LUKUTEORIA JA RYHM ¨AT Loppukoe 29.10.2012
Ei laskimia, ei matkapuhelimia, ei taulukkokirjoja
1. a) Osoita, ett¨a jos luvun numeroiden summa on kolmella jaollinen, niin itse luku on my¨os kolmella jaollinen.
b) Ratkaise kongruenssiyht¨al¨ot
6x ≡9(21) ja 6x≡9(24).
Perustele ratkaisut riitt¨av¨asti.
2. a) M¨a¨ar¨a¨a Eukleideen algoritmin avulla lukujen 1110 ja 526 suurin
yhteinen tekij¨a syt(1110,526). M¨a¨ar¨a¨a lis¨aksi lukujen 1110 ja 526 pienin yhteinen jaettava pyj(1110, 526).
b) Kokonaislukujen joukossa m¨a¨aritell¨a¨an relaatioR seuraavasti:
aRb, jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut p6= 0 ja q 6= 0, ett¨a p2a=q2b. Osoita, ett¨a R on ekvivalenssirelaatio.
3. a) M¨a¨ar¨a¨a ryhm¨an (Z4,+) alkiot ja esit¨a ryhm¨ataulu.
b) Onko ryhm¨a (Z4,+) syklinen? Perustele!
c) M¨a¨ar¨a¨a ryhm¨an (Z4,+) kaikki normaalit aliryhm¨at.
d) Muodosta kaikki mahdolliset ryhm¨an (Z4,+) tekij¨aryhm¨at ja esit¨a ryhm¨ataulut.
4. a) Olkoon G Abelin ryhm¨a ja m¨a¨aritell¨a¨an kuvaus f :G→G s.e f(a) = (a−1)2 aina, kun a∈G.
Osoita, ett¨a kuvaus f on ryhm¨ahomomorfismi.
b) Olkoon G= (Z4,+). M¨a¨ar¨a¨a a)-kohdan homomorfismin f ydin Ker(f) ja kuva Im(f).
c) Muodosta b)-kohdan ryhmien nojalla tekij¨aryhm¨a G/Ker(f) ja esit¨a sen ryhm¨ataulu.
d) Mink¨a ryhm¨an kanssa G/Ker(f) on isomorfinen ja miksi?
Laskut t¨aydellisesti n¨akyviin, pelkk¨a vastaus ei riit¨a.
Perustele ratkaisusi t¨aydellisesti.
