Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät

Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyht¨al¨oryhm¨at

Petra Maaskola

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kev¨at 2013

Tiivistelm¨a:Petra Maaskola,Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyht¨al¨oryh- m¨at (engl.The matrix exponential function and differential equations), matematiikan pro gradu -tutkielma, 45. s., Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen lai- tos, kev¨at 2013.

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on rakentaa tarvittavat tiedot lineaaristen va- kiokertoimisten differentiaaliyht¨al¨oryhmien x⁰(t) = Ax(t) ratkaisemiseen matriisin eksponenttifunktion avulla. Lis¨aksi tarkastellaan miten matriisinAominaisuudet liit- tyv¨at differentiaaliyht¨al¨on ratkaisujen ominaisuuksiin.

Matriisin eksponenttifunktio m¨a¨aritell¨a¨an sarjakehitelm¨an avulla siten, ett¨ae^A= P∞

n=0 1

n!Aⁿ kaikille neli¨omatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matrii- sinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin m¨a¨aritelm¨a on hyvin asetettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyht¨al¨o¨on x⁰(t) = Ax(t) liittyv¨a al- kuarvoteht¨av¨a saadaan, kun annetaan lis¨aehdoksi ratkaisun l¨aht¨opiste x(t₀) = x₀. Alkuarvoteht¨av¨an ratkaisu on yksik¨asitteinen ja muotoa x(t) = e^tAx₀. Eksponentti- funktione^tAlaskeminen riippuu matriisinAtyypist¨a. Jos matriisi on diagonalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riitt¨a¨a ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisiA ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J_A.

Matriisin A ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin p_A(λ) = det(λI−A) avulla. Jos matriisi A on diagonalisoituva, sen jokaisen ominai- sarvon kertaluku yht¨al¨on pA(λ) = 0 juurena on yht¨a suuri kuin sit¨a vastaavien li- neaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukum¨a¨ar¨a. T¨all¨oin matriisin A eks- ponenttifunktio lasketaan siten, ett¨a e^A = V e^DV⁻¹, miss¨a matriisin D diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin A ominaisvektoreis- ta. Jos matriisi Ataas ei ole diagonalisoituva, sill¨a ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita.

Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden m¨a¨ar¨a¨a sopivasti, saadaan matriisiV. T¨all¨oin ominaisarvosta koostuvan matriisin ja nilpotentin matriisin sum- ma muodostaa Jordanin lohkon J(λ, r). NilpotenttiN on sellainen matriisi, jolle N^k on jostain luvusta k alkaen nolla. Jordanin matriisiJ_Ataas muodostuu Jordanin loh- koista. Nyt matriisiAon similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eliA=V J_AV⁻¹, jolloin matriisin A eksponenttifunktio ratkaistaan yht¨al¨ost¨a e^A=V e^JAV⁻¹.

Differentiaaliyht¨al¨oiden x⁰(t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matrii- sinAominaisarvoistaλi. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa{x1, . . . , xn}, sen termit ovat muotoa e^tλixi, joten ratkaisuk¨ayr¨an k¨aytt¨aytyminen, kun t → ∞, n¨ahd¨a¨an suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeist¨a. Differentiaaliyht¨al¨on x⁰(t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistett¨a p, jos funktiox(t) =p kaikillat on rat- kaisu. N¨ain on erityisesti silloin, kunf(p) = 0.Differentiaaliyht¨al¨on tasapainopistett¨a kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisuk¨ayr¨at ovat rajoitetulla et¨aisyydell¨a tasapainopis- teest¨a. Jos taas kaikki ratkaisut l¨ahestyv¨at tasapainopistett¨a, se on asymptoottisesti stabiili. My¨os stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla.

Avainsanat: Matriisin eksponenttifunktio, diagonalisoituva, Jordanin matriisi, differentiaaliyht¨al¨o, stabiilisuus.

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 1

Luku 1. Lineaarialgebraa 3

1.1. Vektorin ja matriisin normi 3

1.2. Ominaisarvoteoriaa 7

Luku 2. Matriisin eksponenttifunktio 14

Luku 3. Matriisin eksponenttifunktion laskeminen 18

3.1. Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio 18 3.2. Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla 21

Luku 4. Differentiaaliyht¨al¨oryhm¨at 26

4.1. Perusk¨asitteit¨a 26

4.2. Lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyht¨al¨o 28 Luku 5. Differentiaaliyht¨al¨oryhmien tasapainopisteiden stabiilisuus 40

Liite A. Merkint¨oj¨a 44

Kirjallisuutta 45

ii

Monia fysiikan, kemian, biologian ja muiden alojen ongelmia voidaan k¨asitell¨a ma- temaattisilla malleilla, jotka sis¨alt¨av¨at lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyht¨a- l¨oryhmi¨a

x⁰(t) = Ax(t).

N¨ait¨a yht¨al¨oit¨a ratkaistaan matriisin eksponenttifunktion avulla. T¨am¨an kirjoitelman tavoitteena onkin m¨a¨aritell¨a matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyht¨al¨oiden ratkaiseminen sen avulla. Lis¨aksi tarkastellaan miten matriisin A ominaisuudet liit- tyv¨at differentiaaliyht¨al¨on ratkaisujen ominaisuuksiin.

Lukijan oletetaan tuntevan lineaarialgebran perusteet, kuten yleisimm¨at laskus¨a¨an- n¨ot vektoreille ja matriiseille, sek¨a yleisen eksponenttifunktion m¨a¨aritelm¨an sarjake- hitelm¨an avulla. Lis¨aksi differentiaaliyht¨al¨oiden perusteet oletetaan tunnetuiksi. Eri- tyisesti luvuissa 1 ja 4.1 tulee kuitenkin my¨os kertausta n¨aist¨a asioista, jotta kirjoi- telmassa tarvittavat l¨aht¨otiedot muistuvat lukijan mieleen.

Matriisin eksponenttifunktio m¨a¨aritell¨a¨an sarjakehitelm¨an avulla siten, ett¨a e^A =

∞

X

n=0

1 n!Aⁿ

kaikille neli¨omatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matriisinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin m¨a¨aritelm¨a on hyvin ase- tettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyht¨al¨o¨onx⁰(t) =Ax(t) liittyv¨a alkuarvoteht¨av¨a saadaan, kun annetaan lis¨aehdoksi ratkaisun l¨aht¨opistex(t₀) = x₀. Alkuarvoteht¨av¨an ratkaisu on yksik¨asitteinen ja muotoa

x(t) =e^tAx₀.

Eksponenttifunktion e^tA laskeminen riippuu matriisin A tyypist¨a. Jos se on diago- nalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riitt¨a¨a ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisiA ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J_A.

MatriisinA ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin pA(λ) = det(λI −A)

avulla. Jos matriisi Aon diagonalisoituva, sen jokaisen ominaisarvon kertaluku yht¨a- l¨onp_A(λ) = 0 juurena on yht¨a suuri kuin sit¨a vastaavien lineaarisesti riippumattomien

1

JOHDANTO 2

ominaisvektoreiden lukum¨a¨ar¨a. T¨all¨oin matriisin A eksponenttifunktio lasketaan si- ten, ett¨a

e^A=V e^DV⁻¹,

miss¨a matriisin Ddiagonaalilla on matriisinAominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin Aominaisvektoreista. Jos matriisi Ataas ei ole diagonalisoituva, sill¨a ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita. Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektorei- den m¨a¨ar¨a¨a sopivasti, saadaan matriisiV. T¨all¨oin ominaisarvoista koostuvan matrii- sin ja nilpotentin matriisinN summasta voidaan muodostaa Jordanin lohkojaJ(λ, r).

Nilpotentti N on sellainen matriisi, jolle N^k on jostain luvustak alkaen nolla. Jorda- nin matriisi J_A taas muodostuu Jordanin lohkoista. Nyt matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eliA=V J_AV⁻¹,jolloin matriisinAeksponenttifunktio ratkaistaan seuraavasti:

e^A=V e^JAV⁻¹.

Differentiaaliyht¨al¨oiden x⁰(t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matrii- sinAominaisarvoistaλi. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa{x1, . . . , xn}, sen termit ovat muotoa e^tλixi, joten ratkaisuk¨ayr¨an k¨aytt¨aytyminen, kun t → ∞, n¨ahd¨a¨an suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeist¨a. Differentiaaliyht¨al¨on x⁰(t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistett¨a p, jos funktio

x(t) =p

on ratkaisu kaikilla t. N¨ain on erityisesti silloin, kun f(p) = 0. Origo on aina diffe- rentiaaliyht¨al¨onx⁰(t) =Ax(t) tasapainopiste. Differentiaaliyht¨al¨on tasapainopistett¨a kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisuk¨ayr¨at ovat rajoitetulla et¨aisyydell¨a tasapainopis- teest¨a. Jos taas kaikki ratkaisut l¨ahestyv¨at tasapainopistett¨a, se on asymptoottisesti stabiili. My¨os stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla.

Kirjoitelman ensimm¨aisess¨a luvussa k¨asitell¨a¨an v¨altt¨am¨att¨om¨at lineaarialgebran tiedot, joihin kuuluvat matriisin normin k¨asite sek¨a ominaisarvoteoriaa. Toisessa lu- vussa annetaan matriisin eksponenttifunktion m¨a¨aritelm¨a ja n¨aytet¨a¨an, ett¨a se on hyvin asetettu. Luvussa 3 tarkastellaan miten eksponenttifunktio lasketaan diagona- lisoituville ja ei-diagonalisoituville matriiseille. Luvussa 4 m¨a¨aritell¨a¨an differentiaa- liyht¨al¨oryhm¨at ja p¨a¨ast¨a¨an ratkaisemaan niit¨a matriisin eksponenttifunktion avulla.

Viimeisess¨a luvussa 5 k¨asitell¨a¨an viel¨a differentiaaliyht¨al¨oiden tasapainopisteiden sta- biilisuutta.

Ty¨o perustuu p¨a¨aosin l¨ahteisiin [2], [3] ja [4]. Muita esityksi¨a aiheesta l¨oytyy esimerkiksi l¨ahteist¨a [8], [9] ja [10]. Kirjassa [1] ja luentomateriaalissa [5] on asiaa k¨asitelty pidemm¨alle. Lineaarialgebran perustiedot l¨oytyv¨at l¨ahteist¨a [6] ja [7].

Lineaarialgebraa

1.1. Vektorin ja matriisin normi

Vektoriavaruudessa on m¨a¨aritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen sek¨a my¨os muita laskutoimituksia, kuten vektoreiden pituuksien laskeminen. Oletetaan yleisim- m¨at vektoriavaruuden laskutoimitukset tunnetuiksi. Normiavaruus on vektoriavaruus, jossa on m¨a¨aritelty jokin vektorin pituusfunktio eli normi. Sis¨atulolla varustettua vektoriavaruutta taas kutsutaan sis¨atuloavaruudeksi ja sis¨atulon avulla voidaan my¨os m¨a¨aritell¨a normi sek¨a lis¨aksi vektorien v¨alisi¨a kulmia. Annetaan seuraavaksi tarkempi m¨a¨aritelm¨a normille.

M¨a¨aritelm¨a 1.1. Olkoon V K-kertoiminen vektoriavaruus, miss¨aKonRtai C. Kuvaus k · k :V 7→R on normi, jos se toteuttaa

(i) kv k ≥0 kaikilla v ∈V. (ii) kv k= 0 ⇒ v = 0.

(iii) kv +uk ≤ kv k+kuk kaikilla v, u∈V. (iv) kαv k=|α |kv k kaikilla α∈K, v ∈V.

Tunnetuin vektoriavaruuden normi esitell¨a¨an seuraavassa esimerkiss¨a.

Esimerkki 1.2. Euklidinen normi vektoriavaruudessaRⁿ on kxk₂=

n

X

i=1

|x_i |²

!¹₂

= (x|x)¹²,

miss¨a (x | x) on vektorin x sis¨atulo itsens¨a kanssa. Vektorin x normi toteuttaa sel- v¨asti normille m¨a¨aritelm¨ass¨a 1.1 m¨a¨aritetyt ehdot (i), (ii) ja (iv). My¨os ehto (iii) eli vektorinormin kolmioep¨ayht¨al¨o toteutuu, sill¨a sis¨atulon ominaisuuksien ja Cauchyn- Schwarzin ep¨ayht¨al¨on|(x|y)| ≤ kxkky knojalla

kx+yk²= (x+y|x+y) = (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y |y)

= kxk² +2|(x|y)|+ky k²

≤ kxk² +2kxkkyk+kyk²= (kxk+kyk)², joten

kx+yk ≤ kxk+ky k kaikilla x, y ∈V.

Yleisimpiin vektorinormeihin kuuluu my¨os esimerkiksi niin sanottu ykk¨osnormi ja

¨a¨aret¨on-normi eli

kxk₁=

n

X

i=1

|x₁ | ja kxk∞= max

1≤i≤n|x_i |.

3

1.1. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 4

Normiavaruudessa voidaan siis mitata vektoreiden pituuksia. Normin avulla voi- daan m¨a¨aritt¨a¨a my¨os alkioiden v¨alinen et¨aisyys, joka on

d(v, u) =kv−uk.

Siten voidaan m¨a¨aritt¨a¨a vektorijonojen suppeneminen seuraavasti: Vektorijono (x_i)^∞_i=1 suppenee kohti vektoria x, jos

i→∞lim kx_i−xk= 0.

Nyt kun tunnetaan vektorijonojen ominaisuuksia, niin jatkossa pystyt¨a¨an niiden avul- la m¨a¨aritt¨am¨a¨an matriisijonojen ja -normien ominaisuuksia.

M¨a¨aritet¨a¨an seuraavaksi siis matriisinormi. Olkoon k · k jokin vektorinormi. Mi- tataan matriisin kokoa sill¨a, kuinka pitkiksi vektoreiksi yksikk¨ovektorit kuvautuvat matriisilla kerrottaessa. N¨ain ollen matriisilleA ∈R^m×n asetetaan

(1.1) kAk= max

kxk=1kAxk

Kuva 1.1. Yksikk¨ovektorin kuvautuminen matriisilla kerrottaessa

N¨aytet¨a¨an, ett¨a my¨os matriisinormi toteuttaa normille asetetut nelj¨a ehtoa m¨a¨a- ritelm¨an 1.1 antamien vektorinormin ominaisuuksien avulla:

(i) Selv¨asti

kAk= max

kxk=1kAxk ≥0 kaikilla A∈R^m×n.

(ii) JosA6= 0, niin sill¨a on olemassa elementti a_ij 6= 0. Valitaan x=e_j, jolloin

Ax=



 a_ij

... a_mj



6= 0 ja kA k ≥ kAx k>0.

Siten joskAk= 0,niin A = 0 kaikillaA∈R^m×n.

(iii) Matriisinormin m¨a¨aritelm¨an perusteella kA+B k= max

kxk=1k(A+B)xk= max

kxk=1kAx+Bxk

≤max

kxk=1(kAxk+kBxk)

≤max

kxk=1kAxk+ max

kxk=1kBxk=kAk+kB k, miss¨a k¨aytettiin vektorinormin kolmioep¨ayht¨al¨o¨a.

(iv) Edelleen matriisinormin m¨a¨aritelm¨an ja m¨a¨aritelm¨an 1.1 kohdan (iv) perus- teella

kαAk= max

kxk=1kαAxk= max

kxk=1|α|kAxk=|α|kAk.

Matriisinormi siis toteuttaa normille asetetut ehdot ja sill¨a on vastaavat ominai- suudet kuin vektorinormilla. N¨aytet¨a¨an matriisinormille lemman muodossa viel¨a kak- si hy¨odyllist¨a ominaisuutta. Ensimm¨ainen kertoo, ett¨a vektori- ja matriisinormi ovat yhteensopivat.

Lemma 1.3. Matriisinormille p¨atee (i) kAx k ≤ kA kkxk

(ii) kAB k ≤ kAkkB k

kaikilla matriiseilla A ja B sek¨a vektoreilla x∈Rⁿ.

Todistus. (i) Olkoon y = _kxk^x , kun x 6= 0. T¨all¨oin k y k= _kxk¹ k x k= 1, joten

kAk ≥ kAyk= kAx k kxk , ja saadaan

kAxk ≤ kAkkxk. Kun x= 0, niin

kAxk= 0 =kAkkxk, joten v¨aite on selv¨a.

(ii) K¨aytt¨am¨all¨a kohtaa (i) ja matriisinormin m¨a¨aritelm¨a¨a saadaan kABk= max

kxk=1k(AB)xk= max

kxk=1kA(Bx)k

≤max

kxk=1kAkkBxk=kAk max

kxk=1kBxk

= kAkkB k, joten v¨aite p¨atee.

Tarkastellaan seuraavaksi normia k A k=k (a_ij) k. Varustetaan siis reaalisten n×n -matriisien vektoriavaruus M_n my¨os normilla

(1.2) kAk=k(a_ij)k= max

1≤i,j≤n|a_ij |.

1.1. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 6

Normit kAk= max_kxk=1 kAxk ja kA k= max_1≤i,j≤n |a_ij | eiv¨at aina ole yht¨a- suuria matriisille A, mutta ne ovat kuitenkin ekvivalentteja kesken¨a¨an. Todistetaan se seuraavaksi.

Lause 1.4. Normit

kAk_a= max

kxk=1kAxk ja kA k_b= max

1≤i,j≤n|a_ij |

ovat ekvivalentteja eli on olemassa positiiviset reaaliluvut c₁ ja c₂ siten, ett¨a c₁ kAk_a≤ kAk_b≤c₂ kAk_a

kaikilla matriiseilla A∈R^m×n.

Todistus. Todistetaan ensin ensimm¨ainen ep¨ayht¨al¨o: Olkoon x mielivaltainen vektori, jolle k x k= 1. T¨all¨oin vektorin Ax j:nnen alkion neli¨ot¨a voidaan arvioida seuraavasti:

(Ax)²_j =

n

X

i=1

a_jix_i

!2

≤ max

1≤i,j≤n|a_ij |²

n

X

i=1

1·x_i

!2

≤ max

1≤i,j≤n|a_ij |²





n

X

i=1

1²

!¹_{2 n} X

i=1

x²_i

!¹₂



2

= max

1≤i,j≤n|a_ij |²

n¹² ·1¹²2

=n max

1≤i,j≤n|a_ij |²,

miss¨a k¨aytettiin Cauchyn-Schwarzin ep¨ayht¨al¨o¨a. Nyt kun j = 1, . . . , n, niin edellisen nojalla

kAxk²=

n

X

j=1

(Ax)²_j ≤n² max

1≤i,j≤n|a_ij | ja v¨aite seuraa t¨ast¨a, kun valitaan c₁ = _n¹.

Todistetaan viel¨a j¨alkimm¨ainen ep¨ayht¨al¨o:

|a_ij |²¹₂

≤

n

X

j=1

|a_ij |²

!¹₂

=kAe_j k ≤ kAkke_j k=kAk. T¨am¨a p¨atee mille tahansa matriisin A alkiolle, joten

1≤i,j≤nmax |a_ij | ≤ max

kxk=1kAxk

eli v¨aite p¨atee vakiolla c₂ = 1.

Annetaan nyt m¨a¨aritelm¨a matriisijonojen suppenemiselle.

M¨a¨aritelm¨a 1.5. Matriisijono (A_i)^∞_i=1 suppenee kohti matriisia A, jos p¨atee:

i→∞lim kA_i−Ak= 0.

N¨aytet¨a¨an seuraavaksi, ett¨a lauseen 1.4 ekvivalenteilla normeilla on samat suppe- nevat jonot eli kunAi →A, niin kAi−Ak →0.

Oletetaan ensin, ett¨a

kAk_a= max

kxk=1kAxk. T¨all¨oin A_ix→Ax ja

kA_ix−Axk= k(A_i−A)xk=kxk

(A_i−A) x kxk

≤ kxkkA_i−Ak →0.

Kun taas

kAkb= max

1≤i,j≤n|aij |, niin nyt lauseen 1.4 nojalla

ckAi−Akb≤ kAi−Aka→0,

ja sitenkA_i−Ak_b→0.N¨ain ollen jono suppenee molempien normien mieless¨a, joten voidaan tilanteen mukaan k¨aytt¨a¨a kumpaa tahansa normia.

N¨aytet¨a¨an matriisinormille viel¨a seuraava ominaisuus, jota tullaan tarvitsemaan my¨ohemmin matriisin eksponenttifunktiota laskettaessa.

Lemma 1.6. Jos

i→∞lim kAi−Ak= 0, niin

i→∞lim kCAiC⁻¹−CAC⁻¹ k= 0.

Todistus. Koska matriiseille A ja B p¨atee k AB k ≤ k A kk B k, niin voidaan kirjoittaa

kCA_iC⁻¹−CAC⁻¹ k= kC(A_iC⁻¹−AC⁻¹)k=kC(A_i−A)C⁻¹ k

≤ kC kkA_i−AkkC⁻¹ k →0,

kun i→ ∞eli v¨aite p¨atee.

1.2. Ominaisarvoteoriaa

Tarkastellaan ominaisarvoja ja -vektoreita, joita tullaan my¨ohemmin tarvitsemaan matriisin diagonalisoinnissa sek¨a Jordanin muodon m¨a¨aritt¨amisess¨a.

M¨a¨aritelm¨a 1.7. Olkoon V K-kertoiminen lineaariavaruus jaL sen lineaariku- vaus siten, ett¨a L : V → V, miss¨a K on R tai C. T¨all¨oin, jos on olemassa λ ∈K ja vektori v ∈V\{0} siten, ett¨a

(1.3) Lv =λv,

1.2. OMINAISARVOTEORIAA 8

niin λ on kuvauksen L ominaisarvo ja vektori v on sit¨a vastaava kuvauksen L omi- naisvektori. Ominaisarvoonλ liittyv¨at ominaisvektorit taas muodostavat nollan kans- sa ominaisavaruuden

E_L(λ) ={v ∈V |Lv =λv}.

Esimerkki 1.8. Olkoon matriisi A=

1 4 2 3

ja vektoriv = 1 1T

.T¨all¨oin lineaarikuvaukselleL_A :R² →R² :L_Ax=Axvoidaan kirjoittaa yht¨al¨o:

LAv = 1 4

2 3 1 1

= 5

5

= 5 1

1

= 5v,

joten vektori v on kuvauksen L_A ominaisvektori ja 5 sit¨a vastaava ominaisarvo.

Neli¨omatriisin A ∈ K^n×n ominaisarvoilla ja -vektoreilla tarkoitetaan kuvauksen, jossa kerrotaan matriisilla A eli L_A : Kⁿ → Kⁿ : L_Ax = Ax, ominaisarvoja ja - vektoreita. T¨aten lineaarikuvauksen L_A ominaisarvoyht¨al¨o (1.3) voidaan kirjoittaa muodossa

Av =λv eli

(λI−A)v = 0.

T¨all¨a on ratkaisuja v 6= 0 t¨asm¨alleen silloin, kun

(1.4) det(λI −A) = 0.

N¨ain ollen matriisinAominaisarvot saadaan ratkaistua yht¨al¨on (1.4) avulla ja voidaan antaa seuraava m¨a¨aritelm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 1.9. Matriisin A ominaisarvot λ ovat karakteristisen polynomin p_A(λ) = det(λI −A)

nollakohtia.

Algebran peruslauseen nojalla n-asteisella polynomilla on kertaluvut mukaan lu- kien n kompleksista juurta, joten n×n-matriisilla on n ominaisarvoa, joista osa voi siis olla moninkertaisia. Sanotaan, ett¨a jos matriisin A ominaisarvo λ on matriisin A karakteristisen polynomin k-kertainen juuri, niin m_a(λ) = k on ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m_g(λ) on ominaisar- voonλ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukum¨a¨ar¨a eli sen ominaisavaruuden dimensio, joista lis¨a¨a my¨ohemmin t¨ass¨a luvussa.

Esimerkki 1.10. Olkoon matriisi A=

1 3

−3 1

.

M¨a¨aritet¨a¨an karakteristisen polynomin p_A(λ) = det(λI −A) nollakohdat.

pA(λ) = det(λI −A) =

λ−1 −3 3 λ−1

= (λ−1)²−3·(−3)

=λ² −2λ+ 10 = 0,

joten

λ= 2±√

−36

2 = 1±3i.

Siis matriisin A ominaisarvot ovat λ₁ = 1−3i ja λ₂ = 1 + 3i. M¨a¨aritet¨a¨an viel¨a ominaisarvoja λ₁ ja λ₂ vastaavat ominaisvektorit.

λ₁ =1−3i:

A−λ₁I|0

=

3i 3 |0

−3 3i |0

−→

i 1 |0

−1 i |0

⇒v₁ =(1,−i) λ₂ =1 + 3i:

A−λ₂I|0

=

−3i 3 |0

−3 −3i |0

−→

i −1 |0 1 i |0

⇒v₂ =(1, i).

Huomataan, ett¨a reaalisen matriisin Akompleksiset ominaisarvot λ esiintyv¨at ai- na konjugaattipareina eli λ_1,2 =α±βija siten my¨os ominaisvektorit ovat konjugaat- tipareja.

Esimerkki 1.11. Olkoon matriisi A=





−1 0 2

0 1 0

2 0 −1



.

Matriisilla A on siis kertaluvut huomioonottaen kolme ominaisarvoa, jotka voidaan selvitt¨a¨a seuraavasti:

p_A(λ) = det(λI−A) =

λ+ 1 0 −2

0 λ−1 0

−2 0 λ+ 1

= (λ−1)

λ+ 1 −2

−2 λ+ 1

=(λ−1)(λ²+ 2λ−3) = (λ−1)(λ−1)(λ+ 3) = 0,

kunλ =−3 taiλ= 1. MatriisillaAon siis ominaisarvoλ₁ =−3 ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ₂ = 1. Ratkaistaan viel¨a vastaavat ominaisvektorit:

λ₁ =−3 :

A−λ₁I|0

=





2 0 2 |0 0 4 0 |0 2 0 2 |0



−→





1 0 1 |0 0 1 0 |0 1 0 1 |0





⇒v₁ =(1,0,−1) λ2 =1 :

A−λ₂I|0

=





−2 0 2 |0 0 0 0 |0 2 0 −2 |0



−→





−1 0 1 |0 0 0 0 |0 1 0 −1 |0





⇒v2,1 =(1,0,1), v2,2 = (0,1,0).

Tarkastellaan seuraavaksi muun muassa vektorien lineaarista riippumattomuut- ta, vektoriavaruuden kantoja ja matriisien similaarimuunnoksia, jotta my¨ohemmin voidaan m¨a¨aritell¨a diagonalisoituvat matriisit.

M¨a¨aritelm¨a 1.12. Vektoriavaruuden V ep¨atyhj¨a osajoukko S = {v₁, . . . , v_n} on lineaarisesti riippumaton, jos nollavektori voidaan voidaan esitt¨a¨a n¨aiden lineaa- rikombinaationa vain siten, ett¨a kaikki kertoimet ovat nollia, eli jos ehdosta

(1.5) c₁v₁+c₂v₂+· · ·+c_nv_n= 0

1.2. OMINAISARVOTEORIAA 10

seuraa, ett¨a c₁ = c₂ = · · · = c_n = 0. Muulloin, eli jos on muitakin ratkaisuja, jouk- koa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaksi. Silloin joukon S vektorien v¨alill¨a on siis keskin¨aist¨a riippuvuutta ja jokin vektori voidaan esitt¨a¨a muiden vektoreiden line- aarikombinaationa. Vektorin v lineaarikombinaation c_i-kertoimia kutsutaan vektorin koordinaateiksi.

Yht¨al¨o (1.5) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

(1.6) Ac= 0,

miss¨a A =

v1 v2 . . . vn

, eli vektorit v_k muodostavat matriisin A sarakkeet ja c = (c₁, . . . , c_n). Jokainen ¨a¨arellinen lineaarikuvaus L : U → V voidaankin esitt¨a¨a matriisin avulla, kunhan avaruuksiinU jaV on kiinnitetty kannat. Lineaarikuvauksen L matriisiesitys riippuu siten valituista kannoista, jotka m¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi.

M¨a¨aritelm¨a1.13. VektoriavaruudenV ¨a¨arellist¨a osajoukkoaB ={b₁, b₂, . . . , b_n} kutsutaan avaruuden V kannaksi, jos se on lineaarisesti riippumaton ja viritt¨a¨a koko vektoriavaruuden V.

Jokaisella vektoriavaruudella V on kanta ja jokaisella avaruuden V kannalla on sama m¨a¨ar¨a vektoreita. Vektoriavaruuden V dimensio dim(V) on avaruuden V kan- tavektoreiden lukum¨a¨ar¨a. T¨ast¨a seuraa, ett¨a jos dim(V) = nja S ={v₁, . . . , v_n} ⊂V on lineaarisesti riippumaton joukko, niin S on avaruuden V kanta. Rⁿ:n luonnolli- seksi kannaksi kutsutaan vektorijoukkoa E_n = {e₁, e₂, . . . , e_n}, miss¨a vektori e_i on sellainen, jossa i:nnes alkio on 1 ja muut nollia.

Esimerkki 1.14. Joukko {1, x, x², . . . , xⁿ} on polynomiavaruuden Pⁿ kanta, jo- ten dim(Pⁿ) = n+ 1. Vastaavasti m×n-matriisien muodostaman vektoriavaruuden dimensio on dim(R^m×n) = mn, koska kannaksi k¨ay joukko matriiseja, joista jokai- sella on yksi, mutta eri alkio ykk¨onen ja loput nollia. N¨ain ollen kannan matriisien lukum¨a¨ar¨aksi tuleemn.

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi vektorin kannanvaihto. Halutaan vaihtaa vektorin v esi- tys kannasta B = {b₁, b₂, . . . , b_n} kantaan U = {u₁, u₂, . . . , u_n} ja selvitet¨a¨an miten uudet koordinaatit voidaan lausua vanhojen avulla. Merkit¨a¨an vektorinv koordinaat- teja n¨aiss¨a kannoissa

[v]_B = (β₁, . . . , β_n) ja [v]_U = (η₁, . . . , η_n).

Oletetaan, ett¨a vanhat kantavektorit b_j voidaan lausua uusien kantavektoreiden u_i avulla seuraavasti:

b_j =

n

X

i=1

s_iju_i, j = 1, . . . , n.

T¨all¨oin saadaan v =

n

X

i=1

ηiui =

n

X

j=1

βjbj =

n

X

j=1

βj n

X

i=1

sijui =

n

X

i=1 n

X

j=1

sijβj

! ui, joten on oltava

(1.7) ηi =

n

X

j=1

sijβj, i= 1, . . . , n.

Merkit¨a¨an

S_(B,U) =





s₁₁ . . . s_1n ... ... s_n1 · · · s_nn



.

T¨all¨oin koordinaattien v¨alinen yht¨al¨o (1.7) voidaan kirjoittaa muodossa

(1.8) [v]_U =S_(B,U)[v]_B.

Siis uudet koordinaatit saadaan kertomalla vanhat matriisillaS_(B,U). MatriisiaS kut- sutaan kannanvaihtomatriisiksi.

Esimerkki 1.15. Olkoon kannat B ={v₁, v₂} ja E = {e₁, e₂} ja merkit¨a¨an vek- torin x koordinaatteja n¨aiss¨a kannoissa

[x]_B = (α₁, α₂) ja [x]_E = (β₁, β₂).

Oletetaan, ett¨a vanhat kantavektorit x_j voidaan lausua uusien kantavektoreiden e_i avulla seuraavasti:

v_j =

2

X

i=1

s_ije_i, j = 1,2, joten

β_i =

2

X

j=1

s_ijα_j, i= 1,2.

T¨all¨oin vektorin x esitys voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x=α1v1+α2v2 =α1(s11e1 +s21e2) +α2(s12e1+s22e2)

=(s₁₁α₁+s₁₂α₂)e₁+ (s₂₁α₁+s₂₂α₂)e₂, joten

[x]_E =

s₁₁ s₁₂ s₂₁ s₂₂

[x]_B. Merkit¨a¨an

S_(B,E) =

s₁₁ s₁₂ s₂₁ s₂₂

ja se on siis vektorin x kannanvaihtomatriisi kannasta B kantaan E.

Kuva 1.2. Vektorin x kannanvaihto

1.2. OMINAISARVOTEORIAA 12

Nyt on m¨a¨aritelty kannanvaihto ja kannanvaihtomatriisi, niin voidaan muodostaa seuraava t¨arke¨a tulos. Olkoon avaruuksillaU jaV kannatB_U jaB_V sek¨a uudet kannat Bˆ_U ja ˆB_V. Lis¨aksi, olkoonS jaRkannanvaihtomatriisit, joten kaikilleu∈U jav ∈V p¨atee

(1.9) [u]Bˆ_U =S[u]_BU ja [v]Bˆ_V =R[v]_BV.

T¨all¨oin [u]_BU =S⁻¹[u]BˆU ja [v]_BV =S⁻¹[v]BˆV. Oletetaan viel¨a, ett¨a A= [T]_BU,BV on lineaarikuvauksen T : U →V matriisi kantojen B_U ja B_V suhteen, joten vektorin u lineaarikuvaus T(u) kannassaB_V on vektoriu kannassa B_U kerrottuna matriisilla A eli

[T(u)]B_U =A[u]B_U kaikilla u∈U.

Kun k¨aytet¨a¨an yht¨al¨oit¨a (1.9), niin saadaan

(1.10) [T(u)]BˆV =R[T(u)]_BV =R(A[u]_BU) = R(A(S⁻¹[u]BˆV)) = (RAS⁻¹)[u]BˆV. Siis lineaarikuvauksen T matriisi ˆA uusissa kannoissa voidaan kirjoittaa muodossa

Aˆ= [T]BˆU,BˆV =RAS⁻¹.

Erityisesti, jos U = V, B_U = B_V ja ˆB_U = ˆB_V, niin S = R ja lineaarikuvauksen T matriisi ˆA uudessas kannassa ˆB_U = ˆB_V voidaan kirjoittaa muodossa

Aˆ=SAS⁻¹.

Matriisia ˆA kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi. Annetaan seuraava m¨a¨a- ritelm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 1.16. Neli¨omatriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa s¨a¨ann¨ollinen matriisi S siten, ett¨a B = SAS⁻¹. Muotoa SAS⁻¹ olevaa matriisia kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi.

Kesken¨a¨an similaarisilla matriiseilla on muun muassa seuraava ominaisuus.

Lause 1.17. Kesken¨a¨an similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen poly- nomi ja siten my¨os samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen.

Todistus. Olkoon matriisitAjaBsimilaarisia kesken¨a¨an eliB =SAS⁻¹ jollekin k¨a¨antyv¨alle matriisille S. T¨all¨oin

λI−B =λSIS⁻¹−SAS⁻¹ =S(λI −A)S⁻¹, joten

det(λI −B) = det(S) det(λI −A) det(S⁻¹) = det(S) det(λI −A)(det(S))⁻¹

= det(λI −A),

eli matriisien A ja B karakteristiset polynomit pA(λ) = pB(λ) ovat samat ja niill¨a on siten samat polynominpA(λ) juuret eli samat ominaisarvot samoine algebrallisine

kertalukuineen.

Olkoon matriisilla A ∈ K^n×n ominaisarvot λ₁, . . . , λ_n ja n¨ait¨a vastaavat ominais- vektorit x₁, . . . , x_n. Muodostetaan matriisi X = [x₁. . . x_n]. T¨all¨oin saadaan

AX = [Ax₁. . . Ax_n] = [λ₁x₁. . . λ_nx_n] = [x₁. . . x_n]



 λ₁

. ..

λ_n



=XΛ, miss¨a

Λ =



 λ₁

. ..

λn



.

Jos nyt ominaisvektorit x₁, . . . , x_n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin saadaan A=AXX⁻¹ =XΛX⁻¹.

Matriisi A on siis similaarinen diagonaalimatriisin Λ kanssa. Matriisia A kutsutaan siten diagonalisoituvaksi. Voidaan siis p¨a¨atell¨a, ett¨a jos A = SDS⁻¹, miss¨a D on diagonaalimatriisi, niin sen diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektoreita. Lis¨aksi n¨am¨a ominaisvektorit muo- dostavat kannan. Tilannetta, jossa matriisin A ominaisvektoreista ei voi muodostaa kantaa, k¨asitell¨a¨an my¨ohemmin.

LUKU 2

Matriisin eksponenttifunktio

Neli¨omatriiseja A ∈ M_n voidaan korottaa potenssiin ja niit¨a voidaan laskea yh- teen. N¨ain neli¨omatriisille on mahdollista muodostaa sarjakehitelm¨a. Eksponentti- funktio on tunnetusti er¨as sarjakehitelm¨a. Nyt voidaan siis m¨a¨aritell¨a neli¨omatriisin eksponenttifunktio.

M¨a¨aritelm¨a 2.1. Matriisien eksponenttifunktio on exp :M_n →M_n, e^A=

∞

X

k=0

1 k!A^k kaikille neli¨omatriiseilleA∈M_n.

N¨aytet¨a¨an seuraavan lauseen avulla, ett¨a m¨a¨aritelm¨a 2.1 on hyvin asetettu.

Lause 2.2. Sarja P∞ k=0

A^k

k! suppenee kaikille neli¨omatriiseille A∈M_n. Todistus. Olkoon a^k_ij matriisin A^k -kerroin. T¨all¨oin

|a²_ij |=|

n

X

k=1

a_ika_kj | ≤n(max|a_ij |)² =n kA k²

ja n¨aytet¨a¨an induktiolla, ett¨a | a^N_ij | ≤ n^N−1 k A k^N . Alkuaskel, jossa k = 1, p¨atee, sill¨a

|a¹_ij | ≤n⁰ max

1≤i,j≤n|a_ij |=n¹⁻¹ kAk¹ .

Oletetaan nyt, ett¨a v¨aite p¨atee, kun k = N ja osoitetaan, ett¨a v¨aite p¨atee, kun k =N + 1:

|a^N+1_ij |=|

n

X

k=1

a^N_ika_kj | ≤n^N kAk^N+1=n^(N+1)−1 kAk^N+1 . Siis v¨aite p¨atee induktion nojalla. Nyt voidaan muodostaa ep¨ayht¨al¨o:

|a^N_ij |

N! ≤ n^N−1 kAk^N

N! ≤ n^N kAk^N

N! = (nkAk)^N N! , ja koska sarja P∞

k=1

(nkAk)^N

N! suppenee reaalisena eksponenttifunktiona, niin Weier- strassin M-testin nojalla sarja P∞

k=0 A^k

k! suppenee alkioittain tasaisesti.

Matriisin eksponenttifunktion sarjakehitelm¨a on siis suppeneva. Eksponenttifunk- tione^Alaskemista yleiselle neli¨omatriisilleAk¨asitell¨a¨an luvussa 3, mutta tarkastellaan ensin kuitenkin muutamaa erikoistapausta esimerkkien avulla.

14

Esimerkki 2.3. Olkoon D = diag(d₁, d₂, . . . , d_n) diagonaalimatriisi, jolloin sen potenssit ovat D^k= diag(d^k₁, d^k₂, . . . , d^k_n). T¨all¨oin m¨a¨aritelm¨an 2.1 nojalla matriisin D eksponenttifunktio on

e^D =

∞

X

k=0

D^k

k! = diag

∞

X

k=0

d^k₁ k!, . . . ,

∞

X

k=0

d^k_n k!

!

= diag e^d1, . . . , e^dn

=



 e^d1

. ..

e^dn



. Esimerkki 2.4. Olkoon

A =

0 α

−α 0

. T¨all¨oin

A² =

0 α

−α 0

0 α

−α 0

=

−α² 0 0 −α²

=−α²I₂, A³ =

−α² 0 0 −α²

0 α

−α 0

=

0 −α³ α³ 0

=−α²A, A⁴ =

0 −α³ α³ 0

0 α

−α 0

=

α⁴ 0 0 α⁴

=α⁴I₂, A⁵ =

α⁴ 0 0 α⁴

0 α

−α 0

=

0 α⁵

−α⁵ 0

=α⁴A, A⁶ =−α⁶I₂,

A⁷ =−α⁶A, . . .

Induktion ja sini- ja kosinifunktioiden sarjakehitelmien nojalla saadaan nyt seu- raavaa:

e^A=

∞

X

i=0

Aⁱ i! =

−^α_2!² + ^α_4!⁴ − ^α_6!⁶ +. . . _1!^α −^α_3!³ +^α_5!⁵ −. . .

−^α_1!+ ^α_3!³ − ^α_5!⁵ +. . . −^α_2!² +^α_4!⁴ −^α_6!⁶ +. . .

=

" P∞ k=0

(−1)^kα^2k (2k)!

P∞ k=0

(−1)^kα^(2k+1) (2k+1)!

−P∞ k=0

(−1)^kα^(2k+1) (2k+1)!

P∞ k=0

(−1)^kα^2k (2k)!

#

=

cosα sinα

−sinα cosα

.

Seuraavaksi m¨a¨aritell¨a¨an nilpotentti matriisi, sill¨a sit¨a tullaan k¨aytt¨am¨a¨an my¨o- hemmin k¨asitelt¨aess¨a matriisin Jordanin muotoa. MatriisiaN sanotaan nilpotentiksi, josN^l = 0, jollekinl ≥0. Selv¨asti t¨all¨oin my¨os kaikki korkeammat potenssit ovat nol- lia. M¨a¨aritelm¨an 2.1 nojalla voidaan siis muodostaa nilpotentinN eksponenttifunktio seuraavasti:

e^N =

l−1

X

k=0

1

k!N^k=I+N +1

2N²+· · ·+ 1

(l−1)!N^l−1.

2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 16

Esimerkki 2.5. Matriisi

N =





0 1 0 0 0 1 0 0 0





on nilpotentti, sill¨a

N² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 ja N³ = 0.

Siten nilpotentinN eksponenttifunktio on

e^N =I+N + 1 2N² =





1 1 ¹₂ 0 1 1 0 0 1



. Matriisin eksponenttifunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

Lause 2.6. Olkoot A, B ja P ∈M_n neli¨omatriiseja ja P k¨a¨antyv¨a. T¨all¨oin (i) Jos C =P AP⁻¹, niin e^C =P e^AP⁻¹.

(ii) Jos AB =BA, niin e^A+B=e^Ae^B. (iii) e^−A= (e^A)⁻¹.

Todistus. (i) Nyt

e^{P AP−1} =

∞

X

k=0

1

k!(P AP⁻¹)^k, jossa

(P AP⁻¹)^k= (P AP⁻¹)(P AP⁻¹)· · ·(P AP⁻¹) =P A^kP⁻¹,

sill¨a v¨aliss¨a olevat termit P⁻¹P supistuvat pois ja lemman 1.6 nojalla

k→∞lim(P A_kP⁻¹) = P( lim

k→∞A_k)P⁻¹. Siten

∞

X

k=0

1

k!(P AP⁻¹)^k =P

∞

X

k=0

1

k!A^kP⁻¹ =P e^AP⁻¹.

(ii) Koska AB = BA, eli matriisit A ja B kommutoivat, niin binomikaavan no- jalla voidaan m¨a¨aritt¨a¨a

(A+B)ⁿ=

n

X

k=0

n!

k!(n−k)!A^kB^n−k.

Edelleen matriiseille A ja B p¨atee e^A+B=

∞

X

n=0

1

n!(A+B)ⁿ=

∞

X

n=0 n

X

k=0

1 n!

n!

k!(n−k)!A^kB^n−k

!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

A^k k!

B^n−k (n−k)!

!

=

∞

X

k=0

A^k k!

! _∞ X

n=0

Bⁿ n!

!

=e^Ae^B,

jossa viimeiselle riville siirrytt¨aess¨a on k¨aytetty Cauchyn tuloa

∞

X

n=0 n

X

k=0

a_kbn−k =

∞

X

k=0

a_k

! _∞ X

n=0

b_n

! ,

joka p¨atee siis my¨os matriisisarjoille, sill¨a A ja B kommutoivat.

(iii) Kohdan (ii) nojalla

I =e⁰ =e^A−A=e^Ae^−A, joten e^−A= (e^A)⁻¹.

LUKU 3

Matriisin eksponenttifunktion laskeminen

T¨ass¨a luvussa tarkastellaan miten eksponenttifunktio voidaan laskea eri matrii- seille. Jos matriisi on diagonalisoituva, eksponenttifunktion laskeminen on suoravii- vaista. Jos taas matriisi ei ole diagonalisoituva, niin tarvitaan Jordanin muotoa, jota k¨asitell¨a¨an my¨ohemmin luvussa 3.2.

3.1. Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio

Jos matriisi A on diagonalisoituva, eli l¨oytyy P siten, ett¨a A =PΛP⁻¹, jossa Λ on l¨avist¨aj¨amatriisi, niin lauseen 2.6 mukaan

(3.1) e^A=P e^ΛP⁻¹.

Nyt kun tiedet¨a¨an, ett¨a matriisi Λ on diagonaalinen, niin sen eksponenttifunktio lasketaan kuten esimerkiss¨a 2.3.

Esimerkki 3.1. Olkoon matriisi A=

1 1 0 2

.

T¨all¨oin A voidaan kirjoittaa muodossa A=PΛP⁻¹, jossa P =

1 1 0 1

, Λ = 1 0

0 2

ja P⁻¹ =

1 −1 0 1

. Siten vakiolla t kerrotun matriisin A eksponenttifunktio on

e^tA=P e^tΛP⁻¹ = 1 1

0 1

e^t 0 0 e^2t

1 −1 0 1

=

e^t e^2t−e^t 0 e^2t

.

L¨avist¨aj¨amatriisin eksponenttifunktio osataan siis ratkaista, joten matriisien eks- ponenttifunktione^Alaskeminen kaikille diagonalisoituville matriiseilleAon ratkaistu.

Erityisesti kun matriisin A ominaisarvot ovat erisuuret, niin yht¨al¨oss¨a (3.1) mat- riisin P sarakkeet ovat siis matriisin A ominaisvektoreita ja matriisi Λ on diagonaa- limatriisi, jonka l¨avist¨aj¨aalkiot ovat matriisin A ominaisarvoja kuten n¨ahtiin luvussa 1.2.

N¨aytet¨a¨an viel¨a tulevia esimerkkej¨a varten k¨a¨anteismatriisin er¨as ratkaisutapa 2×2-matriisille. Matriisin

P = a b

c d

18

k¨a¨anteismatriisi P⁻¹ voidaan ratkaista seuraavasti:

(3.2) P⁻¹ = 1

det(P)

d −b

−c a

.

Siis vaihdetaan p¨a¨al¨avist¨aj¨an alkiot kesken¨a¨an, muutetaan sivul¨avist¨aj¨an alkiot vas- taluvuikseen ja jaetaan matriisinP determinantilla det(P).

Esimerkki 3.2. Olkoon matriisi A=

1 3

−3 1

kuten esimerkiss¨a 1.10, jolloin ominaisarvot ovatλ₁ = 1−3ija λ₂ = 1 + 3i sek¨a niit¨a vastaavat ominaisvektorit

v₁ = 1

−i

ja v₂ = 1

i

. MatriisilleA on siis voimassa A =PΛP⁻¹, jossa

Λ =

1−3i 0 0 1 + 3i

ja P =

1 1

−i i

. Lasketaan ensin matriisin P determinantti:

det(P) =

1 1

−i i

=i−(−i) = 2i.

Nyt voidaan m¨a¨aritt¨a¨a k¨a¨anteismatriisi P⁻¹ seuraavasti:

P⁻¹ = 1 2i

i −1 i 1

= ₁

2 −_2i¹

1 2

1 2i

= ₁

2 i 1 2 2 −₂ⁱ

.

T¨all¨oin lauseen 2.6 ja trigonometristen funktioiden m¨a¨aritelmien nojalla e^tA =

1 1

−i i

e^(1−3i)t 0 0 e^(1+3i)t

1 2

i 1 2 2 −₂ⁱ

=

e^(1−3i)t e^(1+3i)t

−ie^(1−3i)t e^i(1+3i)t

1 2

i 1 2 2 −₂ⁱ

= ₁

2e^(1−3i)t+ ¹₂e^(1+3i)t ₂ⁱe^(1−3i)t− ₂ⁱe^(1+3i)t

−₂ⁱe^(1−3i)t+ ₂ⁱe^(1+3i)t −ⁱ₂²e^(1−3i)t− ⁱ₂²e^(1+3i)t

= ₁

2e^t(e^3it+e^−3it) _2i¹e^t(e^3it−e^−3it)

−_2i¹e^t(e^3it−e^−3it) ¹₂e^t(e^3it+e^−3it)

=

e^tcos(3t) e^tsin(3t)

−e^tsin(3t) e^tcos(3t)

.

Vaikka reaalisen matriisin A ominaisarvot ja -vektorit olisivat siis kompleksisia, niin matriisin A eksponenttifunktio e^A on reaalinen, sill¨a kaikki sarjakehitelm¨an po- tenssit A^k ovat reaalisia matriiseja. My¨os kompleksisessa tapauksessa saadaan siis reaalinen ratkaisukanta.

Diagonalisoituvassa tapauksessa A=P



 λ₁

. ..

λ_n



P⁻¹

3.1. DIAGONALISOITUVAN MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 20

matriisin A potenssit A^k lasketaan siten, ett¨a A^k=P



 λ^k₁

. ..

λ^k_n



P⁻¹,

kuten jo n¨ahtiin lauseen 2.6 todistuksen kohdassa (i) yleiselle neli¨omatriisille.

Esitet¨a¨an viel¨a yksi esimerkki diagonalisoituvista matriiseista.

Esimerkki 3.3. Olkoon matriisi A=





−1 0 2

0 1 0

2 0 −1





kuten esimerkiss¨a 1.11, jolloin sen ominaisarvot ovat λ₁ = −3 ja kaksinkertainen ominaisarvo λ₂ = 1. Vastaavat ominaisvektorit ovat v₁ = (1,0,−1), v_2,1 = (1,0,1) ja v_2,2 = (0,1,0). Nyt matriisi A on similaarinen ominaisarvoista koostuvan matriisin

Λ =





−3 0 0 0 1 0 0 0 1





kanssa. T¨all¨oin on voimassa yht¨al¨o A=VΛV⁻¹, jossa matriisi V =





1 1 0

0 0 1

−1 1 0





koostuu matriisin A ominaisvektoreista ja sen k¨a¨anteismatriisi V⁻¹ =





1

2 0 −¹₂

1

2 0 ¹₂

0 1 0





voidaan ratkaista k¨aytt¨aen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetel- m¨a¨a. Nyt matriisin A eksponenttifunktio on

e^A=V e^ΛV⁻¹

=





1 1 0

0 0 1

−1 1 0









e⁻³ 0 0 0 e¹ 0 0 0 e¹









1

2 0 −¹₂

1

2 0 ¹₂

0 1 0



=





e⁻³ e¹ 0 0 0 e¹

−e⁻³ e¹ 0









1

2 0 −¹₂

1

2 0 ¹₂

0 1 0





=





1

2(e⁻³+e) 0 ¹₂(−e⁻³+e)

0 e 0

1

2(−e⁻³+e) 0 ¹₂(e⁻³+e)



.

3.2. Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla

Jos matriisiAei kuitenkaan ole diagonalisoituva, niin se voidaan muuntaa Jorda- nin muotoonJ_A, joka muodostetaan niin sanottujen yleistettyjen ominaisvektoreiden avulla. Jokainen neli¨omatriisi A on similaarinen lohkol¨avist¨aj¨amatriisin

J = diag[J1, . . . , Jp] =







 J₁

J₂ . ..

J_p









kanssa, miss¨a J_i, i = 1, . . . , p, on r_i ×r_i -matriisi. Matriisia J kutsutaan matriisin A Jordanin muodoksi ja matriiseja J_i kutsutaan Jordanin lohkoiksi. Matriisit A ja B ovat similaarisia kesken¨a¨an t¨asm¨alleen silloin, kun niill¨a on sama Jordanin muoto.

Selvitet¨a¨an seuraavaksi miten Jordanin matriisit l¨oydet¨a¨an.

Jos matriisinAominaisarvonλ geometrinen kertalukum_g(λ) ja algebrallinen ker- taluku m_a(λ) ovat samat eli m_g(λ) = m_a(λ) = k, niin ominaisavaruudessa E_A(λ) = {v ∈Cⁿ: (A−λI)v = 0} on ominaisarvoon λ liittyvien ominaisvektoreiden muodos- tama kanta {x₁, . . . , x_k}, jolloin

A

x₁ . . . x_k

=

x₁ . . . x_k



 λ

. ..

λ



.

Olkoonλ₁, . . . , λ_qmatriisinAerisuuret ominaisarvot jak₁, . . . , k_qn¨aiden algebral- liset kertaluvut. Nyt jos ominaisarvon λ_j, miss¨a j = 1, . . . , q, geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen eli sen ominaisvektoreiden m¨a¨ar¨a on pienempi kuin ominaisarvon λj kertalukukj elimg(λj)< ma(λj) =kj, niin Jordanin muotoa varten tarvitaan lis¨a¨a vektoreita. Lis¨aksi n¨aiden vektorien tulee olla lineaarisesti riippumat- tomia, jotta niist¨a muodostuva matriisi olisi k¨a¨antyv¨a. Kasvatetaan siis ominaisava- ruutta E_A(λ_j).

M¨a¨aritet¨a¨an ominaisarvolle λ_j invariantti aliavaruus Eb_A(λ_j) = {v ∈Cⁿ: (A−λ_jI)^kjv = 0}.

Siten EA(λj) ⊂ EbA(λj). Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa matriisilla A on ominai- sarvo λ siten, ett¨a EA(λ) 6= EbA(λ). T¨all¨oin on olemassa κ ≥2 ja wκ ∈EbA(λ) siten, ett¨a (A−λI)^κwκ = 0, mutta (A−λI)^κ−1wκ 6= 0. Asetetaan

w_j = (A−λI)^κ−jw_κ. T¨all¨oin

(Aw₁ =λw₁ ja

Aw_j =λw_j+wj−1, j = 2, . . . , κ.

3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 22

Matriisimuodossa saadaan

A

w₁ w₂ . . . w_κ

=

w₁ w₂ . . . w_κ









 λ 1

λ . ..

. .. 1 λ









 .

Vektorijonoa (w1, . . . , wκ) kutsutaan ominaisarvoonλliittyv¨aksi ja ominaisvekto- rista w1 l¨ahtev¨aksi Jordanin ketjuksi. Similaarimuunnoksen A = V J V⁻¹ muunnos- matriisiV saadaan siis selvitetty¨a k¨aytt¨am¨all¨a seuraavia yht¨al¨oit¨a:

((A−λI)w₂ =w₁

(A−λI)w_i =w_i−1, i= 2, . . . , r_i.

Siis t¨aydennet¨a¨an matriisinAsimilaarimuunnoksenA=V J V⁻¹matriisinV mah- dollisesti puuttuvat ominaisvektorit Jordanin ketjujen vektoreilla. Lis¨aksi saatiin sel- vitetty¨a miten Jordanin lohko J(λ, r) l¨oydet¨a¨an eli se voidaan kirjoittaa muodossa

J(λ, r) =









 λ 1

λ . ..

. .. 1 λ











∈C^r×r.

Jordanin matriisi on t¨all¨oin lohkodiagonaalinen yl¨akolmiomatriisi

J =





J(λ₁, r₁) . ..

J(λp, rp)



, jonka l¨avist¨aj¨a koostuu siis r_i×r_i kokoisista Jordanin lohkoista.

Esimerkki 3.4. Olkoon matriisi A= 1

2





3 0 −1 1 4 −1

−1 0 3





ja ratkaistaan sen ominaisarvot:

p_A(λ) = det(λI−A) =

λ− ³₂ 0 −¹₂

1

2 λ−2 −¹₂

−¹₂ 0 λ− ³₂

= (λ−2)

λ− ³₂ −¹₂

−¹₂ λ− ³₂

=(λ−2)(λ²−3λ+ 2) = (λ−1)(λ−2)(λ−2) = 0,

kun λ = 1 tai λ = 2. Matriisilla A on siis ominaisarvo λ1 = 1 ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ₂ = 2. Ratkaistaan viel¨a vastaavat ominaisvektorit:

λ₁ =1 :

A−λ1I|0

=





1

2 0 −¹₂ |0

1

2 1 −¹₂ |0

−¹₂ 0 ¹₂ |0



−→





1 0 −1 |0 1 2 −1 |0

−1 0 1 |0





⇒v₁ =(1,0,1) λ₂ =2 :

A−λ₂I|0

=





−¹₂ 0 −¹₂ |0

1

2 0 −¹₂ |0

−¹₂ 0 −¹₂ |0



−→





−1 0 −1 |0 1 0 −1 |0

−1 0 −1 |0





⇒v₂ =(0,1,0).

L¨oytyy siis vain kaksi ominaisvektoria v₁ ja v₂ ja tarvitaan kolme, joten etsit¨a¨an ominaisarvoon λ₂ liittyv¨a ja ominaisvektorista v₂ l¨ahtev¨a Jordanin ketju {v₂, v₃}.

Nyt koska

(Av₂ =λ₂v₂

Av3 =v2+λ2v3 ⇒ (A−λ2I)v3 =v2, niin vektori v₃ l¨oydet¨a¨an yht¨al¨on





−¹₂ 0 −¹₂ |0

1

2 0 −¹₂ |1

−¹₂ 0 −¹₂ |0





avulla. Siis v₃ = (1,0,−1).

Matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin J_A kanssa ja Jordanin lohkot ovat

J(λ₁, r₁) =J(1,1) = 1

ja J(λ₂, r₂) =J(2,2) = 2 1

0 2

, joten

J_A=





1 0 0 0 2 1 0 0 2



. T¨all¨oin on voimassa yht¨al¨o A=V J_AV⁻¹,jossa matriisi

V =





1 0 1

0 1 0

1 0 −1





koostuu vektoreista v₁, v₂ ja v₃ ja sen k¨a¨anteismatriisi V⁻¹ =





1

2 0 ¹₂

0 1 0

1

2 0 −¹₂





voidaan ratkaista k¨aytt¨aen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetel- m¨a¨a.