A. Grundläggande matristeori

(1)

A. Matristeori

Reglerteknik II – Tillståndsmetoder (419301) A – 1

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik II / KEH

A. Grundläggande matristeori

A.1 Definitioner

A.1.1 Matriser och vektorer

En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner).

Elementen i en matris kan vara godtyckliga objekt men här begränsar vi oss till matriser där elementen är reella eller komplexa tal och variabler.

En matris A med m rader och n kolonner, dvs dimensionen dimA = ×m n, kan skrivas

1 11 12

2 21 22

1 2

n n

m m mn

a

a a

a

a a

a a a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A eller

1 11 12

2 21 22

1 2

n n

m m mn

a

a a

a

a a

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (A.1.1)

där a_ij,

i = 1, … , m

, j

=

1,…,n, är matrisens element. Matrisen kan avgränsas med runda parenteser eller hakparenteser; det senare (som vi använder) är vanligare inom tekniken.

Ett kortare sätt att ange vilka element en matris har är att skriva [a_ij]

=

A (A.1.2)

(2)

A.1.1 Matriser och vektorer

A.1 Definitioner A – 2

Rader och kolonner

Matrisen A:s i:te rad är

[ ^a

_i₁

^a

_i₂

^a

_in

]

^,

¹ ^{≤ ≤} ⁱ ^m

^(A.1.3)

En matrisrad, eller en matris med dimensionen

1 × n

, kallas även för en radvektor.

Matrisen A:s

j

:te kolonn är

1 2 j

j

mj

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

,

1 ≤ ≤

j n (A.1.4)

En matriskolonn, eller en matris med dimensionen m×

1

, kallas för en kolonnvektor.

En matris med lika många rader som kolonner kallas en kvadratisk matris.

Obs. att en matris med dimensionen 1 1× är en skalär, som följer normala räkneregler för skalärer.

(3)

A.1.1 Matriser och vektorer

Transponering

Transponering av en matris innebär att man bildar en matris där rader och kolonner byter plats i den ursprungliga matrisen. Transponering betecknas med symbolen T så att A^T betecknar transponering av A,dvs

1 11 21

T 12 22 2

1 2

m m

n n mn

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (A.1.5)

Den så erhållna matrisen A^T kallas A:s transponat. Märk att transponeringen innebär att en m n× -matris blir en n m× -matris.

– En matris är symmetrisk om A^T

=

A.

– En matris är skevsymmetrisk om A^T

= −

A.

I fortsättningen antar vi alltid, om inte annat sägs, att en vektor är en kolonnvektor.

En radvektor kan då uttryckas som en transponerad vektor. Om x är en kolonnvektor, är xT då en radvektor med samma element som x.

(4)

A.1.1 Matriser och vektorer

Beteckningar

• En matris betecknas vanligen med en stor bokstav (en versal) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven understrykas med två streck.

Matrisens element betecknas normalt med motsvarande små bokstäver (gemena) skrivna med kursiv stil och med nedre index som anger deras position i matrisen.

• En vektor betecknas vanligen med en liten bokstav (gemena) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven

understrykas med ett streck.

Vektorns element betecknas normalt med samma bokstav skriven med kursiv stil och med ett nedre index som anger deras position i vektorn.

• En skalär skrivs i tryckt text med kursiv stil, antingen stor eller (helst) liten bokstav.

(5)

A.1 Definitioner

A. Grundläggande matristeori A – 5

A.1.2 Determinant, rang och spår

Determinant

En determinant är ett kvadratiskt schema av storheter som har ett skalärt värde.

Determinanter uppträder ofta i tillämpningar av linjär algebra. Värdet på en viss

determinant säger t.ex. om det finns en entydig lösning till ett linjärt ekvationssystem.

Av ovanstående följer att varje kvadratisk matris A har en determinant, som vi betecknar

| A| eller detA. (Obs. att | A| inte skall uppfattas som en matris, där elementen är absolutvärdet av motsvarande element i matrisen A.) Med matriselementen utskrivna har vi

1 1

11 12 11 12

2 2

21 22 21 22

1 2 1 2

det | |

n n

n n nn n n nn

a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A A (A.1.6)

Märk att matrisen ytterst avgränsas av lodräta streck (med eller utan parenteser för själva matrisen) när determinanten avses.

(6)

A.1.2 Determinant, rang och spår

Beräkning av determinantens värde

Beräkning av determinantens värde är förhållandevis komplicerat för stora matriser. Vi skall därför börja med att betrakta små matriser.

För en 1 1× -matris, dvs för en skalär, är determinantens värde lika med skalärens värde.

För en 2 2× -matris har vi det enkla uttrycket

11 12

11 22 12 21 21 22

a a

a a a a

a a = −

(A.1.7)

För en 3 3

×

-matris finns flera ekvivalenta sätt att ställa upp beräkningen. Vi har t.ex.

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

( ) ( ) ( )

a a a

a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

= − +

= − − − + −

= + + − − −

(A.1.8)

(7)

A.1.2 Determinant, rang och spår

I själva verket kan determinanten för en godtycklig kvadratisk matris beräknas genom utveckling längs vilken rad eller kolonn som helst så att varje element

a

_ij på raden eller kolonnen multipliceras med den underdeterminant som fås då rad

i

och kolonn

j

stryks från ursprungsmatrisen och denna produkt adderas till föregående termer med tecknet

( 1)

−

^{i j}⁺ . Underdeterminanterna beräknas givetvis enligt samma regler.

För en

n n

× -matris fås då

1 1

| | ( 1) | | ( 1) | |

n n

k j i k

kj kj ik ik

j i

a a

+ +

= =

= ∑ − = ∑ −

A A A (A.1.9)

där k betecknar vilken rad eller kolonn som helst och

Aij är den undermatris som fås när rad i och kolonn j stryks från A. Underdeterminanterna | A_ij | beräknas enligt samma regler.

I praktiken lönar det sig vanligtvis att utveckla enligt en rad eller kolonn som innehåller nollor, ju fler desto bättre, eftersom detta reducerar antalet termer i (A.1.8).

Man kan också utnyttja olika transformationer, som inte påverkar determinantens värde, för att förenkla den slutliga beräkningen enligt (A.1.8). Se Gustafssons formelsamling.

(8)

A.1.2 Determinant, rang och spår

Rangen av en matris

Rangen av en matris är ett skalärt tal, som kan definieras på flera ekvivalenta sätt.

Rangen av en matris A, betecknad rangA eller rankA, är lika med

• antalet kolonner (eller rader) i den största kvadratiska matris med en determinant olika noll som kan bildas ur A genom strykning av kolonner och/eller rader

• antalet linjärt oberoende kolonner och antalet linjärt oberoende rader i A

Den sista punkten innebär att antalet linjärt oberoende kolonner alltid är lika med antalet linjärt oberoende rader i en matris. En dylik uppsättning linjärt oberoende kolonner och rader bildar en kvadratisk matris av maximal storlek med determinanten olika noll.

För en matris A med dimensionen m n

×

gäller uppenbarligen att rangA ≤ min( , )m n . Om rangA = m sägs matrisen ha full radrang, om rangA = n har den full kolonnrang.

Spåret av en matris

Spåret av en kvadratisk matris A, betecknat tr A eller traceA (från engelskans ”trace”) är lika med summan av matrisens diagonalelement, dvs

trace^A

= ∑

a_ii^(A.1.10)

(9)

A.1 Definitioner

A.1.3 Speciella matriser

– En nollmatris eller nollvektor, betecknad

0

, har alla element lika med noll. Dess determinant har givetvis värdet noll.

– En diagonalmatris D är en kvadratisk matris som har alla element, förutom diagonalelementen d_ii, lika med noll, dvs

11

22 11 12

0 0

0 0 diag( , , , )

0 0

nn nn

d

d d d d

d

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

D

(A.1.11)

Determinantens värde ges av

1

| |

n ii i

d

=

= ∏

D

(A.1.12)

(10)

A.1.3 Speciella matriser

– En enhetsmatris (även kallad identitetsmatris) är en diagonalmatris med alla diagonalelement lika med 1.

Den vedertagna beteckningen för en sådan matris är

I

. Om behövligt, kan enhetsmatrisens dimension (

n n ×

) anges med ett nedre index (I_n).

Enhetsmatrisens determinant har värdet 1.

– En triagonal matris är en kvadratisk matris som har alla element till höger eller till

vänster om huvuddiagonalen lika med noll (vänstertriagonal resp. högertriagonal), dvs

11 21 22

1 2

0 0

0

n n nn

l l l

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

L

eller

11 12 1

22 2

0 0 0

n n

nn

r r r

r r

r

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

R

(A.1.14)

Pga nollorna ges determinanternas värden av de enkla uttrycken

1

| |

n ii i

l

=

= ∏

L

,

1

| |

n ii i

r

=

= ∏

R

(A.1.15)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

I

(A.1.13)

(11)

A.1.3 Speciella matriser

– En tridiagonal matris

T

är en kvadratisk matris där elementen som uppfyller

| i − j | 1 >

är lika med noll, dvs den har formen

11 12 21 22 23

32

1, 1 1, , 1

0 0

0 0 0

n n n n

n n nn

t t t t t

t

t t

− − −

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

T

(A.1.16)

En tridiagonal matris är en s.k. bandmatris med bandbredden 3.

– En blockmatris är uppbyggd av andra matriser och dess struktur bestäms av de ingående matrisernas strukturer (ingen speciell struktur behöver dock finnas). T.ex.

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A B

C D eller

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A B

C D

^(A.1.17)

betecknar den matris som fås när elementen i matriserna

A

,

B

,

C

och

D

insätts på respektive matris’ ställe.

A

,

B

,

C

och

D

kallas också undermatriser till den matris där de ingår.

(12)

A. Matristeori

A.2 Matrisoperationer

A.2.1 Likhet

Två matriser av samma dimension är lika om och endast om alla element i motsvarande positioner i de två matriserna är lika, dvs

=

A B

⇔ a

_ij

= b

_ij,

∀ i j ,

(A.2.1)

A.2.2 Addition och subtraktion

Två matriser av samma dimension kan adderas och subtraheras genom att addera eller subtrahera alla element i motsvarande positioner i de två matriserna, dvs

= +

C A B

⇔

c_ij

=

a_ij

+

b_ij,

∀

i j, ^(A.2.2)

= −

C A B

⇔

c

_ij

= a

_ij

− b

_ij,

∀ i j ,

(A.2.3)

(13)

A.2 Matrisoperationer

A.2.3 Multiplikation

Multiplikation med en skalär

En matris kan alltid multipliceras med en skalär (dvs ett tal). Resultatet fås genom att multiplicera varje element i matrisen med skalären i fråga, dvs

= ⋅ s

C A

⇔

c_ij

= ⋅

s a_ij^,

∀

i j, ^(A.2.4) Multiplikationstecknet kan utelämnas.

Matrismultiplikation

Två matriser kan multipliceras med varandra om och endast om de är konforma. Detta innebär att matrismultiplikationen

A B ⋅

kan utföras om och endast om antalet kolonner i

A

är lika med antalet rader i

B

. Resultatet av multiplikationen ges av

= ⋅

C A B

⇔ c

_ij

= a b

_i_{1 1}_j

+ a b

_i_{2 2}_j

+ + a b

_{in nj},

∀ i j ,

(A.2.5) Multiplikationstecknet kan utelämnas.

– Om

dim A = ×

m n och

dim B = ×

n p så blir

dim C = ×

m p.

– Även om

A B ⋅

existerar (dvs är en giltig operation), behöver

B A ⋅

inte existera.

– Även om både

A B ⋅

och

B A ⋅

existerar, gäller i allmänhet att

A B

⋅ ≠ ⋅

B A

. Matrismultiplikation är således inte kommutativ.

(14)

A.2.3 Multiplikation

A.2 Matrisoperationer A – 14

Skalärprodukt

Multiplikation av två vektorer enligt matrismultiplikationsregeln ovan så att resultatet blir en skalär kallas skalärprodukten eller inre produkten av de två vektorerna.

– Skalärprodukten är således inte produkten av en skalär och en matris eller en vektor och inte heller (generellt sett) produkten av två skalärer!

Om x och

y

är två kolonnvektorer med lika många element, är skalärprodukten således

s

=

x yT (A.2.6)

Skalärprodukten av vektorerna x och y betecknas även

( , )

x y eller

x y ,

.

Vi konstaterar att produkten

yx

^T mellan samma vektorer, helt enligt matrismultiplikationsregeln, blir en n n× ^-matris.

Potensen av en matris

Potensering är definierad för en kvadratisk matris så att

A

ⁿ betyder att n st

A

-matriser multipliceras enligt matrismultiplikationsregeln (vilket inte är detsamma som att upphöja varje element i

A

till n:te potens). Vi har då

0

=

A I

,

A

¹

= A

,

A

²

= ⋅ A A

,

A

³

= ⋅ ⋅ A A A

, …,

A

ⁿ

= ⋅ A A

ⁿ⁻¹

= A

ⁿ⁻¹

A

(A.2.7)

(15)

A.2 Matrisoperationeer

A.2.4 Matrisinvertering

Division är inte definierad för matriser. Vi kan dock definiera inversen av en matris.

Antag att vi känner en matris

A

. Om det finns en unik (dvs en enda) matris

X

sådan att

⋅ = ⋅ =

A X X A I

(A.2.7)

så kallar vi denna matris för inversen av

A

. Med beteckningen

X = A

⁻¹ gäller således

1 1

− −

⋅ = ⋅ =

A A A A I

(A.2.8)

Division ersätts således av multiplikation med en matrisinvers.

Hur finner vi inversen av en matris? Om vi låter x_i beteckna den i:te kolonnen i

X

och

e

i den i:te kolonnen i

I

, som även kallas den i:te enhetsvektorn (vars enda element olikt noll är en etta som i:te element), kan vi enligt (A.2.7) ställa upp matrisekvationerna

1 1

⋅ =

A x e

,

A x ⋅

₂

= e

₂ , … ,

A x ⋅

_n

= e

_n (A.2.9) Om vi utför multiplikationerna

A x ⋅

_i ser vi att varje matrisekvation kan skrivas som ett

linjärt ekvationssystem med elementen i vektorn x_i som obekanta. Genom att lösa dess n stycken ekvationssystem kan vi bestämma alla x_i och därmed inversen

X = A

⁻¹.

(16)

A.2.4 Matrisinvertering

Det är inte svårt att inse att ett villkor för att det skall finnas en entydig lösning till ekvationerna (A.2.9), dvs för att inversen till

A

skall existera, är att

•

A

är kvadratisk (med dimensionen n n

×

)

• alla rader (och kolonner) i

A

är linjärt oberoende

En sådan matris kallas reguljär eller icke-singulär eller inverterbar (alla benämningar är ekvivalenta).

Anmärkning: En kvadratisk matris för vilken gäller

A A ⋅

^T

= A

^T

⋅ = A I

, dvs

A

^T

= A

⁻¹, sägs vara ortogonal.

Utgående från formuleringen ovan är det inte svårt att härleda ett allmänt uttryck för inversen till en

2 2

× -matris. Vi får

11 12 21 22

a a a a

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

A

⇒

¹ ²² ¹²

21 11

11 22 12 21

1

^a ^a

a a

a a a a

−

⎡ − ⎤

= − ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

A

(A.2.10)

Här innebär villkoren för inversens existens att det krävs att

11 22 12 21

detA

=

a a

−

a a

≠

0 (A.2.11)

Villkoret för inverterbarhet är således att determinanten är ≠

0

^.

(17)

A.2.4 Matrisinvertering

För en n n× -matris fås allmänt

−1

=

A X

, x_ij

= − ( 1)

^{i j}⁺

det A

_ji

/ det A

(A.2.12) dvs element

ij

i

A

:s invers är lika med underdeterminanten för

A

när rad

j

och kolonn

i strykes (obs ”transponeringen”) dividerat med determinanten av

A

med positivt (resp.

negativt) tecken om talet

i + j

är jämnt (resp. udda).

Det är således relativt komplicerat att beräkna inversen till en stor matris eftersom

beräkningen av determinanterna är besvärliga. Därför används i praktiken inte (A.2.12) för numeriska beräkningar av stora matrisers inverser.

För en

3 3

× -matris, där underdeterminanterna är av andra ordningen, samt för glesa större matriser (dvs matriser som innehåller mycket nollor), är formeln dock användbar.

Inversen för en diagonalmatris fås genom invertering av diagonalelementen, dvs

11 12

diag(d ,d , ,d_nn)

=

D

⇒

D

⁻¹

=

diag(d₁₁⁻¹,d₁₂⁻¹, ,d_nn⁻¹) (A.2.13)

(18)

A.2 Matrisoperationer

A.2.5 Derivering och integrering

Derivatan av en matris m.a.p. en skalär

Derivatan av en matris m.a.p. en skalär fås då varje element i matrisen deriveras, dvs d d

d d

aij

t t

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

(A.2.14)

En speciell tillämpning på detta är tidsderivatan av en tillståndsvektor x, dvs

T

1 2 d

d d

d

d d d d

xn

x x

t t t t

⎡ ⎤

≡ = ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

x x (A.2.15)

Integralen av en matris

Integralen av en matris fås genom att integrera varje element i matrisen, dvs dt

= ⎣ ⎡

a_ijdt

⎤ ⎦

∫ ^A ∫

^(A.2.16)

(19)

A.2.5 Derivering och integrering

Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor

Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor kallas funktionens gradient. Resultatet är

1 2

d

d _n

f f f f

x x x

⎡ ∂ ∂ ∂ ⎤

= ⎢ ⎣ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎦

x

^(A.2.17)

Märk att resultatet blir en radvektor av partialderivator trots att x är en kolonnvektor.

Derivatan av en vektorfunktion m.a.p. en vektor

Derivatan av en vektorfunktion med avseende på en vektor kallas för funktionens Jacobimatris (eller Jacobian). Om man deriverar varje funktion f_i i vektorfunktionen

f

enligt (A.2.16) och sammanslår de erhållna gradientvektorerna till en matris, fås

1 1 1

1 2

d d d

d

d d d d

d d d

n

m m m

n

f f f

x x x

f f f

x x x

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

f

x ^(A.2.18)

(20)

A.2 Matrisoperationer

A.2.6 Exponentialfunktionen

På samma sätt som för skalärer, kan man även definiera funktioner av (kvadratiska) matriser, s.k. matrisfunktioner. Alldeles speciellt gäller detta funktioner som kan

definieras via potensserier.

En viktig sådan funktion är exponentialfunktionen av en kvadratisk matris A, betecknad e^A eller expA. Den definieras via exponentialfunktionens Taylorserieutveckling, dvs

1 1 ² 1 ³

e^A

= +

I 1!A

+

2!A

+

3!A

+

… (A.2.19)

Märk! Matrisen A:s exponentialfunktion fås inte genom ”ta” exponenten av varje enskilt element i matrisen A (förutom i vissa specialfall såsom för diagonalmatriser).

Vid räkneoperationer involverande exponentialfunktionen utnyttjar man ofta serie-

utvecklingen ovan. T.ex. derivering och integrering av exponentialfunktionen blir på detta sätt enkla.

(21)

A. Matristeori

A.3 Egenvärden och egenvektorer

A.3.1 Karakteristiska ekvationen

Egenvärden och egenvektorer anger karakteristiska egenskaper hos matriser. Varje kvadratisk matris A har ett eller flera egenvärden

λ

och egenvektorer v

≠

0 så att

λ

=

Av v (A.3.1)

gäller. Detta är liktydigt med

(

λ

I

−

A v)

=

0 (A.3.2)

Om matrisen (

λ

I

−

A) är inverterbar fås v

=

(

λ

I

−

A)⁻¹0

=

0, vilket strider mot kravet

≠

v 0

. Härav följer att matrisen (

λ

I − A) måste vara singulär och då gäller också

det (

λ

I

−

A)

=

0 (A.3.3)

som kallas matrisens karakteristiska ekvation.

Vi noterar här att en matris A måste vara singulär om den har ett egenvärde

λ = 0

eftersom (A.3.3) då ger det A

=

0.

(22)

A.3 Egenvärden och egenvektorer

A.3.2 Egenvärden och deras beräkning

Vi kan bestämma matrisen A:s egenvärden genom att utveckla determinanten i (A.3.3) och lösa ekvationen m.a.p.

λ

. Om matrisen har dimensionen dimA

= ×

n n, ger

determinantutvecklingen ett n:te gradens polynom i

λ

eftersom produkten av alla

diagonalelement

λ −

a_ii kommer att ingå i en av utvecklingens termer. Av detta följer att

• en n n× -matris har n stycken egenvärden

• alla egenvärden behöver inte vara distinkta (dvs olika stora)

• vissa egenvärden kan vara komplexkonjugerade par (dvs komplexa egenvärden) För en 2 2× -matris ger (A.3.3)

11 12

11 22 12 21

21 22

det( ) a a ( )( ) 0

a a a a

a a

λ

I

⁻

A

⁼ λ − ⁻ λ ⁻ − ⁼ λ ⁻ λ ⁻ ⁻ ⁼

dvs

2

11 22 11 22 12 21

( a a ) a a a a 0

λ − + λ + − =

^(A.3.4)

med lösningen

1 1 2

11 22 11 22 11 22 12 21

2 (a a ) 4 (a a ) a a a a

λ = + ± + − +

(A.3.5)

(23)

A.3 Egenvärden och egenvektorer

A.3.3 Höger och vänsteregenvektorer

Vektorn v i (A.3.1) är en högeregenvektor till matrisen A.

Eftersom den kvadratiska matrisen A^T även måste ha egenvärden och (höger)egenvektorer, finns det egenvärden

λ

och egenvektorer w så att A w^T

= λ

w, eller om vi transponerar vänstra och högra ledet

T

=

T

λ

w A w

⇒

w^T(

λ

I

−

A)

=

0 (A.3.6)

Här är w en vänsteregenvektor till matrisen A.

Även här krävs att matrisen (

λ

I

−

A) är inverterbar och vi får samma karakteristiska ekvation som (A.3.3) och därmed samma lösning för egenvärdena. Egenvektorerna är i allmänhet dock olika.

Av ovanstående följer även att A och A^T har samma egenvärden.

Av det faktum att (

λ

I

−

A) är singulär följer att det inte finns entydiga lösningar för egenvektorerna v och w. Ett sätt att finna unika lösningar är att normera dem så att

T T

= = 1

w w v v

(A.3.7)

Ett annat sätt är att välja ett värde olika noll för ett element i egenvektorerna. Därefter har ekvationssystemen (A.3.2) och (A.3.6) entydiga lösningar för givna egenvärden.

(24)

A.3 Egenvärden och egenvektorer

A.3.4 Positivt definita matriser

En symmetrisk reell matris

A = A

^T är positivt definit om

T

> 0

x Ax

,

∀ ≠ x 0

(A.3.8)

Om likhet tillåts (dvs x Ax^T

≥

0), sägs matrisen vara positivt semidefinit. Ett annat sätt att ange att en matris är positivt semidefinit är att skriva

A ≥ 0

(obs inte fet nolla) eller

0 A

Z . Analogt betecknar x Ax^T

<

0,

A ≤ 0

och

A

Y

0

negativt semidefinita matriser.

Eftersom (A.3.1) ger v Av^T

= λ

v v^T , och (A.3.8) gäller för godtyckliga x om

A

är positivt definit, måste alla egenvärden för en positivt definit matris vara positiva, dvs

det( λ I − A ) = 0 ⇒ λ > 0

(A.3.9)

Detta är också ett tillräckligt villkor för att en matris skall vara positivt definit.

En positivt semidefinit har något egenvärde lika med noll.

(25)

A.3.4 Positivt definita matriser

A.3 Egenvärden och egenvektorer A – 25

Vid utveckligen av determinantuttrycket (A.3.3) kommer den konstanta termen, som inte innehåller någon potens av

λ

, att vara lika med

det A

(se t.ex. (A.3.4)). Av detta följer att

det A

>

0 (A.3.10)

är ett nödvändigt villkor för att alla egenvärden skall vara positiva, och matrisen därmed positivt definit.

Vidare förhindrar inte kravet

x ≠ 0

i (A.3.8) att enskilda element x_i

=

0 (men alla får inte vara noll samtidigt). Av detta följer att varje undermatris

Aii, som erhålles genom att stryka rad i och kolonn i från

A

, måste vara positivt definit, och därmed också

detA_ii

>

0 (A.3.11)

Detta kan föras vidare genom att stryka en rad och motsvarande kolonn från

A

ii, osv.

Det är dock tillräckligt att kontrollera att alla ledande kvadratiska undermatriser har positiva determinanter (Sylvesters kriterium), dvs att (obs att

A

skall vara symmetrisk)

11

0

a

>

, ¹¹ ¹²

21 22

a a 0

a a >

,

11 12 13 21 22 23 31 32 33

0 a a a

a a a

>

, …, detA

>

0 (A.3.12)

(26)

A. Matristeori

A.4 Räkneregler för sammansatta uttryck

A.4.1 Addition

+ = +

A B B A

(kommutationslagen) (A.4.1)

( A + B ) + = + C A ( B C + )

(associationslagen) (A.4.2)

A.4.2 Multiplikation

( AB C ) = A BC ( )

(associationslagen) (A.4.3)

( A + B C ) = AC BC +

(distributionslagen) (A.4.4a)

( + ) = +

A B C AB AC

(distributionslagen) (A.4.4b)

=

IA A

,

AI = A

(A.4.5)

OBS. Samma lagar gäller vid multiplikation med skalärer så länge matrisoperationerna är dimensionsriktiga. Detta gäller även andra matrisoperationer som följer.

Märk i synnerhet

•

AB ≠ BA

i allmänhet

•

AB = AC

kan gälla även om

B ≠ C

•

AB = 0

kan gälla även om

A ≠ 0

och

B ≠ 0

(27)

A.4 Sammansatta uttryck

A.4.3 Transponering

( A

T T

) = A

,

( A + B )

^T

= A

^T

+ B

^T ,

( AB )

^T

= B A

^T ^T (A.4.6, 7, 8) En kvadratisk matris

A

är symmetrisk om

A

^T

= A

, ortogonal om

A A

^T

= AA

^T

= I

.

A.4.4 Matrisinvertering

1 1

(A^{− −})

=

A , (A^T)⁻¹

=

(A⁻^{1 T}) (A.4.9, 10)

1 1 1

( A + B )

⁻

= A

⁻

+ B

⁻ ,

( AB )

⁻¹

= B A

⁻¹ ⁻¹ (A.4.11, 12) (A

+

BDC)⁻¹

=

A⁻¹

−

A B CA B⁻¹ ( ⁻¹

+

D⁻¹)CA⁻¹ (matrisinversionslemmat) (A.4.13)

Uttrycken ovan förutsätter att matrisinverserna existerar (dvs matriserna är kvadratiska och har en determinant olik noll).

A.4.5 Spåret av en matris

tr s A = ⋅ s tr A

,

tr A

^T

= tr A

(A.4.14, 15)

tr ( A + B ) = tr A + tr B

, trAB

=

trBA (A.4.16, 17)

(28)

A.4 Sammansatta uttryck

A.4.6 Determinanter

det sA = s^rang^A det A , det A^T

=

det A ,

det AB = det A ⋅ det B

(A.4.18, 19, 20)

A.4.7 Blockmatriser

T T T

T T

⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B A C

C D B D

^(A.4.21)

¹¹ ¹² ¹¹ ¹² ^{11 11} ¹² ²¹ ^{11 12} ¹² ²²

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ = ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + + ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A B B A B A B A B A B

^(A.4.22)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

− − − − − − −

− − −

⎡ + − ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ − ⎦

A B A A BX CA A BX

C D X CA X

^,

⁼ ^⋅

A B A X

C D ^(A.4.23,²⁴⁾

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

− − − −

− − − − − −

⎡ − ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ − + ⎦

A B Y Y BD

C D D CY D D CY BD ^, A B

= ⋅

C D D Y ^(A.4.25,²⁶⁾

X

≡ −

D CA B⁻¹ om A⁻¹ exist., Y

≡ −

A BD C⁻¹ om D⁻¹ exist. (A.4.27, 28)

A. Grundläggande matristeori

A. Matristeori