2 Yhtälöiden ratkaisua Yhtälöiden ratkaisulla tarkoitetaan yleensä yhtälöiden P

2 Yhtälöiden ratkaisua

Yhtälöiden ratkaisulla tarkoitetaan yleensä yhtälöiden

P(x) = 0 (2.1)

ratkaisua, missäP(x)on muotoa (1.1) oleva polynomi. Yhtälö (2.1) ei ole voi- massa kaikillax∈R(paitsi jos P(x)≡0). Yhtälön (2.1) toteuttavia ratkaisuja (eli juuria) x ∈ R on korkeintaan deg(P) kappaletta. Ratkaisujen etsiminen on eräänlaista perusaritmetiikkaa, joka kehittää rutiinilaskujen hallintaa. Mo- net käytännön tilanteisiin liittyvät laskennalliset ongelmat ratkeavat yhtälöiden avulla. Ratkaisujen etsimiseen on olemassa tietyt menetelmät, joita tarkastellaan lähemmin tässä luvussa. Apuvälineenä voi tietenkin käyttää myös tietokonetta.

Yhtälön (2.1) ratkaisuilla on syvällisempikin merkitys: Ratkaisut voidaan tulkita funktion P nollakohdiksi. Näin saadaan tietoa itse funktiosta P, joka voi jossain matemaattisessa tarkastelussa osoittautua hyödylliseksi. On myös huomioitavaa, etteivät polynomit ole ainoita funktioita, joiden nollakohtia voi- daan tarkastella.

Esimerkki 2.1 Selvitä funktion f :R−→R,f(x) = sinx, kaikki nollakohdat.

Tällä kurssilla tarkastellaan lähinnä polynomien nollakohtia, ts. muotoa (2.1) olevien yhtälöiden ratkaisuja, sekä niiden käytännön sovelluksia.

Ensimmäisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen asteen yhtälöt ovat muotoa (2.1), missä deg(P) = 1. Kirjallisuu- dessa usein käytetyin merkinnöin, tarkastelemme siis muotoa

ax+b= 0 (2.2)

olevia yhtälöitä, missä a, b∈ R. Koska deg(P) = 1, niin a6= 0. Yhtälön (2.2) ainut ratkaisu määräytyy näin ollen kaavasta

x=−b a. Esimerkki 2.2 Esitä yhtälö

3 + 5x

2 −2−4x 5 =3x

4 muodossa (2.2) ja ratkaise saamasi yhtälö.

Toisen asteen yhtälöt

Toisen asteen yhtälöt ovat muotoa (2.1), missä deg(P) = 2. Kirjallisuudessa usein käytetyin merkinnöin, tarkastelemme siis muotoa

ax²+bx+c= 0 (2.3)

olevia yhtälöitä, missäa, b, c∈R.

6

Yhtälön (2.3) ratkaisutxmääräytyvät kaavan

x=−b±√

b²−4ac 2a

avulla, missä lukuaD=b²−4ackutsutaan diskriminantiksi. Tarkastelu jakaan- tuu kolmeen osaan:

1. Jos D <0, niin yhtälöllä (2.3) ei ole reaalisia ratkaisuja.

2. Jos D= 0, niin yhtälöllä (2.3) on kaksoisratkaisu x=−_2a^b . Tällöin (2.3) redusoituu muotoon

a

x−−b 2a

2

= 0.

3. Jos D > 0, niin yhtälöllä (2.3) on kaksi erillistä ratkaisua. Tällöin (2.3) redusoituu muotoon

a x−−b+√

b²−4ac 2a

!

x−−b−√

b²−4ac 2a

!

= 0.

Tapauksessa c = 0 yhtälön (2.3) ratkaiseminen on helppoa. Tällöin (2.3) redusoituu muotoon

x(ax+b) = 0, jonka ratkaisuina ovatx= 0jax=−_a^b.

Esimerkki 2.3 Päättele diskriminantin avulla, minkälaisia lukuja ovat yhtälön x²+ 7x+ 8 = 0juuret.

Korkeamman kertaluvun yhtälöt

Korkeamman kertaluvun yhtälöillä tarkoitamme muotoa (2.1) olevia yhtälöitä, missädeg(P)≥3. Myös näille yhtälöille on kehitelty ratkaisukaavoja, mutta jo tapauksessadeg(P) = 3kaava on turhan mutkikas ulkoa muistettavaksi. Tämän vuoksi ko. yhtälön ratkaisujen löytämiseksi käytetään usein muita menetelmiä (tai tietokonetta).

Ratkaisualgoritmi: Yhtälön

P(x) =a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₀= 0, n≥3,

juuria etsitään kokeilemalla (vaikka kaikki, mutta yksikin riittää). Kandidaa- teiksi kannattaa kokeilla lukuja±1,±an,±a0ja±_a^a0

n. Kun on löydetty ratkaisu x1, niin polynomi P jaetaan termillä x−x1 (polynomien jakokulmassa). Jos jako ei mene tasan, yhtälöllä ei ole muita juuria. Jos jako menee tasan, yhtälö on muotoa

(x−x1)P1(x) = 0, (2.4) missä P1 on astetta n−1 oleva polynomi. Yhtälön (2.4) ratkaisuja ovat x1 ja polynomin P1 juuret. Prosessia jatketaan, kunnes jäljellä on vain ensimmäistä tai toista kertalukua olevia polynomeja, jotka on helppo ratkaista.

Esimerkki 2.4 Ratkaise yhtälö3x³+x²+x−2 = 0.

7

Yhtälöryhmät

Tarkastellaan aluksi kahden muuttujan yhtälöryhmää, eli yhtälöparia, missä mo- lemmat yhtälöt ovat ensimmäistä astetta. Yleisessä muodossaan tällainen kir- joitetaan seuraavasti:

a11x+a12y=b1

a21x+a22y=b2

missäxjayovat ratkaistavia muuttujia ja a11, a12, a21, a22, b1, b2∈R.

Esimerkki 2.5 Ratkaise yhtälöpari

3x−2y= 1 7x−y= 2

On mahdollista, että yhtälöryhmän yhtälöt ovat korkeampaa astetta. Täl- löin ratkaisujen tulkinta vaikeutuu kuitenkin merkittävästi. On myös mahdol- lista, että yhtälöitä ja muuttujia on enemmän kuin kaksi. Esimerkiksi kolmen muuttujan lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa







a₁₁x+a₁₂y+a₁₃z=b₁ a₂₁x+a₂₂y+a₂₃z=b₂ a₃₁x+a₃₂y+a₃₃z=b₃

missäx,y jazovat ratkaistavia muuttujia ja kaikki kertoimet reaalilukuja.

8