Pääideaalialueen moduulien päälause

P¨a¨aideaalialueen moduulien p¨a¨alause

Vilppu Lehtikangas

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kev¨at 2021

i

Tiivistelm¨a:Vilppu Lehtikangas, P¨a¨aideaalialueiden moduulien p¨a¨alause (engl.

The Fundamental Theorem of Modules Over Principal Ideal Domains), Mate- matiikan Pro Gradu -tutkielma, 69s., Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Kev¨at 2021.

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhm¨a- ja rengasteorian alkeista l¨ahtien, sek¨a osoittaa p¨a¨aideaalialueiden moduulien p¨a¨a- lause.

Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka tekee sii- t¨a abelin ryhm¨an, sek¨a toiminnaksi kutsutulla kuvauksella joka liitt¨a¨a jokaiseen G:n kertoimien renkaan alkioon ja G:n alkioon jonkin G:n alkion. Toiminnan m¨a¨aritell¨a¨an my¨os toteuttavan vektoriavaruuksien tunnetut distributiivisuus- ominaisuudet, jolloin se yleist¨a¨a vektoriavaruuden skalaaritulon k¨asitteen ylei- selle renkaalle. N¨ain ollen vektoriavaruuden yleisen m¨a¨aritelm¨an nojalla vek- toriavaruudet ovat t¨asm¨alleen kuntakertoimisia moduuleja. Osoittautuu, ett¨a my¨os abelin ryhm¨at ja renkaat ovat moduuleja, joiden kerroinrenkaina ovat vastaavasti kokonaislukujen rengasZ, sek¨a rengas itse. Tulemme huomaamaan, ett¨a monet ryhm¨a- ja rengasteorian tuloksista yleistyv¨at my¨os moduuleille.

Tutkimme, kuinka moduulin kerroinrenkaan rakenne vaikuttaa itse moduu- lin ominaisuuksiin. Tulemme osoittamaan, ett¨a p¨a¨aideaalialueitten tapaukses- sa jokainen p¨a¨aideaalialueen moduuli voidaan esitt¨a¨a yksik¨asitteisesti suorana summana vapaasta moduulista, eli moduulista jolla on vektoriavaruuden tavoin kanta, sek¨a ¨a¨arellisen monesta syklisest¨a tekij¨amoduulista. Tarkastelemme lo- puksi lyhyesti joitain t¨am¨an p¨a¨aideaalimoduulien p¨a¨alauseeksi kutsutun tulok- sen sovelluksia, kuten ¨a¨arellisesti viritettyjen abelin ryhmien p¨a¨alausetta, sek¨a neli¨omatriisin Jordanin kanonista muotoa.

Sis¨ allys

Luku 1. Johdanto 1

Luku 2. Ryhm¨at 3

2.1. Ryhm¨at ja aliryhm¨at 3

2.2. Ryhmien morfismit 6

Luku 3. Renkaat 15

3.1. Renkaat ja alirenkaat 15

3.2. Rengashomomorfismit ja ideaalit 18

3.3. Ideaalien ominaisuudet 21

3.4. P¨a¨aideaali- ja yksik¨asitteisen tekij¨ajaon alueet 25

Luku 4. Moduulit 31

4.1. Moduulit ja alimoduulit 31

4.2. Moduulien isomorfisuus ja tekij¨amoduulit 33

4.3. Vapaat moduulit ja suorat summat 36

4.4. Vektoriavaruudet 43

Luku 5. Moduulit p¨a¨aideaalialueessa 49

5.1. Noetherin moduulit ja vapaiden moduulien kannat 49 5.2. P¨a¨aideaalialueen moduulien p¨a¨alause 55

5.3. P¨a¨alauseen sovelluksia 66

Kirjallisuutta 69

iii

LUKU 1

Johdanto

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulit ryhm¨a- ja rengasteo- rian alkeista l¨ahtien ja osoittaa p¨a¨aideaalialueen moduulien p¨a¨alause k¨aytt¨aen l¨apik¨ayty¨a teoriaa.

Ryhm¨at ovat er¨as abstraktin algebran perusrakenteista, joiden voidaan aja- tella yleist¨av¨an kokonaislukujen yhteenlaskun mielivaltaiselle joukolle ja lasku- toimitukselle, joka muistuttaa yhteenlaskua. T¨aten kokonaislukuja mukaillen m¨a¨aritell¨a¨an, ett¨a ryhm¨a on joukko varustettuna kuvauksella, joka kuvaa jo- kaiset kaksi sen alkiota joksikin kyseisen joukon alkioksi siten, ett¨a t¨am¨a ku- vaus muistuttaa vahvasti kokonaislukujen yhteenlaskua. Vastaavasti m¨a¨aritel- l¨a¨an, ett¨a rengas on ryhm¨a, joka on varustettu my¨os toisella kokonaislukujen kertolaskua muistuttavalla laskutoimituksella.

Vektoriavaruudet ovat taas tunnetusti reaalilukujen n-uloitteista avaruutta Rⁿ muistuttavia joukkoja varustettuna vektoreiden yhteenlaskutoimituksella, sek¨a skalaaritulolla, jossa vektoreita kerrotaan jollain kerroinkunnan alkiolla.

Osoittautuu, ett¨a vektoriavaruuksien rakenne voidaan itse asiassa yleist¨a¨a tie- tyille ryhmille siten, ett¨a kyseisen ryhm¨an kerrointen joukkona on jokin ren- gas, kunhan kerroinrenkaan ja ryhm¨an alkioiden skalaarituloa vastaava kuvaus yhdess¨a ryhm¨an yhteenlaskutoimituksen kanssa muistuttaa riitt¨av¨asti vektorei- den yhteenlaskua ja skalaarituloa. T¨allaista konstruktiota kutsutaanmoduulik- si. Osoittautuu, ett¨a vektoriavaruuksien lis¨aksi, my¨os renkaat ja ryhm¨at ovat itse moduuleja. Tulemme my¨os osoittamaan, ett¨a jos rajoittaudumme tarkas- telemaan tarpeeksi hyvin k¨aytt¨aytyvien renkaiden moduuleja – nimitt¨ain p¨a¨a- ideaalialueiden moduuleja, niin kyseisen p¨a¨aideaalialueen rakenne antaa meille tietoa sen moduulien rakenteesta.

Renkaan alirengas on sen osajoukko, joka on itsess¨a¨an rengas m¨a¨ariteltyn¨a alkuper¨aisen renkaan laskutoimituksien rajoittumalla kyseiseen osajoukkoon.

Samoin renkaanideaali on alirengas, joka on eritt¨ain vakaa renkaan kertolaskun suhteen, siten ett¨a tulo jokaisen ideaalin alkion ja mink¨a vain renkaan alkion kanssa kuuluun aina kyseiseen ideaaliin. N¨ain ollen m¨a¨arittelemme, ett¨a renkaan p¨a¨aideaali on sen ideaali, joka on yhden alkion viritt¨am¨a, eli jossa jokainen p¨a¨aideaalin alkio voidaan esitt¨a¨a sen viritt¨av¨an alkion ja jonkin renkaan alkion tulona. T¨aten sanotaan, ett¨a p¨a¨aideaalialue on kertolaskun suhteen tietyss¨a mieless¨a hyvin k¨aytt¨aytyv¨a rengas, jonka jokainen ideaali on p¨a¨aideaali.

N¨ain ollen sanotaan, ett¨a moduuli, jonka kerroinjoukko on p¨a¨aideaali on p¨a¨aideaalialueen moduuli. Vapaa moduuli on moduuli jolla on vektoriavaruu- den tavoinkanta, eli lineaarisesti riippumaton osajoukko, joka viritt¨a¨a kyseisen moduulin. Torsiomoduulit ovat taas moduuleita, joilla ei ole t¨allaist¨a kantaa ja jotka ovat p¨a¨aideaalialueiden tapauksessa yhden alkion viritt¨ami¨a, eli syklisi¨a

1

2 1. JOHDANTO

moduuleja. P¨a¨aideaalialueen moduulien p¨a¨alause kertoo, ett¨a jokainen p¨a¨aide- aalialueen ¨a¨arellisesti viritetty moduuli voidaan esitt¨a¨a vapaan moduulin, sek¨a

¨a¨arellisen monen torsiomoduulin avulla.

P¨a¨aideaalialueiden p¨a¨alauseella on my¨os mielenkiintoisia sovelluksia. Voi- daan osoittaa, ett¨a abelin ryhm¨at, eli ryhm¨at joiden alkioiden yhteenlaskutoi- mituksen j¨arjestyksell¨a ei ole v¨ali¨a, ovat itsess¨a¨an p¨a¨aideaalialueen moduuleja, jolloin p¨a¨alause antaa niille vastaavan esityksen. T¨at¨a tulosta kutsutaan ¨a¨arel- lisesti viritettyjen abelin ryhmien p¨a¨alauseeksi, jonka avulla voidaan esimerkiksi m¨a¨aritt¨a¨a jokainen tietyn kokoinen ¨a¨arellinen abelin ryhm¨a. Soveltamalla p¨a¨ai- deaalialueiden moduulien p¨a¨alausetta polynomikertoimiseen vektoriavaruuteen voidaan osoittaa, ett¨a jokaista neli¨omatriisia vastaa niin sanotussaJordanin ka- nonisessa muodossaoleva samankokoinen diagonaali lohkomatriisi, jonka lohkot ovat diagonaalimatriiseja muistuttavia Jordanin lohkoja. Osoittautuu my¨os, et- t¨a t¨allainen Jordan-matriisi saadaan alkuper¨aisest¨a matriisista vaihtamalla sii- hen liittyv¨an vektoriavaruuden kantaa.

LUKU 2

Ryhm¨ at

T¨ass¨a luvussa k¨asittelemme ryhm¨ateorian perusteita. Tunnetusti kokonais- lukujen v¨alille voidaan m¨a¨aritell¨a yhteenlaskuksi kutsuttu kuvaus, joka liitt¨a¨a jokaiseen kahteen kokonaislukuun jonkin kokonaisluvun. Kokonaislukujen yh- teenlasku on siis esimerkki joukon sis¨aisest¨a laskutoimituksesta. On luontevaa tarkastella, millaisia rakenteita saadaan aikaiseksi korvaamalla joko kokonaislu- kujen joukko jollain muulla joukolla tai kyseinen laskutoimitus jollain sit¨a muis- tuttavalla kuvauksella. Ryhmien voidaan n¨ain ollen ajatella yleist¨av¨an kokonais- lukujen yhteenlaskun mielivaltaiselle joukolle, sek¨a laskutoimitukselle, jolla on monet kokonaislukujen yhteenlaskun perusominaisuuksista. Luku perustuu l¨ah- teisiin [1], [2], [3], [4] ja [5].

2.1. Ryhm¨at ja aliryhm¨at

M¨a¨aritell¨a¨an ensiksi joitain ryhm¨ateoriassa tarvittavia perusk¨asitteit¨a.

M¨a¨aritelm¨a 2.1. JoukonA laskutoimitus on kuvaus :AAÑA, jolle k¨aytet¨a¨an merkit¨a¨a pa, bq ab. Laskutoimitus on liit¨ann¨ainen jos

a pbcq pabq c

kaikilla a, b, c P A. Jos a b b a kaikilla a, b P A, niin sanotaan, ett¨a laskutoimitus onkommutatiivinen tai vaihdannainen.

M¨a¨aritelm¨a 2.2. Laskutoimituksen neutraalialkio on alkio e P A, jolle p¨atee aeeaa kaikillaaPA. Jos laskutoimituksellaon neutraalialkio, niin alkion a P A k¨a¨anteisalkio laskutoimituksen suhteen on alkio a¹ P A, jolle p¨atee aa¹ a¹ae.

M¨a¨aritelm¨a2.3. OlkoonjoukonAlaskutoimitus jaB €A. Josbb¹ PB kaikilla b, b¹ P B niin joukko B on vakaa laskutoimituksen suhteen. T¨all¨oin sanotaan, ett¨a laskutoimituksen rajoittuma osajoukkoon BB on laskutoi- mituksenindusoima laskutoimitus. Indusoidulle laskutoimitukselle k¨aytet¨a¨an my¨os merkint¨a¨a|BB , jos t¨am¨a ei aiheuta sekaannusta.

M¨a¨aritelm¨a 2.4. Ryhm¨a on j¨arjestetty paripG,qjossa Gon joukko ja on joukonG laskutoimitus siten, ett¨a

(1) on liit¨ann¨ainen,

(2) laskutoimituksella on neutraalialkio ePG ja (3) jokaisella aP Gon k¨a¨anteisalkioa¹ PG.

Jos ryhm¨an pG,q laskutoimitus on kontekstista selv¨a niin yleens¨a sano- taan vain, ett¨a G on ryhm¨a ja t¨all¨oin merkit¨a¨an ab ab, sek¨a e 1. Jos ab ba kaikilla a, b P G niin sanotaan, ett¨a ryhm¨a G kommutoi, tai ett¨a G on abelin ryhm¨a. Abelin ryhm¨anG laskutoimitukselle, neutraalialkiollee, se- k¨a alkion a P G k¨a¨anteisalkiolle a¹ k¨aytet¨a¨an usein vastaavasti merkint¨oj¨a

3

4 2. RYHM ¨AT

, 0, sek¨a a. T¨all¨oin merkit¨a¨an my¨os x pyq xy, kaikilla x, y P G.

N¨ain merkitty¨a ryhm¨a¨a kutsutaan monesti additiiviiseksi ryhm¨aksi. Additiivi- sen ryhm¨an alkioiden a₁, a₂. . . , a_n v¨aliselle laskutoimitukselle k¨aytet¨a¨an my¨os usein merkint¨a¨a

pp. . .pa₁ a₂q a₃q. . .q a_na₁ a₂ a_n

¸n i1

a_n, jossa yhden alkion summaa merkit¨a¨an usein °n

i1g ng, miss¨a nPZ ,g P G.

Esimerkki 2.5. Kokonaislukujen joukkoZ t 2,1,0,1,2. . .uvarus- tettuna kokonaislukujen tunnetulla yhteenlaskulla , eli paripZ, q, on abelin ryhm¨a. Emme paneudu niin kokonaislukujen joukon, kuin niiden yhteenlaskun t¨asm¨alliseen konstruktioon, mutta aiheesta l¨oytyy lis¨atietoa esimerkiksi teok- sesta [1, s. 348]. Yhteenlasku on m¨a¨aritelm¨an mukaisesti liit¨ann¨ainen ja kom- mutatiivinen joukon Zlaskutoimitus. Yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0 ja jokaisen luvun xP Z k¨a¨anteisalkio, jota joskus kutsutaan vastaluvuksi on luku x. N¨ain ollen additiiviset ryhm¨at muistuttavat niin rakenteeltaan, kuin mer- kinn¨oilt¨a¨an kokonaislukujen ryhm¨a¨a pZ, q. Tulemme jatkossa merkitsem¨a¨an niin sanottujen luonnollisien lukujen joukkoa N t0,1,2, . . .u, sek¨a positiivi- sien kokonaislukujen joukkoa Z t1,2,3, . . .u

Esimerkki 2.6. RyhmienpG1,1q,pG2,2q, . . . ,pGn,nq,nPZ suora tulo, eli tulojoukkoG₁G₂ G_n varustettuna komponenteittain m¨a¨aritellyll¨a tulojoukon laskutoimituksella, jolle p¨atee

pg₁, g₂, . . . , g_nq ph₁, h₂, . . . , h_nq pg₁1h₁, g₂2h₂, . . . , g_nnh_nq

on ryhm¨a. Suoran tulon neutraalialkio on alkiop1_G1,1_G2, . . . ,1_Gnq, jossa 1_Gi on ryhm¨anG_i neutraalialkio ja tuloryhm¨an alkion pg₁, g₂, . . . , g_nqk¨a¨anteisalkio on pg₁¹, g₂¹, . . . , g_n¹q, jossa g_i P G_i kaikilla iP t1, . . . , nu.

M¨a¨aritelm¨a 2.7. Kunta on kolmikko pK, ,q, jossa jaovat joukonK laskutoimituksia siten, ett¨a parit pK, qsek¨apK t0u,qovat abelin ryhmi¨a ja ett¨a laskutoimitus ondistributiivinen laskutoimituksen suhteen, eli

a pb cq pabq pacq ja pa bq c pacq pbcq, kaikillaa, b, cPK.

Esimerkki 2.8. OlkoonKkunta jaGL_npVqkunnanK alkioista koostuvien k¨a¨antyvien nn matriisien joukko, eli

GL_npVq tM |Mon k¨a¨antyv¨annmatriisi jaM_ij P Kkaikilla 1¤i, j ¤nu. Olkoon my¨os joukon GL_npVq laskutoimitus siten, ett¨a on kokoa n n olevien matriisien kertolasku jossa kahden matriisin tulon [1, s. 3] AB AB komponentit pABqij, saadaan yht¨al¨ost¨a

pABqij

¸n k1

A_ikB_kj

kaikilla A, B P GL_npVq, 1 ¤ i, j ¤ n. T¨all¨oin yleinen lineaarinen ryhm¨a GL_npVq pGL_npVq,q on ryhm¨a, jonka neutraalialkio on identiteettimatriisi I ja jossa jokaisen matriisin AP GL_npVq k¨a¨anteisalkio on sen k¨a¨anteismatriisi A¹.

2.1. RYHM ¨AT JA ALIRYHM ¨AT 5

Esimerkki 2.9. Olkoon A H joukko. T¨all¨oin joukon A symmetriaryhm¨a S_A tσ : A Ñ A | σ on bijektiou on ryhm¨a varustettuna kuvausten σ_i P S_A yhdist¨amisell¨a:S_A ÑS_A,pσ₁, σ₂q σ₁σ₂. Koska kahden bijektion AÑA yhdiste on bijektio A ÑA, niin on joukon S_A laskutoimitus. Kuvausten yh- dist¨aminen on my¨os tunnetusti liit¨ann¨ainen operaatio. Ryhm¨an pS_A,q neut- raalialkio on identtinen kuvausId ja jokaisen σ PS_Ak¨a¨anteisalkio on bijektion σk¨a¨anteiskuvausσ¹. Symmetriaryhm¨anSAalkioita kutsutaan usein joukonA permutaatioiksi.

Tarkastellaan seuraavaksi ryhmien perusominaisuuksia.

Lause 2.10. Olkoon pG,q ryhm¨a. T¨all¨oin (1) sen neutraalialkio e on yksik¨asitteinen,

(2) jokaisen aP G k¨a¨anteisalkio a¹ on yksik¨asitteinen, (3) pa¹q¹ a, sek¨a

(4) pabq¹ b¹a¹ kaikilla a, bP G.

Todistus. Olkoona, bPG. (1) Jose, e¹ PGovat ryhm¨anGneutraalialkio- ta, niin m¨a¨aritelm¨an mukaane ee¹ e¹.

(2) Olkoon aP G. T¨all¨oin jos a¹, b PG ovat alkion a k¨a¨anteisalkioita, niin m¨a¨aritelm¨an mukaan abe a¹a, jolloinb eba¹aba¹ea¹.

(3)Koska m¨a¨aritelm¨an mukaan pa¹q¹ on alkion a P G k¨a¨anteisalkion a¹ k¨a¨anteisalkio, niina¹pa¹q¹ e. T¨all¨oin

pa¹q¹ epa¹q¹ aa¹pa¹q¹ ae a.

(4) Koska pabqpb¹a¹q apbb¹qa¹ aea¹ aa¹ e, niin b¹a¹ on alkion ab vasen k¨a¨anteisalkio. Vastaavalla p¨a¨attelyll¨a saadaan, ett¨a b¹a¹ on my¨os alkion aboikea k¨a¨anteisalkio, joten pab¹q b¹a¹. M¨a¨aritelm¨a 2.11. Olkoon pG,qryhm¨a jaH €G. T¨all¨oin pH,q on ryh- m¨an Galiryhm¨a indusoidulla laskutoimituksella ja merkit¨a¨anH ¤G, jos

(1) H H ja

(2) x¹ PH ja xyPH kaikillax, y P H.

Koska ryhm¨an G m¨a¨aritelm¨an 2.4 ominaisuudet p¨atev¨at jokaiselle joukon G alkiolle, niin ne p¨atev¨at my¨os jokaiselle osajoukon H € G alkiolle. Koska H H, niin on olemassa jokinxPH, jolloin kohdan (2) mukaan my¨osx¹ PH ja t¨aten 1 xx¹ P H. N¨ain ollen voitaisiin yht¨apit¨av¨asti m¨a¨aritell¨a, ett¨a ryhm¨an aliryhm¨a on sen ep¨atyhj¨a laskutoimituksen suhteen vakaa osajoukko, joka on itsess¨a¨an ryhm¨a varustettuna indusoidulla laskutoimituksella.

Lause 2.12. Jos pG,q on abelin ryhm¨a ja H ¤ G, niin pH,q on abelin ryhm¨a.

Todistus. Koska H ¤ G, niin erityisesti H € G. Nyt, koska _|HH

joukossa HH, niin a_|HH b ab bab_|HH a kaikillaa, bPH, eli

pH,q on abelin ryhm¨a.

Jatkossa k¨ayt¨amme aliryhmien laskutoimituksille, sek¨a neutraali ja k¨a¨anteis- alkioille samoja merkint¨oj¨a kuin ryhmille.

Lause 2.13 (Aliryhm¨atesti). Olkoon G ryhm¨a ja H € G. T¨all¨oin H ¤ G jos ja vain jos

6 2. RYHM ¨AT

(1) H H ja

(2) xy¹ PH kaikilla x, y PH.

Todistus. Olkoon H ¤ G. T¨all¨oin 1 P H, joten H H. Koska H on aliryhm¨a, niin m¨a¨aritelm¨an 2.11 mukaan y¹ P H ja xy P H, joten erityisesti y¹xPH kaikillax, y PH.

Oletetaan, ett¨a ominaisuudet (1) ja (2) p¨atev¨at ryhm¨an G osajoukolle H.

T¨all¨oin kohdan (1) perusteella on jokin x P H, jolloin kohta (2) sovellettuna alkioonx antaa 1 xx¹ P H. N¨ain ollen my¨os x¹ 1x¹ P H, eli jokaisella xPHon k¨a¨anteisalkiox¹ PH. T¨all¨oin, koska lauseen 2.10 mukaany py¹q¹ kaikilla y P H, niin kohdan (2) mukaan xy xpy¹q¹ P H. N¨ain ollen H on

ryhm¨anG aliryhm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 2.14. Olkoon G ryhm¨a ja A € G. Joukon A viritt¨am¨a ali- ryhm¨a xAy koostuu kaikista joukonAsanoista, eli joukonA alkioiden ja niiden k¨a¨anteisalkioiden ¨a¨arellisist¨a tuloista. T¨asm¨allisesti

xAy ta^α₁¹a^α₂². . . a^α_nⁿ |nP Z, ai PA, αi 1u

ja xAy t1ujos A H. Jos ryhm¨a G on ¨a¨arellisen joukon tg₁, g₂, . . . , g_ku €G viritt¨am¨a, niin merkit¨a¨an G xg₁, g₂, . . . , g_ky. Jos ryhm¨a G on yhden alkion viritt¨am¨a ryhm¨a, eli G xgy jollain g P Gniin sanotaan, ett¨aG onsyklinen.

Esimerkki 2.15. Jokainen kokonaisluku x P Z t0u voidaan kirjoittaa muodossa x °_|x|

i11, jossa summan termien etumerkit ovat , jos x on positiivinen jajos x on negatiivinen. T¨aten, koska my¨os 011, niin luku 1 viritt¨a¨a ryhm¨an pZ, q, eli Z x1y. N¨ain ollen kokonaislukujen ryhm¨a Z on syklinen.

Esimerkki 2.16. Olkoon n P Z . T¨all¨oin n-alkioista syklist¨a ryhm¨a¨a mer- kit¨a¨an Zn xxy, miss¨a nx 1. Ryhm¨a Zn koostuu t¨aten alkioista mx, miss¨a mP t0, . . . , n1u.

M¨a¨aritelm¨a 2.17. Ryhm¨an Galiryhm¨a N onnormaali aliryhm¨a, jos gN g¹ tgng¹ |n PNu N

kaikillag PG. T¨all¨oin merkit¨a¨anN EG.

Esimerkki 2.18. Olkoon G ryhm¨a. T¨all¨oin t1uE G ja G EG, sill¨a jos g, g¹ PG, niin t¨all¨oing1g¹ gg¹ 1P t1u, elit1uEGja ryhm¨an m¨a¨aritelm¨an mukaan gg¹g¹ PG, eli GEG.

Lause 2.19. Abelin ryhm¨an jokainen aliryhm¨a on normaali.

Todistus. OlkoonGryhm¨a jaN ¤G. Lauseen 2.12 mukaan abelin ryhm¨an G jokainen aliryhm¨a on abelin ryhm¨a. Nyt, koska normaali aliryhm¨a N on ryhm¨an G aliryhm¨a, niin jokaisella g P G, n P N p¨atee gng¹ gg¹n n.

N¨ain ollen gN g¹ N.

2.2. Ryhmien morfismit

Tarkastelemme seuraavaksi ryhmien v¨alisi¨a homo- sek¨a isomorfismeja ja nii- den ominaisuuksia. Ryhm¨ahomomorfismi on kahden ryhm¨an v¨alinen kuvaus, joka s¨ailytt¨a¨a ryhmien rakenteen laskutoimituksiensa suhteen.

2.2. RYHMIEN MORFISMIT 7

M¨a¨aritelm¨a 2.20. Olkoot pG,q,pH,q ryhmi¨a. Kuvaus ϕ : G Ñ H on ryhm¨ahomomorfismi, jos

ϕpxyq ϕpxq ϕpyq

kaikilla x, y P G. Bijektiivinen ryhm¨ahomomorfismi on ryhm¨aisomorfismi. Jos on olemassa ryhm¨aisomorfismi ϕ : G Ñ H niin sanotaan, ett¨a ryhm¨at G ja H ovat ryhm¨aisomorfiset ja merkit¨a¨an G H. Ryhm¨ahomomorfismin ϕ ydin kerϕ on joukko kerϕ tg P G | ϕpgq 1Hu. Jos on selv¨a¨a, ett¨a kuvaus on ryhmien v¨alinen homo- tai isomorfismi, niin sit¨a kutsutaan usein vain homo- tai isomorfismiksi.

Voimme osoittaa suoraan m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨am¨all¨a, ett¨a ryhm¨ahomomorfis- mi s¨ailytt¨a¨a ryhmien rakenteen seuraavan lauseen tavoin.

Lause 2.21. Olkoon G ja H ryhmi¨a ja ϕ:GÑ H homomorfismi. T¨all¨oin kaikilla g PG ja nPZ p¨atee

(1) ϕp1Gq 1H, (2) ϕpg¹q ϕpgq¹, (3) ϕpgⁿq ϕpgqⁿ.

Todistus. Olkoon g PG, n P Z. (1) Ryhm¨an neutraalialkion ja ryhm¨aho- momorfismien ominaisuuksien perusteella p¨atee

ϕp1Gq 1Hϕp1Gq

ϕpgq¹ϕpgqϕp1_Gq ϕpgq¹ϕpg1_Gq ϕpgq¹ϕpgq 1_H. (2) Edellisen kohdan perusteella saadaan

ϕpgqϕpg¹q ϕpgg¹q ϕp1_Gq 1_H,

jolloin kertomalla saatua yht¨al¨o¨a puolittain vasemmalta alkiongk¨a¨anteisalkiolla ϕpgq¹ PG saadaan

ϕpg¹q ϕpgq¹ϕpgqϕpg¹q ϕpgq¹1_H ϕpgq¹.

(3) Koska ϕ on homomorfismi, niin ϕpxyq ϕpxqϕpyq kaikilla x, y P G.

Erityisesti ϕpg²q ϕpggq ϕpgqϕpgq ϕpgq². Oletetaan, ett¨a ϕpg^kq ϕpgq^k, jollain kP N. T¨all¨oin

ϕpg^{k 1}q ϕpg^kgq ϕpg^kqϕpgq ϕpgq^kϕpgq ϕpgq^{k 1}.

N¨ain ollen v¨aite p¨atee kaikille n PN. Soveltamalla vastaavaa p¨a¨attely¨a kohdan (2) tulokseen n¨ahd¨a¨an, ett¨a v¨aite p¨atee my¨os kaikille n, jossa n P N, joten

v¨aite p¨atee kaikillan PZ.

Seuraus 2.22. Olkoon ϕ : G Ñ H ryhm¨ahomomorfismi ja G¹, sek¨a H¹ vastaavasti ryhmien G ja H aliryhmi¨a. T¨all¨oin homomorfismi ϕ s¨ailytt¨a¨a ali- ryhmien rakenteen siten, ett¨a

(1) ϕpG¹q ¤ ϕpGq, sek¨a (2) ϕ¹pH¹q ¤G.

8 2. RYHM ¨AT

Todistus. (1) Olkoonϕ:GÑH ryhm¨ahomomorfismi. (1) KoskaG¹ ¤G, niin erityisesti 1_G P G¹ jolloin edellisen lauseen mukaan ϕp1_Gq 1_H P ϕpG¹q, eli ϕpG¹q H. Olkoon x, y P ϕpG¹q siten, ett¨a x ϕpx¹q ja y ϕpy¹q, joillain x¹, y¹ P G¹. T¨all¨oin, koskaG¹ ¤G, niin aliryhm¨atestin 2.13 mukaan x¹y¹¹ PG¹, jolloin edellisen lauseen mukaan

xy¹ ϕpx¹qϕpy¹q¹ ϕpx¹qϕpy¹¹q ϕpx¹y¹¹q PϕpG¹q. N¨ain ollen aliryhm¨atestin mukaan ϕpG¹q ¤ϕpGq.

(2) Koska H¹ ¤ H, niin 1_H P H¹, jolloin 1_G P ϕ¹pH¹q. T¨all¨oin erityisesti ϕ¹pH¹q H. Olkoon nyt x, y P ϕ¹pH¹q. T¨all¨oin, koska H¹ ¤H, niin aliryh- m¨atestin mukaan

ϕpxy¹q ϕpxqϕpy¹q ϕpxqϕpyq¹ PH¹.

N¨ain ollen xy¹ Pϕ¹pHq, jolloin aliryhm¨atestin mukaan ϕ¹pH¹q ¤ G.

Seuraus 2.23. Olkoon ϕ : G Ñ H ryhm¨ahomomorfismi ja G¹, sek¨a H¹ vastaavasti ryhmien G ja H aliryhmi¨a. T¨all¨oin homomorfismi ϕs¨ailytt¨a¨a nor- maalien aliryhmien rakenteen, eli

(1) ϕpG¹qEϕpGq, sek¨a (2) ϕ¹pH¹qEG.

Todistus. Olkoonϕ:GÑH ryhm¨ahomomorfismi. (1) KoskaG¹EG, niin gG¹g¹ G¹ kaikilla g PG. OlkoonhP ϕpGqsiten, ett¨aϕpgq h. T¨all¨oin

hϕpG¹qh¹ ϕpgqϕpG¹qϕpg¹q ϕpgG¹g¹q ϕpG¹q.

Nyt, koska edellisen lauseen nojalla p¨atee ϕpG¹q ¤ϕpGq, niin ϕpG¹qEϕpG¹q. (2) Olkoon g PG. T¨all¨oin, koskaH¹ EH, niinhH¹h¹ H¹ kaikillahP H.

Nyt, josϕpgq h, niin

ϕpgϕ¹pH¹qg¹q ϕpgqϕpϕ¹pH¹qqϕpg¹q ϕpgqH¹ϕpgq¹

hH¹h¹ H¹.

N¨ain ollengϕ¹pH¹qg¹ ϕ¹pH¹q kaikillag P G. Nyt, koska edellisen lauseen

nojalla ϕ¹pHq ¤G, niin ϕ¹pH¹qEG.

N¨ain ollen edellisen lauseen nojalla erityisesti kerϕEGjaϕpGqEHjokaiselle homomorfismilleϕ:GÑH. Seuraavaksi m¨a¨arittelemme ryhmien sivuluokat ja tekij¨aryhm¨at, sek¨a tarkastelemme niiden yhteytt¨a ryhmien morfismeihin.

M¨a¨aritelm¨a 2.24. Olkoon Gryhm¨a jaN ¤G. T¨all¨oin joukot gN tgn|nP Nu ja N g tng|n PNu

2.2. RYHMIEN MORFISMIT 9

kaikillag P Govat aliryhm¨anN vasen sivuluokka, sek¨aoikea sivuluokkaryhm¨as- s¨a G. Kyseisen sivuluokan alkiota kutsutaan sen edustajaksi. Jos G on abelin ryhm¨a, niin sen vasemmat sek¨a oikeat sivuluokat ovat t¨asm¨alleen samat. T¨all¨oin puhutaan usein vain aliryhm¨an N sivuluokasta ryhm¨ass¨a G. Ryhm¨an G kaik- kien vasenten sivuluokkien joukolle k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a GN tgN |g PNu.

Lause 2.25. Olkoon G ryhm¨a ja N ¤ G. T¨all¨oin gN N g kaikilla g P G jos ja vain jos N on ryhm¨an G normaali aliryhm¨a.

Todistus. Olkoon gN N g kaikillag P G. T¨all¨oin p¨atee gN g¹ N gg¹ N1N,

eli N EG. Jos taas N on normaali aliryhm¨a, niin gN g¹ N kaikilla g P G, jolloin

N g gN g¹g gN1gN,

eliN on ryhm¨an G normaali aliryhm¨a.

N¨ain ollen voimme normaalien aliryhmien tapauksissa puhua oikeiden- se- k¨a vasempien sivuluokkien sijasta vain sivuluokista vaikka kyseinen ryhm¨a ei olisikaan kommutatiivinen.

M¨a¨aritelm¨a2.26. JoukonAositus on kokoelmatA_i H |A_i €A, iP Iu, jollain indeksijoukolla I, jos

(1) A”

iPIA_i ja

(2) A_iXA_j H, jos ij kaikilla i, j PI.

T¨all¨oin sanotaan, ett¨a A on osajoukkojen A_i erillinen yhdiste.

Lause 2.27. Olkoon G ryhm¨a ja N ¤G. T¨all¨oin aliryhm¨an N vasempien sivuluokkien joukko ryhm¨ass¨a G muodostaa ryhm¨an G osituksen.

Todistus. KoskaN ¤G, niin 1PN, jolloin erityisestig g1PgN kaikilla g PG. N¨ain ollen ryhm¨a Gvoidaan esitt¨a¨a yhdisteen¨a vasemmista sivuluokista gN, eli

G ¤

gPG

gN.

Oletetaan, ett¨a eri sivuluokat eiv¨at ole erillisi¨a. T¨all¨oin on g, g¹ P G, g g¹ siten, ett¨a gN Xg¹N H. Olkoon nyt x P gN Xg¹N. T¨all¨oin x gn g¹m, joillainn, mPN. Nyt, koska N on ryhm¨a, niin

g gnn¹ g¹mn¹ g¹pmn¹q g¹m¹, jossam¹ mn¹ PN. N¨ain ollen jokaiselle gn¹ PgN p¨atee

gn¹ pg¹m¹qn¹ g¹pm¹n¹q,

jossam¹n¹ PN. T¨atengn¹ Pg¹N, eligN „g¹N. Vastaavalla p¨a¨attelyll¨a saadaan my¨os g¹N „ gN, joten gN g¹N. T¨am¨a on ristiriidassa oletuksen kanssa, jolloin v¨altt¨am¨att¨a p¨atee gN Xg¹N H kaikilla g g¹. N¨ain ollen sivuluokat

gN muodostavat ryhm¨an Gosituksen.

Seuraus 2.28. Kaikilla x, y PG p¨atee xN yN jos ja vain jos y¹xPN. Todistus. Edellisen lauseen mukaanxN yN jos ja vain josxx1PyN. T¨all¨oin x yn jollain n P N, joten y¹x n. N¨ain ollen y¹x P N. Koska xPyN ja erityisesti yPyN, niinxN yN jos ja vain jos x, y PxN yN.

10 2. RYHM ¨AT

Soveltamalla edellist¨a seurausta tapaukseen y 1P G n¨ahd¨a¨an erityisesti, ett¨axN 1N N jos ja vain josxPN. T¨am¨a erityistapaus antaa tavan n¨ah- d¨a, milloin jokin ryhm¨an alkio kuuluu tarkasteltavaan normaaliin aliryhm¨a¨an.

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi ryhm¨an normaalia aliryhm¨a¨a vastaava tekij¨aryhm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 2.29. Ryhm¨anGnormaalia aliryhm¨a¨aN vastaava tekij¨aryh- m¨a modulo N on pari G{N pGN,q, jossa GN on ryhm¨an G kaikkien ali- ryhm¨a¨aN vastaavien sivuluokkien joukko, sek¨a on joukon GN laskutoimitus siten, ett¨a kaikilla x, y PG p¨atee

xN yN pxyqN.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a ryhm¨an normaalia aliryhm¨a¨a vastaava tekij¨a- ryhm¨a on todellakin itsess¨a¨an ryhm¨a.

Lause2.30.OlkoonGryhm¨a jaNEG. T¨all¨oin tekij¨aryhm¨aG{N on ryhm¨a, jonka neutraalialkio on 1N N ja jossa jokaisen alkion xN k¨a¨anteisalkio on x¹N.

Todistus. Olkoon x, x¹ P xN ja y, y¹ PyN. Osoitetaan ensiksi, ett¨a lasku- toimituson hyvin m¨a¨aritelty, eli ett¨a josx¹ PxN jay¹ P yN, niinx¹y¹ P pxyqN.

Koska x¹ xn ja y¹ ymjoillain n, mPN, niin

x¹y¹ pxnqpymq x1nymxpyy¹qnym pxyqpy¹nyqm pxyqpy¹npy¹q¹qm.

Nyt, koskaNEG, niin y¹npy¹q¹ P N, jolloin x¹y¹ pxyqpn¹mq, jossaxyPG ja n¹m PN. T¨aten x¹y¹ P pxyqN eli laskutoimitus on hyvin m¨a¨aritelty.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a laskutoimituson liit¨ann¨ainen. Josx, y, zP G, niin ryhm¨anG liit¨ann¨aisyyden mukaan

pxNqpyN zNq pxNqpyzNq xpyzqN pxyqzN pxyNqzN pxN yNqpzNq, eli laskutoimitus on liit¨ann¨ainen.

Osoitetaan viel¨a, ett¨a tekij¨aryhm¨ass¨a G{N on laskutoimituksen neutraa- lialkio, sek¨a jokaisen alkion k¨a¨anteisalkio. Laskutoimituksen m¨a¨aritelm¨an mu- kaan jokaisellaxPG p¨atee

xN1N px1qN xN p1xqN 1N xN,

joten 1N N on laskutoimituksen neutraalialkio. JosxP G, niin xN x¹N pxx¹qN 1N px¹xqN x¹N xN,

joten x¹N on alkion xN k¨a¨anteisalkio kaikilla x P G. N¨ain ollen pGN,q on

ryhm¨a.

Esimerkki 2.31. Olkoon n P Z. T¨all¨oin joukko nZ tnz | z P Zu varus- tettuna kokonaislukujen indusoidulla laskutoimituksella on aliryhm¨atestin 2.13 nojalla kokonaislukujen ryhm¨anZaliryhm¨a, sill¨an1nP Zja josnx, ny PnZ, niinnxny npxyq PnZ. Olkoon nytϕ:ZÑZn, jossaϕpzq zx, kunxon ryhm¨an Zn viritt¨av¨a alkio. Koska Zn on syklinen, niin ϕ on selv¨asti surjektio.

T¨all¨oin, koska m¨a¨aritelm¨an mukaanϕpz z¹q pz z¹qxzx z¹xϕpzqϕpz¹q, niin ϕon surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi.

2.2. RYHMIEN MORFISMIT 11

N¨ain ollen, koska ryhm¨anZn m¨a¨aritelm¨an 2.16 mukaannx 1, niin homo- morfisminϕ ydin on aliryhm¨anZ. T¨all¨oin lauseen 2.34 mukaannZon ryhm¨an Znormaali aliryhm¨a, jolloin tekij¨aryhm¨a Z{nZon hyvin m¨a¨aritelty. Tekij¨aryh- m¨a Z{nZ koostuu alkioista z nZ, jossa z P Z. T¨all¨oin, koska Z on esimer- kin 2.15 mukaan syklinen, niin tekij¨aryhm¨a Z{nZ koostuu alkioista zp1 nZq. N¨ain ollen Z{nZ on my¨os syklinen. Samoin, koska nz P nZ kaikilla z P Z, niin npz nZq nz nZ nZ 0_Z{nZ. N¨ain ollen tekij¨aryhm¨a Z{nZ koos- tuu alkioista m nZ, miss¨a m P t0, . . . , n1u, eli toisin sanottuna, Z{nZ on n-alkioinen ryhm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 2.32. OlkoonNEG. Ryhm¨anGluonnollinen projektio teki- j¨aryhm¨alle G{N on kuvausπ :GÑG{N, jossa πpgq gN.

Osoitamme seuraavaksi, ett¨a ryhm¨an luonnollinen projektio normaalille ali- ryhm¨alleen on itse asiassa surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi.

Lause 2.33. Olkoon N EG ja π luonnollinen projektio. T¨all¨oin π on sur- jektiivinen ryhm¨ahomomorfismi ja kerπ N.

Todistus. Olkoon N EG ja x, y PG. T¨all¨oin m¨a¨aritelm¨an mukaan πpxyq pxyqN xN yN πpxqπpyq,

eli π on ryhm¨ahomomorfismi. Koska jokaisella aliryhm¨an N sivuluokalla xN p¨atee πpxq xN, niin π on selv¨asti surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi. Koska lauseen 2.30 mukaan tekij¨aryhm¨an G{N neutraalialkio on normaali aliryhm¨a N, niin lauseen 2.28 mukaan

kerπ tg P G|πpgq 1Nu tg P G|gN 1Nu tg P G|g P Nu N,

eli aliryhm¨aN on homomorfismin π ydin.

Edellisest¨a lauseesta seuraa my¨os, ett¨a normaalit aliryhm¨at ovat t¨asm¨alleen ryhm¨ahomomorfismien ytimi¨a.

Seuraus 2.34. Ryhm¨an G aliryhm¨a N on normaali jos ja vain jos se on jonkin homomorfismin ydin

Todistus. Lauseen 2.23 mukaan homomorfismin ydin on aina l¨aht¨ojouk- konsa normaali aliryhm¨a. Normaalin aliryhm¨an N luonnollinen projektio on taas edellisen lauseen mukaan homomorfismi jonka ydin onN, joten normaalit

aliryhm¨at ovat homomorfismien ytimi¨a.

N¨ain ollen voimme korvata esimerkiksi tekij¨aryhmien m¨a¨aritelm¨ass¨a esiin- tyv¨an ehdon aliryhm¨an normaaliudesta ehdolla, ett¨a kyseinen aliryhm¨a on jon- kin ryhm¨ahomomorfismin ydin. Seuraavaksi muotoilemme ryhmien ensimm¨ai- sen isomorfismilauseen.

Lause 2.35. Olkoon ϕ:GÑH ryhm¨ahomomorfismi. T¨all¨oin G{kerϕϕpGq.

12 2. RYHM ¨AT

Todistus. Koska kerϕon homomorfisminϕydin, niin tekij¨aryhm¨aG{kerϕ on hyvin m¨a¨aritelty. Koska ϕon homomorfismi, niin sen rajoittuma kuvajouk- koonsa ϕpGq on surjektiivinen homomorfismi. Osoitetaan, ett¨a t¨all¨oin kuvaus φ:G{kerϕÑϕpGq,φpgkerϕq ϕpgq on bijektiivinen homomorfismi.

Osoitetaan ensiksi, ett¨aφ todellakin on homomorfismi. Olkoot xkerϕ, sek¨a ykerϕ tekij¨aryhm¨anG{kerϕalkioita. T¨all¨oin p¨atee

φpxkerϕykerϕq φppxyqkerϕq ϕpxyq

ϕpxqϕpyq

φpxkerϕqφpykerϕq,

eli φ on todellakin homomorfismi. Koska jokaisella g¹ P ϕpGq on g P G siten, ett¨a ϕpgq g¹, niin φpgkerϕq ϕpgq g¹, eli φ on surjektio. Olkoon taas xkerϕ, ykerϕ P G{kerϕ. Nyt, jos φpxkerϕq φpykerϕq, niin m¨a¨aritelm¨an mukaan ϕpxq ϕpyq, josta kertomalla puolittain termill¨a ϕpyq¹ P H saadaan ϕpyq¹ϕpxq ϕpyq¹ϕpyq 1_H. T¨aten

1_H ϕpyq¹ϕpxq ϕpy¹qϕpxq ϕpy¹xq,

joka ytimen m¨a¨aritelm¨an 2.20 mukaan tarkoittaa, ett¨ay¹xP kerϕ. N¨ain ollen lauseen 2.28 perusteella p¨ateexkerϕykerϕ, jotenφ on injektio. T¨aten φ on haluttu isomorfismi G{kerϕÑϕpGq, eli G{kerϕϕpGq. N¨ain ollen erityisesti surjektiiviselle ryhm¨ahomomorfismille ϕ : G Ñ H p¨atee G{kerϕH.

Esimerkki 2.36. Esimerkin 2.31 mukaan ryhm¨a nZ on surjektiivisen ryh- m¨ahomomofismin ϕ : Z Ñ Zn ydin, jolloin ensimm¨aisen isomorfismilauseen mukaan Z{nZZn.

Ensimm¨aisen isomorfismilauseen seuraus osoittaa, ett¨a surjektiivisien homo- morfismien tapauksessa tekij¨aryhm¨at ovat isomorfiset luonnollisella tavalla.

Seuraus 2.37. Olkoonϕ:GÑH surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi, sek¨a H¹EH. T¨all¨oin G{ϕ¹pH¹q H{H¹.

Todistus. Olkoon π luonnollinen ryhm¨ahomomorfismi H ÑH{H¹. Koska H¹EH, niin lauseen 2.23 mukaanϕ¹pH¹qEG, jolloin tekij¨aryhm¨atG{ϕ¹pH¹q jaH{H¹ ovat hyvin m¨a¨ariteltyj¨a. T¨all¨oin yhdistetty kuvausπϕ:GÑH{H¹ on surjektiivisten homomorfismien yhdisteen¨a surjektiivinen homomorfismi. Koska kerπ H¹ ja ϕpϕ¹pH¹qq H¹, niin yhdistetyn kuvauksen π ϕ ytimeksi saadaan kerpπϕq ϕ¹pH¹q. N¨ain ollen ensimm¨ainen isomorfismilauseen 2.35

nojalla saadaan G{ϕ¹pH¹q H{H¹.

P¨a¨at¨amme ryhm¨ateorian k¨asittelyn tekij¨aryhmien vastaavuuslauseen todis- tukseen, jota kutsutaan my¨os ryhmien nelj¨anneksi isomorfismilauseeksi.

Lause 2.38. Olkoon G ryhm¨a ja N EG. T¨all¨oin on bijektiivinen kuvaus ryhm¨anGnormaalin aliryhm¨anN sis¨alt¨avien aliryhmien joukolta tekij¨aryhm¨an G{N aliryhmien joukolle. Erityisesti A on ryhm¨an G normaali aliryhm¨a jos ja vain jos A{N on tekij¨aryhm¨an G{N normaali aliryhm¨a.

2.2. RYHMIEN MORFISMIT 13

Todistus. Olkoot A tA |A ¤ G, N „ Au normaalin aliryhm¨an N EG sis¨alt¨avien ryhm¨an G aliryhmien joukko, B tB | B ¤ G{Nu tekij¨aryhm¨an G{N aliryhmien joukko, sek¨a φ:A ÑB kuvaus, joka kuvaa joukon AP A sen luonnollisen projektiohomomorfismin kuvakseen, eli φpAq πpAq A{N P B, jossaA{N taN |aP Au. Osoitetaan, ett¨a t¨all¨oin kuvaus φ on bijektio.

Osoitetaan, ett¨a φ on surjektio. Olkoon B P B jokin tekij¨aryhm¨an G{N aliryhm¨a. T¨all¨oin, koska luonnollinen projektiohomomorfismi π : G Ñ G{N, πpgq gN on lauseen 2.33 mukaan surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi, niin jokaisella bN P B on b P G siten, ett¨a πpbq bN. N¨ain ollen alkukuvalle π¹pBq tb P G | bN P Bu „ G p¨atee πpπ¹pBqq B. T¨aten kuvauksen φ m¨a¨aritelm¨an mukaan riitt¨a¨a osoittaa, ett¨a joukkoπ¹pBqon ryhm¨anGaliryhm¨a joka sis¨alt¨a¨a normaalin aliryhm¨anN eli, ett¨aπ¹pBq PA.

Koska B on tekij¨aryhm¨an G{N aliryhm¨a ja π :GÑG{N on ryhm¨ahomo- morfismi, niin lauseen 2.22 mukaan π¹pBq on ryhm¨an G aliryhm¨a. Koska B on aliryhm¨a, niin tNu t1Nu t1_G{Nu „B, jolloin N π¹ptNuq „π¹pBq. N¨ain ollen π¹pBq on ryhm¨an G aliryhm¨a, joka sis¨alt¨a¨a normaalin aliryhm¨an N, eliπ¹pBq P A. T¨atenφpπ¹pBqq πpπ¹pBqq B, eli kuvaus φ on surjek- tio. Lauseen 2.23 nojalla vastaava p¨a¨attely normaalien aliryhmien tapauksessa antaa normaalien aliryhmien vastaavan tuloksen.

Osoitetaan, ett¨a φ on injektio. Olkoot A₁ ja A₂ ryhm¨an G aliryhmi¨a, jotka sis¨alt¨av¨at aliryhm¨anN. Jos nyt A₁ A₂, niin on xP A₁ siten, ett¨a xRA₂, tai p¨ainvastoin. T¨all¨oin, josφpA₁q φpA₂q, niin erityisestiπpxq xN yN, jollain yPA₂. Kuitenkin, lauseen 2.28 nojalla p¨ateexN yN jos ja vain josy¹xP N.

Nyt, koska N „ A₂ ja A₂ on ryhm¨an G aliryhm¨a, niin x yy¹x P A₂, joka on ristiriita. N¨ain ollen φpA₁q φpA₂q, eli kuvaus φ on injektio. Koska normaalit aliryhm¨at ovat erityisesti aliryhmi¨a, niin t¨am¨a p¨atee my¨os normaalien aliryhmien tapauksessa. N¨ain ollen φ on haluttu bijektio.

LUKU 3

Renkaat

Seuraavaksi k¨asittelemme renkaiden teoriaa ja k¨aymme l¨api joitain tarvit- tavia rengasteorian tuloksia. Siin¨a miss¨a ryhm¨at yleist¨av¨at kokonaislukujen yh- teenlaskun k¨asitteen mielivaltaisille joukoille ja laskutoimituksille, jotka muis- tuttavat yhteenlaskua, niin renkaat muistuttavat kokonaislukujen joukkoa va- rustettuna sen yhteen-, sek¨a kertolaskutoimituksellaan. Tulemme tarkastele- maan erilaisien renkaiden ja niiden alirenkaiden ominaisuuksia ja osoitamme joitain rengasteorian hy¨odyllisi¨a tuloksia, kuten niin sanotun kiinalaisen jako- j¨a¨ann¨oslauseen. N¨ayt¨amme my¨os ett¨a, jos renkaan jokainen kertolaskun suhteen vakaa alirengas on yhden alkion viritt¨am¨a, niin sen jokaisella alkiolla on koko- naislukuja muistuttava yksik¨asitteinen alkulukujen tulo esitys. T¨am¨a kappale perustuu teoksiin [1], [2], [4], sek¨a [5].

3.1. Renkaat ja alirenkaat

M¨a¨aritelm¨a 3.1. Rengas on kolmikko pR, ,q, jossa R on joukko ja ku- vaukset , sek¨a ovat joukon R laskutoimituksia siten, ett¨a

(1) pR, q on abelin ryhm¨a,

(2) laskutoimitus on liit¨ann¨ainen ja

(3) laskutoimitus ondistributiivinen laskutoimituksen suhteen, eli kai- killa a, b, cPR p¨atee

a pb cq pabq pacq ja pa bq c pacq pbcq.

Jos lis¨aksi laskutoimituson kommutatiivinen, niin R onkommutatiivinen ren- gas. Jos renkaanpR, ,qlaskutoimitukset jaovat selv¨at, niin sanotaan vain ett¨aRon rengas. T¨all¨oin, kuten ryhm¨ateorian tapauksessa merkit¨a¨anabab, vaikkei pR,q v¨altt¨am¨att¨a olekaan ryhm¨a. Laskutoimituksia ja kutsutaan yleens¨a yhteenlaskuksi ja kertolaskuksi.

Abelin ryhm¨an pR, qalkiolle ja laskutoimituksille k¨aytet¨a¨an ryhm¨ateoria- sta tuttuja additiivisen ryhm¨an merkint¨oj¨a 2.4. Joukon R alkiolle kertolaskun suhteen k¨aytet¨a¨an taas ryhm¨ateorian normaaleja tuloja muistuttavia merkint¨o- j¨a, jolloin esimerkiksi kertolaskun mahdollista neutraalialkiota merkit¨a¨an sym- bolilla 1 ja alkion a P R mahdollista k¨a¨anteisalkiota kertolaskun suhteen mer- kit¨a¨an symbolilla a¹. Jos rengas R sis¨alt¨a¨a laskutoimituksen neutraalialkion 1, niin R on yksik¨ollinen rengas. Tulemme jatkossa olettamaan, ett¨a k¨asittele- m¨amme renkaat ovat yksik¨ollisi¨a ja kutsumme niit¨a vain renkaiksi.

Esimerkki 3.2. Nollarengas, eli kolmikkopt0u, ,q, jossa , ovattriviaa- lin joukon t0u laskutoimituksia on rengas. T¨am¨a on selv¨a¨a, sill¨a ainoa joukon t0ulaskutoimitus onp0,0q ÞÑ 0 ja n¨ain ollen yhteen- ja kertolaskun neutraalial- kiot ovat 0, eli 1 0. Jos rengas R on nollarengas, niin usein merkit¨a¨an vain R0.

15

16 3. RENKAAT

Vaikka renkaan m¨a¨aritelm¨ass¨a ei oleteta, ett¨a alkiot 1 ja 0 ovat eri alkio- ta, niin tulemme monissa rengasteorian sovelluksissa tarvitsemaan tietoa, ett¨a k¨asitelt¨av¨ass¨a renkaassa p¨atee 1 0. Seuraava lause osoittaa, ett¨a itse asiassa mielivaltaisessa renkaassa p¨atee 10 jos ja vain jos kyseess¨a on nollarengas.

Lause 3.3. OlkoonRrengas. T¨all¨oin 10jos ja vain josRon nollarengas, eli R t0u.

Todistus. Olkoon 10 ja rPR. T¨all¨oin, koska 0r0 ja 1r r, niin r1r0r 0,

eliR0. Jos taasRon nollarengas, niin selv¨asti 10, sill¨a 0 on ainoa renkaan

R alkio.

Esimerkki 3.4. RenkaidenpR₁, ₁,1q,pR₂, ₂,2q, . . . ,pR_n, _n,nq,n PZ suora tulo, eli abelin ryhmien pRi, iq, i P t1, . . . , nu esimerkin 2.6 mukainen suora tulo varustettuna tulojoukonR1R2 Rnlaskutoimituksella , jolle p¨atee px₁, x₂, . . . , x_nq py₁, y₂, . . . , y_nq px₁1y₁, x₂2y₂, . . . , x_nny_nqon rengas.

Esimerkki 3.5. Kokonaislukujen joukko Z varustettuna kokonaislukujen tunnetulla yhteenlaskulla ja kertolaskulla , eli kolmikko pZ, ,q on kom- mutatiivinen rengas, jossa yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0 ja kertolas- kun neutraalialkio on luku 1. Samoin my¨os rationaalilukujen-, reaalilukujen- ja kompleksilukujen joukotQ,RjaCvarustettuna niiden yhteen, sek¨a kertolasku- toimituksillaan ovat renkaita ja erityisesti m¨a¨aritelm¨an 2.7 nojalla kuntia [1, s.

82].

Esimerkki 3.6. Kunnan m¨a¨aritelm¨an 2.7 mukaan jokainen kunta pK, ,q on rengas. Koska kunnan m¨a¨aritelm¨ass¨a vaadittiin, ett¨a kertolaskun neutraa- lialkio 1 sis¨altyy joukkoonK t0u, niin erityisesti 10 ja n¨ain ollen kunnassa K on ainakin kaksi eri alkiota.

Esimerkki 3.7. Abelin ryhm¨anR endomorfismien joukko EndpRq tϕ:R ÑR |ϕ on homomorfismiu

varustettuna laskutoimituksillaan ¹ ja , joilla pϕ₁ ¹ϕ₂qpxq ϕ₁pxq ϕ₂pxq, sek¨a,ϕ₁ϕ₂pxq ϕ₁pϕ₂pxqqon rengas pEndpRq, ¹,q. Kuvauksien yhteenlas- kun ¹ neutraalialkio on nollakuvaus ϕ₀ :x ÞÑ0 ja kuvauksien yhdist¨amisen neutraalialkio onidenttinen kuvaus Id :xÞÑx, kaikilla xPR.

M¨a¨aritelm¨a 3.8. RengaanR alirengas on additiivisen ryhm¨anpR, qali- ryhm¨a, joka on vakaa renkaanR kertolaskun suhteen. Yht¨apit¨av¨asti renkaanR alirengas on sen osajoukko, joka on itsess¨a¨an rengas varustettuna indusoiduilla laskutoimituksilla.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a my¨os renkaille p¨atee ryhm¨ateorian aliryhm¨a- testi¨a 2.13 muistuttava tulos.

Lause 3.9 (Alirengastesti). Olkoon R rengas ja R¹ € R. T¨all¨oin R¹ on renkaan R alirengas jos ja vain jos

(1) xyPR¹ ja

(2) xyP R¹ kaikillax, y PR¹.

3.1. RENKAAT JA ALIRENKAAT 17

Todistus. OsajoukkoR¹ on renkaanRalirengas jos ja vain josR¹ varustet- tuna indusoiduilla laskutoimituksilla on rengas. KoskaRon rengas, niin indusoi- dut laskutoimitukset toteuttavat renkaan liit¨ann¨aisyys- ja distributiivisuus eh- dot (2) ja (3). N¨ain ollenR¹ on renkaanRaliregas jos ja vain jospR¹, q ¤ pR, q ja kertolasku on vakaa joukossa R¹. Aliryhm¨atestin 2.13 mukaan R¹ ¤R jos ja vain josxy PR¹ kaikillax, y P R, joka osoittaa kohdan (1). Kertolasku taas on m¨a¨aritelm¨an mukaan vakaa joukossa R¹ jos ja vain jos xyPR¹ kaikillax, y PR¹,

joka osoittaa kohdan (2).

M¨a¨aritelm¨a 3.10. Olkoon R t0u rengas. Alkio u P R on renkaan R yksikk¨o, jos sill¨a on kertolaskun k¨a¨anteisalkio u¹ P R. Renkaan R yksik¨oiden joukkoa merkit¨a¨an symbolilla R. Jos jokainen renkaan R nollasta poikkeava alkio on yksikk¨o, niin R onjakorengas.

Koska kommutatiivinen jakorengas R on nollasta poikkeava rengas, niin lauseen 3.3 mukaan 1 0. T¨all¨oin, koska jokaisella jakorenkaan nollasta poik- keavalla alkiolla on kertolaskun k¨a¨anteisalkio, niin pR t0u,qon abelin ryhm¨a.

N¨ain ollen kunnan m¨a¨aritelm¨an 2.7 mukaan kunnat ovat t¨asm¨alleen kommuta- tiivisia jakorenkaita. Tarkastellaan seuraavaksi joitain renkaiden perusominai- suuksia.

Lause 3.11. Olkoon R rengas ja a, bPR. T¨all¨oin:

(1) 0aa00,

(2) paqbapbq pabq, (3) paqpbq ab ja

(4) kertolaskun neutraalialkio 1PR on yksik¨asitteinen ja a p1qa.

Todistus. OlkoonR rengas ja a, bPR. (1) Renkaan m¨a¨aritelm¨an 3.1 koh- dan (3) mukaan 0a p0 0qa 0a 0a, jolloin lis¨a¨am¨all¨a puolittain alkio p0aq P R saadaan 0a 0. Yht¨al¨o a0 0 saadaan vastaavalla p¨a¨attelyll¨a.

Renkaan m¨a¨aritelm¨an kohdan (3) ja edellisen kohdan mukaan p¨atee ab paqb pa paqqb0b 0,

jolloin lis¨a¨am¨all¨a puolittain alkiopabq PRsaadaanpaqb pabq. Vastaavalla p¨a¨attelyll¨a saadaan my¨os yht¨al¨o apbq pabq.

(2) Edellisen kohdan mukaan saadaan vastaavasti pabq paqpbq paqb paqpbq

paqpb pbqq paq00,

jolloin paqpbq abyhteenlaskun kommutatiivisuuden perusteella.

(3) Jos on olemassa xPR siten, ett¨a xon my¨os kertolaskun neutraalialkio, niin m¨a¨aritelm¨an mukaan 11xx. Lis¨aksi renkaan m¨a¨aritelm¨an kohdan (3) mukaan a p1qa1a p1qa p11qa0, eli a p1qa.

M¨a¨aritelm¨a 3.12. Olkoon R t0u rengas. Alkio aP R, a0 on nollan- jakaja, jos on bP R, b 0 siten, ett¨a joko ab0 tai ba0. Kommutatiivinen rengasR, jossa ei ole nollanjakajia on kokonaisalue.

Osoittautuu, ett¨a kokonaisalueissa p¨atee seuraava, niin sanottu kertolaskun supistuss¨a¨ant¨o.

18 3. RENKAAT

Lause 3.13. Olkoon R kokonaisalue ja r P R, r 0. T¨all¨oin, jos ra rb, niin a b.

Todistus. Josrarb, niin renkaan laskutoimituksien mukaanrpabq 0 jolloin, koska kokonaisalueessaR ei ole nollanjakajia jar 0, niin ab 0 eli

ab.

Lause 3.14. Kunta on kokonaisalue.

Todistus. JosRon kunta, niin se on kommutatiivinen jakorengas. T¨all¨oin jokaisella aPR,a0 on kertolaskun k¨a¨anteisalkio a¹. Nyt josab0, jollain b P R, b 0, kuitenkin b 1b pa¹aqb a¹pabq a¹0 0, joka on ristiriita. T¨aten R ei sis¨all¨a nollanjakajia eli se on kokonaisalue.

3.2. Rengashomomorfismit ja ideaalit

Seuraavaksi yleist¨amme ryhm¨ateoriasta tutut morfismien k¨asitteet renkaille.

Koska renkaat ovat erityisesti additiivisia abelin ryhmi¨a, joille on yhteenlaskun lis¨aksi m¨a¨aritelty my¨os kertolaskutoimitus, niin monet m¨a¨aritelmist¨a ja todis- tuksista ovat hyvin samanlaisia, kuin ryhmien tapauksessa.

M¨a¨aritelm¨a 3.15. Olkoot R ja S renkaita. T¨all¨oin kuvaus ϕ: R ÑS on rengashomomorfismi, jos kaikilla a, bP R p¨atee

(1) ϕpa bq ϕpaq ϕpbq, (2) ϕpabq ϕpaqϕpbqja (3) ϕp1_Rq 1_S

Rengashomomorfismin ϕ ydin on joukko kerϕ ta P R | ϕpaq 0u. Bijektii- vinen rengashomomorfismi on rengasisomorfismi. Jos ϕ: R ÑS on rengasiso- morfismi niin sanotaan, ett¨a renkaatRjaS ovat rengasisomorfiset ja merkit¨a¨an R S. Jos on selv¨a¨a, ett¨a ϕ on renkaiden v¨alinen homo- tai isomorfismi, niin sanotaan vain, ett¨a ϕon homomorfismi tai isomorfismi.

Koska rengashomomorfismin m¨a¨aritelm¨an kohta (1) vastaa ryhm¨ahomomor- fismin m¨a¨aritelm¨a¨a 2.20, niin rengashomomorfismiϕon erityisesti additiivisien ryhmienpR, _Rq ja pS, _Sq v¨alinen ryhm¨ahomomorfismi.

Tarkastellaan seuraavaksi rengashomomorfismien ytimi¨a ja niiden ominai- suuksia.

Lause 3.16. Olkoot R ja S renkaita ja ϕ:R ÑS homomorfismi. T¨all¨oin (1) kuvajoukko ϕpRq on renkaan S alirengas ja

(2) ydin kerϕ on renkaan R alirengas ja erityisesti xr, rx P kerϕ kaikilla xPkerϕja rP R.

Todistus. Olkoon ϕ : R Ñ S rengashomomorfismi. (1) Koska homomor- fismin ϕ rajoittuma joukkoon ϕpRq on surjektio, niin kaikilla s, s¹ P ϕpRq „ S on alkiotr, r¹ PR siten, ett¨aϕprq sja ϕpr¹q s¹. T¨all¨oin, koska R on rengas, niin alkioilles, s¹ PϕpRq p¨atee

ss¹ ϕprq ϕpr¹q ϕprr¹q PϕpRq,

sek¨a ss¹ ϕprqϕpr¹q ϕprr¹q P ϕpRq. T¨aten alirengastestin 3.9 mukaan ϕpRq on renkaan S alirengas.

3.2. RENGASHOMOMORFISMIT JA IDEAALIT 19

(2) Olkoon x, y Pkerϕ. T¨all¨oin ϕpxq 0ϕpyq, jolloin p¨atee ϕpxyq ϕpxq ϕpyq 0,

sek¨aϕpxyq ϕpxqϕpyq 0, elixy Pkerϕjaxy Pkerϕ. T¨aten alirengastestin mukaan kerϕon renkaanRalirengas. Nyt, josr PR, niinϕprxq ϕprqϕpxq 0 ja ϕpxrq ϕpxqϕprq 0, eli xr, rxP kerϕ.

Rengashomomorfismin ytimet ovat siis eritt¨ain vakaita kertolaskun suh- teen. M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi ideaalit eli alirenkaat, jotka toteuttavat edellisen lauseen vakausominaisuuden, sek¨a tekij¨aryhmien regasvastikkeet eli tekij¨aren- kaat.

M¨a¨aritelm¨a 3.17. Renkaan R ideaali on alirengas I „ R jossa ri P I ja ir P I kaikilla r P R, i P I. Renkaan R tekij¨arengas ideaalin I suhteen R{I on tekij¨aryhm¨aR{I varustettuna renkaanR laskutoimituksilla ja joille p¨atee

(1) pr Iq ps Iq pr sq I ja

(2) pr Iq ps Iq prsq I kaikillar, sPR.

Jos renkaanR ideaalilleI p¨atee I ˆR, niin sanotaan, ett¨aI on renkaanR aito ideaali.

Koska ideaalit ovat m¨a¨aritelm¨an mukaisesti jonkin rengashomomorfismin ytimi¨a ja rengashomomorfismit ovat erityisesti renkaita vastaavien additiivisien abelin ryhmien v¨alisi¨a ryhm¨ahomomorfismeja, niin renkaan ideaalit ovat lauseen 2.34 nojalla erityisesti kyseist¨a rengasta vastaavan abelin ryhm¨an normaaleja aliryhmi¨a. N¨ain ollen edellinen tekij¨arenkaiden m¨a¨aritelm¨a sopii yhteen tekij¨a- ryhmien m¨a¨aritelm¨an 2.29 kanssa.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a tekij¨arengas on todellakin rengas.

Lause 3.18. Tekij¨arengas R{I on rengas, jonka neutraalialkiot yhteen- ja kertolaskun suhteen ovat vastaavasti joukon R{I alkiot 1 I, sek¨a I ja jossa jokaisen alkionr I PR{I k¨a¨anteisalkio yhteenlaskun suhteen on r I P R{I.

Todistus. Koska R on rengas, niinpR, q on abelin ryhm¨a jolloin lauseen 2.19 mukaan sen aliryhm¨apI, q on normaali aliryhm¨a. N¨ain ollen lauseen 2.30 mukaan abelin tekij¨aryhm¨apR{I, q, jonka sivuluokat ovatr I, miss¨ar PRon hyvin m¨a¨aritelty laskutoimituksellaan jolle p¨ateepr Iq ps Iq pr sq I kaikilla r, sP R. Samoin lauseen 2.30 mukaan tekij¨aryhm¨an neutraalialkio yh- teenlaskun suhteen on alkio 0 I I PR{I ja jokaisenr I P R{Ik¨a¨anteisalkio yhteenlaskun suhteen on r I. N¨ain ollen riitt¨a¨a osoittaa, ett¨a tekij¨aryhm¨a R{I varustettuna laskutoimituksella , jossa pr Iq ps Iq prsq I kaikilla r, sPR on rengas.

Koska renkaan R kertolasku on liit¨ann¨ainen ja distributiivinen yhteenlas- kunsa suhteen ja tekij¨arenkaanR{I laskutoimitukset jaovat m¨a¨aritelty nii- den avulla, niin tekij¨arenkaan laskutoimitukset toteuttavat renkaan m¨a¨aritel- m¨an liit¨ann¨aisyys- ja distributiivisuusvaatimukset, jos laskutoimitus on hyvin m¨a¨aritelty sivuluokkien joukossa R{I. Olkoon r¹ P r I ja s¹ P s I. T¨all¨oin r¹ r njas¹ s m, joillainn, mP I. N¨ain ollen, koska renkaan m¨a¨aritelm¨an

20 3. RENKAAT

mukaan rm ns nmP I, niin saadaan

pr¹ Iqps¹ Iq ppr nq Iqpps mq Iq pr nqps mq I

prs rm ns nmq I rs prm ns nmq I rs I.

T¨aten laskutoimituson hyvin m¨a¨aritelty. Lis¨aksi 1 I on kertolaskun neutraa- lialkio, sill¨apr Iqp1 Iq r1 I r I jap1 Iqpr Iq 1r I r I. N¨ain ollen tekij¨arengasR{I on rengas, joka toteuttaa halutut ominaisuudet.

Koska rengashomomorfismit ovat erityisesti ryhm¨ahomomorfismeja ja ide- aalit ovat lauseen 3.16 mukaan rengashomomorfismien ytimi¨a, niin monet ryh- m¨ahomomorfismien ytimi¨a koskevat tulokset k¨a¨antyv¨at suoraan rengasteorian kielelle korvaamalla homomorfismien ytimet eli normaalit aliryhm¨at ideaaleilla.

Tarkastellaan seuraavaksi renkaiden isomorfismilauseita. N¨aytet¨a¨an ensiksi, ett¨a ryhmien ensimm¨aisell¨a isomorfismilauseella on rengasteorian vastike, jota kutsutaan vastaavasti renkaiden ensimm¨aiseksi isomofismilauseeksi.

Lause 3.19 (Ensimm¨ainen rengasisomorfismilause). Jos ϕ : R Ñ S on rengashomomorfismi, niin kerϕ on renkaan R ideaali ja

R{kerϕϕpRq.

Todistus. Koska lauseen 3.16 mukaan rengashomomorfisminϕydin on ide- aali, niin tekij¨arengasR{kerϕon hyvin m¨a¨aritelty ja lauseen 2.19 mukaan kerϕ on ryhm¨anpR, qnormaali aliryhm¨a. Koska rengashomomorfismi on erityisesti additiivisien ryhmien v¨alinen ryhm¨ahomomorfismi, niin ensimm¨aisen ryhm¨aiso- morfismilauseen mukaan on olemassa ryhm¨aisomorfismi φ : R{kerϕ Ñ ϕpRq, φpr kerϕq ϕprq. Nyt, koska ϕon rengashomomorfismi, niin

φppr kerϕqps kerϕqq φprs kerϕq ϕprsq

ϕprqϕpsq

φpr kerϕqφps kerϕq

ja φp1_R kerϕq ϕp1_Rq 1_S. T¨aten φ on renkaiden R{kerϕ ja ϕpRqv¨alinen

rengasisomorfismi, eliR{kerϕϕpRq.

My¨os ryhm¨ateoriasta tutulla luonnollisella projektiohomomorfismilla 2.32 on rengasteorian vastike, joka on vastaavasti surjektiivinen rengashomomorfismi.

Lause 3.20. Jos I on renkaan R ideaali, niin renkaan R luonnollinen pro- jektio tekij¨arenkaalle ϕ:RÑR{I, ϕprq r I on surjektiivinen rengashomo- morfismi ja kerϕI.

Todistus. Koska rengas pR, q on abelin ryhm¨a ja I € R on renkaan R ideaalina sen normaali aliryhm¨a, niin lauseen 2.33 mukaan luonnollinen projek- tiokuvaus on surjektiivinen ryhm¨ahomomorfismi jonka ydin on kerπI. T¨aten riitt¨a¨a osoittaa, ett¨aπprsq πprqπpsq kaikillar, sPR ja πp1_Rq 1_R{I.

3.3. IDEAALIEN OMINAISUUDET 21

Olkoon r, sPR. T¨all¨oin p¨atee

πprsq rs I

pr Iqps Iq πprqπpsq,

sek¨aπp1_Rq 1_R I 1_R{I. N¨ain ollen luonnollinen projektio on surjektiivinen

rengashomomorfismi jonka ydin kerπ I.

Koska luonnollinen projektiohomomorfismi on rengashomomorfismi, niin my¨os renkaiden nelj¨as isomorfismilause 2.38 yleistyy renkaiden tapaukseen, kun nor- maalit aliryhm¨at korvataan ideaaleilla.

Seuraus3.21. OlkoonI renkaanRideaali. T¨all¨oin on ideaalinI sis¨alt¨avien renkaan R alirenkaiden A joukon ja tekij¨arenkaan R{I alirenkaiden v¨alinen bijektiivinen kuvaus. Erityisesti A on renkaan R ideaali jos ja vain jos A{I on tekij¨arenkaan R{I ideaali.

3.3. Ideaalien ominaisuudet

Aloitetaan laajentamalla ryhm¨ateoriassa k¨asitelty viritetyn ryhm¨an m¨a¨ari- telm¨a 2.14 kommutatiivisille renkaille.

M¨a¨aritelm¨a 3.22. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja A € R. Joukon A viritt¨am¨a ideaali on alirengas

pAq tr1a1 r2a2 rnan|ri P R, ai PA, n PNu,

jossa pAq t0u jos A H. ¨A¨arellisen joukon A ta₁, . . . , a_nu viritt¨am¨a¨a ideaaliapAq pa1, . . . , anqkutsutaan¨a¨arellisesti viritetyksi ideaaliksi ja samoin yhden alkion viritt¨am¨a¨a ideaalia paq kutsutaan renkaan R p¨a¨aideaaliksi.

M¨a¨aritelm¨a 3.23. P¨a¨aideaalialue on kokonaisalue, jonka jokainen ideaali on p¨a¨aideaali.

Esimerkki 3.24. Koska esimerkin 2.15 mukaan kokonaislukujen rengas on alkion 1 viritt¨am¨a, niin erityisesti Z p1q, eli kokonaislukujen rengas on p¨a¨ai- deaalialue.

Tarkastellaan seuraavaksi joitain ideaalien ominaisuuksia. Osoitetaan ensik- si, ett¨a aidossa ideaalissa ei ole yksik¨oit¨a sek¨a, ett¨a kunnassa ei ole aitoja ide- aaleja.

Lause 3.25. Olkoon I renkaan R ideaali. T¨all¨oin p¨atee:

(1) I R jos ja vain jos ideaali I sis¨alt¨a¨a jonkin renkaan R yksik¨on.

(2) Jos R on kommutatiivinen rengas, niin R on kunta jos ja vain jos sen ainoat ideaalit ovat t0u ja R.

Todistus. OlkoonR rengas. (1) OlkoonI „Rideaali, joka sis¨alt¨a¨a jonkin renkaan R yksik¨on u. Koska jokaisella yksik¨oll¨a u P I on m¨a¨aritelm¨an 3.10 mukaan kertolaskun k¨a¨anteisalkio u¹ P R, niin t¨all¨oin ideaalin m¨a¨aritelm¨an 3.17 mukaan uu¹ 1 P I, jolloin my¨os r 1r P I kaikilla r P R. N¨ain ollen R „I. Koska ideaalin m¨a¨aritelm¨an mukaan my¨os I „R, niin I R. Jos taas I R, niin 1P RI, eli I sis¨alt¨a¨a jonkin renkaan R yksik¨on.

22 3. RENKAAT

(2) Kommutatiivinen rengasRon m¨a¨aritelm¨an 2.7 mukaan kunta jos ja vain jos jokainenr P R, r 0 on yksikk¨o. Olkoon R on kunta. Jos ideaali I t0u, niin se sis¨alt¨a¨a jonkin renkaanR alkion, joka on m¨a¨aritelm¨an mukaan yksikk¨o.

T¨all¨oin kohdan (1) mukaanI R. Oletetaan, ett¨a kommutatiivisen renkaanR ainoat ideaalit ovatt0ujaR, sek¨auP R,u0. T¨all¨oin, koskau0, niin p¨atee puq p0q t0u, jolloin oletuksen mukaan puq R. Koska 1 P R, niin 1 P puq, jolloin p¨a¨aideaalin m¨a¨aritelm¨an ja renkaan R kommutatiivisuuden mukaan on u¹ P R siten, ett¨a uu¹ u¹u 1. N¨ain ollen jokainen renkaan R nollasta

poikkeava alkio on yksikk¨o, eli R on kunta.

Esimerkki 3.26. JosK on kunta, niin edellisen lauseen mukaan sen ainoat ideaalit ovat 0 jaK. T¨all¨oin, koskat0u p0q, sek¨a jokaisella alkiollak PKp¨atee k 1k P p1q, niin K „ p1q. N¨ain ollen, koska my¨os p1q „ K, niin K p1q, eli kunta on p¨a¨aideaalialue.

Siirryt¨a¨an tarkastelemaan renkaan suurimpia aitoja ideaaleja, elimaksimaa- lisia ideaaleja.

M¨a¨aritelm¨a 3.27. Renkaan R aito ideaali M ˆR on maksimaalinen ide- aali, jos ainoat ideaalin M sis¨alt¨av¨at ideaalit ovat M jaR. Toisin sanoen M on maksimaalinen ideaali, jos inkluusiosta M „ I, miss¨a I on renkaan R ideaali seuraa joko I M tai I R.

Seuraava tulos osoittaa, ett¨a jokaisella nollarenkaasta poikkeavalla renkaalla on maksimaalinen ideaali. Tuloksen todistus nojaa osittain j¨arjestettyjen jouk- kojen teoriaan ja erityisesti Zornin lemmaan, jota emme k¨asittele tarkasti t¨ass¨a tutkielmassa. Aiheesta l¨oyt¨a¨a lis¨atietoa esimerkiksi teoksista [1, s. 588], [2, s.

907], sek¨a [4, s. 12].

Lause3.28.Jokaisen renkaan aito ideaali sis¨altyy maksimaaliseen ideaaliin.

Todistus. Olkoon R rengas ja I sen aito ideaali. Koska I R, niin eri- tyisesti rengas R ei ole nollarengas, sill¨a muuten inkluusiosta I € R seuraisi I p0q t0u R. Olkoon I ideaalin I sis¨alt¨avien renkaan R aitojen ideaa- lien kokoelma. T¨all¨oin, koska I P I, niin I on ep¨atyhj¨a ja osittain j¨arjestetty osajoukkojen inkluusion„ mukaan. Nyt, josK on joukon I ketju, eli joukon I t¨aysin j¨arjestetty osajoukko, niin olkoon

M ¤

APK

A

ketjunKideaalien Ayhdiste. Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a Mon my¨os renkaan R ideaali.

Olkoon a, bP M. T¨all¨oin joukonMm¨a¨aritelm¨an mukaan on jotkin ideaalit A, B P K siten, ett¨a a P A ja b P B. Koska K on ketju, niin joko A „ B tai B „ A. Voidaan siis olettaa, ett¨a A „ B. T¨all¨oin, koska A ja B ovat renkaan R ideaaleja ja a, b P B, niin alirengastestin 3.9 mukaan ab P B „ M, sek¨a ab P B „ M. N¨ain ollen alirengastestin mukaan M on renkaan R alirengas.

Olkoon nytrPR. T¨all¨oin, koska B on renkaanR ideaali, niin ra, arPB „M, jolloin Mon renkaan R ideaali.

Nyt, jos M R, niin lauseen 3.25 mukaan M sis¨alt¨a¨a jonkin renkaan R yksik¨on u, jolloin ideaalin m¨a¨aritelm¨an mukaan uu¹ 1 P M. T¨all¨oin 1 sis¨altyy johonkin ideaaliin A P M, jolloin A R. Kuitenkin ideaalin M