirrantiheys J on nolla.

T¨ass¨a lihavointi tarkoittaa vektorisuuretta eli esimerkiksiE= (Ex, Ey, Ez), jossa alaindeksit tarkoittavat kentt¨akomponenttia kyseiseen karteesisen koordinaatiston suuntaan.

Pienell¨a manipuloinnilla ja approksimaatioilla yht¨al¨oist¨a (3.1)-(3.4) saadaan joh- dettua ep¨alineaarinen aaltoyht¨al¨o:

∇²− ǫǫǫ c²

∂²

∂²t

E(t,r) = 1 ǫ₀c²

∂²P(t,r)^{N L}

∂²t , (3.5)

jossa c on valonnopeus. Kaavan johto on esitetty liitteess¨a A. Normaaliin home- geeniseen aaltoyht¨al¨o¨on verrattuna se eroaa materiaalin ep¨alineaarisuuden ja voi- makkaan kent¨an vuorovaikutuksesta indusoituneesta ep¨alineaarisesta polarisaatios- taP(t,r)^{N L}. T¨am¨a ep¨ahomogeenitermi toimii aaltoyht¨al¨on l¨ahdetermin¨a ja aiheut- taa ep¨alineaariset ilmi¨ot aalto-optiikan n¨ak¨okulmasta. Optinen bistabiilisuus kuiten- kin tulee elektroni-kentt¨avuorovaikutuksesta, ja sen vuoksi on tarkasteltava atomia my¨os kvanttiteorian kannalta.

3.2 V¨ aliaineen vaste s¨ ahk¨ okent¨ alle

Seuraavaksi esitet¨a¨an teoria klassisen kent¨an vaikutuksesta 2-tasoatomiin. Tavoit- teena on esitt¨a¨a teoria, joka soveltuu suhteellisen pitkille pulsseille ja monokromaat- tiselle valolle. Teoria on esitetty l¨ahteit¨a [4] ja [24] apuna k¨aytt¨aen, ja tarkemmin asia on k¨asitelty liitteess¨a B.

Ennen teorian johtamista on syyt¨a huomauttaa, ettei ep¨alineaarisessa optiikassa laajalti k¨aytetty perturbaatiomenetelm¨a tai polarisaation potenssisarjaksi laajen- taminen sovi kehitett¨aess¨a teoriaa optiselle bistabiilisuudelle. Syyn¨a t¨ah¨an on niin sanottu saturaatioamplitudi ES, joka aiheuttaa kent¨an saturoitumisen. Saturaatio- amplitudi on sellaista muotoa, etteiv¨at perturbaatiomenetelm¨an eik¨a potenssisar- jakehitelm¨an sarjat suppene kaikissa tapauksissa [4]. T¨am¨an vuoksi on aloitettava

tarkastelemalla atomin ja kent¨an vuorovaikutusta transitiodipolimonentin kautta.

S¨ahk¨omagneettinen kentt¨a saa atomin v¨ar¨ahtelem¨a¨an. Atomin v¨ar¨ahdelless¨a ko- vempaa, sen sanotaan olevan ylemm¨all¨a energiatasolla. Kun atomi puolestaan siirtyy alemmalle energiatasolle, sen v¨ar¨ahtely vaimenee. Kun joukko atomeita k¨aytt¨aytyy samoin, vaikutus kertaantuu, ja kaikkien atomien keskiarvok¨aytt¨aytyminen n¨akyy makromaailmaan.

Mikromaailmassa yksitt¨aisen atomin dynamiikka voidaan selitt¨a¨a suurelta osin 2-tasoatomimallin avulla. Suljetussa mallissa atomi voi olla ainoastaan kahdella energiatasolla. Atomin energiatason muutos ajan suhteen kuvataan optisilla Bloch- yht¨al¨oill¨a. Niist¨a johdetaan kaava suskeptibiliteetille, jota k¨aytet¨a¨an materiaalin ho- mogeenisyyden nojalla kuvaamaan kent¨an ja materiaalin vuorovaikutuksesta tule- via ilmi¨oit¨a makromaailmassa. Kuvassa 3.1 atomi esitet¨a¨an energiatilojen Ea ja Eb

avulla.

E_a E_b ω~

∆^′

ω

Kuva 3.1: Kaksitasoatomin viritt¨a¨a energiatasolta a energiatasolle b l¨ahes resonassitaajuuksinenωvalo. Laser-atomisivuunviritys on merkitty ∆^′:lla. Vi- ritys purkaantuu spontaanisti takaisin tasolleaja atomi s¨ateilee valoa taajuu- dellaω.

Edell¨a esitettyyn atomiin vaikuttaa s¨ahk¨okentt¨a, joka on ep¨alineaarisessa optii- kassa muotoa

E(r, t) =EEE(r, t) exp(−iωt) +EEE^∗(r, t) exp(iωt) =EEE(r, t) exp(−iωt) +k.k, (3.6) jossa kentt¨a on esitetty nopeasti ajan suhteen kulmataajuudellaωoskilloivan termin ja kompleksiamplitudinEEE(r, t) tulona. Kompleksiamplitudin voidaan ajatella muut-

tuvan ajan suhteen pulssikuoren tahtiin eli suhteellisen hitaasti. Kent¨an esityksess¨a otetaan huomioon my¨os negatiiviset taajuudet lis¨a¨am¨all¨a kompleksikonjugaatti.

S¨ahk¨okent¨an kulmataajuuden ω vastatessa tai ollessa hyvin l¨ahell¨a energiatilo- jen erotusta vastaavaa taajuutta ωba = (Eb −Ea)/~ atomi virittyy a → b. Virit- tyess¨a¨an ylemm¨alle tilalle, atomin dipolimomentti muuttuu. T¨at¨a muutosta kuvaa kompleksinen transitiodipolimomenttiµµµba =−e[ˆr]ba, jossa eon elektronin varaus ja ˆr on paikkaoperaattori. Alaindeksi kuvaa miss¨a prosessissa transitiodipolimomentti on syntynyt, ja muistuttaa my¨os siit¨a, ett¨a se on matriisialkio.

Suhteellisen pitkill¨a pulsseilla atomin relaksaatioprosessit t¨aytyy ottaa huomioon.

Niit¨a on t¨ass¨a mallissa kaksi, ja ensimm¨ainen niist¨a liittyy edell¨a mainittuun transi- tiodipolimomenttiin. Kent¨an vaikutuksen loppuessa transitiodipolimomentti vaime- nee kohti nollaa tahdilla γba = 1/T2, jossa T2 on vaihekoherenssin vaimenemisaika (eng. dipole dephasing time).

Toinen relaksaatiotermi liittyy tilamiehitykseen. Kun kentt¨a nostaa atomin pe- rustasolta ylemm¨alle, sit¨a sanotaan inversioksi eli k¨a¨anteismiehitykseksi. Kent¨an vai- kutuksen loppuessa atomin tilainversio vaimenee nollaan ajassa T1. Siksi sit¨a kut- sutaankin k¨a¨anteismiehityksen relaksaatioajaksi (eng. population relaxation time).

Tahti, jolla inversio purkaantuu on Γba = 1/T1. Edell¨a mainitut kaksi relaksaatiopro- sessia huomioiden kuvan 3.1 systeemi voidaan esitt¨a¨a differentiaaliyht¨al¨oryhm¨all¨a:

∂σba

∂t = i(∆^′−γba)σba−iΩw (3.7)

∂w

∂t = 2i(Ωσ_ba^∗ −Ω^∗σba)−(w+ 1)Γba (3.8) Edell¨a w = w(t) on atomin tilainversio ja σba = σba(t) on tiiveysmatriisin ei- diagonaalialkio hitaasti ajan suhteen muuttuvan suureen avulla esitettyn¨a. Se kuvaa kahden energiatilan v¨alist¨a koherenssia [4, 25, 26] ja on yhteydess¨a my¨os dipolimo- mentin odotusarvoon [4,5]. Lis¨aksi Ωba = (µµµba·EEE)/~on materiaalin ja kent¨an vuoro- vaikutusta kuvaava Rabi-taajuus ja ∆^′ =ωba−ω on laser-atomisivuunviritys (eng.

atomic detuning). Yht¨al¨oit¨a (3.7) ja (3.8) kutsutaan optisiksi Bloch-yht¨al¨oiksi tai Maxwell-Bloch -yht¨al¨oiksi. Tarkemmin niiden johtaminen on esitetty liitteess¨a B.

Seuraavaksi johdetaan kaava optiselle bistabiilisuudelle Fabry-Perot’n etalonis- sa Agrawalin [24] artikkelia my¨ot¨aillen. Teoria on laajennettu samalla kattamaan formaalisti vektoriarvoiset kent¨at Helmholtzin yht¨al¨o¨on saakka.

Edell¨a esitetyist¨a Bloch-yht¨al¨oist¨a, ja niiden stationaarisista ratkaisuista voidaan johtaa kaava suskeptibiliteetille χ. Suskeptibiliteetti m¨a¨aritt¨a¨a materiaalin vasteen s¨ahk¨okent¨alle v¨aliaineessa indusoituneen polarisaation avulla. Yleisesti ottaen sus- keptibiliteetti on tensori, ja se on perusta permittiivisyydelle ε ja taitekertoimelle n. Asettamalla yht¨al¨oiden (3.7) ja (3.8) vasemmat puolet nollaksi, saadaan

χ(r) =α^′ ∆ + i

1 + ∆²+|EEE|²/|EEE^S|²µµµ^∗_baµµµba, (3.9) jossa

α^′ = N

~γbaǫ0

, (3.10)

jossaEEE =EEE(r, t) jaEEE^S = (~/2µµµba)(γbaΓba)^1/2 on kent¨an saturaatioamplitudi jaN on atomien lukum¨a¨ar¨atiheys.

Huomattavaa on, ett¨a edell¨a yht¨al¨o suskeptibiliteetille eroaa hieman Agrawa- lin vastaavasta. Ensinn¨akin edell¨a k¨aytet¨a¨an SI-j¨arjestelm¨a¨a Agrawalin k¨aytt¨aess¨a Gaussin-j¨arjestelm¨a¨a. Toiseksi edell¨a esitetyss¨a kaavassa on haluttu tuoda esille sus- keptibiliteetin tensoriluonne, joka on t¨ass¨a seurausta transitiodipolimomenttien ten- soritulosta. Kaavan (3.9) johtaminen on esitetty yksityiskohtaisesti liitteess¨a C, ja lineaarisesti polarisoidun s¨ahk¨okent¨an tapauksessa se redusoituu samaksi kuin mit¨a Agrawalin artikkelissa.

T¨ass¨a kohtaa on hyv¨a huomata my¨os kent¨an vaikutus materiaaliin. Materiaali on t¨ah¨an asti k¨asitelty yhden atomin kautta, mutta voidaan olettaa, ett¨a kaikki atomit k¨aytt¨aytyv¨at samoin kent¨an vaikuttaessa niihin. Materiaali on siis homogeeninen.

Kuitenkin, kaavasta (3.9) huomataan, ett¨a jos kent¨an voimakkuus vaihtelee suuresti materiaalin sis¨all¨a, niin materiaalin vaste on erilainen riippuen kuinka suuri kentt¨a siihen vaikuttaa. N¨ain ollen materiaali k¨aytt¨aytyy kuin se olisi ep¨ahomogeeninen.

Erityisesti t¨am¨a n¨akyy Fabry-Perot’n interferometrin seisovien aaltojen tapauksessa.

T¨ah¨an ilmi¨o¨on palataan luvussa 5.

Kaavan (3.9) mukainen suskeptibiliteetti on kokonaissuskebtibiliteetti, joka pi- t¨a¨a sis¨all¨a¨an lineaarisen χ⁽¹⁾ ja ep¨alineaarisen χ⁽³⁾ suskeptibiliteetin. Luvussa 6 on eroteltu n¨am¨a kaksi kontribuutiota vektoris¨ahk¨okent¨alle. T¨ass¨a materiaalin ep¨aline- aarinen k¨aytt¨aytyminen ja hystereesi syntyv¨at saturaatiosta ja neli¨oidyst¨a kent¨an itseisarvosta.

Saturoituminen on yhteydess¨a transitiodipolimomenttiin ja siten korostaa sen merkityst¨a optisessa bistabiilisuudessa. Saturoitumisen ohella transitiodipolimonen- tin merkitys kasvaa huomattaessa, ett¨a suskeptibiliteetin suuruus on verrannollinen transitiodipolimomentin neli¨o¨on.

Kvanttimekaanisissa laskuissa tensoriarvoisille suskeptibiliteeteille transitiodipo- limomentin suuri merkitys korostuu. Niiss¨a materiaalin vaste kent¨alle esitet¨a¨an eri taajuuksien ja niit¨a vastaavien transitiodipolimomenttien vuorovaikutusten summa- na. N¨aist¨a vuorovaikutuksista, jotka matemaattisesti katsoen ovat summakaavoja ja perturbaatioita, seuraa suskeptibiliteetin tensoriarvoisuus.

My¨os materiaalin saturoituminen voidaan ottaa huomioon kvanttimekaanisissa laskuissa, mik¨a johtaa hyvin samanlaiseen kaavaan kuin (3.9). Kolmannen asteen tensoriarvoiseen suskeptibiliteettiin, jossa on huomioitu saturoituminen, palataan luvussa 6. Tarkemmin kvanttimekaanisesti laskettuun tensoriarvoiseen suskeptibili- teettiin, ja sen saturaatioilmi¨oihin voi tutustua Boydin kirjasta [4].

Seuraavaksi selvitet¨a¨an, mik¨a on sis¨a¨anmenev¨an kent¨an E₀ suhde ulostulleeseen kentt¨a¨anE₂. Se voidaan laskea numeerisesti esimerkiksi Fourier-moodimenetelm¨all¨a kuten t¨ass¨a ty¨oss¨a ollaan tehty. Analyyttisen ratkaisun saamiseksi joudutaan teke- m¨a¨an muutama approksimaatio, joista ensimm¨ainen on yht¨al¨on (3.5) approksimointi Helmholtzin yht¨al¨oll¨a

∂²

∂z²EEE(z) +k²n²(z)EEE(z) = 0, (3.11) jossak=|k|=ω/con aaltoluku. Edell¨a s¨ahk¨okentt¨a ollaan esitetty z-suuntaan ete- nev¨an¨a tasoaaltona, joka tulee materiaaliin pinnan normaalin suuntaisesti. Huomat- tavaa on, ett¨a yht¨al¨ost¨a puuttuu ep¨ahomogeenitermi. Nyt ep¨alineaarisuus nousee suskeptibiliteetin yht¨al¨ost¨a, ja kaava (3.11) ainoastaan kertoo miten s¨ahk¨okentt¨a muuttuu paikan suhteen materiaalissa. Yht¨al¨on johto on esitetty tarkemmin liit- teess¨a D.

Tasoaalto toteuttaa yht¨al¨on (3.11) vain, jos taitekerroin on vakio hilassa. Tar- kastelemalla kaavaa (3.9) huomataan, ett¨a taitekerroin on vakio, jos kentt¨a on vakio koko ep¨alineaarisen materiaalin matkalla. Kentt¨a puolestaan saadaan vakioksi otta- malla siit¨a keskiarvo. T¨allaista menettely¨a kutsutaan keskiarvokent¨an approksimaa- tioksi (eng.Mean-Field Approximation). Approksimaation on p¨atev¨a, kunαL <<1 ja interferometrin peilien heijastus R on l¨ahell¨a yht¨a. T¨all¨oin kent¨an vaihtelusta

johtuvat avaruudelliset muutokset taitekertoimessa voidaan kuvata keskiarvolla ko- ko hilan matkalta, ja materiaalista tulee homogeeninen.

Keskiarvottamalla s¨ahk¨okentt¨a suskeptibiliteetti tulee muotoon χ=α^′ ∆ + i

1 + ∆²+h|EEE|²iµµµ^∗_baµµµba. (3.12) Edell¨a h|EEE|²i = h|EEE|²/|EEE^S|²i on ep¨alineaarisen materiaalin matkalta keskiarvotet- tu s¨ahk¨okentt¨a, jossa ollaan huomioitu saturaatiovaikutus. T¨all¨oin (3.11) saadaan muotoon

∂²

∂z²EEE(z) +k²n²EEE(z) = 0. (3.13) Lis¨aksi taitekerrointensorille neli¨ointi tehd¨a¨an alkioittain.

T¨ah¨an menness¨a ollaan johdettu kaavat (3.13) ja (3.12), jotka kertovat kuinka s¨ahk¨okentt¨a etenee keskiarvotetussa materiaalissa. Edell¨a esitetyt kaavat mahdollis- tavat materiaalin vasteen numeerisen tutkimisen mielivaltaisella kent¨an polarisaa- tiolla. Kuitenkin t¨ass¨a opinn¨aytety¨oss¨a tutkitaan optista bistabiilisuutta lineaarises- ti polarisoidun s¨ahk¨okent¨an tapauksessa. Jotta voisimme verrata numeeristen tulos- ten paikkansapit¨avyytt¨a, esitet¨a¨an seuraavaksi analyyttinen kaava optiselle bistabii- lisuudelle lineaarisesti polarisoidun s¨ahk¨okent¨an tapauksessa. Teoria on Agrawalin artikkelista [24].

Yht¨al¨o (3.12) saa lineaarisesti y-suuntaan (poikittain tulotasoon n¨ahden) pola- risoituneen ja z-suuntaan etenev¨an kent¨an tapauksessa muodon

χ(r) =α ∆ + i

1 + ∆²+h|E|²i, (3.14)

jossa

α= N|µba|²

~γbaǫ0

, (3.15)

on dimensioton absorptiokerroin. S¨ahk¨okentt¨a onE =E^y, ja transitiodipolimomentti µ

µµba tulee muotoon µba,y =µba. Skalaariversio Helmholtzin yht¨al¨ost¨a (3.13) on

∂²

∂z²E(z) +k²n²E(z) = 0. (3.16)

Optisen bistabiilisuuden ehdot ovat ep¨alineaarinen materiaali, takaisinkytkent¨a- mekanismi ja voimakas kentt¨a. Kaikki ehdot saadaan t¨aytetty¨a sijoittamalla yht¨al¨on (3.12) mukainen materiaali Fabry-Perot’n interferometrin sis¨alle, ja johtamalla sii- hen voimakas laser-valo. T¨all¨oin s¨ahk¨okentt¨a heijastelee ep¨alineaarisen v¨aliaineen t¨aytt¨am¨an kaviteetin peilien v¨aliss¨a, ja syntyy takaisinkytkent¨amekanismi.

Kentt¨a kaviteetin sis¨all¨a voidaan jakaa eteenp¨ainE^F ja taaksep¨ainE^B menev¨a¨an osaan, ja kokonaiskentt¨a kaviteetin sis¨all¨a on t¨all¨oin

E^C(z) = E^F(z) +E^B(z). (3.17)

Soveltamalla tuttuja s¨a¨ant¨oj¨a vaihesiirroista heijastuksissa, l¨apimenneen ja heijas- tuneen kent¨an amplitudin vaimenemista (√

T , √

R), p¨a¨adyt¨a¨an lopulta tuttuun tu- lokseen yht¨al¨on (3.17) kentt¨amoodeille

E^F(z) = i (1−R)^1/2E⁰

(1−Rexp(i2k0nLC))exp(ik0nz) (3.18) ja

E^B(z) =−iR^1/2(1−R)^1/2E0exp(i2k₀nL_C)

(1−Rexp(i2k0nL)) exp(−ik0nz), (3.19) joissa i tulee siit¨a, ett¨a jokaisen laatan transmissiosta tulee π/2:n ja heijastuksesta π:n vaihe-ero vastaavasti. Taitekerrointa ollaan puolestaan approksimoitu Taylorin sarjakehitelm¨all¨a

n=p

1 +χ≈1 + χ

2 = 1 + α 2

∆ + i

1 + ∆²+h|E|¯²i. (3.20) Yhdist¨am¨all¨a kaavat (3.17), (3.18) ja (3.19) saadaan kent¨alle kaviteetin sis¨all¨a

E^C(z) = 2Asin(k0z) (3.21)

edellytt¨aen, ett¨a molempien kentt¨amoodien amplitudit voidaan arvioida samansuu- ruisiksi. Edell¨a LC on kaviteetin sis¨aosan pituus, k0 on tyhji¨on aaltonumero ja

A=− E⁰ (1−R)^1/2

1

1−i[R/(1−R)](χk₀L_C −θ), (3.22) jossa θ = 2M π−2k0nLC, on vaihesiirto ja M on kokonaisluku. Sijoittamalla nyt yht¨al¨o (3.21) takaisin yht¨al¨o¨on (3.20), saadaan suskeptibiliteetille

χ=α ∆ + i 1 + ∆²+ 2|A|²/ES²

. (3.23)

Viimein sijoittamalla yht¨al¨o (3.22) yht¨al¨o¨on (3.23) saadaan viimein kaava optiselle bistabiilisuudelle Fabry-Perot’n resonaattorissa

Y² =X²

"

1 + 2C

1 + ∆²+X² 2

+

2C∆

1 + ∆²+X² −φ 2#

, (3.24)

jossa

Y =√

2(1−R)^−1/2|E⁰|/E^S (3.25) X=√

2(1−R)^−1/2|E^T|/E^S, (3.26) ja

C=αLCR/2(1−R) (3.27)

on Bonifacion ja Lugiato kytkeytymisparametri [3]. Vaihesiirto, joka aiheutuu reso- naattorin sivuunvirityksest¨a on puolestaanφ =θR/(1−R). Ulostulo X on linkitty- nyt Fabry-Perot’n interferometrist¨a ulostulevaan kentt¨a¨an

E^T = (1−R)^1/2A. (3.28)

Edell¨a esitettiin kaava tensoriluontoiselle suskeptibiliteetille, josta johdettiin Bo- nifacion ja Lugiaton keskiarvokentt¨amalli optiselle bistabiilisuudelle. Suskeptibili- teetti¨a (3.9) k¨aytettiin numeeriseen mallintamiseen ja analyyttist¨a kaavaa (3.24) puolestaan numeeristen tulosten varmentamiseen. Seuraavaksi esitet¨a¨an ongelman geometria ja k¨ayd¨a¨an l¨api numeeriseen laskentaan k¨aytetyn Fourier-moodimenetel- m¨an perustoiminta.

Luku IV

Menetelm¨ at

T¨ass¨a luvussa k¨ayd¨a¨an l¨api opinn¨aytety¨on keskeinen ty¨okalu eli numeerisen lasken- nan suorittanut Matlab-koodi, ja tuodaan esille ep¨alineaarisen materiaalin erityis- piirteit¨a numeerisessa laskennassa. Yleisesittelyn j¨alkeen esitell¨a¨an laskenta-alue, jo- hon menetelm¨a¨a sovelletaan. Viimeiseksi k¨asitell¨a¨an lyhyesti Fourier-moodimenetel- m¨an keskeisin teoria.

4.1 FMM-koodin esittely

T¨ass¨a opinn¨aytety¨oss¨a numeerinen laskenta suoritettiin Fourier-moodimenetelm¨all¨a [27–33]. FMM:n avulla lasketaan TE- ja TM-polarisaatiot, joista voidaan ratkaista s¨ahk¨o- ja magneettikentt¨akomponentit Maxwellin yht¨al¨oiden avulla. FMM pilkkoo hila-alueen kerroksiin ja ratkaisee ominaisarvoteht¨av¨an jokaisessa niiss¨a. Siirtymi- nen hilakerroksesta toiseen toteutetaan yleens¨a S-matriisimenetelm¨an avulla. Lo- puksi kerrokset liitet¨a¨an yhteen s¨ahk¨omagneettisten reunaehtojen avulla. Koodaus tehtiin Matlab-ohjelman avulla, ja ohjelma perustuu Markku Kuittisen (UEF) ja Jani Tervon (UEF) FMM-koodiin.

Fourier moodimenetelm¨an suuria etuja ovat sen soveltuvuus erilaisille rakenteille ja muokattavuus. Menetelm¨a¨a sovelletaan muun muassa homogeenisille ohutfilmini- puille ja jaksollisille hiloille. Yleisesti ottaen FMM ratkaisee vaihe- ja amplitudihilat kaikenlaisina muotoina ja materiaaleina tehokkaasti ja tarkasti mill¨a tahansa pola- risaatiolla. FMM on my¨os helppo koodata ainakin 1D tapauksessa. 2- ja 3D tapauk- sissa ohjelman kirjoittaminen on my¨os suoraviivaista mutta tarkkuutta vaativaa.

Ep¨alineaarisia ongelmia ratkottaessa, pit¨a¨a kentt¨a laskea my¨os materiaalin sis¨all¨a.

T¨am¨a aiheuttaa useita lis¨avaiheita koodin kirjoittamiseen, ja koodaus hankaloituu.

Ep¨alineaarisuus aiheuttaa lis¨aty¨ot¨a koodaamiseen my¨os toisesta syyst¨a. Koska itse kaviteettikent¨an EC arvo muuttaa materiaalia, niin ep¨alineaarinen alue t¨aytyy piksel¨oid¨a, ja kentt¨a pit¨a¨a laskea jokaisessa siivussa erikseen. Kuvassa 4.1 on esitetty laskenta-alueen geometria. Siin¨a ep¨alineaarinen materiaaliχ³ on siivutettuM osaan, joiden pituudet ovat zlm =zm−zm−1, m= 1,2, . . . , M.

Suskeptibiliteetin laskemiseen sovellettiin iteratiivist¨a menetelm¨a¨a artikkeleiden [31,32] hengess¨a. Ensin laskettiin lineaarinen tapaus, josta saatiin kent¨an arvot ep¨a- lineaarisessa alueessa. Ratkaistun kent¨an avulla laskettiin suskeptibiliteetti kaavan (3.9) avulla, ja uutta suskeptibiliteetti¨a k¨aytettiin uudelle sis¨a¨antulevan kent¨an E0

arvolle.

T¨ass¨a ty¨oss¨a tutkittiin bistabiilisuutta gaussiselle pulssille, ja sis¨a¨antuleva kentt¨a E0 oli pulssin hitaasti muuttuva kuori. Kuori jaettiinK = 70 osaan, ja jokaista osaa k¨aytettiin monokromaattisen tasoaallon amplitudina. T¨allainen approksimaatio on p¨atev¨a vain, jos pulssi on riitt¨av¨an pitk¨a. Gaussinen pulssi oli FWHM arvoltaan 2.66 µs, ja pulssin kokonaiskesto oli tp = 10 µs. N¨ain pitk¨all¨a pulssilla nopeat os- killaatiot pulssikuoren sis¨all¨a voidaan j¨att¨a¨a huomioimatta [1]. Sis¨a¨antulevaa kentt¨a voidaan k¨asitell¨a monokromaattisena tasoaaltona, jonka keskikulmataajuus on ω0. Teoriaosassa 3 keskikulmataajuuden ajateltiin olevan atomin energiatilojen erotusta vastaava kulmataajuus. Lis¨aksi, koska laskennan kannalta ainoastaan sis¨a¨anmenev¨an kent¨an ja saturaatioamplitudin v¨alinen suhde merkitsee, niin pulssikuoren maksimi asetettiin arvoon 1V m⁻¹.

Jokainen pulssikuoren arvo sy¨otettiin ep¨alineaarisella materiaalilla t¨aytettyyn Fabry-Perot’n interferometriin. Resonaattori tarjoaa bistabiilisuuden vaatiman ta- kaisinkytkent¨amekanismin ja bistabiilisuutta vahvistavan suuren heijastuksen R.

Voimakkaan heijastuksen aikaansaamiseksi FB mallinnettiin Bragg-peilill¨a. Nelj¨an- nesaaltopeiliss¨a on N kerrosta kummallakin puolella vuoronper¨a¨an korkeapermittii- visi¨aεH ja matalapermittiivisi¨aεLohutfilmej¨a. Kentt¨a saapuu resonaattoriin pinnan normaalin suuntaisesti vasemmalta ja poistuu oikealta permittiivisyyksist¨a ε0 ja ε1

vastaavasti.

Resonaattorin optimointi suoritettiin Bohrin ja Wolfin [34] teoksen mukaisesti aallonpituudelleλ= 633nm. Permittiivisyyksiksi valittiinε0 =ε1 = 1,εH = 5,29 ja εL= 1,82. N¨aill¨a arvoilla kaviteetin pituudeksi saatiinLC = 1.90µm, kun k¨aytettiin aallonpituuden monikertaa 6. Peilien lukum¨a¨ar¨aksi valittiinN = 7, jolla saavutettiin noin 97% heijastus.

L_C

zN z

N+ 1

zN +2

. . .

+M

zN +M

− 1

zN +M

− 2

χ⁽³⁾ ε_H

ε_L

ε₀ ε₁

E0 EC ET

. . . . . .

z x

z0 z

1 z

2

. . . . . .

z2N +M

− 2

z2N +M

− 1

z2N +M

Kuva 4.1: Ongelman geometria. Sis¨a¨antuleva kentt¨a E0 saapuu Fabry- Perot’n interferometriin vasemmalta v¨aliaineesta, jonka permittiivisyys on ε0. Suuren heijastuksen aikaansaamiseksi FB on mallinnettu nelj¨annesaalto- ohutfilminipulla, jossa on yhteens¨a puolellaan seitsem¨an kerrosta matalaε_Lja korkeapermittiivist¨a ε_H kerrosta. Itse ep¨alineaarinen materiaaliχ⁽³⁾ on sijoi- tettu kaviteettiin. Interferometrist¨a ulostuleva kentt¨aE_T saapuu v¨aliaineeseen ε1.

FFM-koodia testattiin soveltamalla sit¨a tyhj¨a¨an Fabry-Perot’n interferometriiin edell¨a mainituin paramerein. Sis¨a¨anmenev¨an y-polarisoituneen s¨ahk¨okent¨an arvoksi asetettiin E0 = 1 V m⁻¹. T¨all¨oin s¨ahk¨okentt¨a on koko FB:n alueella on kuvan 4.2 mukainen. Kent¨an maksimiksi kaviteetin sis¨all¨a mitattiin noin 11.3V m⁻¹ eli kent¨an maksimiarvot olivat noin 11-kertaisia sis¨a¨anmenoarvoon n¨ahden.

Samaan kuvaan piirrettiin my¨os alueet, joissa kentt¨a laskettiin. Jokaisessa pys- tyviivalla erotetussa osassa ratkaistaan ominaisarvo-ongelma (4.5) tai (4.6) ja laske- taan kent¨an arvo kaavalla (4.7) ja (4.8) riippuen halutusta polarisaatiosta. Tihe¨a-

viivainen osio on ep¨alineaarinen materiaali, joka jaettiin M = 70:een osaan. Inter- ferometrin Bragg-peilit ovat molemmilla sivuilla harvajaotuksiset ja erileveyksiset pystyviivat. Lis¨aksi laskentaa suorittaessa otettiin huomioon yhteens¨a 21 diffraktio- kertalukua.

5 10

0

−5

−10 EC[V/m]

−0,63 0 1,90 2,53

z [µm]

Kuva 4.2: Kentt¨a laskenta-alueessa sis¨a¨anmenokent¨an arvolla E₀ = 1. Pys- tyviiva tarkoittaa aluetta, jossa kentt¨a lasketaan Fourier-moodimenetelm¨a¨a k¨aytt¨aen. Bragg-peilit ovat harvajaotuksiset pystyviivat molemmin sivuin ja ep¨alineaarinen materiaali on keskell¨a tihe¨ajaotuksinen alue.

4.2 Fourier-moodimenetelm¨ an teoria

K¨ayd¨a¨an seuraavaksi lyhyesti l¨avitse FMM:n teoria Tervon luentomonisteen [35]

pohjalta. Fourier moodimenetelm¨an perusperiaate on laajentaax-suuntaan jaksolli- sesti moduloitunut permittiivisyys Fourier-sarjoiksi

ˆ

ε^(m)(x) =

∞

X

j=−∞

ˆ

ε^(m)_j exp(i2πjx/d), (4.1)

jossa Fourier-kerroin ˆε^(m)_j on integraali hilajakson d yli ˆ

ε^(m)_j = 1 d

Z d

0

ˆ

ε^(m)(x) exp(−i2πjx/d)dx, (4.2) jossam on positiivinen kokonaisluku ja indeksim kertoo kerroksen, jossa permittii- visyytt¨a lasketaan. Esimerkiksi kuvassa 4.1 m = 1 on rajapintojen z0 ja z1 v¨aliss¨a.

Vastaavasti s¨ahk¨okent¨an tulotasoa vastaan poikittaineny-komponentti laajennetaan Floquet-Fourier -sarjoiksi

Ey(x, z)^(m)=

∞

X

p=−∞

A^(m)_p (z) exp(ikx,px), (4.3) jossa kerroin saadaan

Ap(z)^(m)= 1 d

Z d

0

E_y^(m)(x, z) exp(−ikx,px)dx. (4.4) Ottamalla Maxwellin-yht¨al¨oist¨a (3.1)-(3.2) Fourier-muunnokset, ja laskemalla roottorit s¨ahk¨o- ja magneettikent¨an y-komponenteille p¨a¨adyt¨a¨an kahteen toisistaan riippumattomaan yht¨al¨oryhm¨a¨an. N¨ait¨a kutsutaan TE - ja TM-polarisaatioiksi. Si- joittamalla niihin yht¨al¨ot (4.1) ja (4.3), ja soveltamalla asianmukaisia jatkuvuuseh- toja sek¨a Lin m¨a¨arittelemi¨a tulos¨a¨ant¨oj¨a [36] ep¨ajatkuvuuskohdissax-suuntaan kul- lekin kentt¨akomponentille, p¨a¨adyt¨a¨an lopulta ominaisarvoyht¨al¨oihin kummallekin polarisaatioille. TE-polarisaatiolle

[Jεˆ^(m)K−L^(m)]A^(m) = [γ^(m)/k₀]²A^(m), (4.5) Edell¨a J ˆ

ε^(m)m K on permittiivisyyden F-kertoimista muodostettu Toeplitz-matriisi, L^(m) = (kx,p/k0)²δp,q aaltovektorinx-komponenteista muodostettu diagonaalimatrii- si (q on indeksi joka tulee sarjojen kertolaskuista) ja A^(m) ominaisarvoja vastaava ominaisvektori, jossa on oleellinen informaatio kent¨an laskemista varten. Ominaisar- voina saadaan etenemisvakiot (aaltovektorin z-komponentti) [γ^(m)/k0]².

TM-polarisaatiolle saadaan vastaavasti

Jξ^(m)K⁻¹

I−SJεˆ^(m)_m K⁻¹S

C^(m) = [γ^(m)/k0]²C^(m), (4.6) jossaξ^(m)= 1/ˆε^(m)_j , I on yksikk¨omatriisi,SjaC^(m)ovat samoin kuin TE-tapauksessa diagonaalimatriisi, jossa diagonaalilla aaltovektorinx-komponentit ja ominaisvektori vastaavasti. Korotettu miinusmerkki tarkoittaa matriisin k¨a¨ant¨o¨a.

N¨am¨a ominaisarvo-ongelmat ratkaistaan jokaisessa alueessa. Alueesta toiseen siirryt¨a¨an S-matriisialgoritmilla [27–29,35]. Yhdist¨am¨all¨a kerrokset sopivin reunaeh- doin saadaan laskettua ulostulevan ja heijastuneen kent¨an tehokkuudetηT jaηRvas- taavasti.

Tekem¨all¨a S-rekursio toiseen suuntaan, saadaan laskettua my¨os diffraktiokertalu- kuja vastaavien eteenp¨ain (+) ja taaksep¨ain (−) kulkevien tasoaaltojen amplitudit a^m,± ja b^m,± hilakerroksen sis¨all¨a. Amplitudien ja ratkaistujen etenemisvakioiden avulla voidaan muodostaa kentt¨a rakenteen sis¨all¨a TE-polarisaatiolle

E_y^(m)(x, z) =

∞

X

j=−∞

a^(m,+)_j exp{iγ_j^(m)[z−z^(m)]}+a^(m,_j ⁻⁾exp{−iγ_j^(m)[z−z^(m)]}

×

∞

X

p=−∞

A^(m)_p,j exp(ikx,px)

(4.7) ja TM-polarisaatiolle

B_y^(m)(x, z) =

∞

X

j=−∞

b^(m,+)_m exp{iγ_j^(m)[z−z^(m)]}+b^(m,_j ⁻⁾exp{−iγ_j^(m)[z−z^(m)]}

×

∞

X

p=−∞

C_p,j^(m)exp(ikx,px).

(4.8) Kaavojen (4.7) ja (4.8) avulla laskettiin suskeptibiliteetti ep¨alineaarisessa materiaa- lissa jokaisessa siivussa kaavan (3.14) avulla. Ey-kentt¨a FB:n etupuolella on heijas- tuneen ja sis¨a¨antulevan kent¨an summa [33]

EI +ER= E0exp[i(kx,0x+γ0z)] +

∞

X

j=−∞

Rjexp[i(kx,jx−γ_j⁽⁰⁾z)], (4.9)

jossa kx,0 = ε^1/2₀ k0sin(β) ja γ0 = ε^1/2₀ k0cos(β) ovat kulmalla β tulevan tasoaal- lon aaltovektorin x- ja z-komponentit. Hilayht¨al¨ost¨a kx,j = k0ε^1/2₀ sin(β) + 2πjd saadaan k-vektorin x-komponentit heijastuneille kertaluvuille. Heijastuneiden taso- aaltojen kompleksiamplitudit Rj ja k-vektorin z-komponentit saadaan puolestaan S-rekursiosta.

L¨apimenev¨a kentt¨a saadaan s¨ahk¨okent¨an y-komponentille

ET =

∞

X

j=−∞

Tjexp{i[kx,jx−γ_j^(M+1)(z−h)]}, (4.10)

jossaγ_j^M+1 = [(k0ε^1/2₁ )²−kx,j.²]^1/2 l¨apimenevien tasoaaltojen etenemisvakiot jahon koko laskenta-alueen pituus.

TE-polarisaatiosta saadaan siis Ey-komponentti, jota k¨aytet¨a¨an t¨ass¨a ty¨oss¨a.

Muut s¨ahk¨okentt¨akomponentit voidaan tarvittaessa ratkaista TM-polarisaatiosta Maxwellin-yht¨al¨oiden avulla, jolloin t¨aytyy ratkaista my¨osHy-,Hx- jaHz-komponen- tit.

T¨ass¨a luvussa esitettiin laskentageometria ja Fourier-moodimenetelm¨a¨an perus- tuvan koodin perusperiaatteet. Lis¨aksi k¨asiteltiin pulssin ja ep¨alineaarisen laskenta- alueen diskretisointi. Koodin avulla lasketut tulokset esitet¨a¨an seuraavassa luvussa.

Luku V

Tulokset

T¨ass¨a luvussa arvioidaan kirjoitettua FMM-koodia vertaamalla sit¨a teorian antamiin tuloksiin ja tutkimalla metodin suppenemista. Lis¨aksi tutkitaan miten yleisimm¨at parametrit ES, α,∆ ja θ vaikuttavat bistabiilisuuden hystereesik¨ayr¨a¨an, ja kuinka bistabiilinen k¨aytt¨aytyminen muuttaa pulssin muotoa. Muita t¨arkeit¨a parametreja, joilla on suuri vaikutus hysteresisk¨ayr¨a¨an ovat muun muassa Fabry-Perot’n interfe- rometrin peilien heijastusR ja kaviteetin pituus, jotka pysyv¨at samoina kaikkien si- mulaatioiden ajan. Materiaalin vasteajalla on my¨os vaikutusta, johon paneudutaan lyhyesti. Yleisesti ottaen parametrien hallinta on haastavaa ja paljon optimointia jouduttiin tekem¨a¨an yrit¨a ja erehdy -tyylisesti.

Simulaatioiden l¨aht¨oasetelmat aiheuttivat muutaman huomioitavan asian. Kuten tiedossa oli, kolmannen asteen ep¨alineaariset ilmi¨ot ovat pieni¨a. Ep¨alineaarisuuden aiheuttava suskeptibiliteetti on kokoluokkaa 2,5×10⁻²²V²m⁻²kvartsille [4] ja tulee n¨akyviin vain eritt¨ain suurilla kent¨an arvoilla. Kuten edellisess¨a luvussa mainittiin, kent¨an voimakkuudella ei laskennan kannalta ole v¨ali¨a. Ratkaisevaa on kuinka va- litsee parametrit.

Tulosten esitt¨amiseen k¨aytettiin logaritmista asteikkoa, jolloin heikot ilmi¨ot saa- tiin paremmin n¨akyviin. Lineaarisella asteikolla tulosten esitt¨aminen olisi vaatinut ep¨arealistisen suuria parametrien arvoja. Kuvissa tulokset on esitetty my¨os normali- soimalla ulostuleva intensiteetti. Lis¨aksi, koska k¨ayt¨ann¨on kokeita ei suoritettu, eik¨a siten vertailukohtaa realistisiin tuloksiin ollut, simulaatioissa k¨aytettiin hieman nor- maalia suurempia parametrien arvoja. N¨ain voitiin tutkia hystereesin kvalitatiivisia ominaisuuksia.

Kaikki tulokset laskettiin edellisess¨a luvussa esitetyin koodiparametrein. Para-

metrit, joita muuttamalla tutkitaan hystereesik¨ayr¨an muutoksia, kerrotaan erikseen kunkin tuloksen ohessa, ja ne l¨oytyv¨at viel¨a taulukosta 5.1 t¨am¨an luvun lopusta.

Ensimm¨aiseksi menetelm¨an tuloksia verrattiin teoriaosuudessa esitetyn keskiar- vokentt¨ateorian yht¨al¨on (3.24) tuloksiin. N¨ain saatiin k¨asitys koodin luotettavuu- desta. Keskiarvokentt¨ateorian tulokset laskettiin keskiarvottamalla koodin antama kentt¨a kaviteetin sis¨all¨a ja normalisoimalla X ja Y.

Normalisointi aiheuttaa sen, ett¨a tulosten perusteella voidaan tutkia ainoas- taan hystereesik¨ayrien laadullista k¨aytt¨aytymist¨a. Parametrit valittiin satunnaises- ti, mutta tulosten n¨akyviin saamisen kannalta j¨arkev¨asti. Kuvan 5.1 tulokset saatiin taulukossa 5.1 esitetyin parametrein.

10⁻¹⁰ 10⁻⁸ 10⁻²

10⁻⁴

10⁻⁶ 1

10⁻⁸ 10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 1

FMM MF

|ET|2 /|ET,max|2

|E0|²/|E0,max|²

Kuva 5.1: Teorian ja koodin vertaamista. Kuvassa esitetty normalisoidut k¨ayr¨at sis¨a¨anmenev¨an ja ulostulevan kent¨an intensiteetin v¨alill¨a logaritmisel- la asteikolla. K¨ayriss¨a pisteviiva edustaa keskiarvokentt¨ateoriaa ja kokoviiva Fourier-moodimenetelm¨a¨a.

Kuvasta 5.1 huomataan, ett¨a laadullisesti koodin ratkaisemat ja keskiarvokent- t¨ateorian ennustamat k¨ayr¨at muistuttavat toisiaan. Bistabiilisuusalue, jossa sis¨a¨an- menokent¨an arvoilla on kaksi mahdollista ulostuloarvoa, on molemmissa l¨ahes sama.

Lis¨aksi k¨ayrien muodot muistuttavat hyvin paljon toisiaan.

K¨ayrien eroavaisuudet ovat usean asian summa. Esimerkiksi keskiarvokentt¨ateo- ria on johdettu FB:hen, jossa peilein¨a on pelk¨ast¨a¨an kaksi dielektrist¨a laattaa ja numeerisissa laskuissa on puolestaan k¨aytetty dielektrist¨a-peili¨a.

Lis¨aksi erot johtuvat l¨ahestymistavan erilaisuudesta: keskiarvokentt¨ateoriaa joh- dettaessa on k¨aytetty useita approksimaatioita, ja FMM on eksakti menetelm¨a lu- kuun ottamatta p¨a¨attym¨att¨omien sarjojen katkaisua. Keskiarvokentt¨ateorian ap- proksimaatiot ovat paremmin voimassa rajan αL l¨ahestyess¨a nollaa. T¨ass¨a laskus- sa αL = 1.89 × 10⁻⁴, ja muissa laskuissa ne ovat samaa kokoluokkaa. K¨ayt¨an- n¨on kannalta t¨am¨a tarkoittaa sit¨a, ett¨a absorption α vaikuttaessa kentt¨a¨an, nopeat kentt¨avaihtelut kaviteetin pituudelta L ovat moduloitu eksponentiaalisesti vaime- nevalla kuorella. T¨all¨oin keskiarvo kent¨an absoluuttisesta neli¨ost¨a painottuu pie- nille arvoille. Pienill¨a kent¨an arvoilla materiaali ei puolestaan p¨a¨ase saturoitumaan.

N¨ain ollen keskiarvokentt¨ateorian hystereesik¨ayr¨at ovat aina pienempi¨a kuin Fourier- moodimenetelm¨all¨a lasketut.

Keskiarvokentt¨ateoria pit¨a¨a siis paikkansa paremmin mit¨a pienempi kaviteetti on ja mit¨a kauempana laserin kulmataajuus on atomin resonanssikulmataajuudes- ta. FMM saa puolestaan hystereesin n¨akym¨a¨an sit¨a paremmin, mit¨a pidemm¨all¨a matkalla ep¨alineaarista materiaalia on ja mit¨a suurempi absorptio on saturoituva- na. T¨am¨a hankaloittaa osaltaan menetelmien vertaamista.

Toisena tarkasteltiin metodin suppenemista. Oletusarvoisesti mit¨a pienempiin siivuihin ep¨alineaarinen materiaali ja pulssin kuori jaetaan, sit¨a tarkemmat tulokset ovat. Jaotuksen kasvaessa my¨os tietokoneen laskentakapasiteettivaatimukset kasva- vat. Kuvassa 5.2 vertaillaan Fourier-moodimenetelm¨an suppenemista pulssinkuoren jaotuksen kannalta. Simulaatio suoritettiin arvoillaK = 30,100,300, ja muut para- metrit l¨oytyv¨at taulukosta 5.1.

Kuvasta n¨akyy, ett¨a mit¨a tihe¨ammin pulssi jaetaan, sit¨a jyrkempi¨a k¨ayr¨at ovat.

Matematiikan kannalta t¨am¨a selittyy tilojen stabiilisuusanalyysill¨a . Voidaan osoit- taa, ett¨a ala- ja yl¨ahaarat vastaavat stabiileja ja niiden v¨alinen alue ep¨astabiilia tasapainopistett¨a vastaavasti. Systeemin joutuessa t¨alle ep¨astabiilille tilalle, se et- siytyy nopeasti takaisin stabiiliin tilaan. T¨am¨a n¨akyy nopeana hyppyn¨a alahaaralta

10⁻¹⁰ 10⁻⁸ 10⁻²

10⁻⁴

10⁻⁶ 1

10⁻⁸ 10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 1

K = 30 K = 100 K = 300

|ET|2 /|ET,max|2

|E₀|²/|E_0,max|²

Kuva 5.2: Moodimetodin suppeneminen. Kuvassa ollaan laskettu bistabiili- suus kolmella pulssin jaotuksella eli K= 30,100 ja 300. Loput parametrit on pidetty ja ennallaan esitetty taulukossa 5.1.

yl¨ahaaralle. Luigiato [3] on k¨asitellyt haarojen haarojen stabiilisuutta tarkemmin.

Aalto-optiikan n¨ak¨okulmasta prosessi nopean hypyn taustalla on atomien satu- roituminen kaviteetin intensiteetin kasvaessa. Kun materiaali alkaa saturoitumaan, niin kentt¨a kaviteetin sis¨all¨a kasvaa ja kertautuu kimpoillessaan FB:n peilien v¨alis- s¨a [2, 3]. T¨ast¨a seuraa nopea ulostulokent¨an voimakkuuden kasvu, ja mit¨a nopeam- min kentt¨a p¨a¨asee saturoittamaan materiaalin, sit¨a jyrkempi k¨ayr¨a on.

Numeerisen laskennan kannalta k¨ayrien loiveneminen selittyy metodin iteratii- visella luonteella. Uusi sis¨a¨antulokent¨an arvo lasketaan edellisen iteraatiokierroksen suskeptibiliteetin arvolla. Jos kent¨an muutos on suuri, niin muutokset materiaalis- sa eiv¨at pysy per¨ass¨a. Bej on tarkasteli artikkelissaan [32] Kerr-materiaalin suppe- nemista sek¨a spatiaalisen ett¨a kent¨an jaotuksen n¨ak¨okulmasta. Artikkelissa kerro- taan, ett¨a iteratiivisen menetelm¨an suppenemiseksi, kent¨an muutoksien t¨aytyy olla

riitt¨av¨an pieni¨a sek¨a kerroksien riitt¨av¨an ohuita. Johtop¨a¨at¨oksen¨a voidaan sanoa, jaotuksen tihent¨aminen tarkentaa tuloksia, mutta toisaalta se vaatii huomattavasti enemm¨an resursseja. Laskenta-ajat K:n arvoille 30,100 ja 300 olivat 34 s, 127 s ja 473 s vastaavasti. Suppenemiseen palataan viel¨a luvussa 6.

Kolmessa seuraavassa kuvassa tarkastellaan parametrien vaikutusta hystereesi- k¨ayr¨an muotoon. Ensimm¨aiseksi tutkittiin saturaatioamplitudin merkityst¨a. Kuvas- sa 5.3 esitet¨a¨an tulokset kolmelle erilliselle laskennalle, jossa saturaatiokentt¨a¨a pie- nennettiin arvostaES = 0,103V /mensin arvoonES = 0,04V /mja edelleen arvoon ES = 0,002 V /m.

Bistabiilisuusalueen havaittiin siirtyv¨an suuremmilta sis¨a¨anmenokent¨an arvoilta pienemmille. Bistabiilisuusalueen siirtyminen selittyy sill¨a, kuinka saturaatiokentt¨a hillitsee materiaalin vastetta kent¨alle. Pulssin kannassa eli pienill¨a ja suurilla K:n arvoilla saturaatioamplitudi poistaa kent¨an vaikutuksen l¨ahes kokonaan. Suurennet- taessa ES arvoja, kent¨an vaikutus h¨avi¨a¨a yh¨a suuremmilta pulssin arvoilla. Mate- maattisesti kyse on siit¨a, ett¨a pienill¨a kent¨an arvoilla p¨atee E/ES << 1, jolloin materiaali ei saturoidu ja materiaalin vaste on l¨ahes lineaarinen. Suurilla kent¨an arvoilla puolestaan E/ES >>1, ja saturoitumisprosessi tapahtuu normaalisti.

Saturaatiokentt¨a¨a kasvattamalla arvoonES = 0,103 V /mhystereesik¨ayr¨a katosi l¨ahes kokonaan. T¨am¨a selittyy sill¨a, ett¨a t¨all¨oin kent¨an vaikutus on olematon kaikilla pulssin arvoilla. Suskeptibiliteetti on oleellisesti vakio, ja materiaalin vaste siten lineaarinen.

T¨ass¨a kohtaa on hyv¨a huomata, ett¨a intuitiivisesti ajatellen kaviteettikent¨an ar- vot sis¨a¨anmenokent¨an arvolla 1 pit¨aisiv¨at olla huomattavasti suuremmat. T¨all¨oin saturaatiamplitudin ei siten pit¨aisi poistaa ep¨alineaarista k¨ayt¨ost¨a suurillakaan sa- turaatioamplitudin arvoilla. T¨am¨a selittyy absorptiolla ja Fabry-Perot’n interfero- metrin sivuunvirityksell¨a, ja niit¨a k¨asitell¨a¨an seuraavaksi.

Kaavasta (3.24) huomataan, ett¨a Bonifacion ja Lugiaton kytkeytymisparamet- ri vaikuttaa hystereesik¨ayr¨an muotoon. Materiaalin kontribuution siihen antaa ab- sorptiokerroin; muut C-kertoimeen vaikuttavat ovat staattisia kaviteetin paramet- reja. Kuvassa 5.4 hystereesik¨ayr¨at laskettiin absorptiokertoimen arvoilla α = 0,1 ja α = 0,3 ja α = 0,6. Loput parametrit pidettiin samoina, ja ne l¨oytyv¨at j¨alleen taulukosta 5.1.

Absorptiokertoimenαhuomattiin muuttavan bistabiilisuusalueen muotoa ja paik- kaa. Merkitt¨avimm¨at muutokset olivat bistabiilisuuden voimistuminen, siirtyminen

10⁻¹⁰ 10⁻⁸ 10⁻² 10⁻⁴ 10⁻⁶ 1

10⁻⁸ 10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 1

ES = 0,002 ES = 0,04 ES = 0,103

|ET|2 /|ET,max|2

|E₀|²/|E_0,max|²

Kuva 5.3: Saturaatiokent¨an vaikutus. Kuvassa havainnollistetaan muutos- ta bistabiilisuusalueessa, kun saturaatioamplitudille annetaan arvot E_S = 0,103V /m,E_S = 0,04V /mjaE_S= 0,002V /m. Loput parametrit on esitetty taulukossa 5.1.

ja bistabiilisuusalueen laajeneminen.

Bistabiilisuuden voimistumisella tarkoitetaan hystereesik¨ayr¨an ala- ja yl¨atason erotuksen suurenemista. T¨all¨a luontainen selitys on, ett¨a suurillaα:n arvoilla kentt¨a imee valoa sis¨a¨ans¨a enemm¨an kuin pienill¨a, ja ulostuleva kentt¨a on siten pienempi.

T¨am¨an vuoksi alempi taso siirtyy alemmas kunnes saturaatioefektit ottavat vallan normaaliin tapaan. Ylempi haara samalla tasolla kuin aiemminkin, koska suurilla sis¨a¨anmenokent¨an arvoilla materiaali on saturoitunut. T¨all¨oin taitekerroin on oleel- lisesti vakio kuten kaavasta (3.20) n¨akyy. Hystereesik¨ayr¨an korkeuden kasvaminen johtaa my¨os bistabiilisuusalueen laajenemiseen, mik¨a johtuu suppenemisesta kuten aiemmin tuli esille.

Siirtyminen on seurausta siit¨a, ett¨a kentt¨a FB:n sis¨all¨a ei p¨a¨ase kasvamaan suu-

10⁻¹⁰ 10⁻⁵

10⁻² 10⁻⁴

10⁻⁶ 1

10⁻⁸ 1

α = 0,1 α = 0,3 α = 0,6

|ET|2 /|ET,max|2

|E0|²/|E0,max|²

Kuva 5.4: Absorptiokertoimen vaikutus. Suurennettaessa absorptiokerrointa hystereesi suurenee ja siirtyy alkamaan suuremmilla sis¨a¨anmenokent¨an arvoil- la. Loput parametrit on esitetty taulukossa 5.1.

resta absorptiosta johtuen riitt¨av¨an suureksi saturoituakseen. Matemaattisesti ab- sorptiokertoimen ja saturaatioamplitudin nostamisella on bistabiilisuusalueen siir- tymisen suhteen sama vaikutus. Ensimm¨aisess¨a osoittaja suurenee kaavassa (3.9) ja j¨alkimm¨aisess¨a suhteen|E|²/|ES|² pieneneminen johtaa saturoitumisen tapahtu- miseen my¨ohemmin. Nyt vain kentt¨a FB:n sis¨all¨a pienenee absorptiosta johtuen ja saturaatioamplitudi pysyy samana.

Absorptiokerroin on hieman harhaanjohtava t¨ass¨a tapauksessa, koska laser-atomi- sivuunvirityksen ∆ ollessa suuri imaginaariyksik¨on edustama absorptiivinen osa kaa- vassa (3.20) on huomattavasti pienempi kuin reaaliosan karakterisoima dispersiivi- nen osa. T¨all¨oin puhutaankin refraktiivisest¨a tai dispersiivisest¨a bistabiilisuudesta ja sit¨a tarkastellaan seuraavaksi.

Laserin ja atomin v¨alisen sivuunvirityksen merkityst¨a tarkasteltiin kuvan 5.5

avulla. Siin¨a tutkittiin hystereesik¨ayr¨an muutosta puhtaasta absorptiivisest¨a ∆ = 0 rad aina ”puhtaaseen” dispersiiviseen bistabiilisuuteen ∆ = 10 rad. Arvolla ∆ = 1 rad voidaan puhua bistabiilisuudesta, jossa kumpikin vaikuttaa.

10⁻¹⁴ 10⁻¹² 10⁻¹⁰ 10⁻⁸

10⁻⁸ 10⁻²

10⁻² 10⁻⁴

10⁻⁴ 10⁻⁶

10⁻⁶ 1

1

∆ = 0

∆ = 1

∆ = 10

|ET|2 /|ET,max|2

|E₀|²/|E_0,max|²

Kuva 5.5: Laser-atomisivuunvirityksen vaikutus. suurilla ∆:n arvoilla hyste- reesi siirtyy suuremmille sis¨a¨anmenokent¨an arvoille ja pienenee. Loput para- metrit on esitetty taulukossa 5.1.

Kuvasta huomattiin, ett¨a hystereesik¨ayr¨an muoto muuttuu ja hystereesisilmukka pienenee. Matemaattisesti t¨am¨a selittyy, kun huomataan, ett¨a kaavassa (3.9) sivuun- viritys esiintyy nimitt¨aj¨ass¨a korotettuna neli¨o¨on. T¨am¨an vuoksi se hallitsee pulssin pienempi¨a arvoja. Kent¨an kasvaessa laser-atomisivuunvirityksen rooli pienentyy, ja j¨alleen kerran saturaatio ottaa vallan. N¨ain ollen hyppy alahaaralta yl¨ahaaralle ta- pahtuu my¨ohemmin.

Fysiikan n¨ak¨okulmasta katsoen Lugiaton koontiartikkelissa [3] on hyv¨a selitys.

Kaviteetin sis¨all¨a sijoitettu materiaalin taitekerroin on suurempi kuin kaviteetin op-

timoitu arvo, joka t¨ass¨a tapauksessa on n = 1. T¨all¨oin suuri osa sis¨alle menev¨ast¨a kent¨ast¨a heijastuu takaisin pienill¨a pulssin arvoilla koska optinen matka ei ole oikea suuren transmission saavuttamiseksi. Kun kentt¨a kaviteetissa vihdoin suurenee, ep¨a- lineaarinen materiaali alkaa saturoitua, ja n¨ain ollen taitekerroin l¨ahenee kaviteetille optimoitua arvoa eli n → 1. T¨all¨oin kentt¨a FB:n sis¨all¨a kasvaa nopeasti ja mate- riaali saturoituu edelleen. Tapahtuu hyppy alatasolta yl¨atasolle. Sis¨a¨anmenokent¨an arvojen pienentyess¨a sama prosessi tapahtuu p¨ainvastaiseen suuntaan. Sis¨a¨anmeno- kent¨anE0 pienentyess¨a kentt¨a kaviteetin sis¨all¨a on riitt¨av¨an suuri edelleen pit¨am¨a¨an yll¨a saturaatiota. Kun molemmat kent¨at pienenev¨at riitt¨av¨asti saturaatio ja kavi- teetin resonanssi loppuvat, ja hystereesik¨ayr¨a palaa alatasolle.

Kuvan 5.5 katkoviivak¨ayr¨ass¨a on puhtaasti absorptiivinen tilanne eli ∆ = 0 rad ja laseri on atomin resonanssitaajuudella. Yleisesti ottaen absorptiivinen bistabii- lius on paljon voimakkaampaa kuin dispersiivinen, ja t¨am¨a n¨akyykin kuvasta 5.5 hyvin. Ero voimakkuudessa absorptiivisen ja dispersiivisen bistabiilisuuden v¨alill¨a johtuu niiden erilaisista mekanismeista. Absorptiivisessa bistabiilisuudessa kent¨al- le tapahtuu makrotasolla eksponentiaalista vaimenemista materiaalissa. Materiaalin saturoituessa sill¨a on my¨os ik¨a¨an kuin paljon potentiaalia. Muutokset ulostuloken- t¨ass¨a dispersiivisess¨a tapauksessa johtuvat optisen matkan muuttumisesta FB:n si- s¨all¨a, mik¨a aiheuttaa ¨akillisi¨a muutoksia kentt¨a¨an kaviteetin sis¨all¨a, mik¨a edelleen vaikuttaa taitekertoimeen ja niin edelleen.

Sivuunvirityksen arvolla (∆ = 1 rad) tapahtui mielenkiintoinen ilmi¨o. Siin¨a pie- nell¨a sivuunvirityksell¨a hystereesi oli voimakkaampi kuin puhtaasti absorptiivisessa tapauksessa. Teoria on johdettu puhtaasti atomeille, joilla on t¨asm¨alleen samanlai- nen s¨ateilyspektri eli homogeeninen levenem¨a. T¨allaiselle systeemille hystereesik¨ayr¨a on suurimmillaan absorptiivisessa tapauksessa [2, 3]. Kuvassa 5.5 n¨akyy kuitenkin selv¨asti, ett¨a hystereesi on suurin arvolla ∆ = 1.

Er¨as selitys t¨allaiseen k¨aytt¨aytymiseen on lokaalin kent¨an aiheuttama materiaa- lin ep¨ahomogeenisyys. Fabry-Perot’n interferometrin sis¨all¨a on useita kent¨an mini- meit¨a ja maksimeita kuten n¨akyy kuvasta 4.2¹. Lis¨aksi materiaalin k¨aytt¨aytyminen riippuu kent¨an voimakkuudesta. N¨ain ollen voidaan ajatella, ett¨a intensiteettimak- simien kohdalla atomien vaste on erilainen kuin kent¨an minimialueilla. Siten materi- aali k¨aytt¨aytyy kuin ep¨ahomogeeninen materiaali, ja siten materiaalin atomeilla on

1Kuvassa 4.2 kaviteetti on tyhj¨a, mutta my¨os ep¨alineaarisella materiaalilla t¨aytetyss¨a kavitee- tissa on minimej¨a ja maksimeja.

efektiivisesti ep¨ahomogeeninen levenem¨a. Ep¨ahomogeenisesti levenneitten atomien hystereesimaksimi ei ole puhtaasti absorptiivisess¨a vaan hieman sivuunviritetyss¨a systeemiss¨a [1–3]. Lis¨a¨a tietoa mallista, jossa on huomioitu molemmat mekanismit (absorptiivinen ja dispersiivinen AOB) ep¨ahomogeenisesti levenneille atomeille voi lukea l¨ahteist¨a [1–3]. Seisovien aaltojen vaikutuksesta taas bistabiilisuuteen on k¨a- sitelty Gibbsin kirjassa [1], joskin siin¨a ei mainita hystereesisilmukan suurenemista.

Miss¨a¨an edell¨a mainitussa l¨ahteess¨a ei yhdistet¨a ep¨ahomogeenisuutta ja lokaaleja kent¨an vaihteluita.

Kaviteetin sis¨aisen kent¨an aiheuttama ep¨ahomogeenisyys tekee selv¨an eron kes- kiarvokentt¨ateorian ja moodimenetelm¨an v¨alille. Ensimm¨ainen keskiarvottaa kent¨an kaviteetin sis¨all¨a, laskee suskeptibiliteetin keskiarvotetulla kent¨all¨a, ja kohtelee siten materiaalia t¨aysin homogeenisesti. J¨alkimm¨ainen puolestaan laskee suskeptibilitee- tin juuri sen mukaan, mit¨a se kussakin pisteess¨a ja kullakin kaviteetin kent¨an arvolla on. Siten FMM:ll¨a lasketuissa n¨akyy my¨os ep¨ahomogeeniset ilmi¨ot.

Keskiarvokentt¨ateorian ja Fourier-moodimenetelm¨an erot efektiivisesti ep¨ahomo- geenisess¨a aineessa tuodaan esille kuvassa 5.6. Siin¨a suoritettiin samat laskut kuin kuvassa 5.5 katko- ja pisteviivoin merkittyn¨a mutta lis¨aksi verrattiin niit¨a keskiarvo- kentt¨ateorian antamiin tuloksiin, jotka ovat esitetty samanlaisilla mutta punaisilla viivoilla. Tuloksista huomattiin, ett¨a FMM:ll¨a lasketuissa hystereesik¨ayriss¨a on eroa homogeenisen ja ep¨ahomogeenisen tapauksen v¨alill¨a. Keskiarvokentt¨ateoriassa vii- vat ovat l¨ahes identtiset. T¨ass¨a suhteessa FMM:ll¨a saadut arvot ovat ilmi¨oilt¨a¨an siis rikkaampia.

Parametrien vaikutuksista hystereesik¨ayr¨a¨an tarkasteltiin viimeisen¨a atomi- kaviteettisivuunvirityst¨a θ. T¨am¨a sivuunviritys nousee kaviteetin ominaiskulmataa- juuden sivuunvirityksest¨a. Sivuunvirityksen tapauksessa FB ei ole optimoitu taite- kertoimen arvolle, johon ep¨alineaarinen materiaali saturoituessaan pyrkii menem¨a¨an vaan optinen matka on laskettu esimerkiksi suuremmalle taitekertoimen arvolle.

T¨all¨oin kaviteetin optinen matka pitenee, ja siten kaviteetin taajuus ωc = qπc/L muuttuu. T¨all¨oin etalonin kulmataajuus ei vastaa sis¨a¨anmenokent¨an kulmataajuut- ta, vaan niiden v¨alill¨a on vaihesiirto θ = 2qπ −2k0Lc. Kuvassa 5.7 esitettiin piste- viivalla hystereesik¨ayr¨a sivuunvirityksell¨a ja ilman. Loput parametrit l¨oytyv¨at tau- lukosta 5.1.

Hystereesik¨ayr¨an muoto muuttui siten, ett¨a suuremmalla laseri-kaviteetti sivuun- virityksell¨a bistabiilisuusalue meni pulssin pienempi¨a arvoja kohti. T¨am¨a on intui-