Computer-aided structural design of sea marks loaded by ice

Teknillinen korkeakoulu Konetekniikan osasto

Jyrki Kullaa

Jään kuormittamien meriväylämerkkien tietokone­

avusteinen rakennemitoitus

Diplomityö, jonka aiheen Teknilli­

sen korkeakoulun Konetekniikan osas­

ton osastoneuvosto on hyväksynyt 31.1.1989.

Työn ohjaaja professori Mauri Määttä­

nen

Tekijä ja työn nimi : Jyrki Kullaa

Jään kuormittamien meriväylämerkkien tietokoneavusteinen rakennemitoitus

Päivämäärä : 16.5.1989 Sivumäärä: 174

Osasto : Koneinsinööriosasto Professuuri : Kul-49

Lujuusoppi Työn valvoja Professori Mauri Määttänen

Työn ohjaaja Professori Mauri Määttänen

Teräksestä valmistetut meriväylämerkit perustetaan meren pohjaan. Suunnittelu- kriteereinä ovat maa-aineen kuorman vastaanottokyky ja paalun jännitykset. Tehdään tietokoneohjelmisto, joka mitoittaa meriväylämerkin jääkuormia vastaan. Geometria- tiedot välitetään AUTOCAD-ohjelmalle, joka tekee työpiirustukset.

Maa-aineen käyttäytyminen on epälineaarista. Perustus mitoitetaan esikäsittelijässä alustavasti В lumin menetelmällä. Ratkaisija käyttää maalle epälineaarista p-у-mallia.

Ohjelmassa on kuuden hiekkatyypin sekä pehmeän ja jäykän saven paalun ja maan vuorovaikutusmallit. Ohjelmistolla voidaan mitoittaa myös kallioperään perustettava merimerkki.

Laskennassa käytetään elementtimenetelmää (FEM). Esikäsittelyä sisältää alustavat mitoitusrutiinit. Ratkaisija ottaa epälineaarisuuden huomioon iteratiivisesti. Iteroin­

nissa käytetään sekanttimenetelmää. Dynaamisessa analyysissä rakenne oletetaan lineaariseksi. Jäykkyysmatriisina käytetään dynaamisen kuorman keskiarvoa vas­

taavaa sekanttista jäykkyysmatriisia.

Kuormituksena staattisessa analyysissä on kiinto- ja ahtojääkuormat sekä tuuli- kuorma. Dynaamisessa analyysissä vaikuttaa vakiosuuruinen tuulikuorma sekä rakenteen ominaistaajuudella värähtelevä kiintojäävoima. Tuulikuorman merkitys on mitätön.

Ratkaisija varoittaa paaluun syntyvistä liiaan suurista jännityksistä, hitsausliitoksen väsymisriskistä tai siitä, että maaperä ei pysty kantamaan kuormaa. Ohjelma luo vasteiden kuvat PostScript-kieltä käyttäen.

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ABSTRACT OF THE MASTER'S THESIS

Author and name of the thesis : Jyrki Kullaa

Computer-Aided Structural Design of Sea Marks Loaded by Ice

Date: 16.5.1989 Number of pages : 174

Department : Faculty of Mechanical Engineering Professorship : Kul-49 Strength of Materials

Supervisor : Professor Mauri Määttänen

Instructor : Professor Mauri Määttänen

Sea marks made of steel are founded in the ground soil. The main criteria are the supporting ability of the soil and the stresses in the pile. The purpose of this study is to create a computer program that does the dimensioning of the seamark against ice forces. The geometry is transferred to an AutoCAD-program which does the workshop drawing.

The behaviour of soil is nonlinear. The preliminary design of the foundation is carried out by the pre-processor with Blum's method. The solver uses the nonlinear p-y-method for soil. The program includes soil-pile interaction models of six sand types, soft clay and stiff clay. Also a sea mark founded on bedrock can be analyzed.

The finite element method (FEM) is used in computing. The pre-processor consists of the preliminary dimensioning routines. The solver considers nonlinearity iteratively.

It uses the secant method in iteration. In the dynamic analysis the structure is supposed to be linear. A secant stiffness matrix corresponding to the average ice load is

used.

In the static analysis the load consists of forces caused by fast ice, pack ice and wind.

In the dynamic analysis there acts a constant wind load and a fluctating ice force. The wind force is insignificant.

The solver warns of too high stresses in the pile, the risk of fatigue in welded joints and the soil being unable to carry the loading. The program creates figures showing the response of the pile using the PostSript language.

Sisällys

Tiivistelmä Abstract Sisällys Kuvaluettelo Taulukkoluettelo

1 Johdanto 14

2 Paaluperustus 21

2.1 Vaakakuormitetun paalun differentiaaliyhtälö... 22

2.2 Suunnittelumenetelmiä... 23

2.3 Suunnittelumenetelmän valinta... 28

2.4 Pehmeän saven p-y-käyrät... 31

2.5 Jäykän saven p-y-käyrät... 32

2.5.1 Staattinen kuormitus 33

2.5.2 Dynaaminen kuormitus...36

2.6 Hiekan p-у-käyrät...37

3 Epälineaarinen analyysi 42 3.1 Newton-Raphsonin menetelmä... 43

3.2 Askelmenetelmä... 45

4 Materiaalinen epälineaarisuus 48 4.1 Muuttuvien jäykkyyksien menetelmä... 49

4.1.1 Sekanttimenetelmä... 49

4.2 Alkuvenymämenetelmä... 50

4.3 Alkuj ännity smenetelmä... 51

4.4 Iteraatiomenetelmän valinta... 52

5 Pakkovärähtelyanalyysi 54 5.1 Suora ratkaisumenetelmä... 55

5.2 Normaalimuotojen superponointi ... 57

5.3 Dynaaminen jääkuorma 60

6.1 Päämitat...67

6.2 Jääkuormat... 68

6.3 Tuulikuorma... 75

6.4 Blumin menetelmä... 77

6.5 Maalajit...78

6.6 Seinämänpaksuudet... 80

6.7 Dynaamisen analyysin lähtöarvot... 85

6.8 Elementtien fysikaaliset suureet... 86

6.9 Lisäehdot ...87

6.10 Elementtien massat... 88

6.11 Välitallennus ja lopetus... 89

6.12 Kallioperään perustettava meriväylämerkki... 90

7 Ratkaisija 95 7.1 Laskent akaavio...95

7.2 Elementin jäykkyysmatriisi... 99

7.3 Elementin massamatriisi...102

7.4 Momenttijakauma...103

7.5 Jään ja paalun dynaaminen vuorovaikutus... 103

7.6 Hitsiliitosten väsyminen...105

7.7 Tiedot työpiirustusta varten... 106

7.8 Grafiikka...107

8 Esimerkkiajo 110

9 Yhteenveto 114

10 Kiitokset 117

Lähdeluettelo 118

Liitteet

Liite 1. Lähtötiedosto ja sen selitykset ... 123

Liite 2. Tulostiedosto HUOM.DAT... 125

Liite 3. Esimerkki PostScript-kielestä... 128

Liite 4. Luvun 8 PostScript-kuvat... 132

Liite 5. Esimerkkikuvia vaimenninosalla varustetun me­ rimerkin vasteista...170

Kuvaluettelo

1.1 Väylän merkintä. (Sarkkinen 1980.)... 15 1.2 Teräsperustuksia ja yläosia. (Sarkkinen 1980.)... 19 1.3 Ahtojäävallin rakenne. (Sarkkinen 1980.)... 20 2.1 Passiivinen prismaattinen maan vastuskiila Blumin me­

netelmässä. (PIANC 1984.) ... 24 2.2 Blumin menetelmä, maan vastavoima. (PIANC 1984.) . 25 2.3 Blumin menetelmä, suunnittelukuormat, taivutusmo-

mentti ja siirtymä. (PIANC 1984.) ... 26 2.4 Winklerin menetelmä. (PIANC 1984.) 27 2.5 Tyypillinen p-y-käyrä. (Reese k O’Neill k Radhakrish-

nan 1970.)... 28 2.6 P-y-käyräperhe. (Reese k Cox 1969.)... 29 2.7 Pehmeän saven p-y-käyrä staattisille kuormille Matloc-

kin mukaan. (Cox k McCann 1986.) ... 31 2.8 Pehmeän saven p-y-käyrä dynaamisille kuormille Mat-

lockin mukaan. (Cox k McCann 1986.)... 31 2.9 Jäykän saven p-y-käyrä staattisille kuormille. (Cox &:

McCann 1986.)... 33

2.10 Dimensiottomat vakiot A ja В jäykälle savelle. (Cox b McCann 1986.)... 34 2.11 Jäykän saven p-y-käyrä dynaamisille kuormille. (Cox b

McCann 1986.)... 36 2.12 Hiekan p-y-käyräperhe sekä staattisille että dynaamisille

kuormille Reesen, Coxin ja Koopin mukaan. (Cox &:

McCann 1986.)... 38 2.13 Dimensioton vakio A hiekalle Reesen, Coxin ja Koopin

mukaan. (Cox b McCann 1986.) 39 2.14 Dimensioton vakio В hiekalle Reesen, Coxin ja Koopin

mukaan. (Cox b McCann 1986.) 41 3.1 Newton-Raphsonin iteraatio. (Desai b Abel 1973.) ... 45 3.2 Modifioitu Newton-Raphsonin iteraatio. (Desai b Abel

1973.) ... 46 3.3 Askelmenetelmä. (Desai b Abel 1973.)... 47 4.1 Sekanttimenetelmä eli suora iteraatio. (Desai b Abel

1973.) ... 50 4.2 Alkuvenymämenetelmä. (Desai b Abel 1973.)... 51 5.1 Dynaaminen jääkuorma Määttäsen mukaan, kun / < 2ßz. 61 5.2 Dynaaminen jääkuorma Määttäsen mukaan, kun / >2Hz. 61 5.3 Jaksollisen kuorman (katkoviiva) Fourier-sarjakehitelmät,

joissa on 2, 4, 6, 8, 10 ja 12 termiä... 63 6.1 Esikäsittelijän lohkokaavio... 65

6.3 Päämitat...68

6.4 Lähtöarvot jääkuormien laskemiseksi... 69

6.5 Ahtojääkuormajakauma Määttäsen (1984) mukaan. ... 70

6.6 Ahtojääkuormajakauma Pitkälän (1983) mukaan... 71

6.7 Valittu ahtojääkuormajakauma... 72

6.8 Lineaarisesti muuttuva viivakuorma palkin alueella. ... 73

6.9 Lähtöarvot tuulikuormien laskemiseksi... 75

6.10 Tuulikuorma... 76

6.11 Blumin menetelmän lähtöarvot... 78

6.12 Maalajit... "9 6.13 Momenttijakauma maaperässä... 81

6.14 Minimiseinämänpaksuuden laskeminen vedessä... 82

6.15 Dynaamisen analyysin lähtöarvot... 85

6.16 Vakiopoikkipintaisen putken fysikaaliset suureet...86

6.17 Muuttuvapoikkipintaisen putken fysikaaliset suureet. . . 87

6.18 Vaimenninelementin fysikaaliset suureet... 88

6.19 Lisämassat... 89

6.20 Lisäjäykkyydet...90

6.21 Reunaehdot... 91

6.22 Solmukuormat 92

6.23 Halkaisijat ja seinämänpaksuudet... 93 6.24 Valikko elementtien massojen laskemiseksi...94 7.1 Ratkaisijan lohkokaavio... 96 7.2 Jään lujuuden riippuvuus kuormitusnopeudesta Peyto-

nin mukaan (Määttänen 1978)... 104

Taulukkoluettelo

2.1 Suositeltavat k:n arvot jäykälle savelle. (Cox Sz McCann 1986.) ... 35 2.2 Suositeltavat ec:n arvot jäykälle savelle. (Cox &; McCann

1986.) ... 35 2.3 Suositeltavat k:n arvot hiekalle. (Cox McCann 1986.) . 40 6.1 Jään paineen aiheuttamien jännitysten arviointi (Roark

1975)... 84 7.1 Käytetyt materiaalivakiot. (PIANC 1984.)... 97

1. Johdanto

Suomen rannikko on matalikkoinen. Tyypillisesti rannikon edustalla on laaja saaristo. Yleensä tuonti- ja vientisatamien väylät ovat kahdeksas­

ta kymmeneen metriä syviä, mutta monet reitit aiotaan syventää 10- 15-metrisiksi. Koska rannikko on matala ja maalajit hankalia ruopata, väylistä tulee pitkiä, kapeita ja mutkaisia. Laivojen kulku on oltava turvallista öisin ja päivisin ja sekä hyvällä että huonolla näkyvyydellä.

Sen vuoksi väylä pitää merkitä tiheään ja tarkasti. (Sarkkinen 1980).

Väylät merkitään linjamerkeillä, jotka osoittavat reitin keskiviivan, reu- namerkeillä, jotka näyttävät väylän reunan, sekä poijuilla ja reimareilla (kuva 1.1). Osa linjamerkeistä ja kaikki merkit, jotka sijaitsevat väylän reunaviivalla, täytyy rakentaa veteen. (Sarkkinen 1980).

Veteen rakennettujen merkkien täytyy kestää talven aiheuttamat, ra­

situkset: ahtojääkuormat. saariston ulkopuolella, liikkuvan jääkentän aiheuttamat kuormat ja suojaisilla alueilla lähellä mannerta sekä sata­

missa kuormat hitaista jääkentän liikkeistä. Kelluvat meriväylämerkit soveltuvat ainoastaan suojaisille alueille, sillä muualla suuri jäävoima saattaa siirtää ne pois oikealta paikaltaan.

Laivaväylien reunamerkit. on perinteisesti valettu betonista ja ne lepää­

vät leveällä massiivisella laatalla meren pohjassa painovoiman avulla.

Vasta viime aikoina on alettu tutkia teräksisen merimerkin käyttökel­

poisuutta. Teräksisen merimerkin suunnittelija törmää perustus- ja värähtelyongelmiin sekä jäävoimien määrittämiskysymykseen.

Mitä massiivisempia merimerkit ovat sitä suuremmat kuormat kohdis­

tuvat niihin. Perustusten suurentaminen yleensä lisää kustannuksia.

Kuva 1.1 Väylän merkintä. (Sarkkinen 1980.)

Suomessa on tavoitteena kehittää merkkejä, jotka täyttävät seuraavat ehdot. Paaluihin kohdistuu mahdollisimman pieni jääkuorma; pääo­

sat voidaan valmistaa sarjatuotannolla ja ne voidaan koota tehtaissa;

rakenteet voidaan helposti kuljettaa asennuspaikalle ja nopeasti pys­

tyttää merellä; huoltokustannukset ovat kohtuulliset. Teräsrakenteet täyttävät melkein kaikki ehdot. Teräksen korkea lujuus sallii halkai­

sijan veden pinnalla olevan huomattavasti pienempi kuin muita mate­

riaaleja käytettäessä. Tällöin jäävoima on pienempi, mikä puolestaan sallii kevyemmän ja halvemman perustuksen.

Jääkentän kuormat aiheuttavat hoikkaan rakenteeseen muodonmuu­

toksia ja värähtelyjä. Merimerkit voidaan mitoittaa kestämään edellä mainitut tilanteet. Ongelmana ovat herkät laitteet, jotka eivät kestä suuria kiihtyvyyksiä. Teräksisten meriväylämerkkien kehitys perustuu oletukselle, että on taloudellisempaa kehittää värähtelynkestäviä lait­

teita kuin tehdä perustus värähtelyjä vaimentavaksi. Jos kiihtyvyyden kestäviä laitteita ei pystytä keksimään, yläosa voidaan vaimentaa suh-

16 ^-

teellisen alhaisin kustannuksin. (Sarkkinen 1980.)

Kuvassa 1.2 on neljä erilaista perustusta ja yläosaa. Ensimmäinen merkki on upotettu kallioperään sille tehtyyn koloon ja valettu beto­

niin. Onkalon syvyys on 3-4 metriä, jos kallion pinta on kymmenen metrin syvyydessä. Kolon tekeminen kovaan kallioon on hidasta, vai­

keata ja kallista, joten on kehitetty kuvan Ib mukainen perustus, jossa merimerkki ankkuroidaan sauvoilla, jotka ovat kiinni putken kehällä.

Sauvoille porataan reiät, jotka asennuksen jälkeen valetaan täyteen be­

tonia. Kuvat Ha ja Ilb esittävät maahan juntattua paalua. Maan on oltava tiivistä kitkamaata, jotta junttaussyvyys pysyisi kohtuullisissa rajoissa. Junttaussyvyys voi olla yli 20 metriä, jolloin paalu saattaa painaa 90 tonnia.

Teräksisiä meriväylämerkkejä on valmistettu tähän mennessä yli 150 kappaletta ja niitä tehdään vuosittain kuutisen kappaletta, joten on olemassa hyvät perusteet suunnittelun rationalisoimiseksi.

Liikkuvan jääkentän aiheuttama voima on niin suuri, että kun jää tör­

mää rakenteeseen, jompikumpi murtuu, mutta jää ei pysähdy. Jos rakenne on suunniteltu oikein, jää murtuu. Jos jään liike on rajoi­

tettu, paine saattaa aiheuttaa murtumisen itsestään, jolloin jäälautat muodostavat ahtojäävallin, joka ulottuu kolme kertaa alkuperäisen jään paksuuden verran veden pinnan yli ja kymmenen kertaa sen alle (kuva 1.3). (Määttänen 1980).

Jää voi ma rakennetta vasten ei ole koskaan vakio. Vaihtelut ovat useim­

miten satunnaisia. Joskus sattuu tilanteita, joissa jäävoiman huippu toistuu tietyin väliajoin. Kenttämittaukset ovat osoittaneet, että jää­

voiman taajuus vaihtelee 0.5-15 Hz välillä. Sattumalta tämä alue osuu useimpien merirakenteiden alimpien ominaistaajuuksien kohdalle. Ra­

kenteelle on paljon vähemmän vaaraa satunnaisista jäävoimien vaihte­

luista kuin toistuvista jaksoista. Sekä majakoiden että merimerkkien on havaittu värähtelevän resonanssitaajnuksilla. Ahtojäävoiman vai­

kuttaessa jäämassan sisäinen vaimennus estää resonanssivärähtelyjen kehittymisen suureksi.

Perustuksen joustavuus lisääntyy, kun se tehdään hoikemmaksi jäävoi­

mien minimoimiseksi. Tämä aiheuttaa suuremman herkkyyden jään

aiheuttamille värähtelyille. Vuonna 1973 ensimmäiset kokeilut teräk­

sisillä majakoilla epäonnistuivat: ohut jäälautta aiheutti törmätesään resonanssivärähtelyn, jossa lyhdyt hajosivat ja rakenne väsyi.

Jääkuormat lasketaan nykyään empiirisillä kaavoilla. Pulkkinen (1979) on tehnyt kirjallisuusselvityksen erilaisista jäävoimamalleista. Määttä­

nen ym. (1984) ovat selvitelleet kiinto- ja ahtojään aiheuttamia kuor­

mia sekä niiden dynaamisuutta.

Tavoitteena on tehdä vuorovaikutteinen suunnitteluohjelmisto, joka mi­

toittaa merimerkin annettujen lähtöarvojen mukaan. Mitoitus on teh­

tävä sekä staattisille että dynaamisille kuormille. Ohjelman tulee tuot­

taa lähtötiedot AutoCAD-ohjelmalle, joka piirtää työpiirustuksen.

Ohjelmointikielenä käytetään Fortran 77 -standardia (Korpela & Lar- mela fe Salmela 1985 mukaan). Ohjelmiston on määrä toimia PC:ssä.

Tämä rajoittaa suurten taulukoiden käyttöä. Laskennassa käytetään elementtimenetelmää.

Ei löytynyt valmista tietokoneohjelmaa, joka käyttäisi maalle epälineaa­

rista mallia. Siksi tehtiin itse ohjelmisto, joka mitoittaa meriväylämer- kin siten, että maaperä kantaa vaikuttavat kuormat eikä myötörajaa ylitetä. Lisäksi dynaamisessa analyysissä tarkastellaan hitsiliitosten vä­

syminen ja kiihtyvyystaso.

Ohjelmistoon kuuluu kaksi osaa: esikäsittelyä ja ratkaisija. Esikäsitte­

lyä kysyy tarvittavat lähtötiedot ja mitoittaa merkin alustavasti. Rat­

kaisija tekee lopullisen tarkistuksen p-y-menetelmällä siirtymäelement- timenetelmää käyttäen. Ratkaisijan perustana oli Määttäsen tekemä ohjelma, jota kehitettiin. Esikäsittelyä ohjelmoitiin kokonaan itse.

Kun meriväylämerkki juntataan meren pohjaan, on tunnettava maa- aineen ja paalun välinen vuorovaikutus. Sitä ovat tutkineet mm. Blum v. 1932, Brinch Hansen v. 1961, Winkler v. 1867 (PIANO 1984), Reese (1970), Reese fe Cox (1969), Jamiolkowski fe Garassino (1977), Mat- lock (1970), Reese fe Cox fe Koop (1974), Poulos (1980) ja McClelland fe Focht (1958). On havaittu, että maan vastareaktio poikittaisia voi­

mia vastaan riippuu paitsi maalajista myös syvyydestä maan pinnasta

- 18 -

sekä poikittaisesta siirtymästä. Luvussa 2 esitellään erilaisia käytettyjä paaluperustuksen mitoitustapoja poikittaisvoimia vastaan ja esitellään käytetyt p-y-menetelmän materiaalimallit.

Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä käsitellään luvussa 3.

Materiaalista epälineaarisuutta ja siihen sopivia ratkaisutapoja esitel­

lään luvussa 4. Pakkovärähtelyanalyysiä tarkastellaan luvussa 5. Kuor­

mitus on jaksollinen. Ratkaisumenetelmistä esitellään suora menetelmä ja normaalimuotojen superponointi.

Esikäsittelijän ja ratkaisijan toimintoja kuvaillaan luvuissa 6 ja 7. Ra­

portin lopussa on ohjelman esimerkkiajo ja tulosten arviointia.

Kuva 1.2 Teräsperustuksia ja yläosia. (Sarkkinen 1980.)

20

Kuva 1.3 Ahtojäävallin rakenne. (Sarkkinen 1980.)

2. Paaluperustus

”Paalun kantavuus on määrättävä siten, että paalumateriaalien lujuu­

det ja maapohjan ominaisuudet huomioon ottaen paalut kantavat esiin­

tyvät kuormitukset riittävällä varmuudella painumien ja sivusiirtymien pysyessä sallituissa rajoissa.” (RIL 121-1988). Paalun kantavuuden määrää siten joko rakenteellinen tai geotekninen kantavuus. Rakenteel­

linen kantavuus määräytyy paalun kestävyydestä, geotekninen kanta­

vuus riippuu pääasiassa paalun ympärillä olevan maan kokoonpuristu­

vuudesta (Rantamäki &; Tammirinne 1984). Tässä luvussa käsitellään geoteknistä kantavuutta.

Junttapaaluun kohdistuvat ulkoiset voimat välittyvät maaperään, joka.

ottaa kuorman vastaan ja pitää paalua pystyssä. Maa-aine toimii kim­

moisena alustana. Pitää siis tuntea paalun ja maa-aineen vuorovaikutus poikittaisia voimia vastaan.

On huomattava, että tulokset eivät, voi olla tarkempia kuin tieto maa- aineen ominaisuuksista.

Maaperän poikkileikkaus on usein erittäin epähomogeeninen, sillä esi­

merkiksi paalun asennustavalla (lyönti-, pora- tai suihkupaalu) tiede­

tään olevan huomattava vaikutus alkujännitysjakaumaan ja sen myö­

hempään kehitykseen paalun ympärillä.

Maa-aineen käyttäytyminen ja murtumismekanismi poikittain kuormi­

tetun paalun ympärillä ei vielä ole tarkkaan selvillä. Myöskään maa- aineen tukireaktioita ei tunneta täysin tyydyttävästi (PIANO 1984).

- 22 -

API ( 1974) suosittelee, että maan kantokuorma pitää jakaa varmuus- kertoimella perustuksen kantokyvyn määrittämiseksi. Sitä vastoin PIANC:in (1984) mukaan suunnittelijan pitäisi käyttää totuudenmu- kaisinta arviota maa-aineen lujuudesta mieluummin kuin arvioida sitä alakanttiin. Varmuuskerroin lisätään vasta jännityksiin.

Jos maa-aineen ominaisuudet arvioidaan alakanttiin, vastavoima pie­

nenee niin, että junttaussyvyyttä on lisättävä. Paalun maksimikuor- ma pienenee. Tämä johtaa maksimimomentin ja maksimijännityksen pienenemiseen. Täten on olemassa alimitoitusriski maksimimomentin alueella, joka sijaitsee vähän pohjan alapuolella (PIANO 1984).

2.1 Vaakakuormitetun paalun differen­

tiaaliyhtälö

Kimmoisalla alustalla olevan palkin differentiaaliyhtälö on (Niskanen 1973)

(2^.1⁾ missä E on palkin kimmomoduli, / poikkipinnan hitausmomentti, y poikittaissirtymä syvyydellä z ja p alustan jakautunut kuorma.

Jos alustakerroin on vakio, eli p = —k^y, yhtälö 2.1 voidaan ratkais­

ta helposti. Maan alustakerroin riippuu myös syvyydestä z ja palkin leveydestä d. Tällöin yhtälöksi tulee

EIj~ = p(y,z,d) (2.2)

az4

Poulos (1980) esittää, että yleensä käytetään mallia, jossa alustakerroin on suoraan verrannollinen paalun halkaisijaan d ja riippuu syvyydestä z seuraavan kaavan mukaan.

h = kL (i)" (2.3) missä ki on к h: n arvo paalun kärjessä, eli kun z = L. Eksponentti n on kokemusperäinen vakio, joka on suurempi kuin nolla.

Yhtälölle 2.2 ei ole yleistä ratkaisua. Poorooshasb (1985) on esittänyt sille yksinkertaisen numeerisen ratkaisumenetelmän. Reese (1977) on ratkaissut tehtävän differenssimenetelmällä. Yhtälö voidaan ratkaista myös elementtimenetelmällä.

2.2 Suunnittelumenetelmiä

Paalun geotekniseen suunnitteluun ei ole yleisesti hyväksyttyä standar­

dia. On olemassa erilaisia menetelmiä.

Klassiset metodit, kuten Blumin ja Brinch Hansenin menetelmät, pe­

rustuvat passiivisen prismaattisen maa-ainekiilan maksimivastukseen (kuvat 2.1, 2.2 ja 2.3).

Maa-aineen vastareaktio on tiheyden 7' sekä kitkamaalla sisäisen kitkan ф' ja koheesiomaalla koheesion cu funktio. Blumin menetelmä on kehi­

tetty pääasiassa hiekkaperäiselle maalle eli kitkamaalle, Brinch Hanse­

nin menetelmä ottaa myös koheesion huomioon.

Klassisten menetelmien etuna on laskelmien suhteellinen yksinkertai­

suus. Ne tarvitsevat vain muutaman maa-aineen parametrin, jotka voidaan suhteellisen helposti määrittää kokeellisesti tai ottaa valmiista taulukoista. Lisäksi näitä menetelmiä on käytetty paljon. Haittana on se, että niiden matemaattinen malli kuvaa huonosti todellisuutta.

Paalu oletetaan täysin jäykäksi. Maa-aine on koko paalun matkalta rajatilassa.

Menetelmiä, joissa maan vastareaktio riippuu sen muodonmuutoksista, ovat mm. Winklerin (1867) menetelmä ja p-у-menetelmä. Winklerin

- 24 -

п ж i

Kuva 2.1 Passiivinen prismaattinen maan vastuskiila Blumin mene­

telmässä. (PIANO l9SJt.)

menetelmässä oletetaan, että paalu on tuettu poikittain toisistaan riip­

pumattomilla vaakajousilla (kuva 2.4). Jousivakio k h ei ole vakio vaan riippuu paalun dimensioista ja jäykkyydestä, ulkoisen voiman suuruu­

desta, syvyydestä maan pinnan alla ja huipun ja pohjan reunaehdoista (PIANO 1984).

P-у -menetelmässä kimmokerroin E, = f(z,y) korvataan käyrillä, jotka antavat maan reaktion P siirtymän у funktiona (kuvat 2.5 ja 2.6). Kun kuvaajat tunnetaan, sekantin kulmakerroin voidaan laskea kaavasta

E.= P

У (2.4)

Kuva 2.2 Blumin menetelmä, maan vastavoima. (PIANC 198J.)

- 26 -

Kuva 2.3 Blurnin menetelmä, suunnittelukuormat, taivutusmomentti ja siirtymä. (PIANO 1984.)

Tangentiaalinen kulmakerroin saadaan kaavalla

Ex ⁼ dP

dy

P-у- ja Winklerin menetelmät sopivat tarkasti ottaen vain yksittäiselle paalulle tai etäällä toisistaan oleville paaluille. Niiden käyttö paaluryh­

mille on puhtaasti kokeellinen ja kyseenalainen menetelmän laajennus (PIANO 1984). Tässä työssä paaluja on aina vain yksi.

Vaikka menetelmä on teoreettisesti puutteellinen, se tullee säilymään suunnitteluvälineenä etujensa vuoksi. Ensinnäkin se on analyyttises­

ti yksinkertainen. Toiseksi sitä on käytetty paljon ja siitä on saatu kokemuksia maailmanlaajuisesti. Kolmanneksi menetelmä ottaa suh­

teellisen yksinkertaisesti huomioon epälineaarisuuden maan paineen ja siirtymän välillä sekä kulmakertoimen E, ja maan rajakuorman riippu­

vuuden syvyydestä z (PIANO 1984).

Menetelmiä, jotka pohjautuvat kinimoteoriaan, ovat kehittäneet mm.

Poulos (1980) ja Baguelin ym. ( 1977). Jousi ei heidän mielestään kuvaa maata hyvin, sillä maa-aineen jatkuvaa massaa ei oteta siinä

force H

deflection y

Kuva 2.4 Winklerin menetelmä. (PIANO 1980)

huomioon. Menetelmien mukaan maa otaksutaan ideaaliseksi, homo­

geeniseksi ja isotrooppiseksi massaksi, jolla on kimmovakiot E, ja fi, (Poissonin vakio). Näihin vakioihin paalun läsnäolo ei vaikuta. Tämän lähestymistavan etuja ovat maaparametrien fysikaalinen merkitys, ma­

temaattinen yksinkertaisuus ja se, että menetelmiä voidaan soveltaa myös paaluryhmiin (PIANO 1984).

Haittoina ovat kimmokertoimen E, kokeellisen määrittämisen vaikeus ja se, että epälineaarisuus ja parametrien E, ja Pu muuttuminen sy­

vyyden mukana voidaan ottaa vain karkeasti huomioon (PIANO 1984).

Muita lähestymistapoja ovat esimerkiksi FEM eli elementtimenetelmä, ja BEM eli reunaelementtimenetelmä. Ne ovat hyvin tehokkaita. Kol- midimensionaalinen malli saattaa helposti tulla hyvin suureksi, mikä lisää työmäärää sekä mallintamisessa että ratkaisussa. Materiaalimallit.

ovat hyvin monimutkaisia. Menetelmiä käytetään lähinnä vain tutki­

muksessa, ei työkaluina (Gazetas &; Dobry 1984).

- 28 -

Static

Pile Deflection (y)

Kuva 2.5 Tyypillinen p-y-käyrä. (Reese & O’Neill ¿4 Radhakrishnan 1970.)

2.3 Suunnittelumenetelmän valinta

PIANO (1984) suosittelee seuraavaa lähestymistapaa. Päämitat, eli paalun pituus, jäykkyys ja siirtymä, määritetään Blumin menetelmäl­

lä. Päämitat tarkistetaan Brinch-Hansenin menetelmällä. Lopullinen tarkistus tehdään p-y-menetelmällä, jos siihen tarvittavat maalajien parametrit tunnetaan.

Valitaan alustavaksi suunnittelumenetelmäksi Blumin menetelmä, jon­

ka avulla määritetään päämitat eli paalun halkaisija, junttaussyvyys ja seinämän paksuus. Menetelmää on kuvattu lähemmin lähteessä PIANO (1984).

Tarkistus tehdään p-y-menetelmällä kaksiulotteista elementtimenetel­

mää käyttäen.

Kuva 2.6 P-y-käyräperhe. (Reese & Cox 1969.)

P-y-käyrien muodostamiseksi tarvitaan kolmenlaisia parametreja (Cox k McCann 1986):

1. Maa-aineen ominaisuudet

30 - 7 efektiivinen ominaispaino, c suljettu leikkauslujuus, ф hiekan sisäinen kitkakulma,

£c venymä, joka vastaa 50 prosentin rajajännitystä laborato­

rion jännitys-venymäkäyrällä,

k vakio, kuvaa p-y-käyrän kaltevuutta alkuosalla,

J kokeellinen vakio pehmeän saven rajakuorman lausekkees­

sa.

2. Paalun ominaisuudet d paalun ulkohalkaisija.

3. Maan ja paalun välinen vuorovaikutus

p maan vastavoima poikittaiselle paalun siirtymälle. Il­

maistaan paalun pituusyksikköä kohti,

pu maan rajakuorma poikittaisia siirtymiä vastaan paalun pituusyksikköä kohti,

y paalun poikittainen siirtymä syvyydellä x,

А, В dimensiottomia vakioita hiekan ja jäykän saven p-y- käyrien lausekkeissa,

x etäisyys maan pinnasta,

xT Se etäisyys maan pinnasta, jolla pv:n yhtälö vaihtuu toiseksi.

Maa-aineen tehollinen ominaispaino, saven suljettu leikkauslu­

juus ja hiekan sisäinen kitka saadaan normaalisti asennuspaikan geoteknisistä mittauksista. Venymä sc voidaan valita pehmeän ja jäykän saven suosituksista, jos laboratorioarvoja ei ole saatavilla.

Suosituksia voidaan käyttää myös parametreille k ja J (Cox &;

McCann 1986).

Eri maalajityyppien p-y-käyrinä käytetään yleensä seuraavia. Pehmeän saven kuvaajat perustuvat Matlockin (1970), jäykän saven yhtälöt Reesen ja Weichin (1975) ja hiekan kuvaajat Reesen, Coxin ja Koopin (1974) käyriin. (Byrne k Anderson k Janzen 1984.)

2.4 Pehmeän saven p-y-käyrät

Cox &; McCann (1986) antavat seuraa van menetelmän pehmeän saven p-y-käyrän muodostamiseksi syvyydellä x (kuvat 2.7 ja 2.8).

Kuva 2.7 Pehmeän saven p-y-käyrä staattisille kuormille Matlockin mukaan. (Cox & McCann 1986.)

Maximum Cyclic Resistance where x >xr

u 0.5

at x = 0 0.72(x/xr)

Kuva 2.8 Pehmeän saven p-y-käyrä dynaamisille kuormille Matlockin mukaan. (Cox & McCann 1986.)

1. Syvyydellä x valitaan pienempi pu:n arvoista (a) lähellä maan pintaa:

pu — Zcd + 7 dx + Jcx ⁽2^.6⁾

- 32 - (b) muualla:

pu = 9 cd (2.7)

Ratkaisemalla syvyys xr, jossa pu:n yhtälö vaihtuu, saadaan 6 cd

7 d + Jc ^(2.8)

missä J on kokeellinen vakio, jonka arvo on noin 0.5 Meksi­

kon Lahden pohjasavelle ja 0.25 jäykemmälle savelle. Jos ei ole saatavissa testiarvoa, tulisi käyttää alempaa arvoa.

2. Jos venymälle ec ei ole laboratorioarvoa, valitaan ec = 0.005 hauraalle savelle,

ec = 0.020 häiriintyneille maalajeille tai konsolidoimattomille kerroksille,

£c = 0.010 on luultavasti tyydyttävä useimmissa tapauksissa.

3. Staattisissa p-у-käyrissä alkuosan yhtälö on

P_

Pu

(2.9) Kun у/yc = 8, käyrä leikkaa plastisen haaran.

4. Dynaamisissa p-y-käyrissä alkuosa on sama kuin staattisissa. Pis­

teessä d, joka vastaa p/pu = 0.72, käyrä jatkuu suorana, jonka kulmakerroin riippuu suhteesta x/xr. Pisteessä /, joka vastaa y/yc = 15, plastinen haara alkaa.

2.5 Jäykän saven p-y-käyrät

Cox &; McCann (1986) antavat seuraavan algoritmin jäykän saven p-y- käyrän muodostamiseksi syvyydellä x.

Pöliset = 0 055Pu((y - Ayc)/Ay,

6АУс Deflection, y, in.

Kuva 2.9 Jäykän saven p-y-käyrä staattisille kuormille. (Cox & Mc­

Cann 1986.)

2.5.1 Staattinen kuormitus

1. Hankitaan arvot suljetuille leikkauslujuuksille c, ominaispainolle 7, ja paalun halkaisijalle d syvyydellä x maan pinnasta.

2. Lasketaan keskimääräinen suljettu leikkauslujuus ca syvyydellä x.

3. Käytetään seuraavia kaavoja maan rajakuorman määrittämiseksi syvyydellä x.

(a) lähellä maan pintaa:

pu = 2 cad + 7</.r + 2.83са.т (2.10) (b) muualla:

Pu = llcd (2.11)

- 34 - Käytetään pienempää pu:n arvoa.

4. Luetaan A:n arvo kuvasta 2.10.

(Static) (Cyclic)

Kuva 2.10 Dimensiottomat vakiot A ja В jäykälle savelle. (Cox &

McCann 1986.)

5. P-y-käyrän alku saadaan yhtälöllä

p = kxy (2.12)

Taulukosta 2.1 saadaan sopiva arvo A*:lle.

6. Lasketaan

Taulukosta 2.2 luetaan sopiva arvo £c:lle.

Ус = Scd (2.13)

Keskimääräinen suljettu leikkauslujuus (kN/m2) 54-108 108-215 215-430 k, (staattinen) kN/m3

kc (dynaaminen) kN/m3

135750 54300

271500 108600

543000 217200

Taulukko 2.1 Suositeltavat k:n arvot jäykälle savelle. (Cox & McCann 1986.)

Keskimääräinen suljettu leikkauslujuus (kN/m2) 54-108 ! 108-215 215-430

£c 0.007 1 0.005 0.004

Taulukko 2.2 Suositeltavat £c:n arvot jäykälle savelle. (Cox & Mc­

Cann 1986.)

7. Muodostetaan ensimmäinen parabolinen osa p-y-käyrästä:

Í \ °'5

P = 0.5pu (2.14)

Yhtälöä 2.14 käytetään kuvaajien 2.12 ja 2.14 leikkauspisteen ja arvon y = Ayc välillä. Jos leikkauspistettä ei ole, käytetään kaa­

vaa 2.14.

8. Muodostetaan toinen parabolinen osa, kun у on välillä Ayc ja 6 Ayc:

p - 0.5pu

0.5

- 0.11

X .25

(2.15) 9. Muodostetaan suora osa, kun у on välillä 6A¡/C ja 18Ayc:

- 36 -

p = 0.5 pu (6A)0 5 - 0.822 - 0.125У - 6Ayc

(2.16) 10. Muodostetaan viimeinen suora, kun y on suurempi kuin 18Ayc:

p = 0.5pu[(6A)° 5 - 0.822 - 0.5A] (2.17) 2.5.2 Dynaaminen kuormitus

0.45yp О.бур 1.8у,

Kuva 2.11 Jäykän saven p-y-käyrä dynaamisille kuormille. (Cox &

McCann 1986.)

1. Vaiheet 1,2,3 ja 5 ovat samat kuin staattisessa tapauksessa.

4. Valitaan kuvasta 2.10 B:n arvo.

6. Lasketaan yc kaavalla 2.13 ja yp kaavalla lh = 4.1 Ayc Luetaan £c:lle sopiva arvo taulukosta 2.2.

(2.18)

7. Muodostetaan parabolinen osa p-y-käyrästä:

P = Bpu У - 0.45ÿp 0.45yp

2.5т

(2.19) Yhtälöä 2.19 käytetään yhtälöiden 2.12 ja 2.19 leikkauspisteen ja pisteen у = 0.6yp välillä. Jos leikkauspistettä ei ole, käytetään yhtälöä 2.19.

8. Muodostetaan suora, kun у on välillä 0.6yc ja 1.8yc:

P = Pu 0.9365 - 0.085У - 0.6 у p

Ус

(2.20)

9. Muodostetaan viimeinen suora, kun у on suurempi kuin 1.8yp:

P = Pu 0.936В - ^0.102ур

Ус

(2.21)

2.6 Hiekan p-y-käyrät

Hiekan p-y-käyrät ovat neliosaisia kuvaajia, joissa on kolme suoraa ja yksi parabolinen osa. Cox &: McCann (1986) antavat seuraavan prose­

duurin hiekan p-y-käyrän muodostamiseksi syvyydellä x.

1. Määritetään hiekan sisäinen kitkakulma ф.

2. Lasketaan seuraavat arvot.

K0 = 0.4

Ka = tan2(45° - |)

Kp = tan2 (45° + '—)

- 38 -

X = X4

3b/80

Kuva 2.12 Hiekan p-y-käyräperhe sekä staattisille että dynaamisille kuormille Reesen. Coxin ja Koopin mukaan. (Cox & McCann 1986.)

3. Lasketaan kantokuorman arvo kaavoilla (a) Lähellä maan pintaa:

pu = A7.t№ + .tF2) (2.22) (b) Muualla

Pu = A1xdF3 (2.23)

missä A on dimensioton vakio, joka saadaan kuvasta 2.13 ja

Fj = Kp - Ka

F2 = tan(450 + *){Fa + Fs)

(2.24) (2.25)

F3 = Ap2(A0tand> + Kp)-Ka (2.26)

F4 = (Ар - Ао) tan ^ (2.27)

F5 = A'otanssin ^45° + ^j ^1 + (2.28)

Ac (cyclic)

As(static)

Kuva 2.13 Dimensioton vakio A hiekalle Reesen, Coxin ja Koopin mukaan. (Cox & McCann 1986.)

4. Ratkaistaan yhtälöistä 2.22 ja 2.23 syvyys xr, joka määrittää, kumpaa yhtälöä käytetään pu:n laskemiseksi.

x’ = d{!4r)

(2'29)

5. Määritetään piste u: pu saadaan kaavalla 2.22, kun x < xr ja kaavalla 2.23, kun x > ,rr. Pisteen и у-koordinaatti saadaan

- 40 - kaavalla

6. Määritetään piste m:

(2.30)

Ври

Pm ~ л (2.31)

d

Ут - 60 (2.32)

Kuvasta 2.14 saadaan B:lle sopiva arvo joko staattiselle tai dy­

naamiselle tapaukselle.

7. Määritetään piste k:

Pk = кгхук (2.33)

( Pm

V

У* - , l/n

\ k\Хут /

(2.34) missä

Pm {Уи У m)

Ут{Ри Pm) (2.35)

k:n arvo valitaan taulukosta 2.3.

löysi

iuhteellinen tiiviy keskimääräinen

s:

tiivis

k^kN/m3) 5430 16290 33940

Taulukko 2.3 Suositeltavat k:n arvot, hiekalle. (Cox & McCann 1986.)

В

Bs (static) Bc (cyclic)

= 0.5

Kuva 2.14 Dimensioton vakio В hiekalle Reesen, Coxin ja Кооргп mukaan. (Cox & McCann 1986.)

8. parabolinen osa käyrästä noudattaa yhtälöä

(2.36)

3. Epälineaarinen analyysi

Lineaarisessa rakenteissa siirtymät, venymät, ja jännitykset ovat suo­

raan verrannollisia ulkoiseen kuormitukseen. Todellisuudessa mikään rakenne ei käyttäydy lineaarisesti, mutta lineaarinen teoria antaa usein käytännössä riittävän tarkan tuloksen. Epälineaarisuutta aiheuttavat esimerkiksi materiaalin myötäminen tai rakenteen suuret siirtymät (Ha­

kala 1987). Lisäksi lähes kaikki maamekaniikan ongelmat ovat epäli­

neaarisia (Desai &; Abel 1972).

Epälineaarinen teoria johtaa elementtimenetelmässä jäykkyysmatrii- siin, joka on riippuvainen siirtymistä. Lineaarinen yhtälö

[K]{u} = {F} (3.1)

muuttuu nyt muotoon

[A‘({«})]{«} = {F} (3.2)

Epälineaarinen käyttäytyminen voidaan jakaa kolmeen pääluokkaan:

geometriseen ja materiaaliseen epälineaarisuuteen sekä näiden yhdistel­

mään. Geometrisesti epälineaarisessa tapauksessa venymien riippuvuus siirtymistä on epälineaarinen, eli

{t-} = [£({«})]{«} ^(3.3)

Venymät voivat olla suuria tai pieniä. Materiaalisesti epälineaarisessa tapauksessa jännitysten ja venymien välinen riippuvuus on epälineaa­

rinen, eli

M = (S(H)M (3.4)

Venymien oletetaan olevan pieniä, vaikka liikutaan materiaalin suhteel- lisuusrajan yläpuolella. Yleisessä tapauksessa esiintyy sekä materiaa­

lista että geometrista epälineaarisuutta.

Epälineaarinen tasapainoyhtälö voidaan ratkaista joko iteratiivisesti tai paloittain lineaarisella askelmenetelmällä (Hakala 1987). Iteratiivisilla menetelmillä voidaan tasapainoyhtälö ratkaista tarkasti. Askelmenetel- mässä virhettä aiheuttaa askeleen alueella oletettu lineaarisuus. Askel- menetelmien kanssa voidaan myös käyttää iterointia, jolloin tasapaino voidaan toteuttaa tarkasti.

3.1 Newton-Raphsonin menetelmä

Yhden vapausasteen funktion nollakohtia iteroidaan Newtonin kaavalla

*Et+l —

Ф(*,)

Ф'(®г) (3.5)

Usean vapausasteen yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa muotoon

m = [AIM - {A} = {0} (3.6)

Kehitetään {Ф} Taylorin sarjaksi likiratkaisun {«}, läheisyydessä:

{*({«},>,)} = {«(Mi)} + 5¿y{*(M,)}(Mm - Mi) = {0}

(3.7)

- 44 - Päädytään iterointikaavaan

{“},>! = {»}•' {Ф}. _(3.8)

missä

W« - {Ф({м},)}

saadaan differentioimalla kaavasta 3.6. Päädytään kaavaan

¿{Ф} - [KT]d{u} (3.9)

Matriisista [AV] käytetään nimitystä tangentiaalinen jäykkyysmatriisi.

Nyt iteroimiskaava saadaan muotoon (kuva 3.1)

{«}.•+! = {«}<- [tfrrWi (3.10) Sopiva lähtöarvo on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu

Mo = [А-оГЧП (3.11)

Matriisi [AV] joudutaan kääntämään jokaisella iteraatiokierroksella.

Jos matriisia pidetään koko ajan vakiona, se joudutaan kääntämään vain kerran. Tätä tapaa kutsutaan modifioiduksi Newton-Raphsonin menetelmäksi (kuva 3.2). Konvergenssi on tällöin selvästi hitaampaa, mutta ratkaisuaika saattaa kuitenkin olla lyhyempi kuin normaalissa Newton-Raphsonin menetelmässä.

Яз Яа

Kuva 3.1 Newton-Raphsonin iteraatio. .(Desai & Abel 1973.)

3.2 Askelmenetelmä

Askelinenetelmässä kuormitus jaetaan osiin ja jokaisella kuormanli- säyksellä ratkaistaan lineaarinen yhtälöryhmä

[Kr]i-iA{u}t = A{F}, (3.12)

Kokonaissiirtymäksi saadaan

{«}n = ¿A{«}, (3.13)

Matriisi [Kt]í-i on siirtymien arvolla laskettu tangentiaalinen jäykkyysmatriisi. Saatu ratkaisu eroaa tarkasta ratkaisusta. Virhe pie­

nenee jakamalla kokonaiskuorma useampaan osaan.

- 46 -

Kuva 3.2 Modifioitu Newton-Raphsonin iteraatio. (Desai & Abel 1973.)

Epälineaarisella yhtälöryhmällä saattaa olla useita reaalisia ratkaisuja, joten iteroimalla saatu tulos ei aina ole etsitty ratkaisu. Lisäksi lähinnä materiaalisesti epälineaarisissa tapauksissa saattaa lopullinen ratkaisu riippua kuljetusta tiestä. Askelmenetelmässä tätä ongelmaa ei ole. As- kelmenetelmällä hyvän tarkkuuden saavuttaminen vaatii usein melko pieniä askelia, jolloin ratkaisuaika kasvaa voimakkaasti. Näiden syi­

den vuoksi usein käytetään yhdistettyjä askel- ja iterointimenetelmiä, joissa kullekin osakuormalle haetaan ratkaisu iteroimalla. Yhdistetyssä menetelmässä voidaan osakuormat sopivasti valitsemalla päästä aina optimaaliseen ratkaisuun (Hakala 1987).

Itsekorjaavilla askelmenetelmillä päästään tarkempaan tulokseen kuin tavallisella askelmenetelmällä. Menetelmiä ovat tutkineet mm. Strick­

lin & H ai sier (1973).

incremental solution

exact solution

Kuva 3.3 Askelmenetelmä. (Desai & Abel 1973.)

4. Materiaalinen epälineaarisuus

Olkoon jännitysten ja venymien välinen yhteys

F(W,W) = 0 (4.1)

Tämä johtaa epälineaariseen tasapainoyhtälöön

{*} = [A-({»})]{«}- {F} = {0} (4.2) Tämä voidaan ratkaista joko iteratiivisesti tai lisäysmenetelmällä tai sitten näiden yhdistelmällä.

Epälineaarisen rakenteen jäykkyysmatriisi lasketaan

[A"] =

f

V

Matriisi [E(ct)] on nyt muuttuja ja se voidaan päivittää jokaisella ite- raatiokierroksella.

Kirjoitetaan jännitysten ja venymien välinen yhteys muotoon

{<t} = [£]({£} - {¿o}) + W (4.4)

Jos jotakin suureista [E],{£0} tai {<r0} muuttelemalla löydetään tasa- painoyhtälön 4.2 sellainen ratkaisu, että se toteuttaa myös jännitysten ja venymien välisen todellisen yhteyden 4.1, tämä on oikea ratkaisu

(Hakala 1987).

Edellisen perusteella voidaan erottaa kolme iteratiivisten menetelmien

päätyyppiä. .

4.1 Muuttuvien jäykkyyksien menetel­

mä

4.1.1 Sekanttimenetelmä

Oletetaan, että epälineaarinen jännitys-venymä -yhteys voidaan esittää muuttuvalla kimmomatriisilla [E({e})]. Jäykkyysmatriisia muutetaan jokaisella iteraatiokierroksella sekantin kulmakertoimen mukaan. Ko-

konaiskuorma vaikuttaa jokaisella kierroksella

[Ki){Ui} = {F} (4.5)

ja iterointia jatketaan kunnes siirtymien muutos on tarpeeksi pieni.

Vaikka sekantin kulmakertoimen laskemiseen käytetään epälineaaris­

ta elastis-plastista konstitutiivista yhteyttä, on huomattava, että jäyk- kyysmatriisi [Á¿] kuvaa ikäänkuin lineaarista elastista rakennetta. Jo­

kainen kierros on ekvivalentti elastisen analyysin kanssa, jossa vaikuttaa täysi kuormitus. Lasketut sekanttien kulmakertoimet ovat kuin kim­

moisia vakiota. Elastisia ja plastisia jännityksiä ja veny mi ä ei tarvitse erotella (Desai & Abel 1972).

Sekanttimenetelmä on havainnollinen ja helppo ohjelmoida. Siinä jou­

dutaan kääntämään jäykkyysmatriisi joka kierroksella uudestaan. Se- kanttimenetelmää kehittyneempi ratkaisutapa on Newton-Raphsonin tai modifioitu Newton-Raphsonin iteraatio (kappale 3.1).

- 50 -

Kuva 4.1 Sekanttimenetelmä eli suora iteraatio. (Desai & Abel 1973.)

4.2 Alkuvenymämenetelmä

Oletetaan, että jännitysten ja venymien välinen yhteys on esitettävissä

muodossa -

{*} = /({*})

Sijoitetaan tämä yhtälöön

(4.6)

И = [£]({£} -Ы) ^(4.7)

missä kimmomatriisia [S] pidetään vakiona. Saadaan

Ы = /({*}) - lEl'i*} (4.8)

Epälineaarisuus otetaan siis huomioon korjaamalla venymiä termillä {£0}. Vastaava ekvivalentti korjaustermi voimavektorissa on

{F0} = J[B}T{E}{e0}dV (4.9)

v

Plastisessa käyttäytymisessä alkuvenymät vastaavat plastisia venymiä.

Kuva 4.2 Alkuvenymämenetelmä. (Desai & Abel 1973.)

4.3 Alkujännitysmenetelmä

Alkujännitysmenetelmässä konstitutiivinen yhteys lausutaan

- 52 -

И = /({£» (4.10)

Sijoittamalla tämä yhtälöön

M = [£]{£} + Ы (4.11)

saadaan

W = /№»-№} (4.12)

Tätä vastaava kuormitustermi on

{Fo} = -J[B}T{a0}dV (4.13)

v

Tasapainoyhtälön epälineaarisuus tulee siis jälleen näkyviin ainoastaan voimavektorissa.

Koska p-y-menetelmässä konstitutiivinen yhteys voidaan lausua voi­

man ja siirtymän avulla, tasapainottava kuormitustermi saadaan suo­

raan kaavalla

№ = [A-]{¡,} - {?({»})} (4.14)

4.4 Iteraatiomenetelmän valinta

Sekanttimenetelmässä ja Newtonin iteraatiossa joudutaan jäykkyys- matriisi muodostamaan ja kääntämään joka iteraatiokierroksella. Sen sijaan alkuvenymä- ja alkujännitysmenetelmissä käytetään vakiojäyk- kyysmatriisia. Nämä vastaavat molemmat matemaattiselta kannalta modifioitua Newton-Raphsonin iteraatiota (Hakala 1987).

Alkujännitysmenetelmä soveltuu hyvin vain materiaaleille, joilla tapah­

tuu huomattavaa myötölujittumista. Alkuvenymämenetelmä on hyvä päinvastaisessa tapauksessa (Hakala 1987).

Newton-Raphsonin ja modifioidussa Newton-Raphsonin iteraatiossa tarvitsee joka kierroksella ratkaista tasapainoyhtälö ja sen jälkeen muo­

dostaa sekanttinen jäykkyysmatriisi, jolla konvergenssi tarkistetaan.

Sekanttimenetelmässä tarvitaan ainoastaan sekanttinen jäykkyysmat­

riisi. Konvergenssi tarkistetaan vertaamalla uutta ja edellistä siirty- mävektoria keskenään. Alkuvenymämenetelmä ei sovi sen vuoksi, että p-y-käyrissä on vaakasuoria ja jopa laskevia osia, eli siirtymää ei voida lausua yksikäsitteisesti voiman avulla. Alkujännitysmenetelmä sitä vas­

toin sopisi hyvin.

Valitaan iteraatiomenetelmäksi sekanttimenetelmä sen selkeyden vuok­

si. Koska vapausasteita on vähän, iterointi ei kestä kauan.

5. Pakkovärähtelyanalyysi

Reunamerkkiin kohdistuu vakiona vaikuttava tuulikuorma sekä jaksol- lisesti vaihteleva kiintojääkuorma. Heräte on jaksollinen, kun

F{t) = F(t±T) (5.1)

Jaksollinen kuorma voidaan kehittää Fourier-sarjaksi kaavalla

F(t) = ^ ^(an cos nu)t + bn sin nuit) (5.2) Kertoimet ao, a„ ja b„ saadaan kaavoista (Pennala 1986)

T

a°

I F^dt

o

T

an = -/F(t) cos nuitdt (5.3)

o 2 T

6n = — / F(t) sinnuitdt o

Kun kuormitus on kehitetty Fourier-sarjaksi, tasapainoyhtälö on muo­

toa

[M] {ii} + [С] {м} + [Å"] { tí} = a° + ¿(«n cos nuit + bn sin nuti) (5.4)

2 n=l

Se voidaan ratkaista erikseen jokaiselle sarjan termille. Yhtälön oikean puolen ollessa n-asteinen polynomi ratkaisu on myös n-asteinen polyno­

mi (Rikkonen 1976). Termi a0/2 on polynomi, jonka asteluku on nolla, joten sijoittamalla yrite

{u} = {u0} (5.5)

liikeyhtälöön 5.4 saadaan

[*]{«.} = {f} (5.6)

joka on staattinen tasapainoyhtälö, kun kuormana on {a0/2}. {«o}

voidaan ratkaista:

Ы = (АТ'{у} (5.7)

5.1 Suora ratkaisumenetelmä

Kun liikeyhtälön oikea puoli on {a}ncosnutí + {¿>}n sin nuti, saadaan yrite (Müller h Schielen 1985)

W = Maunut + {qc}n cos nuti (5.8)

Sijoittamalla se liikeyhtälöön saadaan

- 56 -

mv [C]

. —п2ш2 [M] + [А']

-n2cv2 [M] + [A'] •

—mv [C\

jonka ratkaisu saadaan

пш [C]

—n2cv2 [M] + [K]

-n2cv2 [M] + [A-]

—ncv [C]

Matriisi joudutaan kääntämään jokaisella kuormitustermillä. Se vie paljon aikaa. Lisäksi matriisin koko on nelinkertainen rakenteen jäyk- kyysmatriisiin nähden. Helpompaa on käyttää kompleksilukuja. Kuor­

mitus F(t) = rt„ cos mvt + bn sin mvt voidaan lausua muodossa (Penti­

käinen 1978)

F(t) — rneinwt -f fne~inut (5.11) missä

r„ = 2^“" - ¿í>n) (5.12) Sijoittamalla yrite

= + (5.13)

liikeyhtälöön saadaan

([A'] - nV [M] + гпш [C']){,}„ = {r}„ (5.14) Tässä kerroinmatriisin koko on kaksinkertainen rakenteen jäykkyysmat- riisiin nähden, sillä matriisi on kompleksinen.

Suoralla yhtälöryhmän ratkaisulla on etuna ratkaisun selkeys. Huono puoli on se, että isot matriisit vievät paljon tilaa. On myös vaikeata laskea transient ti vaiheen vastetta. Pitäisi ratkaista yhtälö

[M] {ü} + [Cl + |/V[ w = {0}

joka on kompleksinen ominaisarvotehtävä.

(5.15)

5.2 Normaalimuotojen superponointi

Jos halutaan laskea myös transienttivaiheen vaste, siirrytään normaa­

limuotojen superponointiin. Ensiksi lasketaan ominaistaajuudet ja - muodot. Alkuperäiseen liikeyhtälöön

[M] {«} + [C] {Ù} + [K] M = Y + (an cos nuit + bn sin mvt) (5.16)

^ n=l

tehdään muunnos (Bishop & Gladwell &: Michaelson 1965)

{Я} = [A] {»} (5.17)

missä [A] on ominaismuotovektori ja koordinaatit qt ovat ns. normaali- koordinaatteja, joista kukin vastaa yhtä ominais- eli päämuotoa. Kun yhtälö vielä kerrotaan vasemmalta [A] :llä, saadaan

[•»]«> +MW+ !*]{«} = {«»)} (5.18) missa

- 58 -

N

W = [А]Г [А'] [А]

[c] = [A}T[C}[A} = a[k} + ß[m]

{<?(*)} - [A]T{F(t)}

Kerroinmatriisit o vat nyt lävistäjämatriiseja. Näin saatiin yhtälöryh­

män yhtälöt toisistaan riippumattomiksi. Kutakin yhtälöä voidaan kä­

sitellä yhden vapausasteen tapauksena. Ratkaistaan yhtälöryhmän i:s yhtälö

тай + cuq + Å:„g, = Qi(t) (5.19) Kun Qi(t) = Sn sin nuit + Cn cosnuit, saadaan yrite

qi = An sin nuit + Bn cos nuit (5.20) missä An ja Bn ovat toistaiseksi tuntemattomia kertoimia. Sijoittamalla yrite liikeyhtälöön saadaan

пшсц —п2ш2тц + ku _—п2ш2тпц + кц —пшсц

josta ratkaisemalla saadaan

(ku - ГПцП2ul2)Sn + СипиСп (ku - mun2и!2)2 + (c¿¡nui)2

сцпшSn + (ku - тцП2ш2)С„

{£}={*;} <5-2i)

(ku - тцп2ш2)2 + (сцпш)2 (5.22)

jotka sijoittamalla yritteeseen saadaan harmonisen herätteen vakiotila.

Kun herätteenä on vakiotermi, ratkaisu saadaan helposti havaintokoor- dinaatistossa ratkaisemalla yhtälö 5.6. Tämän ratkaisu {u} muunne­

taan päämuotokoordinaatistoon kaavalla

{g} = [m]"1 [Af [M] M (5.23) joka on johdettu kaavoista

M

{g}

{«?} = [A]"1!«}

H

[i] = M

M

= H

[A]r

= [A

[A]

Transienttivaihe saadaan ratkaisemalla yhtälö

m,¿g, + c{iq + = 0 (5.24)

jonka ratkaisu on, kun C < 1 (Salonen 1986)

g,- = e~(:,Unt(D sinu/jt + E cosu)dt) (5.25) missä

C*

- 60 -

D ja E ovat alkuehdoista määritettäviä vakioita. Jos alkuehdot ovat

HO)} = H}

{¿(0)} = {¿o} (5.26)

saadaan vastaavat alkuehdot päämuotokoordinaatistossa kaavalla 5.23.

Jos (u(0)} = {0} ja {¿(O)} — {0}, muunnos on suoraan

(7(0)} = {0}

(7(0)} = {0} (5.27)

Tällöin vaikioille D ja E saadaan kaavat

E =

-£B„-[m]-[Af[M]M

n=l

D ₌

- (o,

Л - 5Z

n=l

(5.28)

5.3 Dynaaminen jääkuorma

Alkuperäisessä ohjelmassa pakkovärähtelyanälyysi oli tehty suoral­

la aikaintegroinnilla käyttäen neljännen kertaluvun Runge-Kutta - integrointia. Se laskee joka aika-askeleella siirtymät, nopeudet, kiih­

tyvyydet ja solmu voimat. Ohjelman ajo kestää kauan. Etuna menetel­

mässä on se, että kuorman ei tarvitse olla jaksollinen.

Määttäsen (1984) mukaan dynaaminen jääkuorma on kuvan 5.1 mukai­

nen, jos taajuus on alle kaksi hertsiä; suuremmilla taajuuksilla se on kuvan 5.2 mukainen.

F

Kuva 5.1 Dynaaminen jääkuorma Määttäsen mukaan, kun f < 2Hz.

0.75F,

Kuva 5.2 Dynaaminen jääkuorma Määttäsen mukaan, kun f > 2Hz.

- 62 -

On huomattava, että taajuuden ollessa yli 2H: kuorma ei ole jaksol­

linen alkuosan takia. Jos pitää laskea transienttivaiheen vaste tälle kuormalle, ohjelma käyttää suoraa aikaintegrointia. Voitaisiin myös laskea vaste kahdessa osassa: Alussa kuorma on lineaarinen ja alkueh­

dot ovat nollia; kun tullaan kohtaan, jossa jaksollinen kuormitus alkaa, kehitetään voima Fourier-sarjaksi ja otetaan alkuehdot kyseisen koh­

dan lasketuista siirtymistä ja nopeuksista. Testauksessa huomattiin, että taajuuden ollessa yli 2Hz muoto on yleensä epästabiili ja tarvi­

taankin vain vakiotilan vaste, jolloin tarkastellaan voiman jaksollista osaa.

Kuorma on kehitetty sinisarjaksi ottamalla origoksi voiman keskiarvon paikka. Kosinitermit tulevat tällöin nolliksi. Kuvassa 5.3 on kuorman kuvaaja ajan funktiona eri termien määrällä. Huomataan, että kym­

menen sarjan termiä riittää hyvin kuvaamaan herätettä.

Koska origona ei ole voiman alkamiskohta, transienttivastetta lasket­

taessa kuvaajaa on siirrettävä oikealle 0.55T verran, missä T on jakson pituus. Tällöin kuormitus saadaan kaavalla

F(t) = a° + [an cos nuj(t + 0.55T) + bn sin nu(t + 0.55T)] (5.29) 2 n=i

Yhtälöissä 5.9, 5.10 ja 5.12 termit an ovat nyt. nollia. Yhtälöissä 5.21 ja 5.22 termit Cn ovat nollia.

Kuva 5.3 Jaksollisen kuorman (katkoviiva) Fourier-sarjakehitelmät, joissa on 2, Jf, 6, S, 10 ja 12 termiä.

6. Esikäsittelijä

Esikäsittelyin avulla suunnittelija luo lähtötiedoston varsinaista ratkai­

sijaa varten. Esikäsittelijä ei kuitenkaan ole pelkkä ”tyhmä” lähtöarvo­

jen lukija vaan se sisältää hyödyllisiä rutiineja alustavaan mitoitukseen sekä helpottaa lähtödatan antamista verrattuna tiedoston käsin kirjoit­

tamiseen. Lisäksi ohjelma tarkistaa, onko kaikki välttämätön lähtötieto annettu.

Kuvassa 6.1 on esikäsittelijän lohkokaavio. Ohjelma on interaktiivinen ja käyttäjä voi valita haluamansa rutiinin. Itse asiassa ohjelman ra­

kenne on tähti, jossa pääohjelmana on ALKU. Verkkomainen rakenne johtuu siitä, että jos käyttäjä valitsee rutiinin, jonka tarvitsemia lähtö­

tietoja ei tunneta, hypätään automaattisesti aliohjelmaan, joka kysyy kyseiset tiedot. Sen jälkeen palataan käyttäjän valitsemaan aliohjel­

maan.

Ohjelmassa voidaan käyttää oletuksena jotain vanhaa lähtötiedostoa.

Tällöin kaikkia arvoja ei tarvitse antaa uudestaan. Tämä on eduksi, jos suunnitellaan useita lähes samankokoisia reunamerkkejä. Oletustiedos- ton käyttö on välttämätöntä, kun halutaan muuttaa jotain lähtöarvoa ja laskea uudestaan. Hyvät lähtötiedostot, joiden nimi on IN.DAT, kan­

nattaa kopioida toisen nimisiksi, sillä esikäsittelijän tuottaessa uuden lähtötiedoston vanha häviää.

Esikäsittelijä käyttää SI-yksiköitä. m, kN, Л/Ра, kg, s. Ratkaisija sen sijaan käyttää SI-yksiköitä m, kN, kN/т2, kg, s. Tämän vuoksi ohjelman alussa ja lopussa on tehtävä yksikönmuunnoksia.

ROOROO

SIGMA

EXMASS

TEEDEE ALKU

SEINA1

TUULI EXSTIF

NEWTON

PPAINE PIIRTO

MATZER

MINIMI

PAKKO

MAALAJ

BASE1 VOIMAT

ELM NTS

SEINÄ

DYNAL

PMITAT

Kuva 6.1 Esikäsittelijän lohkokaavio

- 66 -

Ohjelma kysyy lähtötiedoston otsikon. Siihen annetaan tunniste, joka tulee kaikkiin kuviin sekä tulostiedostoihin. Otsikon avulla voidaan myöhemminkin tietää, mistä reunamerkistä on kyse.

1. PAAMITAT

2. JAA- JA TUULI KUORMAT 3. BLUMIN MOMENTTIJAKAUMA 4. MAALAJIT JA SEINAMANPAKSUUDET 5. HALKAISIJAT JA SEINAMANPAKSUUDET 6. ELEMENTTIEN MASSAT

7. ELEMENTIT 8. VOIMAT 9. REUNAEHDOT 10. LISAMASSAT 11. LISAJAYKKYYDET

12. DYNAAMISEN ANALYYSIN LÄHTÖARVOT 13. VÄLITALLENNUS

K - KUVA 0. LOPETUS ANNA RIVINUMERO

Kuva 6.2 Päävalikko.

Kuvaruudun oikeaan laitaan ilmestyy kuva merimerkin geometriasta ja elementtijaosta. Kuva pysyy koko ajan paikallaan tekstin tulostuessa vasempaan laitaan. Myös menut pysyvät samassa kohdassa. Suunnit­

telijan silmät eivät tällöin väsy yhtä helposti kuin jos kuvaruutu pyörisi jokaisen tulostuksen aikana ja katseen joutuisi kohdistamaan joka kerta uudelleen. Tämä on ergonomiaa!

Ohjelma on lähes laiteriippumaton. Merimerkin kuvan pitämiseksi ruudun oikeassa laidassa ja menujen paikallaan pysymiseksi se käyt­

tää kuitenkin kuvaruudun ohjauskomentoja, jotka on toteutettu ANSI- standardin mukaisesti (Altos Computer Systems 1985). Komennot ovat merkkiyhdistelmiä, joissa ensimmäinen merkki on ESCAPE. Ohjaus toteutetaan lähettämällä ohjelmassa kuvaruudulle kyseinen komento.

ESCAPE-merkki saadaan muuttamalla sitä vastaava ASCII-luku (27)

merkkitiedoksi komennolla UHAR(27). Esimerkiksi kursorin siirto ri­

ville 1 sarakkeeseen 40 tehdään komennolla

WRITE(*,*)CHAR( 27),' [1; 40Я'

ANSI-komennot ovat kaikki omissa aliohjelmissaan, joita on kolme:

KURSOR, KURSR‘2 ja KVRSR3, jotka ainoastaan ohjaavat kuvaruu­

tua.

Esikäsittelijä sietää paljon käyttäjän virheitä. Jos menusta valittava luku ylitetään tai alitetaan, ohjelma varoittaa siitä. Käyttäjän syöt­

täessä väärän tyyppistä tietoa saadaan taas ilmoitus ohjelman kaatu­

matta. Ohjelman voi kuitenkin keskeyttää esimerkiksi Control-Cdlä.

6.1 Päämitat

PMITAT-aliohjelma lukee merimerkin päämitat, jotka ovat yläosan korkeus ja halkaisija, veden syvyys, kartion korkeus, alaosan halkai­

sija, junttaussyvyys, kimmomoduli ja suurin sallittu jännitys. Jännitys tarkoittaa materiaalin myötörajaa jaettuna varmuuskertoimella. Junt- taussyvyyttä ei ole pakko antaa, sillä sille on olemassa oma laskenta- ruutiininsa, mutta jos joku muu valikon arvo on antamatta ja käyttäjä yrittää poistua aliohjelmasta, se ei onnistu.

Kun päämitat on annettu ja poistutaan aliohjelmasta, luodaan raken­

teen päägeometria automaattisesti: Yläosa jaetaan tasavälein neljään elementtiin, joiden halkaisija on käyttäjän antama yläosan halkaisija.

Vedessä oleva rakenne jaetaan myös neljään elementtiin: kolmeen yhtä pitkään kartioelementtiin ja yhteen lieriöelementtiin. Kartioelementit muodostetaan siten, että ylimmän elementin yläsolmun halkaisija on sama kuin yläosan halkaisija ja alimman elementin alasolmun halkai­

sija on yhtä suuri kuin alaosan halkaisija. Neljäs elementti vedessä on lieriö, jonka halkaisija on sama kuin alaosan halkaisija. Jos vedessä ole­

van lieriön pituus on mitätön (Ax < 0.2m ), muodostetaan neljä yhtä

- 68 -

1. YLÄOSAN KORKEUS ( 12.00 m) 2. VEDEN SYVYYS ( 12.00 m) 3. YLÄOSAN HALKAISIJA ( 0.880 m) 4. ALAOSAN HALKAISIJA ( 3.880 m) 5. KIMMOMODULI ( 210000. MPa) 6. SALLITTU JÄNNITYS ( 335.00 MPa) 7. JUNTTAUSSYVYYS ( 16.50 m) 0. LOPETUS

ANNA RIVINUMERO

Kuva 6.3 Päämitat.

pitkää kartioelementtiä. Maaperässä olevat, lieriöelementtien halkaisi­

jat määritellään alaosan halkaisijan suuruisiksi. Jokaiseen elementtiin liitetään annettu kimmomocluli ja suurin sallittu jännitys. Jos niitä ha­

lutaan muuttaa erikseen jollekin elementille, se voidaan tehdä kohdassa ELEMENTIT.

Lieriöiden ja kartioiden korkeudet pyöristetään lähimpään puoleen met­

riin, sillä AutoCad-ohjelma vaatii sitä.

6.2 Jääkuormat

Pulkkinen (1979) on tehnyt, kirjallisuustutkimuksen erilaisista jääkuor- mamalleista. Valitaan Afasanevin johtama empiirinen kiintojäävoiman kaava (Neill 1976)

1. SOLMU, JOHON JAA VAIKUTTAA ( 5) 2. JAAN LUJUUS ( 2.50 MPa) 3. JAAN PAKSUUS ( 0.700 m) 4. AHTOJAAN PAKSUUS ( 7.000 m)

5. AHTOJAAKUORMAN KERROIN, TAV. 1.0-2.0 ( 1.50) 0. LOPETUS

ANNA RIVINUMERO

Kuva 6.4 Lähtöarvot jääkuormien laskemiseksi.

Fk ^{hdcrc (6.1)}

missä h on kiintojaan paksuus, d on paalun halkaisija jään kohdalla ja

<7C on jään puristuslujuus.

Kiintojäävoima vaikuttaa solmuun 5. Se on yläosan ja kartion yhtymä­

kohta. Todellisuudessa tämä piste sijaitsee valmistusteknisistä syistä metrin veden pinnan yläpuolella, mutta koska pinnan korkeus vaih- telee, annetaan pis te voi man vaikuttaa ylimmässä mahdollisessa koh­

dassa. Veden pinta saattaa nousta yli metrin, jolloin kiintojäävoiman resultantti osuu solmun kohdalle. Siinä voiman vaikutus on kriittisempi kuin alhaisen veden kohdalla.

Ahtojääkuormalle Määttänen ( 1984) on esittänyt kuvan 6.5 ja Pitkälä (1983) kuvan 6.6 osoittaman jakauman.

70 -

/ / /ТГ

// У // / У'

Kuva 6.5 Ahtojääkuormajakauma Määttäsen (1984) mukaan.

Pitkälän mukaan kuva 6.6 esittää painejakaumaa eli kuormaa pinta- alayksikköä kohti. Muutettaessa jakauma viivakuormaksi se ei enää olekaan lineaarisesti muuttuva, sillä kartion projektiopinta-ala kasvaa alaspäin mentäessä. Ekvivalentti voimavektori lasketaan yleisesti kaa­

valla (Hakala 1980)

<«*} = / [/vf {X}dV

V

(6^.2⁾

missä [N] on muotofunktiomat.riisi ja {A } on tilavuusvoimavektori ele­

mentin alueella. Palkkielementin muotofunktiomatriisi on

[N] = [.N! N2 N3 iV4] (6.3) missä

Ari = (L3 -3Lx2 f 2x3)/L3

v w + 2.5

о о о О

w - 13.75

Kuva 6.6 Ahtojääkuormajаканта Pitkälän (1983) mukaan.

72 -

7777Z 77777

Kuva 6.7 Valittu ahtojääkuormajakauma.