1.1. MitŠ fysiikka on?

1. JOHDANTO

PŠŠkohdat:

1. KŠsitteiden malli, periaate ja teoria merkitys 2. SI-yksikkšjŠrjestelmŠ

3. Suureiden esitystarkkuus 4. Dimensioanalyysi

5. Suorakulmainen ja napakoordinaatisto

1.1. MitŠ fysiikka on?

Fysiikka on kokeellinen luonnontiede. Fysiikka tutkii luontoa sekŠ sen ilmišitŠ, ja pyrkii lšytŠmŠŠn nŠistŠ sŠŠnnšnmukai- suuksia ja mahdollisimman syvŠllisiŠ lainalaisuuksia. NŠmŠ kuvataan tŠsmŠllisten kŠsitteiden ja niiden vŠlisten riippuvuuk- sien avulla. Fysiikan ja erityisesti mekaniikan peruskŠsitteistš on muodostunut ihmisen jokapŠivŠisen ympŠristšn ja sen il- mišiden pohjalta. Uudet ja monimutkaisemmat kŠsitteet voi- daan mŠŠritellŠ peruskŠsitteistŠ lŠhtien. Kaikista nŠistŠ sei- koista johtuen fysiikka on eksakti luonnontiede, joka on perus- tana muille luonnontieteille ja useimmille soveltaville tieteille.

Aineen rakenteen ja ominaisuuksien selittŠminen on fysiikan keskeinen tehtŠvŠ. TŠhŠn tarvitaan tietoa aineen perusosa- sista, ns. alkeishiukkasista, ja niiden vŠlisistŠ vuorovaikutuk- sista. NŠmŠ ovat yksinkertaisimmat mahdolliset lŠhtškohdat, joihin perustuen voidaan selittŠŠ ja ennustaa luonnonilmišitŠ.

TŠmŠn hetken tietŠmyksen mukaan aine koostuu kvarkeista ja leptoneista. Perusvuorovaikutuksia on neljŠ:

vahvavuorovaikutus

sŠhkšmagneettinen vuorov.

heikkovuorovaikutus gravitaatio

Mittaaminen on tŠsmŠllistŠ havaintojen tekoa. Mittaustuloksia tulkitaan mallien avulla. NŠmŠ kaksi asiaa ovat keskeisiŠ (ko- keellisen ja teoreettisen) fysiikan menetelmiŠ. Havaintojen te- keminen aistien avulla on yksinkertaisinta mittaamista. Ihmi- sen "vŠlittšmŠŠn" havaintomaailmaan liittyvŠt ilmišt kuuluvat ns. klassisen fysiikan piiriin.

Klassinen fysiikka voidaan jakaa kahteen pŠŠhaaraan, meka- niikkaan ja sŠhkšmagnetismiin (tai sŠhkšdynamiikkaan), jot- ka olivat kehittyneet jo 1900-luvulle tultaessa. Mekaniikka tar- kastelee kappaleiden ja nesteiden liikettŠ ja dynamiikkaa, se- kŠ mm. mekaanisia aaltoja. Mekaniikkaan voidaan lukea myšs termodynamiikka, jonka makroskooppiset ilmenemis- muodot liittyvŠt lŠmpštilaan, lŠmpšenergiaan ja sen siirtymi- seen. SŠhkšmagnetismiin kuuluvat sŠhkšiset ja magneettiset ilmišt, sŠhkšmagneettiset aallot ja siten myšs optiikka.

Ñ ´ E = Ð ¶B

¶t Ñ × D = r Ñ × B = 0

Ñ ´ H = J + ¶D

¶t F = ma

F = ÐG Mmr²

Samoihin aikoihin, kun klassinen fysiikka kypsyi nykyiseen muotoonsa, uudet mittaukset, jotka kohdistuivat ihmisen vŠlit- tšmŠn havaintomaailman ulkopuolelle, esim. valonnopeuteen ja "atomaarisiin tapahtumiin", toivat esiin ilmišitŠ, joita ei voitu ymmŠrtŠŠ klassisen fysiikan avulla. TŠmŠn seurauksena on kehittynyt tŠllŠ vuosisadalla ns. moderni fysiikka, johon kuulu- vat suhteellisuusteoria ja kvanttiteoria. Ns. erikoinen suh- teellisuusteoria tarkastelee suurella nopeudella liikkuvia kap- paleita ja yleinen suhteellisuusteoria tarkastelee gravitaation ja avaruuden rakenteen vŠlisiŠ suhteita. Kvanttiteoria taas se- littŠŠ "atomitason" ilmišitŠ: rakenteita, dynamiikkaa ja ener- gianvaihtoprosesseja.

Modernin fysiikan ilmišitŠ ei voida ei voida tarkastella kŠyttŠen vain klassisen fysiikan kŠsitteitŠ ja suureita, jotka on johdettu ihmisen havaintomaailmasta. TŠmŠ tekee modernista fysii- kasta mielenkiintoisen ja haasteellisen.

1.2. Suureet, mallit ja teoriat

Fysiikassa kŠytetŠŠn kŠsitteitŠ suure, laki, periaate, malli ja te- oria, joista osa jo edellŠ tulikin esille.

Suure

Fysikaaliset suureet voidaan muodostaa havintomaailman pe- rusteella, esim. pituus, massa, aika ja nopeus, tai suureen mit- taamiseen perustuen, esim. sŠhkšvaraus, magneettikenttŠ, energia. JŠlkimmŠisellŠkin tavalla muodostettujen suureiden on oltava tietysti yhteensopivia havaintojen kanssa, esim. lŠm- pštila, paine ja voima.

Suure on ominaisuus, joka voidaan mitata tai laskea. Fysikaa- liset suureet mŠŠritellŠŠnkin joko tiettyyn mittaukseen perus- tuen (perussuureet) tai toisten suureiden avulla (johdannais- suureet).

Laki ja periaate

Fysiikan laki mŠŠrittelee fysikaalisten suureiden vŠlisiŠ riippu- vuuksia tietyssŠ tilanteessa. TŠllaiset lait kirjoitetaan tavalli- sesti matemaattisten yhtŠlšiden muotoon. Periaate on lakia yleisempi eikŠ sitŠ voi pukea yhden yhtŠlšn muotoon, esim.

energiaperiaate.

Malli

Malli on kuvaus tarkasteltavasta fysikaalisesta systeemistŠ.

Esim. massapiste painovoimakentŠssŠ on putoavan kappa- leen malli. Mallin tulisi sisŠltŠŠ kaikki oleelliset systeemin omi- naisuudet, mutta samalla olla kuitenkin riittŠvŠn yksinkertai- nen, jotta halutut asiat voidaan ratkaista mallin avulla. Mallia voidaan tŠydentŠŠ tai muuttaa tarvittaessa.

HyvŠn mallin avulla voidaan myšs simuloida tarkasteltavaa systeemiŠ.

Teoria

Teoria koostuu perusolettamuksista eli postulaateista, periaat- teista, mallista sekŠ nŠistŠ seuraavista laeista. Teorian (mal- lin) tulisi kyetŠ ennustamaan suoritettavien kokeiden tuloksia, ainakin tietyllŠ tarkkuudella. Esim. Newtonin painovoimateoria ennustaa taivaankappaleiden liikkeet tietyllŠ tarkkuudella.

1.3. Mittayksikšt

Fysikaalisia suureita mitataan nŠiden yksikšillŠ (eli mittayksi- kšillŠ). SI-jŠrjestelmŠn perussuureet ja niiden yksikšt on esi- tetty oheisessa

taulukossa. Perussuure Perusyksikkš

nimi tunnus nimi tunnus

pituus s, l, d, r, ... metri m

massa m, M kilogramma kg

aika t, T, t sekunti s

sŠhkšvirta I, i ampeeri A

lŠmpštila T kelvin K

valovoima I kandela cd

ainemŠŠrŠ n mooli mol

SI-jŠrjestelmŠn 7 perusyksikkšŠ mŠŠritellŠŠn seuraavasti:

Metri m (1983)

Metri on matka, jonka sŠhkšmagneettinen sŠteily kulkee 1 / 299 792 458 s aikana tyhjišssŠ.

Kilogramma kg (1889 ja 1901)

Kilogramma on yhtŠsuuri kuin kansainvŠlisen kilogramman prototyypin massa. (Yhden ¹²C-atomin massaksi on mitattu u = 1.660 540 2(10) ´ 10^Ð27 kg)

Sekunti s (1967)

Sekunti on 9 192 631 770 kertaa sellaisen sŠteilyn jakson aika, joka vastaa ¹³³Cs-atomin siirtymŠŠ perustilan ylihienoraken- teen kahden energiatason vŠlillŠ.

Ampeeri A (1948)

Ampeeri on ajallisesti muuttumaton sŠhkšvirta, joka kulkies- saan kahdessa suorassa yhdensuuntaisessa, ŠŠrettšmŠn pit- kŠssŠ ja ohuessa johtimessa, joiden poikkileikkaus on ympyrŠ ja jotka ovat 1 metrin etŠisyydellŠ toisistaan tyhjišssŠ, aikaan- saa johtimien vŠlille 2 ´ 10^Ð7 N suuruisen voiman johtimen met- riŠ kohti.

Kelvin K (1967)

Kelvin on 1 / 273.16 veden kolmoispisteen termodynaamises- ta lŠmpštilasta.

Kandela cd (1979)

Kandela on sellaisen sŠteilijŠn valovoima, joka tiettyyn suun- taan lŠhettŠŠ monokromaattista 540 ´ 10¹² Hz taajuista sŠteilyŠ ja jonka sŠteilyintensiteetti tŠhŠn suuntaan on 1/683 W steradi- aania kohti.

Mooli mol (1971)

Mooli on sellainen systeemin ainemŠŠrŠ (hiukkasmŠŠrŠ), joka sisŠltŠŠ yhtŠ monta keskenŠŠn samanlaista perusosasta kuin on 0,012 kg:ssa ¹²C-atomeja. TŠmŠ on Avogadron luku N_A. Hiukkaset voivat olla mm. atomeja, molekyylejŠ, tms. 1 mol = 6.022 136 7(36) ´ 10²³ kpl.

SI-jŠrjestelmŠn tŠydennysyksikšitŠ ovat:

Radiaani rad (1965)

Radiaani on r-sŠteisen ym- pyrŠn kahden sellaisen sŠ- teen vŠlinen kulma, jotka ympyrŠn kehŠstŠ erottavat sŠteen r pituisen kaaren.

Steradiaani sr (1965) Steradiaani on avaruuskul- ma, joka sen kŠrjen sijai- tessa r-sŠteisen pallon kes- kipisteessŠ leikkaa pallon pinnasta alan r².

LisŠksi kŠytetŠŠn mm. ta- vanomaisia ajan yksikšitŠ min, h ja d.

SI-jŠrjestelmŠstŠ ja sen mittayksikšistŠ kerrotaan tarkemmin "Fysikaaliset mittaukset I"-kurssin luen- noilla.

1.4. Etuliitteet ja merkitsevŠt numerot

SI-jŠrjestelmŠn etuliitteet, niiden symbolit ja niitŠ vastaavat kertoimet on annettu alla olevassa taulukossa.

kerroin etuliite symboli kerroin etuliite symboli kerroin etuliite symboli

10²⁴ yotta Y 10³ kilo k 10^Ð6 mikro m

10²¹ zetta Z 10² hehto h 10^Ð9 nano n

10¹⁸ exa E 10¹ deka da 10^Ð12 piko p

10¹⁵ peta P 10⁰ 10^Ð15 femto f

10¹² tera T 10^Ð1 desi d 10^Ð18 atto a

10⁹ giga G 10^Ð2 sentti c 10^Ð21 zepto z

10⁶ mega M 10^Ð3 milli m 10^Ð24 yocto y

Kymmenen potensseja tai etuliitteitŠ kŠytettŠessŠ on merkitse- vien numeroiden ilmaiseminen yksinkertaista, ellei ilmoitetta- van lukuarvon tarkkuutta (tai virhettŠ) ilmaista samalla.

Huomaa merkitsevien numeroiden "sŠilyminen" toisaalta kah- den luvun kerto- ja jakolaskussa (pienin), ja toisaalta kahden luvun yhteen ja vŠhennyslaskussa (suurin desimaali).

1.5. Suuruusluokat

Suureiden suuruusluokkien arvioimiseksi voidaan "laskemi- sessa" kŠyttŠŠ esim. yhden numeron tarkkuuksia tai jopa vain kymmenen potensseja.

Esim. 1.1. SydŠmen tahdistimen suunnittelussa tarvitaan ar- vio tai ylŠraja, sille kuinka monta kertaa hoidettavan henkilšn sydŠn lyš tahdistimen asennuksen jŠlkeen. Arvioi tŠmŠ 20 vuotiaalle potilaalle.

1.6. DimensioanalyysiŠ

Suureen dimensioksi sanotaan tŠmŠn riippuvuutta kŠytetyn yksikkšjŠrjestelmŠn perussuureista (tai perusyksikšistŠ). Di- mensioanalyysiŠ voidaan kŠyttŠŠ joskus hyvŠksi tarkasteltaes- sa suureiden vŠlisiŠ riippuvuuksia.

Esim. 1.2. Matemaattisen heilurin jakson pituuden T pŠŠtel- lŠŠn riippuvan sen pituudesta l, punnuksen massasta m ja maan vetovoiman kiihtyvyydestŠ g. SelvitŠ dimensioanalyysin avulla kuinka?

1.7. Koordinaatistoista

Kaksiulotteisen suorakulmaisen (Cartesian) koordinaatiston koordinaattien ja napakoordinaattien vŠliset muunnokset ovat

x = r cos j y = r sin j ja r = Ö(x²+y²)

tan j = y / x.

Vastaavat muunnokset kol- miulotteisessa tapauksessa suorakulmaisen ja pallokoor- dinaatiston vŠlillŠ ovat

x = r sin q cos j y = r sin q sin j z = r cos q ja r = Ö(x²+y²+z²)

tan j = y / x cos q = z / r.

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

2. VEKTORIT

PŠŠkohdat:

1. Skalaarien ja vektoreiden ero

2. a. Vektorin komponentit ja yksikkšvektori b. Vektorien yhteenlasku

3. a. Vektorien skalaari- eli pistetulo b. Vektori- eli ristitulo

2.1. Skalaarit ja vektorit

ErŠŠt fysikaaliset suureet voidaan ilmoittaa lukuarvon (merk- keineen) ja yksikšn avulla. TŠllaisia ovat esimerkiksi kahden tapahtuman aikavŠli, kappaleen massa ja lŠmpštila tietyssŠ paikassa. NŠmŠ ovat skalaarisuureita. Skalaarit noudattavat tavallisia laskusŠŠntšjŠ.

Toisten suureiden mŠŠrittelemiseksi tarvitaan edellisten lisŠksi myšs suunta, esim. nopeus, voima ja sŠhkškenttŠ tietyssŠ paikassa. NŠmŠ ovat vektorisuureita. Vektorit noudattavat ns. vektorialgebraa.

Vektoreita merkitŠŠn yleensŠ liha- villa kirjaimilla tai merkitsemŠllŠ symbolin pŠŠlle viiva tai nuoli.

Piirroksissa vektoreita merkitŠŠn nuolilla.

Vektorisuureen itseisarvolla tarkoi- tetaan sen suuruutta, kun suuntaa ei mŠŠritellŠ. Se on siis skalaari- suure. Vektorin A itseisarvo |A|

merkitŠŠn tavallisesti A. TŠtŠ ku- sutaan myšs vektorin A normiksi.

2.2. Vektorien yhteenlasku

Vektorien yhteenlasku voidaan tehdŠ piirtŠmŠllŠ vektorit perŠk- kŠin. Fysikaalisten vektorisuu- reiden yksikšiden on oltava sa- mat, jotta ne voidaan laskea yh- teen. Vektorien summaa sano- taan resultantiksi ja se on myšs vektori, jonka yksikkš on sama kuin yhteenlaskettavien vekto- reiden yksikkš. Esim.

A + B = C.

Resultanttivektorin suuruus voi- daan laskea joko geometrian tai trigonometrian menetelmin.

Vektoreiden yhteenlasku on vaihdannainen ja liitŠnnŠinen, eli

A + B = B + A

ja (A + B) + C = A + (B + C).

Vektorin A vastavektoriksi sa- notaan vektoria, jonka suuruus on sama, mutta suunta vastak- kainen, kuin vektorin A. Vekto- rin A vastavektoria merkitŠŠn ÐA. Vektorien A ja B erotuksel- la (vŠhennyslaskulla) tarkoite- taan summaa

A Ð B = A + (ÐB).

2.3. Vektorin komponentit ja yksikkšvektorit

Vektorien yhteenlasku graafisesti on tyšlŠstŠ ja epŠtarkkaa.

LisŠksi se on eritysen hankalaa (mahdotonta) kolmiulotteises- sa avaruudessa. Tarkastellaan seuraavaksi vektorien kompo- nenttiesitystŠ, jota kŠyttŠen "vektoreilla laskeminen" on suora- viivaista.

Vektorin A projektiot suorakulmai- sen koordinaatiston x- ja y-akse- leille mŠŠrŠŠvŠt yksikŠsitteisesti vektorin A suuruuden ja suunnan.

YhtŠlšiden (1.1) Ð (1.4) mukaan A_x = A cos j

A_y = A sin j ja A = Ö(A_x ²+ A_y ²)

tan j = A_y / A_x.

Huomaa, ettŠ nŠmŠ yhtŠlšt mŠŠrittelevŠt vektorin A kompo- nentit A_x ja A_y merkkeineen. Kolmi- tai useampiulotteisessa avaruudessa kaikki vektorin komponentit mŠŠritellŠŠn samalla tavoin projektioina vastaaville koordinaattiakseleille.

Vektorien yhteenlaskussa summa- eli resultanttivekto- rin komponentit saadaan laskemalla yhteen summat- tavien vektorien komponen- tit. Siis yhteenlaskulle

R = A + B saadaan

R_x = A_x + B_x ja R_y = A_y + B_y.

(2.1a) (2.1b) (2.2) (2.3)

(2.4a) (2.4b)

Edelleen

R = Ö(R_x ²+ R_y ²)

ja tan j = R_y / R_x = (A_y + B_y) / (A_x + B_x).

Esim 2.1. Suunnistaja juoksee ensin 500 m matkan koilliseen (37° pohjoiseen idŠstŠ) ja sitten 1 km matkan luoteeseen (60°

lŠnteen pohjoisesta). Mihin hŠn on siirtynyt lŠhtšpaikkaansa nŠhden?

Vektori voidaan esittŠŠ tŠsmŠllisesti joko antamalla sen suun- ta ja suuruus tai antamalla kaikki sen komponentit. MikŠli tun- netaan vektorin komponentit koordinaattiakselien suuntiin, voi- daan vektori esittŠŠ myšs muodossa

A = A_x ^i + A_y ^j + A_z ^k = (A_x, A_y, A_z) missŠ vektorit ^i, ^j ja ^k ovat

koordinaattiakselien x, y ja z suuntaisia yksikkšvektoreita, joiden pituus on yksi,

|^i | = |^j | = | ^k | = 1.

Yksikkšvektorin merkkinŠ voi- daan kŠyttŠŠ ns. hattua vekto- rin pŠŠllŠ.

(2.5) (2.6)

(2.7)

Yksikkšvektoreita voidaan merkitŠ myšs ^i = •_x = (1, 0, 0),

^j = •_y = (0, 1, 0) ja ^k = •_z = (0, 0, 1).

Pythagoraan lauseen mukaan

A = Ö(A_x² + A_y² + A_z²).

Vektorien summa ja erotus voidaan esittŠŠ kŠtevŠsti yksikkš- vektorien avulla,

A ± B = (A_x ± B_x) ^i + (A_y ± B_y) ^j + (A_z ± B_z) ^k.

Huomaa, ettŠ kaksi vektoria ovat samat tŠsmŠlleen silloin, kun niiden kaikki komponentit ovat samoja.

Esim. 2.2. Tyttš kŠvelee ensin 3 m itŠŠn ja sitten 4 m etelŠŠn.

MikŠ on kokonaissiirtymŠ?

Esim. 2.3. Laske a) A + B, b) |A + B| ja c) 2A + 3B, kun A = 2^i Ð 3^j + 6 ^k ja B = ^i + 2^j Ð 3 ^k.

(2.8)

2.4. Vektorien skalaari- eli pistetulo

Kahden vektorin skalaari- eli piste- tulo mŠŠritellŠŠn

A á B = A B cosq,

missŠ q on vektorien A ja B vŠlinen kulma. Tulo on siis skalaari ja tul- kittavissa geometrisesti vektorin pi- tuuden ja toisen vektorin projektion tuloksi.

Pistetulolle on voimassa

A á B = B á A, A á (B + C) = A á B + A á C,

^i á^i = ^j á ^j = ^k á ^k = 1 ja ^i á ^j = ^i á ^k = ^j á ^k = 0.

Vektorin komponentteja kŠyttŠen voidaan kirjoittaa A á B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.

Osoitetaan edellinen:

Esim. 2.4. Laske vektorien A = 8^i + 2^j Ð 3 ^k ja B = 3^i Ð 6^j + + 4 ^k skalaaritulo.

Esim. 2.5. MŠŠritŠ vektorien A = 2^i +^j + 2 ^k ja B = 4^i Ð 3^j vŠlinen kulma.

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Esim. 2.6. Johda kosinilause pistetulon avulla.

2.5. Vektori- eli ristitulo

Kahden vektorin vektori- eli ristitulo mŠŠritellŠŠn A ´ B = A B sinq ^n,

missŠ q on vektorien A ja B vŠlinen kulma ja

^n on molempia vektoreita vastaan kohtisuo- ra yksikkšvektori. Suunnan voi mŠŠrŠtŠ esim. oikean kŠden sŠŠnnšllŠ:

peukalo ´ etusormi = keskisormi.

Vektoritulo ei ole vaihdannainen vaan A ´ B = ÐB ´ A.

LisŠksi

A ´ (B + C) = A ´ B + A ´ C, ^i ´ ^i = ^j ´ ^j = ^k ´ ^k = 0 , ^i ´ ^j = ^k , ^j ´ ^k = ^i , ^k ´ ^i = ^j ,

^j ´ ^i = Ð ^k ^k ´ ^j = Ð ^i , ^i ´ ^k = Ð ^j .

NŠitŠ sŠŠntšjŠ kŠyttŠen kahden vektorin ristitulon voi laskea myšs komponenteittain.

(2.12)

Vektoritulon laskemisen voi kuitenkin tehdŠ helpoimmin kŠyt- ten determinanttiesitystŠ

^i ^j ^k A´B = A_x A_y A_z

B_x B_y B_z

Esim. 2.7. Laske vektorien A = 3^i Ð 2^j + ^k ja B = ^i + 4^j Ð 2 ^k vektoritulo.

Esim. 2.8. Johda sinilause ristitulon avulla.

3. SUORAVIIVAINEN LIIKE

PŠŠkohdat:

1. a. Vauhti, nopeus ja kiihtyvyys

b. Hetkelliset suureet ja keskiarvosuureet 2. Liikkeen graafinen esitys:

a. Hetkellisten suureiden mŠŠrŠŠminen tangentin avulla b. Keskiarvosuureiden mŠŠrŠŠminen pinta-alan avulla 3. Tasaisesti kiihtyvŠ suoraviivainen liike

4. Vapaa putoaminen

3.1. Kinematiikka

Kappale voi olla erilaisissa liiketiloissa. Tavallisimpia ovat etenevŠ liike, pyšrimisliike ja vŠrŠhdysliike. EtenevŠŠ liikettŠ voidaan tarkastella suoraviivaisena yhdessŠ dimensiossa, esim. x-akselilla. TŠllšin riittŠŠ tarkastella kappaleen yhtŠ pis- tettŠ, esim. painopistettŠ ja kappaleen mallina voidaan kŠyttŠŠ massapistettŠ eli hiukkasta.

Kinematiikka tarkastelee hiukkasen paikan muutosta ajan funktiona. Hiukkasen paikka ajan funktiona on sen rata eli ratakŠyrŠ.

3.2. Matka ja nopeus

Tarkastellaan hiukkasen liikettŠ x-akselilla, joka voi kuvata esim. auton liikettŠ suoralla tiellŠ. merkitŠŠn hiukkasen paik- kaa liikkeen alussa ja lopussa x_i ja x_f,, sekŠ nŠiden erotusta

Dx = x_f Ðx _i. (3.1)

Suure Dx on siirtymŠ (dispalcement), erotuksena kŠsitteestŠ matka (distance), jolla tarkoitetaan tavallisesti liikkeen radan pituutta. NŠmŠ kaksi kŠsitettŠ poikkeavat toisistaan mm.

edestakaisen tai kŠyrŠviivaisen liikkeen tapauksessa.

Kun tunnetaan liikkeeseen kŠytetty aika, mŠŠritellŠŠn, ettŠ keskimŠŠrŠinen vauhti = matka / aika,

joka on positiivinen skalaari. Kun merkitŠŠn liikkeeseen kŠy- tettyŠ aikaa Dt = t_f Ð t_i, mŠŠritellŠŠn keskinopeus

joka taas on luonteeltaan vektorisuure (useampiulotteisessa tapauksessa). SekŠ vauhdin ettŠ nopeuden yksikkš on m/s.

Esim. 3.1. Lintu lentŠŠ itŠŠn pŠin 10 m/s 100 m matkan ja kŠŠntyy sitten takaisin ja lentŠŠ tulosuuntaansa 20 m/s 15 s ajan. Laske linnun keskimŠŠrŠinen vauhti ja keskinopeus.

Esim. 3.2. LenkkeilijŠ juoksee ensin 100 m 5 m/s ja sitten edelleen samaan suuntaan 100 m 4 m/s. MikŠ on hŠnen kes- kinopeutensa?

EsitetŠŠn edellisten esimerkkien siirtymŠ ajan funktiona graafisesti.

(3.2)

(3.3) vav = Dx

Dt ,

3.3. Hetkellinen nopeus

Hiukkasen keskinopeus tai -vauhti ei kerro paljoa siitŠ, miten hiukkanen on kullakin ajanhetkellŠ liikkunut. Kun lyhennetŠŠn tarkasteluaikavŠlin pituutta Dt saadaan, saadaan tŠstŠ parem- pi kuva. Hiukkasen hetkellinen nopeus x-akselilla mŠŠritel- lŠŠnkin raja-arvona

Vaikka Dx ja Dt ovat hyvinkin pieniŠ niiden suhde lŠhestyy tiettyŠ arvoa, joka vastaa graa- fisesessa x = x(t) esityksessŠ kŠyrŠn tangenttia. TŠmŠ voi- daan kirjoittaa derivaattana

KyseessŠ on siis matkan muutosnopeus ajan funktiona.

Esim. 3.3. Hiukkasen paikka x-akselilla ajan t funktiona on x(t) = 3 t² m. MŠŠrŠŠ hiukkasen keskinopeus hetkellŠ t = 2 s ja keskinopeus 4 ensimmŠisen sekunnin aikana.

(3.4) v = lim_{Dt ® 0} Dx

Dt

v = dxdt . (3.5)

3.4. Kiihtyvyys

Samoin kuin nopeus kuvaa matkan muutosta ajassa kuvaa kiihtyvyys nopeuden muutosta ajassa. KeskimŠŠrŠinen kiihty- vyys eli keskikiihtyvyys on siten

jonka SI-yksikkš on m/s². Edelleen samoin kuin edellŠ hetkel- linen nopeus, niin myšs hetkellinen kiihtyvyys mŠŠritellŠŠn de- rivaattana

Myšs graafinen tulkinta tangenttina, nyt funktiolle v = v(t), on samanlainen kuin edellŠ.

Huomaa, ettŠ positiivinen tai negatiivinen kiihtyvyys ei kerro vielŠ mitŠŠn nopeuden merkistŠ. Siten esim. negatiivinen kiih- tyvyys ei tarkoita vŠlttŠmŠttŠ hidastuvaa liikettŠ.

Esim. 3.4. HetkellŠ t = 0 auto liikkuu itŠŠn nopeudella 10 m/s.

Laske auton keskikiihtyvyys, kun hetkellŠ (a) t = 2 s sen no- peus on 15 m/s itŠŠn, (b) t = 5 s 5 m/s itŠŠn, (c) t = 10 s 10 m/s lŠnteen ja (d) t = 20 s 20 m/s lŠnteen.

(3.6) a_av = Dv

Dt ,

a = dvdt . (3.7)

3.5. Graafinen derivointi ja integrointi

EdellŠ tarkasteltua derivaatan mŠŠrittŠmistŠ kŠyrŠn tangentin avulla voidaan sanoa graafiseksi derivoinniksi. Siten saadaan siis nopeus matkasta ja kiihtyvyys nopeudesta. Myšs kŠŠntŠ- en voidaan nopeus saada kiihtyvyydestŠ ja matka nopeudesta graafisella tarkastelulla. SitŠ voidaan kutsua vastaavasti graafiseksi integroinniksi.

Tarkastellaan viereisen kuvan mukaisesti nopeutta ajan funk- tiona, v = v(t). Koska v = Dx / Dt kullakin jakovŠlillŠ, niin Dx = v Dt ja kuljettu matka (tai siirtymŠ) saadaan laskemalla yhteen kaikki vŠlit, x = å_i Dx_i. Kullakin aikavŠlillŠ voidaan kŠyttŠŠ sen keskinopeutta v = v_av. Summa x = å_i Dx_i on itseasiassa kuvan

pylvŠiden tai puolisuunnikkaiden yhteenlaskettu pinta-ala, joka kuvaa kŠyrŠn v = v(t) alle jŠŠvŠŠ pinta-alaa sitŠ tarkemmin mi- tŠ kapeampia jakovŠlit Dt ovat.

MikŠli nopeuden muutos on va- kio eli kuvaaja on suora, tulee graafisesta tarkastelusta helppo ja tulos on riippumaton jakovŠ- lien pituudesta. TŠllšin

Dx = v_av Dt = ^1/2 (v_i+v_f) Dt, missŠ v_i ja v_f ovat alku- ja lop- punopeudet vŠlillŠ Dt. TŠllaista liikettŠ sanotaan tasaisesti kiih- tyvŠksi liikkeeksi.

(3.8)

Yhteenveto graafisesta derivoinnista ja integroinnista:

Esim. 3.5. HetkellŠ t = 0 hiukkanen on levossa ori- gossa. Sen jŠlkeen sen kiihtyvyys on 2 m/s² 3 s ajan ja Ð2 m/s² seuraavan 3 s ajan. EsitŠ x(t), v(t) ja a(t) graafisesti.

3.6. Tasaisesti kiihtyvŠ suoraviivainen liike

Kun kiihtyvyys a on vakio, voidaan yhtŠlšn (3.8) Dx = v_av Dt tavoin kirjoittaa Dv = a Dt. Jos ajanhetkellŠ t = 0 hiukkasen nopeus on v₀, niin v = v₀ + Dv ja t = Dt, jolloin

v = v₀ + at.

Koska nyt siis Dx = v_av t ja v_av = (v₀ + (v₀+Dv)) / 2, saadaan Dx = ^1/2 (2v₀ + Dv) t = ^1/2 (2v₀ + at) t = v₀t + ^1/2 at². Jos ajanhetkellŠ t = 0 hiukkasen paikka on x₀, niin myšs x = x₀ + Dx ja

x = x₀ + v₀t + ^1/2 at².

NŠistŠ yhtŠlšistŠ voidaan eliminoida aika t, jolloin saadaan v² = v₀² + 2a (x Ð x₀).

EdellŠ johdetut tasaisesti kiihtyvŠn suoraviivaisen liikkeen kinematiikan yhtŠlšt voidaan vaihtoehtoisesti joh- taa myšs integraalilaskennan kei- noin:

(3.9)

(3.11) (3.10)

(3.12)

Kinematiikan probleemoiden ratkaisemiseksi viidestŠ suurees- ta x, v₀, v, a ja t on ainakin kolme tunnettava. Koordinaatisto kannattaa valita siten, ettŠ x₀ = 0.

Ratkaisemisohjeet

1 PiirrŠ kuva (ja ratkaise tehtŠvŠ graafisesti, jos mahdollista).

2 Merkitse selvŠsti koordinaatisto ja sen origo.

3 (a) Luettele annetut suureet ja niiden arvot merkkeineen.

(b) Luettele tuntemattomat suureet ja ratkaistavat suureet.

4 Etsi tai johda yhtŠlš, jossa ratkaistava suure on ainoa tuntematon.

5 Arvioi tulosta: suuruusluokka, yms.; ja ratkaise tehtŠvŠ graafisesti, ellet tehnyt sitŠ jo kohdassa 1.

Esim. 3.6. Auto lŠhtee levosta ja saa vakiokiihtyvyydellŠ nopeuden 30 m/s ajassa 10 s ja jatkaa sen jŠlkeen tŠllŠ vakio- nopeudella. MŠŠritŠ (a) auton kiihtyvyys, (b) matka, jonka auto etenee kiihdytyksen aikana ja (c) auton kulkema matka, kun nopeus kasvaa 10 m/s Ð 20 m/s.

Esim. 3.7. Hiukkasen nopeus on v = 10 m/s paikassa x = 5 m, kun t = 2 s. Laske hiukkasen paikka alussa (t = 0), kun kiihty- vyys on vakio a = Ð4 m/s².

Esim. 3.8. Hurjastelija ajaa nopeudella 15 m/s ja ohittaa polii- siauton. Poliisiauto lŠhtee paikaltaan sen perŠŠn juuri ohitus- hetkellŠ ja kiihdyttŠŠ tasaisesti 2 m/s² kunnes saavuttaa mak- siminopeutensa 20 m/s. Milloin ja missŠ poliisiauto saavuttaa hurjastelijan?

Esim. 3.9. Kaksi autoa lŠhestyvŠt toisiaan suoralla tiellŠ vas- takkaisista suunnista, auto A nopeudella 16 m/s ja B 8 m/s.

Kun autot ovat 45 m etŠisyydellŠ toisitaan, molemmat ryhtyvŠt jarruttamaan, auto A 2 m/s² ja B 4 m/s². Milloin ja missŠ autot tšrmŠŠvŠt?

3.7. Vapaa putoaminen

Kappale, johon vaikuttaa vain jokin gravitaatiovoima, esim.

maan vetovoima, on vapaassa putoamisliikkeessŠ. Silloin siis kaikki muut voimat kuten vŠliaineenvastus on eliminoitu. Ko- keellisesti voidaan todeta, ettŠ kaikki kappaleet riippumatta nii- den massoista saavat saman vakiokiihtyvyyden (samassa gra- vitaatiokentŠssŠ). Maan pinnalla se on g » 9.81 m/s².

Valitaan putoamisliikkeen tarkastelua varten koordinaatisto, jonka y-akseli osoittaa "ylšspŠin", jolloin g = a_y ^j, missŠ a_y » Ð9.81 m/s². Siten voidaan kirjoittaa myšs, ettŠ g = Ðg^j. Koska vapaa putoaminen on tasaisesti kiihtyvŠŠ liikettŠ, voi- daan yhtŠlšihin (3.9)Ð(3.12) sijoittaa putoamisliikkeen tarkas- telua varten a = Ðg. TŠllšin saadaan

v = v₀ Ð gt, y = y₀ + 1/2 (v₀ +v) t,

y = y₀ + v₀t Ð ^1/2 gt² ja v² = v₀² Ð 2g (y Ð y₀).

Huomaa, ettŠ kiihtyvyyden g suunta on aina sama, eikŠ riipu siitŠ onko kappaleen nopeus ylšs- vai alaspŠin.

(3.13) (3.14) (3.15) (3.16)

Esim. 3.10. Pallo, joka on heitetty ylšspŠin, nousee 20 m kor- keuteen. Laske (a) pallon alkunopeus, (b) pallon nousuaika, (c) pallon nopeus sen pudotessa takaisin maahan, (d) pallon korkeuden muutos aikavŠlillŠ t = 0.5 s Ð2.5 s, ja (e) ajanhetki, jolloin pallo on 15 m korkeudella. Ilmanvastusta ei oteta huo- mioon.

Esim. 3.11. Pallo heitetŠŠn ylšspŠin alkunopeudella 12 m/s 40 m korkealta katolta siten, ettei se putoa takaisin katolle vaan maahan. Laske (a) pallon nopeus sen osuessa maahan, (b) lentoaika, (c) pallon suurin korkeus, (d) ajanhetki, jolloin pallo on palannut katon korkeudelle, ja (e) ajanhetki, jolloin pallo on 15 m katon tason alapuolella. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

Esim. 3.12. Kaksi palloa heitetŠŠn toisiaan vastaan, pallo A maasta ylšspŠin nopeudella 16 m/s ja pallo B 30 m korkeudel- ta sekuntia myšhemmin alaspŠin nopeudella 9 m/s. (a) MillŠ korkeudella ja milloin pallot tšrmŠŠvŠt? (b) MitkŠ ovat pallojen nopeudet tšrmŠyshetkellŠ?

3.8. VŠliaineenvastus ja putoamisen rajanopeus

Kappaleen pudotessa vŠliai- neessa on liike vapaan puto- amisen kaltaista vain pienillŠ nopeuksilla, esim. alkuvaihees- sa kappaleen lŠhtiessŠ levosta.

Kappale saavuttaa vŠhitellen vŠliaineen vastuksesta riippu- van rajanopeutensa v_T (engl.

terminal speed). VŠliaineen- vastus riippuu vŠliaineen omi- naisuuksista sekŠ kappaleen muodosta ja asennosta.

4. TASOLIIKE

PŠŠkohdat:

1. a. Inertia eli hitaus b. Newtonin 1. laki

2. Heittoliike: riippumattomat pysty- ja vaakaliike 3. YmpyrŠliike ja keskeiskiihtyvyys

4. Inertiaalikoordinaatistot 5. Suhteellinen liike

6. (a) Galilein transformaatio

(b) Galilein suhteellisuusperiaate

YmpŠristšŠ tarkkailemalla voi helposti tulla sellaiseen johto- pŠŠtškseen, ettŠ kappaleet pyrkivŠt pysŠhtymŠŠn lepotilaan- sa. TŠmŠ oli myšs Aristoteleen kŠsitys, johon uskottiin n. 2000 vuoden ajan kunnes Galieo 1600-luvun alussa ryhtyi asiaa tar- kemmin selvittŠmŠŠn.

4.1. Newtonin 1. laki

Galileon ja erŠiden muiden tyšn pohjalta Isaac Newton julkaisi 1. lakinsa vuonna 1687. Se voidaan muotoilla seuraavasti:

Newtonin 1. laki:

Jokainen kappale sŠilyttŠŠ liiketilansa, ellei siihen vaikuta ulkoisia voimia.

Huom! Kappaleen liiketila voi olla lepotila tai tasainen suora- viivainen liike.

TŠmŠ laki tunnetaan myšs nimellŠ jatkavuuslaki ja hitauslaki, koska se sisŠltŠŠ erŠŠn kaikkien kappaleiden ominaisuuden:

hitaus eli inertia:

Kappaleet vastustavat liiketilansa muutoksia.

(Kappaleen hitautta kuvaava suure on massa ja kappaleen lii- ketilan muuttamiseksi tarvitaan voimia.)

4.2. Tasoliike

YleistetŠŠn seuraavassa suoraviivaisen eli yksi-dimensioisen liikkeen kinemaattiset yhtŠlšt taso- eli kaksi-dimensioiselle liik- keelle. Kun korvataan x-koordinaatti radius- eli paikkavektoril- la r = x^i + y^j + zk,^

saadaan samalla yleistys myšs kolmiulotteiseen avaruuteen.

Kun hiukkanen liikkuu paikasta r₁ paikkaan r₂, on siirtymŠ Dr = r₂ Ð r₁ = Dx^i + Dy^j + Dz^k,

missŠ Dx = x₂ Ð x₁, Dy = y₂ Ð y₁ ja Dz = z₂ Ð z₁. Siis r₂ = r₁ + Dr.

Keskinopeus on nyt

josta raja-arvona saadaan het- kellinen nopeus

missŠ v_x = dx/dt, v_y = dy/dt ja v_z = dz/dt. Vastaavasti hetkellinen kiihtyvyys on

missŠ a_x = dv_x/dt, a_y = dv_y/dt ja a_z = dv_z/dt.

Jos kiihtyvyys a on vakio, on kyseessŠ tasaisesti kiihtyvŠ ta- soliike ja kinematiikan perusyhtŠlšt tulevat muotoon

v = v₀ + at, r = r₀ + ^1/2 (v₀ +v) t,

r = r₀ + v₀t + ^1/2 at² ja v_s² = v_0s² + 2a_s (s Ð s₀), missŠ s = x, y tai z.

(4.1)

(4.2)

vav = Dr Dt ,

v = dr

dt = vxi + vyj + vzk , (4.3)

(4.4)

a = dv

dt = axi + ayj + azk , (4.5)

(4.6) (4.7) (4.8) (4.6*)

4.3. Heittoliike

Heittoliike on tasoliikettŠ, jossa liikkeen kahta komponenttia voidaan tarkastella erikseen.

Heittoliike tapahtuu tavallisesti maan vetovoimakentŠssŠ, jo- ten liike koostuu vapaasta pu- toamisesta vakiokiihtyvyydellŠ g ja tasaisesta vaakasuuntai- sesta liikkeestŠ vakionopeudel- la. Valitaan siksi tarkastelun koordinaatiston y-akselin suun- ta ylšspŠin ja x-akseli liikkeen vaakasuuntaan.

Kun valitaan liikkeen alkupisteeksi koordinaatiston origo ja merkitŠŠn a_x = 0 ja a_y = Ðg, niin yhtŠlšistŠ (4.6)Ð(4.8) saadaan

x = v_0x t v_y = v_0y Ð gt, y = y₀ + v_0y t Ð ^1/2 gt² ja v_y² = v_0y² Ð 2g (y Ð y₀).

Huomaa, ettŠ nŠihin yhtŠlšihin ei ole sisŠllytetty ilmanvastuk- sen vaikutusta, joten ne pŠtevŠt vain putoamisliikkeen rajano- peutta paljon pienemmillŠ nopeuksilla.

Esim. 4.1. Pallo heitetŠŠn vaakasuoraan suuntaan 15 m/s 20 m korkeudelta. Laske pallon lentoaika ja kantama.

(4.9) (4.10) (4.11) (4.12)

Esim. 4.2. Kappale heitetŠŠn maasta alkunopeudella v₀ suun- taan, joka muodostaa kulman q maanpinnan kanssa. MŠŠrŠŠ kappaleen (a) lentoaika, (b) kantama R ja sen suurin arvo se- kŠ (c) ratakŠyrŠn muoto.

Esim. 4.3. Pallo heitetŠŠn 16 m korkealta katolta nopeudella 21 m/s 30û suunnassa ylšspŠin. Laske pallon (a) lentoaika, (b) kantama, (c) suurin korkeus, (d) pallon tulokulma maahan ja (e) pallon nopeus, kun se on 2 m katon tason ylŠpuolella.

4.4 Tasainen ympyrŠliike

Tarkastellaan tasaista ympyrŠ- liikettŠ, jossa hiukkanen liikkuu vakiovauhdilla pitkin ympyrŠn kehŠŠ. Hiukkasen nopeus on joka hetki ympyrŠn tangentin suuntainen ja siten muuttuu koko ajan. Nopeuden itseisar- vo, vauhti, on vakio, mutta suunta muuttuu. Hiukkanen on siis kiihtyvŠssŠ liikkeessŠ.

Tarkastellaan aikavŠliŠ Dt, jolla Dr = r₂ Ð r₁ ja Dv = v₂ Ð v₁. Koska v₂ = v₁ = v, nŠhdŠŠn, et- tŠ Dv ja siten siis kiihtyvyys on ympyrŠn keskipistettŠ kohti.

Koska lisŠksi r₂ = r₁ = r, voi- daan yhdenmuotoisista kol- miosta kirjoittaa

josta sadaan edelleen, ettŠ |Dv| = (v/r) |Dr|. Koska |Dr| » v Dt (tai v = |dr/dt|), saadaan |Dv| » (v²/r) Dt ja rajalla Dt ® 0,

|Dv|/Dt ® v²/r. Siten kiihtyvyyden itseisarvo on a_r = v²/r,

missŠ alaindeksi r viittaa radiaaliseen kiihtyvyyteen.

Kun nyt tunnetaan kiihtyvyys- vektorin suuruus ja suunta, voidaan kirjoittaa

joka on keskihakuis- eli sentripetaalikiihtyvyys.

Drr = Dv v ,

(4.13)

ar = Ð vr ² r,

Koska ympyrŠn kehŠn pituus on 2pr ja tasaisen ympyrŠliik- keen nopeus on v, niin yhteen kierrokseen tarvittava aika, ns.

jaksonpituus on T = 2pr/v. Siten v = 2pr/T ja a_r = 4p²r / T².

Esim. 4.5. Lentokoneen vaakasuuntainen keskeiskiihtyvyys on 5g. Jos koneen nopeus on 2 Machia, mikŠ on lentokoneen radan sŠde? 1 Mach = ŠŠnennopeus, joka on 340 m/s.

Esim. 4.6. Kuu kiertŠŠ maata etŠisyydellŠ 3.84 ´ 10⁸ m (maan keskipisteestŠ), yhden kierroksen 27.3 vuorokaudessa. Laske kiertoliikkeen keskeiskiihtyvyys.

Esim. 4.7. Arvioi matalalla lentŠvŠn tiedustelusatelliitin kierto- aika maapallon ympŠri.

(4.14)

4.5. Inertiaalikoordinaatisto

Kappaleiden paikat ja nopeudet annetaan aina jonkin toisen kappaleen tai sen pisteen suhteen (eli siitŠ mitattuna). Tavalli- simpia ovat esim. havaitsija, maapallo ja aurinko.

Jatkavuuslain perusteella on mahdollista valita koordinaatisto, jossa kaikki vapaat kappaleet liikkuvat tasaisella nopeudella.

TŠllaista koordinaatistoa kutsutaan intertiaalikoordinaatistoksi.

KŠŠntŠen voidaan mŠŠritellŠ, ettŠ koordinaatisto, jossa New- tonin 1. laki on voimassa, on intertiaalikoordinaatisto.

Inertiaalikoordinaatisto voidaan siten kiinnittŠŠ mihin tahansa vapaaseen kappaleeseen. Oleellista on se, ettŠ inertiaalikoor- dinaatisto ei ole kiihtyvŠssŠ liikkeessŠ vapaiden kappalei- den suhteen. Maapalloon kiinnitetty koordinaatisto on tavalli- sin approksimaatio intertiaalikoordinaatistolle.

4.6. Suhteellinen liike

Tarkastellaan kahta koordi- naatistoa A ja B sekŠ pistettŠ P. Vektorien yhteenlasku antaa

r_PA = r_PB + r_BA,

missŠ r_BA on koordinaatisto- jen origojen etŠisyys. Koska v = dr/dt, saadaan edelleen

v_PA = v_PB + v_BA.

Huomaa, ettŠ koordinaatistot ovat samanarvoisessa ase- massa keskenŠŠn ja

v_AB = Ðv_BA.

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Esim. 4.8. Moottoriveneen nopeus vedessŠ on 10 m/s. Se ylittŠŠ 100 m leveŠn joen, jonka vesi virtaa 5 m/s, siten, ettŠ keula osoittaa kohtisuoraan joen yli. (a) Laske veneen nopeus rannan suhteen. (b) Kuinka paljon vene liikkuu sivusuunnas- sa?

Esim. 4.9. (a) Kuinka edellisen esimerkin venettŠ tŠytyy ohja- ta, jotta se ylittŠisi joen kohtisuorasti? (b) Kuinka kauan joen ylitys silloin kestŠŠ? (c) Kuinka vene ylittŠŠ joen lyhimmŠssŠ ajassa?

4.7. Galilei muunnos

Tarkastellaan koordinaatistoa S', joka liikkuu vakionopeudel- la u koordinaatiston S suhteen.

TŠllšin oheisen kuvan mu- kaan

r' = r Ð ut.

Jos u = u^i, niin x' = x Ð ut, y' = y, z' = z ja t' = t.

TŠmŠ on Galilei-muunnos.

YhtŠlšstŠ (4.18) saadaan derivoimalla ajan suhteen v' = v Ð u

ja edelleen koska u on vakio, derivoimalla toiseen kertaan saadaan

a' = a.

Tarkastellaan esimerkkinŠ putoamisliikettŠ:

TŠstŠ seuraa ns. Galilein suhteellisuusperiaate:

Mekaniikan lait ovat samat kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

4.8. Yleinen ympyrŠliike

LiikettŠ vastaan kohtisuora radiaalikiihtyvyys aiheuttaa siis ra- dan kaareutumista, ympyrŠliikettŠ, ja

a_r = v² / r,

missŠ r on kaarevuussŠde. YleisessŠ tapauksessa, kun hiuk- kasen vauhti ei ole vakio, toinen kiihtyvyyden komponentti

a_t = dv/dt

on nimeltŠŠn tangentiaalikiihtyvyys. Kokonaiskiihtyvyys on si- ten

a = a_r + a_t ja a_r ^ a_t. Siten a = Ö(a_r² + a_t²).

Napakoordinaatiston yksikkšvektoreiden avulla voidaan kirjoit- taa

a = dv

dt = d(vq)

dt = v dq

dt + dvdt q

= Ð vr ² r + dv

dt q = ar + at.

(4.22)

(4.23)

5. DYNAMIIKKA I

PŠŠkohdat:

1. Voima ja massa 2. Newtonin 2. laki

3. KŠsitteiden massa ja paino ero 4. Newtonin 3. laki

5. Voimien tasapaino ja statiikka

Dynamiikka tutkii ja selittŠŠ sitŠ, miksi kappaleet liikkuvat tai muuttavat liiketilaansa, kun kinematiikka selittŠŠ vain liikettŠ kuvaavien suureiden vŠlisiŠ riippuvuuksia. Kappaleet muutta- vat liiketilaansa siksi, ettŠ niihin kohdistuu voimia. Voimat vai- kuttavat kappaleiden vŠlillŠ. Toisaalta kappaleen liiketila ei muutu, jos siihen vaikuttavien voimien summa hŠviŠŠ. Statiik- ka tutkii tŠllaisia tilanteita.

5.1. Voima ja massa

Kappaleeseen vaikuttava voima havaitaan siitŠ, ettŠ kappa- leen liiketila muuttuu voiman vaikutuksesta. Klassillisen me- kaniikan puitteissa voidaan ajatella, ettŠ voimat vŠlittyvŠt kos- ketuksen ja kenttien vŠlityksellŠ. Voiman mittaaminen voi pe- rustua sen kumoamiseen tunnetulla voimalla tai sen aiheutta- man kappaleen liiketilan muutoksen mŠŠrittŠmiseen. Koska voimalla on siis suuruus ja suunta, se on vektorisuure.

Newton mŠŠritteli massan aineen mŠŠrŠnŠ. Newtonin 1. lain perusteella voidaan sanoa tŠsmŠllisemmin, ettŠ kappaleen massa on sen kyky vastustaa liiketilansa muutosta eli se on kappaleen hitauden eli inertian mitta. Massa on skalaarisuu- re. Massan mittaamiseen voitaisiin kŠyttŠŠ sen liiketilan muu- toksen havaitsemista tunnetun voiman vaikutuksen alaisena seuraavalla tavalla.

Tarkastellaan kahta kap- paletta A ja B, joihin vai- kuttaa yhtŠsuuri voima (esim. sama jousi). Ko- keellisesti havaitaan, ettŠ kappaleiden liiketilojen muutosten suhde

|Dv_A|/|Dv_B| on vakio riippu- matta tarkastelun aikavŠ-

listŠ Dt. Koska tŠmŠ pŠtee kaikille kappalepareille, on mahdol- lista mŠŠritellŠ kutakin kappaletta kuvaava vakio tŠllaisen ver- tailun perusteella. TŠmŠ vakio on kappaleen massa; m_A ja m_B kappaleille A ja B.

On kŠytŠnnšllistŠ mŠŠritellŠ kappaleen massa siten, ettŠ suu- rempaa nopeuden muutosta vastaa pienempi massa ja pŠin vastoin, ja koska Dv = a Dt hyvin pienillŠ Dt, voidaan kirjoittaa

Vertaamalla kappaleita tŠllŠ tavoin tunnettuun 1 kg massai- seen kappaleeseen voitaisiin kappaleiden massat mŠŠrittŠŠ.

5.2. Newtonin 2. laki

Kokeellisesti siis a µ 1/m. Kokeellisesti voidaan myšs todeta, ettŠ a µ F, missŠ F on mihin tahansa kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima. Siten a µ F/m eli a = k F/m, missŠ k on yksik- kšjŠrjestelmŠstŠ mŠŠrŠytyvŠ vakio. SI-jŠrjestelmŠssŠ k = 1, joten F = ma tai yleisemmin vektorimerkinnšin

åF = ma,

missŠ åF merkintŠŠ kŠytetŠŠn korostamaan sitŠ, ettŠ kysees- sŠ on kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.

TŠmŠ on Newtonin 2. laki eli dynamiikan peruslaki ja se on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.

(5.1) mA

mB = DvB

DvA

= aa^BA .

(5.2)

Newtonin 2. laki voidaan sanoa myšs muodossa:

Kappaleeseen vaikuttavien voimien summa åF antaa m-massaiselle kappaleelle kiihtyvyyden a = F/m, joka on samaan suuntaan kuin åF.

SI-jŠrjestelmŠssŠ voiman yksik- kš on nimeltŠŠn newton (N) ja 1 N = 1 kg m / s².

Dynamiikan peruslakia on yleensŠ mukavinta kŠyttŠŠ komponentteihinsa jaettuna

åF_x = m a_x, åF_y = m a_y ja åF_z = m a_z.

Esim 5.3. Elektronin massa on m = 9.1 ´ 10^Ð31 kg. Se tulee al- kunopeudella v₀ = 10⁶ ^i m/s alueelle, jossa siihen vaikuttaa voima F = 8.0 ´ 10^Ð17 ^j N ajan 10^Ð8 s. MikŠ on elektronin no- peus tŠmŠn jŠlkeen?

(5.3)

5.3. Gravitaatiolaki ja kappaleen paino

Voidakseen selittŠŠ Johannes Keplerin (1571Ð1630) havaise- mat planeettojen liikkeet aurinkokunnassa Newton (1642Ð 1727) postuloi painovoimalain. Tycho Brahen (1546Ð1601) ja Keplerin havaintoihin perustuen hŠn pŠŠtteli, ettŠ kappaleiden vŠlinen vetovoima on kŠŠntŠen verrannollinen niiden etŠisyy- den neliššn eli F µ 1/r². Olettamalla, ettŠ vetovoima on ver- rannollinen kappaleiden massoihin m ja M, voidaan kirjoittaa Newtonin yleinen painovoima- eli gravitaatiolaki

missŠ G = 6.67 ´ 10^Ð11 Nm²/kg² on verrannollisuuskerroin, ns.

gravitaatiovakio. Myšhemmin osoitetaan, ettŠ pallosymmet- risten kappaleiden, esim. planeettojen, etŠisyyksiŠ tulee mitata niiden keskipisteistŠ gravitaatiolain soveltamista varten.

MŠŠritellŠŠn paino W siten, ettŠ

kappaleen paino on siihen kohdistuva gravitaatiovoima.

Kappaleen paino maan pinnalla on siis siihen kohdistuva maan vetovoima, joka saadaan gravitaatiolaista (5.4). Kun kap- paleen massa on m, maapallon massa M_E ja maan pinnalla kappaleen etŠisyys maan keskipisteestŠ sama kuin maapal- lon sŠde R_E, saadaan

Tavallisesti tŠmŠ kirjoitetaan muotoon josta voidaan ratkaista

mikŠ on siis gravitaatiovoima maan pinnalla yksikkšmassaa (kg) kohti eli painovoimakentŠn voimakkuus.

(5.4) F = G m Mr²

W = G m MR_E^{2 E}

W = mg g = G M^E

RE2

(5.5)

(5.6)

Koska painovoimalla W = mg on sama muoto kuin Newtonin 2.

lailla F = ma sanotaan painovoimakentŠn voimakkuutta g myšs maan vetovoiman kiihtyvyydeksi. On kuitenkin syytŠ huoma- ta, ettei kappaleen paino riipu sen kiihtyvyydestŠ eikŠ kappa- leen kiihtyvyys vain sen painosta, koska kappaleeseen voi vai- kuttaa muitakin voimia. Kappaleen paino on sen liiketilasta riippumaton.

Newtonin 2. laki F = ma tarkastelee ns. hitaan massan eli liike- tilansa muutoksia vastustavan massan ominaisuuksia, kun painovoima taas W = mg ns. painavan massan eli gravitaatio- voiman kokevan massan ominaisuuksia. Koska nŠmŠ ovat ai- van eri ilmišitŠ, ovat niissŠ esiintyvŠt massatkin periaatteessa eri suureita (klassillisessa mekaniikassa). Kokeellisesti nŠmŠ kaksi massaa eivŠt kuitenkaan eroa toisistaan ja yleisessŠ suhteellisuusteoriassa ne ovatkin saman suureen ilmenemis- muotoja.

Huomaa, ettŠ yleisessŠ kielenkŠytšssŠ painoa kŠytettŠn usein massan merkityksessŠ. MitkŠ ovat nŠiden suureiden erot?

5.4. Newtonin 3. laki

Voimat esiintyvŠt aina kappaleiden vŠlillŠ. Siten

jos kappale A vaikuttaa kappaleeseen B voimalla F_BA, niin kappale B vaikuttaa kappaleeseen A voimalla F_AB ja

F_AB = ÐF_BA. TŠmŠ on Newtonin 3. laki eli

voiman ja vastavoiman laki.

On syytŠ huomata, ettŠ voima ja sen vastavoima vaikuttavat eri kappaleisiin eivŠtkŠ sen vuoksi kumoa toisiaan!

Newtonin 3. laki on voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa.

(5.7)

Tarkastellaan voimaa ja sen vastavoimaa seuraavissa tapauk- sissa:

5.5. Newtonin lakien sovellutuksia

Dynamiikan tehtŠvien ratkaisuohjeet:

1. PiirrŠ hyvŠ kuva ja mŠŠrittele systeemi, jota tarkastelet.

2. Merkitse kaikki systeemiin vaikuttavat voimat.

3. Valitse tarkoituksenmukainen inertiaalikoordinaatisto.

4. Jaa voimat komponentteihinsa valitussa koordinaatistossa.

5. Kirjoita liike yhtŠlšt muodossa åF_x = m a_x, åF_y = m a_y ja åF_z = m a_z, sekŠ ratkaise tuntemattomat suureet.

6. Arvioi tuloksia:

(a) tarkista merkit, (b) tarkista yksikšt ja (c) arvioi suuruusluokkia.

Esim. 5.8. Ratkaise "hevonen ja kŠrry" paradoksi.

Esim. (5.9.) Vapaasti riippuva massa m₁ = 3.0 kg on kiinnitetty kevyellŠ narulla kitkattoman rattaan yli massaan m₂ = 2.0 kg, joka lepŠŠ kitkattomasti kaltevalla tasolla (q = 30û vaakasuun- taan nŠhden). MŠŠrŠŠ massojen kiihtyvyys ja narun jŠnnitys.

5.6. NŠennŠinen paino

Kappaleen ollessa paikallaan (tai tasai- sessa liikkeessŠ) sen paino voidaan havaita (tai mitata) mŠŠrittŠmŠllŠ se tukivoima, joka kumoaa kappaleeseen kohdistuvan painovoiman.

Jos kappale on kiihtyvŠssŠ liikkeessŠ, voi tarvittava tukivoima muuttua sen johdosta. Tukivoiman avulla mŠŠritel- tyŠ painoa sanotaan nŠennŠiseksi pai- noksi. Kappaleen todellinen paino ei kuitenkaan riipu liiketilasta.

Esim. punnitseminen liikkeelle lŠhtevŠssŠ tai pysŠhtyvŠssŠ hississŠ:

6. DYNAMIIKKA II

PŠŠkohdat:

1. (a) Lepokitka ja liikekitka (b) Kitkakerroin

2. YmpyrŠliikkeen dynamiikka 3. Keplerin 3. laki

6.1. Kitka

Kitka on kappaleiden vŠlisiin koske- tuksiin liittyvŠ makroskooppinen voi- ma. Tavallisin esimerkki on jollakin pinnalla lepŠŠvŠ kappale, jonka liik- kuessa tai pyrkiessŠ liikkumaan syntyy liikettŠ vastustava kosketuk- sesta aiheutuva voima, kitkavoima.

KŠytŠnnšssŠ kitka voi olla hyšdyllinen, jolloin sitŠ pyritŠŠn suurentamaan, tai se voi olla haitallinen, jolloin sitŠ pyritŠŠn taas pienentŠmŠŠn.

Jo Leonardo da Vinci vuonna 1508 totesi, ettŠ

(i) kitka on verrannollinen kappaleen painoon, tai tŠsmŠllisem- min, pinnan tukivoiman kohtisuoraan komponenttiin; ja

(ii) kitka on riippumaton kosketuksen pinta-alasta.

LisŠksi myšhemmin havaittiin (Amonton, 1699), ettŠ (iii) kitka on riippumaton kappaleen nopeudesta pinnalla.

Kitkan voidaan ajatella aiheutuvan kosketuspintojen epŠtasai- suuksista, pintojen vŠlisistŠ attraktiivisista voimista tai sekoittu- misilmišistŠ.

Lepokitka vastustaa pinnalla lepŠŠvŠn kappaleen liikkeelle lŠhtšŠ. Kappaleen liukuessa pinnalla vaikuttaa taas liukukit- ka, liukumista jarruttamaan pyrkivŠ voima.

Koska liukukitka f_k on verrannolli- nen kappaleeseen kohdistuvan tukivoiman kohtisuoraan kompo- nenttiin N, voidaan kirjoittaa

f_k = m_kN,

missŠ verrannollisuuskerroin m_k on nimeltŠŠn liukukitkaker- roin. Kitkakerroin on laaduton suure, koska sekŠ f_k ettŠ N ovat voimia.

Lepokitkan f_s suuruus riippuu muista kappaleeseen vaikutta- vista voimista, mutta lepokitkan suurin arvo f_s(max) (juuri ennen kappaleen liikkeelle lŠhtšŠ) noudattaa riippuvuutta

f_s(max) = m_sN, [ f_s £ m_sN ].

TŠssŠ m_s on lepokitkakerroin. Tavallisesti m_s > m_k.

Esim. 6.3. Kappale 1 (m₁ = 2.0 kg) on asetettu toisen kappa- leen 2 (m₂ = 4.0 kg) pŠŠlle. Kappale 2 lepŠŠ kitkattomalla vaa- kasuoralla pinnalla ja siihen kohdistuu voima F₀ = 30 N. MŠŠri- tŠ pienin lepokitkakerroin, joka pitŠŠ kappaleet pŠŠllekkŠin.

(6.1)

(6.2)

6.2. YmpyrŠliikkeen dynamiikkaa

Kuten kappaleessa 4.4 todettiin, tasaisessa ympyrŠ liikkeessŠ kappaleen kiihtyvyys on

missŠ v ja r ovat liikkeen ratanopeus (vauhti) ja ympyrŠn sŠde.

Dynamiikan peruslain F = ma mukaan kappaleeseen tŠytyy silloin vaikuttaa jokin voima, jonka suuruus on

F = mv² / r.

TŠmŠ on keskihakuis- eli sentripetaalivoima. Huomaa, ettŠ tŠssŠ on sanottu ainoastaan voiman suuruus, mutta ei mitŠŠn voiman aiheuttajasta (gravitaatio, kšysi, kitka, ...).

PyšrimisliikkeessŠ olevaan kappaleeseen kiinnitetty koordi- naatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto ja siinŠ esiintyy keskipa- kois- eli sentrifugaalivoima, joka on nŠennŠisvoima.

Esim. 6.4. Pieni esine on asetettu vaakasuoran pyšreŠn le- vyn (r = 15 cm) reunalle. MŠŠrŠŠ pienin lepokitkakerroin siten, ettei esine putoa, kun levy pyšrii 30 kierr./min pystysuoran ak- selinsa ympŠri.

(6.3) ar = Ð vr ² r,

6.3. Keplerin 3. laki

Aurinkoa kiertŠvien planeettojen ja maata kiertŠvien satelliit- tien (ja kuun) radat ovat likimain ympyršitŠ. NŠmŠ ympyrŠliik- keet (keskeisliikkeet) aiheuttava keskihakuisvoima on tŠssŠ gravitaatiovoima. Kun toinen mas-

soista, aurinko tai maa edellŠ, on paljon suurempi kuin toinen, on sen liike hyvin vŠhŠistŠ ja pienempi mas- sainen kappale kiertŠŠ sitŠ.

LiikettŠ voidaan tarkastella massa- pisteen m liikkenŠ massapisteen M ympŠri, ja koska nyt F = ÐG Mm/r² ja a = Ðv²/r, liikeyhtŠlš F = ma voidaan kirjoittaa muotoon

ÐG Mm/r² = Ðmv²/r.

TŠstŠ voidaan ratkaista kiertoliikkeen ratanopeus v = Ö(GM/r)

ja kiertoliikkeen jaksonpituus (kiertoaika) T = 2pr/v, T = 2p/Ö(GM) ´ Ör³.

Siten

T² = k r³, missŠ

k = 4p² / GM.

TŠmŠ on Keplerin 3. laki: Planeettojen kiertoaikojen nelišt ovat suoraan verrannollisia niiden Auringosta mitattujen kes- kietŠisyyksien kuutioihin. Kepler pŠŠtteli tŠmŠn tekemiinsŠ havaintoihin perustuen vuonna 1619.

(6.4)

(6.5)

(6.6)

7. TY… JA ENERGIA

PŠŠkohdat:

1. (a) Voiman tekemŠ tyš

(b) Graafinen esitys Fx-koordinaatistossa 2. Kineettinen energia

3. Tyšn ja mekaanisen energian ekvivalenssi 4. Teho

Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtŠlšistŠ. Energia-kŠsitteen kŠyt- tššnottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia tarkasteluita ja energian sŠilymislaki erityisesti on hyvin kŠyttškelpoinen "tyš- kalu". Seuraavassa mŠŠritellŠŠn ensin energia tyš-kŠsitteen avulla.

7.1. Voiman tekemŠ tyš

Vakiovoiman F tekemŠ tyš W liikkuvaan kappaleeseen on

W = F s cosq,

missŠ s on kappaleen siirtymŠ ja q on voima- ja siirtymŠvektorei- den F ja s vŠlinen kulma. Siten voidaan kirjoittaa myšs

W = Fá s tai

W = F_x Dx + F_y Dy + F_z Dz, kun F = F_x^i + F_y^j + F_z ^k ja s = Dx ^i + Dy ^j + Dz^k.

Tyšn SI-yksikkš on nimeltŠŠn joule (J) ja 1 J = 1 Nm.

(7.1a)

(7.1b)

(7.1c)

Voiman kappaleeseen tekemŠ tyš ei siis riipu suoranaisesti kappaleen liiketilasta. Se ei myšskŠŠn riipu kappaleen asen- nosta eikŠ kappaleeseen vaikuttavista muista mahdollisista voimista, vaan se riippuu ainoastaan vektoreista F ja s. Huo- maa kuitenkin, ettŠ tietyn ajan vaikuttavan voiman tekemŠ tyš voi olla eri suuri laskettuna kahdessa eri inertiaalikoordinaatis- tossa. SelitŠ miksi?

Jos F ^ v, niin F ^ s kaikilla pienillŠ siirtymillŠ s ja W = Fá s = 0.

Siksi esim. keskihakuisvoima ei tee tyštŠ, vaikka antaa kappa- leelle kiihtyvyyden.

Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia perŠkkŠin, niin kap- paleeseen tehty tyš on

W_NET = F₁á s₁ + F₂á s₂ + ... + F_Ná s_N,

tai samanaikaisesti, niin etenevŠn liikkeen tapauksessa W_NET = F_NETá s,

missŠ

F_NET = å_i F_i.

Tyšn mŠŠritelmŠstŠ (7.1) nŠhdŠŠn, ettŠ jos vektoreiden F ja s vŠlinen kulma on suurempi kuin 90û, niin W < 0. Jos tyš on ne- gatiivinen, voidaan sanoa, ettŠ kyseessŠ on kappaleen teke- mŠ tyš. Koska kappaleiden vŠlisille voimille pŠtee F_AB = ÐF_BA, seuraa myšs, ettŠ (kappaleeseen tehty tyš) = Ð(kappaleen te- kemŠ tyš)

W_AB = ÐW_BA.

LiikettŠ vastustavan kitkavoiman tekemŠ tyš on tyypillinen esi- merkki negatiivisesta eli kappaleen te-

kemŠstŠ tyšstŠ. Jos F = f_k ja q = 180û, niin

W = Fá s = Ðf_k s.

Huomaa kuitenkin, ettei kitkan tekemŠ tyš ole vŠlttŠmŠttŠ negatiivinen.

(7.2)

(7.3)

(7.4)

Maan vetovoiman kappaleeseen tekemŠ tyš on

W_h = Ðmgh,

missŠ h = y_f Ðy _i = Dy on kappaleen

"korkeuden" muutos maan pinnal- la. TŠmŠ seuraa siitŠ, ettŠ kappa- leen paino on F = Ðmg^j ja

s = Dx ^i + Dy ^j + Dz^k. Osoita:

Maan vetovoiman tekemŠ tyš siis riippuu vain kappaleen kor- keuden muutoksesta, ei kappaleen kulkemasta tiestŠ. Erityi- sesti, jos kappale palaa lŠhtšpaikkaansa, on tehty tyš aina nolla.

7.2. Muuttuvan voiman tekemŠ tyš

Tarkastellaan tilannetta suora- viivaisessa (yksiulotteisessa, pitkin x-akselia tapahtuvassa) liikkeessŠ, jolloin W = F_x Dx.

Tehty tyš voidaan laskea merk- keineen Fx-koordinaatistoon piirretystŠ kuvaajasta pinta-ala- na eli graafisena integraalina samoin kuin aikaisemmin kap- paleessa 3.5 laskettiin nopeutta ja matkaa kiihtyvyyden ja no- peuden integraaleina.

(7.5)

Jouseen kytkettyyn kappalee- seen jousen kohdistama (har- moninen) voima on

F = Ðk x,

missŠ x on kappaleen poikkea- ma tasapainoasemasta ja k on jousta kuvaava ns. jousivakio.

Voima pyrkii palauttamaan kappaleen tasapainoasemaan- sa.

Fx-koordinaatistoon piirretystŠ kuvaajasta nŠhdŠŠn, ettŠ jou- sen kappaleeseen tekemŠ tyš on

W = Ð1/2 k (x_f² Ðx _i²),

kun kappale siirtyy paikasta x_i paikkaan x_f.

Kun kappaleeseen vaikuttava voima tunnetaan paikan funktio- na F = F(x), voidaan voiman tekemŠ tyš laskea integraalina

josta nŠhdŠŠn, ettŠ

Siten jousen kappaleeseen tekemŠ tyš (7.7) saadaan helposti voiman (7.6) lausekkeesta:

(7.6)

(7.7)

Wi®f = Fx dx

xi

xf

Wf®i = ÐWi®f

(7.8)

(7.9)

7.3. Kineettinen energia

Tarkastellaan kappaleeseen tyštŠ tekevŠn voiman vaikutusta kappaleen liiketilaan (ensin suoraviivaisessa liikkeessŠ). Kun vakiovoima F_x vaikuttaa kappaleeseen, tyšn mŠŠritelmŠn ja dynamiikan peruslain mukaan W = F_x Dx = ma_x Dx. Koska F_x on vakio, on myšs kappaleen kiihtyvyys vakio a_x = (v_f Ð v_i) / Dt ja Dx = ^1/2 (v_f + v_i) Dt aikavŠlillŠ Dt, kun nopeus muuttuu v_i ®v_f. Nyt ma_x Dx = ^1/2 m(v_f Ð v_i) (v_f + v_i) = ^1/2 m(v_f² Ð v_i²). Siten voi- man tekemŠ tyš voidaan kirjottaa alku- ja loppunopeuksien v_i ja v_f avulla muotoon

W = ^1/2 mv_f² Ð ^1/2 mv_i² = K_f Ð K_i, missŠ

K = ^1/2 mv²

on kappaleen vauhdista v riippuva skalaarisuure, kineettinen eli liike-energia. Siis voiman tekemŠ tyš muuttuu kappaleen etenevŠn liikkeen kineettiseksi energiaksi

W = DK,

ja vastaavasti liiketilaansa muuttamalla kappale voi tehdŠ tyš- tŠ.

Yleisemminkin voidaan sanoa, ettŠ energia on kykyŠ tehdŠ tyštŠ. TŠmŠ on ns. tyšn ja mekaanisen energian ekvivalens- si.

YhtŠlš (7.12) itse asiassa sisŠltŠŠ dynamiikan peruslain: kap- paleen liiketilan muutokseen liittyvŠn lain, tŠssŠ vain voiman tekemŠn tyš-kŠsitteen avulla ilmaistuna.

Tyšn ja mekaanisen energian ekvivalenssi on voimassa ylei- sesti, ei ainoastaan vakiovoimille, vaan myšs muuttuville voi- mille. Voima voi muuttua paikan funktiona, jolloin

(7.10) (7.11)

(7.12)

Edellinen tarkastelu voidaan laajentaa 3-ulotteiseen tapauk- seen, jossa

dW = F á ds, jaW_A®B = ò_A^B F á ds

= ò_A^B F cosq ds

= ò_A^B F_x dx + ò_A^B F_y dy + ò_A^B F_z dz, kun F = F_x ^i + F_x ^j + F_x ^k ja ds = dx ^i + dy ^j + dz^k.

Esim. 7.9. Matemaattinen heiluri (massa m ja pituus L) poik- keutetaan tasapainoasemastaan kulmaan q₀ hyvin hitaasti vaakasuoraan suuntaan vaikuttavalla voimalla. MŠŠritŠ voi- man tekemŠ tyš.

(7.17) (7.18Ð19)

7.4. Teho

Tyšn mŠŠrŠn tai suuruuden lisŠksi on usein merkitystŠ sillŠ kuinka kauan tyšn tekeminen kestŠŠ, kuinka "tehokasta" se on. Teho on tehty tyš aikayksikšssŠ

P_av = DW / Dt

tai P = dW/dt.

Tehon yleisempi mŠŠritelmŠ on energian muutosnopeus toi- seksi energiamuodoksi

P = dE/dt.

Tehon SI-yksikkš on watti (W) ja 1 W = 1 J/s. ErŠs paljon kŠy- tšssŠ ollut tehon yksikkš on hevosvoima (hp = horse power) ja 1 hp = 746 W = 0.746 kW.

Jos voima F vaikuttaa kappaleeseen, joka liikkuu nopeudella v, voidaan kirjoittaa P = dW/dt = Fáds/dt, ja koska ds/dt = v,

P = F á v.

Esim. (7.8) Raketti, jonka massa on m lŠhtee maanpinnalta suoraan ylšspŠin. MikŠ on rakettimoottorin teho silloin, kun raketin kiihtyvyys on a ja nopeus v?

(7.13) (7.14)

(7.16)

(7.15)

8. ENERGIAN S€ILYMINEN

PŠŠkohdat:

1. Konservatiivinen voima 2. (a) Potentiaalienergia

(b) Konservatiivinen voima ja potentiaalienergia 3. (a) Potentiaalienergia maanpinnalla

(b) Jousen potentiaalienergia

4. (a) Mekaanisen energian sŠilymislaki (b) EpŠkonservatiiviset voimat

5. Gravitaatiovoiman (tai -kentŠn) potentiaalienergia EdellŠ mŠŠriteltiin kineettinen energia, joka liittyy kappaleen liikkeeseen, ja seuraavassa mŠŠritellŠŠn potentiaalienergia, joka liittyy kappaleen paikkaan. NŠiden avulla voidaan sitten muotoilla mekaanisen energian sŠilymislaki.

SŠilymislait ovat keskeisiŠ luonnon ilmišiden selittŠmisessŠ ja ennustamisessa, ja yleinen energian sŠilymislaki on niistŠ eh- kŠ tŠrkein.

8.1. Potentiaalienergia

Kappaleiden vŠlisiin vuorovaikutuksiin liittyvŠt voimat tekevŠt tyštŠ, kun kappaleiden paikat muuttuvat toistensa suhteen.

Siten kappaleen paikkaan, esim. sen etŠisyyteen maapallon keskipisteestŠ, voidaan liittŠŠ potentiaalienergia, joka kuvaa nŠiden voimien kykyŠ tehdŠ tyš- tŠ.

Potentiaalienergia liittyy siten kahden kappaleen muodostamaan systeemiin, mutta usein puhutaan toisen kappaleen potentiaalienergiasta toisen muodosta- massa kentŠssŠ.