Gripenberg, Blomqvist, Nor´en Mat-1.1520 Grundkurs i matematik 2
Mellanf¨orh¨or 1, 21.2.2013
Skriv ditt namn, nummer och ¨ovriga uppgifter p˚a varje papper!
R¨aknare eller tabeller f˚arinteanv¨andas i detta prov!
1. (5p) Antag attzkan ber¨aknas med formelnz = 5x2
7y3. Uppskatta med hj¨alp av linj¨ar approx- imation med hur m˚anga %zf¨or¨andras omxv¨axer med0.2% ochyv¨axer med0.3%.
2. (4p) Betr¨affande funktionen g vet man att g(1,2) = −3, g(1.1,2.2) = −3.3 och g(0.7,1.9) = −3.1. Best¨am en approximation av talet g(1.2,1.9)genom att anv¨anda deriva- tor.
3. (5p) F¨orklara hur man med Newton-Raphsons metod approximativt kan l¨osa ekvationssy- stemet
y2 =x+ 1, x2 =y+ 2.
R¨akna antingen en iteration med startv¨ardenax0 = 1,y0 = 1ellerf¨orklara med vilka komman- don man kan r¨akna (m˚anga) iterationer med tex.matlab/octave.
4. (5p) Antag attf(x, y) = 3x−x3−3xy2. Vilka av punkterna(1,0),(0,1),(1,1)och(−1,0)
¨ar nollst¨allen f¨or derivatan (gradienten) av f och vilka av dessa ¨ar lokala maximipunkter och vilka ¨ar lokala minimipunkter. Motivera ditt svar!
5. (5p) F¨orklara hur man skall g˚a tillv¨aga f¨or att best¨amma koefficienternac1,c2 ochc3 s˚a att kvadratsummanPn
j=1 c1e−xj+c2+c3exj−yj2
blir s˚a liten som m¨ojligt d˚a punkterna(xj, yj), j = 1, . . . , n, ¨ar givna.
