Virhearviot MITC-elementeille

Oletetaan, että käytetty verkko on kvasisäännöllinen eli elementin koko

h

Reduktio-operaattorinvuoksinormitmääritelläänainoastaanaliavaruuksissa

V _h , W _h

^ja

Γ _h

. Siirtymäsuureille määritellään

k| (η, v) |k ² h := k η k ² 1 + k v k ² 1 + 1

h ² + t ² k R h ( ∇ v − η) k ² 0 ,

^(4.4)

ja leikkausvoimallevastaavasti

k| r |k ² h := (t ² + h ² ) k r k ² 0

^(4.5)

Edellämääriteltyjenverkkoriippuviennormienkäyttöeioleehkä

intuitii-visesti kovin selvää, mutta sitä, miksi juuri nämä normit ovat oikea valinta

virheenmittaamiseen,voidaanperustellaseuraavasti.Laatanpaksuuden

t

lä-hestyessä nollaa,palautuu alkuperäinen tehtävä Kirhon laattamallia

vas-taavaksitehtäväksi,jonkaratkaisuonavaruudessa

H ² (Ω)

^.Koskakäsiteltävän tehtävänratkaisu liikkuujossainääripäiden

H ¹ (Ω)

^ja

H ² (Ω)

^{välillä,saadaan}

h

^{:sta ja}

t

^{:stä riippuvan termin} lisäyksellä lisäinformaatiota siitä, kuinka lä-hellä ratkaisu on Kirhhon tehtävänratkaisua.

Jatketaan itse virhearviontodistamista näyttämälläseuraava

normiekvi-valenssi,jonka avulla päästään kiinnitehtävän stabiiliuteen:

Lemma 4.3. Löytyy vakio

C > 0

^{siten, että jokaiselle}

(η, v) ∈ V _h × W h

pätee

C k| (η, v) |k ² h ≤ k η k ² 1 + 1

h ² + t ² k R h ( ∇ v − η) k ² 0 ≤ k| (η, v) |k ² h

^(4.6)

Todistus. Oikeanpuoleinenepäyhtälöpäteetriviaalisti.Toisaaltakäyttämällä

Poinarén epäyhtälöä sekä huomioimalla että löytyy vakio

C 1

^jolle

√ 1 2C 1 >

h T > 0, ^√ _2C ¹

1 > t > 0

^{nähdään, että}

k v k ² 1 ≤ k∇ v k ² 0 ≤ 2( k∇ v − R h η k ² 0 + k R h η k ² 0 )

≤ C 1 k R h ( ∇ v − η) k ² 0 + C 2 k η k ² 0

≤ C( 1

h ² + t ² k R h ( ∇ v − η) k ² 0 + k η k ² 1 ),

jossa on käytetty avuksi sitä, että operaattori

R h

^{on rajoitettu vakiolla}

C 2

sekäominaisuutta(4.3).Tällöinmyösvasemmanpuoleinenepäyhtälöontosi.

Lisäksi tarvitaanseuraava lemma

Lemma 4.4. Kun

k = 2, 3

^{voidaan valita}

η ∈ V _h

^ja

v ∈ W _h

^{siten, että}

mielivaltaisella

q ∈ Γ _h

pätee

R h ( ∇ v − η) = h ² q.

^(4.7)

Todistus. Variaatioavaruuksienvalinnanperusteellakaikillasivuilla

E

^pätee

sekä kolmioilla että nelikulmioilla

η · τ ∈ P _k (E)

^ja

∇ v · τ ∈ P _{k − 1} (E)

^.

Jat-kuvuude n takaamiseksi avaruuksissa

V h

^ja

W h

^oletetaan kantafunktioiden arvot kulmapisteissä kiinnitetyiksi, jolloin polynomiapproksimaatio on

var-masti solmuissa jatkuva.Tämänjälkeenmääritetäänsivuillaolevien

ylimää-räisten momenttivapausasteiden avulla loput kantafunktiot siten, että (4.7)

pätee. Tällöinsaavutetaan välittömästimyösjatkuvuus sivujenyli, sillä

q

^:n

tangentiaalikomponenttionjatkuva elementin reunanylitse.Selvästi

sisäva-pausasteilla pätee yksi yhteen vastaavuus leikkaus- ja kiertymäavaruuksien

välillä.

Tarkastellaanensin tapausta

k = 2

^{. Tällöin}momenttivapausastetta vas-taava kantafunktio reunalla on toisen asteen polynomi, joka häviää päissä,

joten

η · τ

^on symmetrinen ja parillinen reunan keskipisteen suhteen. Mo-menttivapausastettavastaavaderivaattataasenonlineaarinenjahäviäävälin

keskipisteessä, joten

∇ v · τ

^{on reunan}keskipisteen suhteen pariton. Tällöin

Z

E

( ∇ v − η) · τ (a + bs)ds = a Z

E ∇ v · τ

| {z }

pariton

ds − a Z

E

η · τ

|{z}

parillinen

ds

+ b Z

E ∇ v · τ s

| {z }

parillinen

ds − b Z

E

η · τ s

| {z }

pariton

ds

= b Z

E ∇ v · τ sds − a Z

E

η · τ ds.

Koska sekäBDFM- että RT-elementtien vapausasteet ovat

tangentiaalikom-ponentin ensimmäinen ja toinen momentti reunan yli, voidaan kiertymä ja

taipuma valita yksikäsitteisesti. Tapauksessa

k = 3

^{tulos voidaan todistaa}

samanlaisellapäättelyketjullahuomioimallalisäksiprojisoitavien

kantafunk-tioiden lineaarinen riippumattomuus ja muodostamalla näistä sopivia

line-aarikombinaatioita.

Tämänavulla voidaantodistaa diskreetin tehtävänstabiilius

Lause4.5. Jokaisella

(β, w, q) ∈ V _h × W h × Γ _h

löytyy

(η, v, r) ∈ V _h × W h × Γ _h

sekä vakio

C

^{siten, että}

A ^h (β, w, q; η, v, r) ≥ C( k| (β, w) |k ² h + k q k ² h ),

^(4.8)

missä

k| (η, v) |k ^h + k r k ^h ≤ C( k| (β, w) |k ^h + k q k ^h ).

Todistus. Olkoon

(β, w, q) ∈ V _h × W h × Γ _h

annettu. Todistetaan väite kol-messa osassa:

Valitaan ensin

r 1 = − q, η 1 = β

^ja

v 1 = w

^{. Tällöin} bilineaarimuodolle

A ^h

pätee Kornin epäyhtälön (3.18) perusteella

A ^h (β, w, q; β, w, − q) = a(β, β) + (t ² + αh ² )(A ^{∗− 1} q, q)

≥ C ₁ ( k β k ² 1 + (t ² + αh ² ) k q k ² 0 ).

Seuraavaksivalitaantestifunktioiksi

r 2 = (t ² + αh ² ) ^{− 1} R h ( ∇ w − β), v 2 = 0

^ja

η ₂ = 0

, jolloin

A h (β, w, q; 0 , 0, 1

t ² + αh ² R _h ( ∇ w − β))

= 1

t ² + αh ² (R _h ( ∇ w − β), R _h ( ∇ w − β)) − t ² + αh ²

t ² + αh ² (q, R _h ( ∇ w − β))

≥ 1

t ² + αh ² k R h ( ∇ w − β) k ² 0 − (t ² + αh ² ) ^1/2 k q k ⁰ 1

(t ² + αh ² ) ^1/2 k R h ( ∇ w − β) k ⁰

≥ 1

t ² + αh ² k R h ( ∇ w − β) k ² 0 − 1

2(t ² + αh ² ) k R h ( ∇ w − β) k ² 0 − t ² + αh ² 2 k q k ² 0

≥ C ₂ { 1

t ² + αh ² k R _h ( ∇ w − β) k ² 0 − (t ² + αh ² ) k q k ² 0 ) } .

Tällöinvalitsemallasopivakonveksikombinaatio

λ(η 1 , v 1 , r 1 )+(1 − λ)(η 2 , v 2 , r 2 )

saadaan stabiloidussatapauksess a

α > 0

^tulos

A ^h (β, w, q; λ(η 1 , v 1 , r 1 ) + (1 − λ)(η 2 , v 2 , r 2 )) ≥ λC 1 ( k β k ² 1 + k q k ² h ) + (1 − λ)C ₂ ( 1

t ² + αh ² k R _h ( ∇ w − β) k ² 0 − k q k ² h ),

jolloin sopivalla parametrin arvolla

λ ∈ [0, 1]

^{saadaan alaraja varmasti}

po-sitiiviseksi ja bilineaarimuoto

A ^h

^{on stabiili.Ilman} verkkostabilointia

α = 0

ja estimaattiineisaada leikkausvoiman normin

h

^{:sta riippuvaaosaa. Sen}

si-jaan edelleen voidaan valita

r 2 = (t ² + h ² ) ^{− 1} R h ( ∇ w − β)

^{, jolloinestimaatti}

saadaan

k| · |k ^h

^{normissa taipumalle}

w

^jakiertymälle

β

^.

Verkkostabiloimattomassatapauksess avalitaanvielä

r 3 = 0

^.Lemman4.4

perusteella voidaan valitapari

(v 3 , η 3 )

^{siten, että}

∀ q ∈ Γ _h

pätee

R h ( ∇ v 3 − η ₃ ) = h ² q

^{. Lisäksi}skaalausargumenttija

η ₃

^{:nmääritelmähuomioidenpätee}

k η 3 k ¹ ≤ Ch ˜ ^{− 1} k η 3 k ⁰ ≤ Ch ^{− 1} k h ² q k ⁰ = Ch k q k ⁰ .

Valitsemalla

ǫ < _C ²

^nähdään

A ^h (β, w, q; η 3 , v 3 , 0) = a(β, η 3 ) + (h ² q, q) = a(β, η 3 ) + h ² k q k ² 0

≥ − 1

2ǫ k β k ² 1 − ǫ

2 k η ₃ k ² 1 + h ² k q k ² 0

≥ − 1

2ǫ k β k ² 1 + (1 − Cǫ

2 )h ² k q k ² 0

≥ − 1

2ǫ k β k ² 1 + Ch ² k q k ² 0 ,

missä

C > 0

^{. Jälleen}valitsemallakonveksi kombinaatioparametreilla

λ 1 , λ 2

^,

saadaan estimaatin

A h (β, w, q; λ ₁ (η ₁ , v ₁ , r ₁ ) + λ ₂ (η ₂ , v ₂ , r ₂ ) + (1 − λ ₁ − λ ₂ )(η ₃ , v ₃ , r ₃ ))

≥ λ 1 C 1 ( k β k ² 1 + t ² k q k ² 0 ) + λ 2 C 2 ( 1

t ² + h ² k R h ( ∇ w − β) k ² 0 + t ² k q k ² 0 ) + (1 − λ ₁ − λ ₂ )( −k β k ² 1 + C ₃ h ² k q k ² 0 )

alarajasta varmasti positiivinen.Lisäksi valituilletestifunktioille pätee

k| η ₁ , v ₁ |k h + k r ₁ k h = k| β, w |k h + k q k h , k| η ₂ , v ₂ |k h + k r ₂ k h ≤ k| β, w |k h

ja

k| η ₃ , v 3 |k ² h + k r ₃ k ² h = k η ₃ k ² 1 + 1

t ² + h ² k h ² q k ² 0 ≤ C k q k ² h .

Täten väittämäon siis todistettu sekä verkkostabiloidussa että

stabiloimat-tomassa tapauksess a.

Koska leikkausvoimaa on diskreetissä tapauksess a modioitu, diskreetti

bilineaarimuoto

A ^h

^eiolekonsistenttialkuperäisenbilineaarimuodon

A

kans-sa. Virhearvion laskemiseksi tarvitaan siis ensin estimaatti

konsistenssivir-heelle.Sijoittamallabilineaarimuotoon

A ^h

^{tehtäväntarkkaratkaisu}

(β, w, q)

voidaan

∀ (η, v, r) ∈ V × W × Γ

kirjoittaa

A h (β, w, q; η, v, r) = a(β, η) + (R _h ( ∇ w − β), r) + (R _h ( ∇ v − η), q)

− (t ² + αh ² )(A ^{∗− 1} q, r)

= a(β, η) + ( ∇ w − β, r) + ( ∇ v − η, q) − t ² (A ^{∗− 1} q, r) + ((R _h − I)( ∇ v − η), q) + ((R _h − I)( ∇ w − β), r)

− αh ² (A ^{∗− 1} q, r )

= (G, η) + (g, v) + E(q; η, v, r).

Huomioimalla, että tarkalleratkaisullepätee

q = A ^∗

t ² · ( ∇ w − β) ⇔ ∇ w − β = t ² A ^{∗− 1} · q,

saadaan konsistenssivirhe

E

^muotoon

E(q; η, v, r) := ((R _h − I)( ∇ v − η), q)+t ² (A ^{∗− 1} (R _h − I )q, r) − αh ² (A ^{∗− 1} q, r).

Virheanalyysinläpiviemiseksitarvitaanmuutamiaaputuloksia.

Ensinnä-kinpienilläverkkoakoskevillarajoituksillareduktio-operaattorilla

R _h

^on

op-timaaliset interpolaatio-ominaisuudet[20℄.

Lemma 4.6. Jokaisella

η ∈ [H ^m (Ω)] ²

^{, missä}

1 ≤ m ≤ k

^{, onolemassa vakio}

C

^{siten, että pätee}

k η − R h η k ^0,T ≤ Ch ^m k η k ^m,T .

Lisäksi voidaan johtaa seuraava tulos [17℄.

Lemma 4.7. Jokaisella

s ∈ [H ^{m − 1} (Ω)] ²

^{, missä}

1 ≤ m ≤ k

^{on olemassa}

vakio

C

^{siten, että pätee}

| (s, η − R _h η) _T | ≤ h ^m k s k m − 1,T k η k 1,T .

Todistus. Mikäli

m = 1

^{tulos seuraasuoraan Shwarzin} epäyhtälöstäja lem-masta 4.6. Kun

2 ≤ m ≤ k

^, määritelläänapuavaruus

A( ˆ T )

elementeittäin,

A( ˆ T ) = [P k − 2 ( ˆ T )] ² .

Lisäksi merkitään

P T : [L ² ( ˆ T )] ² → [L ² (T )] ²

^{Piolanmunnosta}

P _T ˆ s = | J _T | J _T ˆ s, ˆ s ∈ [L ² (T )] ² .

Tällöinoperaattorin

R h

määritelmänperusteella valituille variaatioavaruuk-sille päteeelementillä

T

mielivalteisella

ˆ s ∈ A( ˆ T )

(P _T s, ˆ η − R _h η) _T = Z

T

P _T ˆ s · (η − R _h η)) dxdy

= Z

T ˆ | J T | ^{− 1} J T ˆ s · (η − J _T ^{− T} R ˆ h J _T ^T η)) | J T | dξdη

= Z

T ˆ

ˆ s · (J _T ^T η − R ˆ h J _T ^T η)) dξdη = 0.

Määritelläänseuraavaksi

L ²

^-projektioelementillä

T

referenssielementin avul-la,

Π _T = P _T Π T ˆ P _T ^{− 1} ,

missä

Π T ˆ : [L ² ( ˆ T )] ² → A( ˆ T )

^on

L ²

^-projektio referenssielementillä. Tällöin pätee mielivaltaiselle

s ∈ [H ^{m − 1} (Ω)] ²

(Π T s, η − R h η) T = 0.

Lisäksi tunnetaan interpolaatioestimaatti [20℄

k s − Π T s k ^0,T ≤ Ch ^m _T ^{− 1} k s k ^m − 1,T .

Näiden avullasaadaanlopulta haluttutulos seuraavasti:

(s, η − R h η) T = (s − Π T s, η − R h η) T ≤ k s − Π T s k ^0,T k η − R h η k ^0,T

≤ Ch ^m _T ^{− 1} k s k ^m − 1,T k η k ^1,T .

Tällöinkonsistenssivirhettä voidaan arvioida seuraavasti [17℄.

Lemma 4.8. Konsistenssivirheelle pätee

E(q; η, v, r) ≤ Ch ^m ( k q k ^m − 1 + t k q k ^m )

Todistus. Käyttämällähyväksiominaisuutta(4.3)sekäverkkoriippuvan

nor-min määritelmää saadaan konsistenssivirhetermille seuraava arvio

sovelta-mallaensimmäiseentermiinLemmaa4.7jatoiseenLemmaa4.6. Lisäksikun

m ≥ 2

^{, valitaan}

α = 0

^{, sillä} verkkostabilointi ei ole kuplamuotojen kanssa tarpeen.

E(q; η, v, r) = (η − R h η, q) + (tA ^{∗− 1} (R h − I)q, tr) − αh ² (A ^{∗− 1} q, r)

≤ tC 1 k R h q − q k ⁰ t k r k ⁰ + C 2 h ^m k q k ^m − 1 k η k ¹ + C 3 αh k q k ⁰ h k r k ⁰

≤ C ₄ ( k| (η, 0) |k h + k r k h )(th ^m k q k m + h ^m k q k m − 1 )

Lisäksi huomioimalla,että stabiilisuusestimaatin perusteella pätee

k| (η, v) |k ^h + k r k ^h ≤ C 5

saadaan haluttuarvio.

Jatkoanalyysia varten määritellään taipumalle

w

^erityinen interpolantti

I h

^:

Määritelmä 4.9. Interpolantti

I h : H ₀ ¹ (Ω) → W h

määritellään elementeit-täin seuraavista ehdoista operaattorille

I h | ^T = I T

((v − I T v) ◦ F T ) = 0

^kaikissa

T ˆ

^:n kärkipisteissä

,

^(4.9)

Z

E ˆ

((v − I T v) ◦ F T )ˆ r dˆ s = 0, ∀ r ˆ ∈ P k − 2 ( ˆ E)

^{elementin reunoilla}

E ˆ

^(4.10)

ja

Z

T ˆ

((v − I T v) ◦ F T )ˆ sdξdη = 0, ∀ ˆ s ∈ P k − 3 ( ˆ T )

elementissä

T . ˆ

^(4.11)

Interpolantti onmääritelty siten, että pätee

Lemma 4.10. Kaikille

v ∈ H ^s (Ω)

^{, missä}

s > 1

^{, pätee}

R h ∇ (v − I h v) = 0.

Todistus. Merkitäänjälleen

E ˆ

referenssielementin

T ˆ

^sivuasekä

n ˆ

^sivun

nor-maalia ja

τ ˆ

^sivun tangenttia. Tällöin ominaisuuksien (4.9) ja (4.10) perus-teella referenssielementilläpätee

∀ r ˆ ∈ P k − 1 ( ˆ E )

Z

E ˆ

∇ ˆ ((v − I T v) ◦ F T ) · τ ˆ rdˆ ˆ s = Z

E ˆ

∂

∂ s ˆ ((v − I T v ) ◦ F T )ˆ rdˆ s

= Z

∂ E ˆ

((v − I T v) ◦ F T )ˆ r − Z

E ˆ

((v − I T v) ◦ F T ) ∂ ˆ r

∂ˆ s dˆ s = 0,

sillä

∂ˆ r

∂ˆ s ∈ P k − 2 ( ˆ E)

^{. Valitaan sitten}

s ˆ ∈ [P k − 2 ( ˆ T )] ²

^{, jolloin siis}

div ˆ s ˆ ∈ P k − 3 ( ˆ T )

^.Tällöinominaisuuksista(4.10)ja(4.11)saadaankäyttämälläGauÿin kaavaa

Z

T ˆ

∇ ˆ ((v − I T v) ◦ F T ) · s ˆ dξdη = Z

∂ T ˆ

((v − I T v) ◦ F T )ˆ s · n ˆ dˆ s

− Z

T ˆ

((v − I T v) ◦ F T ) ˆ div s ˆ dξdη = 0.

Merkitään reduktio-operaattorin rajoittumaa elementille

T

^lyhyesti

R h | ^T = R _T

^.Soveltamallaylläoleviatuloksiaoperaattorin

R _h

määritelmään,nähdään välittömästi,että referenssielementillä pätee

R ˆ T ∇ ˆ ((v − I T v) ◦ F T ) = 0.

Täten siiselementillä

T

^pätee

R T ∇ (v − I T v) = J _T ^{− T} R ˆ T J _T ^T ∇ ((v − I T v ) ◦ F T )

= J _T ^{− T} R ˆ T ∇ ˆ ((v − I T v) ◦ F T ) = 0.

Lisäksivoidaanosoittaa,ettäoperaattorilla

I h

^onoptimaaliset interpolaatio-ominaisuudet [17℄:

Lemma 4.11. Kaikille

v ∈ H ^m (T )

^{, missä}

1 < m ≤ k + 1

^{, löytyy vakio}

C

siten, että pätee

k v − I _h v k s,T ≤ Ch ^{m − s} k v k m,T , s = 0, 1.

Edellä todistettujen ominaisuuksien avulla voidaan lopulta näyttää

to-deksiseuraavavirhearviokaikilleratkaistavillesuureillehalutuissanormeissa

jäykästi tuetunlaatan tapauksess a.

Lause 4.12. Olkoon

Ω

^{konveksimonikulmio jalaattajäykästi tuettu. Lisäksi}

oletetaan kuorma riittävän säännölliseksi siten, että tarkan ratkaisun

sään-nöllisyydelle

s

^pätee

1 ≤ s ≤ k

^{, missä}

k

^on polynomiapproksimaation aste.

Olkoon

Ω i ⊂⊂ Ω

^ja

h i

verkkoparametri sisäalueessa ja

h b

^{reunalla. Tällöin}

pätee

k β − β _h k 1 + k w − w _h k 1 + t k q − q _h k 0 + k q − q _h k − 1 ≤

C { h ^k _i ( k g k ^s − 2,Ω i + t k g k ^s − 1,Ω i + k G k ^s − 1,Ω i ) + h b ( k g k − 1 + t k g k ⁰ + k G k ⁰ ) } .

Lisäksi verkko oletettiin kvasiuniformiksi, joten

h i = h b = h

^.

Todistus. Olkoon

β ˜

^Lagrangen interpolanttiratkaisulle

β

^,

I h w

^edellä

määri-teltyinterpolantti4.9taipumalle

w

^ja

q ˜

^RT-taiBDFM-vapausasteiden avul-lamääritettyinterpolanttileikkausvoimalle(kts.[4℄).Lauseen4.5perusteella

on olemassa

(η, v, r) ∈ V h × W h × Γ _h

siten, että

k| (η, v) |k ^h + k q k ^h ≤ C,

joille pätee huomioimallaLemma 4.10

k| (β h − β, w ˜ h − I h w) |k ^h + k| q h − q ˜ |k ^h

≤ A ^h (w h − I h w, β h − β, ˜ q h − q; ˜ η, v, r)

= A ^h (w − I h w, β − β, ˜ q − q; ˜ η, v, r) − E(q; v, η, r)

= A h (0, β − β, ˜ q − q; ˜ η, v, r) − E(q; η, r).

Nyt virhetermin ensimmäistä osaa voidaan arvioidaseuraavasti:

A ^h (0, β − β, ˜ q − q; ˜ η, v, r) = a(β − β, ˜ η) + (R h ( ˜ β − β), r) + (R h ( ∇ v − η), q − q) ˜ − (t ² + αh ² )(A ^{∗− 1} (q − q), ˜ r)

≤ a(β − β, ˜ η) + ( 1

t ² + αh ² k R h ( ˜ β − β) k ² 0 ) ^1/2 ((t ² + αh ² ) k r k ² 0 ) ^1/2 + ( 1

t ² + αh ² k R h ( ∇ v − η) k ² 0 ) ^1/2 ((t ² + αh ² ) k q − q ˜ k ² 0 ) ^1/2 + ˜ C((t ² + αh ² ) k q − q ˜ k ² 0 ) ^1/2 ((t ² + αh ² ) k r k ² 0 ) ^1/2

≤ C {k β − β ˜ k ¹ + ( 1

t ² + αh ² k R h ( ˜ β − β) k ⁰ ) ^1/2 + k q − q ˜ k ^h } ,

sillä jälleen pätee

k r k h + k| (η, v) |k h ≤ C.

Seuraavaksi arvioidaantermiä

1

t ² + αh ² k R h ( ˜ β − β) k ⁰ .

OttamallahuomioonLemma 4.6 pätee

1

t ² + αh ² k R h ( ˜ β − β) k ² 0 ≤ h ^{− 2} k (β − β) ˜ − (β − β) + ˜ R h ( ˜ β − β) k ² 0

≤ h ^{− 2} k β − β ˜ k ² 0 + h ^{− 2} k R h ( ˜ β − β) − (β − β) ˜ k ² 0

≤ h ^{− 2} k β − β ˜ k ² 0 + C k β − β ˜ k ² 1

Koska

β ˜

^{olivalittuLagrangen}interpolantiksi,saadaanstandardiestimaateilla tulos

k β − β ˜ k ² 1 + 1

t ² + αh ² k R h ( ˜ β − β) k ² 0 ≤ Ch ^2s k β k ² s+1 ,

kun oletetaan ratkaisun säännöllisyydeksi

β ∈ [H ^s+1 (Ω)] ²

^{. Ylläolevat}

tulok-setkokoamallasaadaansiisLemman4.8sekä

q ˜

^:noptimaalisten interpolaatio-ominaisuuksien (kts.[4℄) avullavälitulos

k| (β _h − β, w ˜ _h − I _h w, q _h − q) ˜ |k ≤ CE, ˜

^(4.12)

missä

E ² = h ^2s k β k ² s+1 + h ^2s k q k ² s − 1 + t ² h ^2s k q k ² s .

Ottamalla lisäksi huomioon normien määritelmät sekä valittujen

interpo-lanttienoptimaalisetinterpolaatio-ominaisuudet,päästäänkolmioepäyhtälön

avullatulokseen

k β − β h k ¹ + k w − w h k ¹ + k q − q h k ^h ≤ CE.

^(4.13)

NytkäyttämälläPitkärannanjaVerfürthinestimaattia,saadaan

leikkaus-voimalle virhearvio duaalinormissa seuraavasti käyttämällä ensin

duaalinor-minmääritelmää

k q − q _h k − 1 = sup

η ∈ V

(q − q _h , η)

k η k ¹ .

^(4.14)

Valitaanseuraavaksimielivaltaiselle

η

^{senCleméntin}interpolantti

η ^c ∈ V h

^[13℄,

k q − q _h k − 1 = sup

η ∈ V

(q − q _h , η − η ^c ) + (q − q _h , η ^c )

k η k ¹ .

^(4.15)

Osoittajan ensimmäiselletermille pätee interpolaatio-ominaisuuksien

perus-teella

(q − q h , η − η ^c ) ≤ h ² k q − q h k ² 0 h ^{− 2} k η − η ^c k ² 0 ≤ k| q − q h |k ^h k η k ¹ .

^(4.16)

Vastaavasti huomioimalla, että sekaformuloidun laattamallin tarkalle ja

diskreetille formulaatiollepätee

∀ η ^c ∈ V

a(β, η ^c ) + (q, η ^c ) = 0, a(β h , η ^c ) + (q h , R h η ^c ) = 0.

Vähentämälläalempiriviylemmästäsaadaantoiselletermilleestimaatti

käyt-tämällä hyväksi Lemman 4.6 mukaisiainterpolaatio-ominaisuuksia

(q − q _h , η ^c ) = (q, η ^c ) − (q h , R h η ^c ) + (q h , R h η ^c ) − (q h , η ^c )

= a(β − β _h , η ^c ) + (q h , R h η ^c − η ^c )

= a(β − β h , η ^c ) + (q, R h η ^c − η ^c ) + (q h − q, R h η ^c − η ^c )

≤ C {k β − β h k ¹ k η ^c k ¹ + k q k ⁰ k R h η ^c − η ^c k ⁰ + k q − q h k ⁰ k R h η ^c − η ^c k ⁰ }

≤ C k η k ¹ {k β − β h k ¹ + h k q k ⁰ + h k q − q h k ⁰ }

Tällöinsiisduaalinormin virheellesaadaan arvio

k q − q _h k − 1 ≤ C(h k q − q _h k ⁰ + h k q k ⁰ + k β − β _h k ¹ ),

^(4.17)

jonka avulla päästään tulokseen

k β − β _h k ¹ + k w − w h k ¹ + t k q − q _h k ⁰ + k q − q _h k − 1 ≤ CE.

^(4.18)

Lopulliseen tulokseen päästään soveltamalla säännöllisyysestimaatteja 3.10

ja 3.11.Merkitsemällä

h b

^:lläverkkoparametriaalueenreunallaja vastaavasti

h i

^:lläsisäalueessa, päteeasteen

k

elementeilletällöin

E ² = (h ^2k k β k ² k+1 + h ^2k k q k ² k − 1 + t ² h ^2k k q k ² k ) ^1/2

= C { h ^k _i ( k g k ^s − 2,Ω i + t k g k ^s − 1,Ω i + k G k ^s − 1,Ω i )

+ h b ( k g k − 1 + t k g k ⁰ + k G k ⁰ ) } .

Huomionarvoistaon,ettälausekkeen(4.12)avullasaadaaninterpolantille

I _h w

superkonverge nssitulosverkkoriippuvannorminansiosta,kts.[16℄.Tulos eikuitenkaan pädenormissa

k| · |k ^h

erotukselle

w − w h

^{,vaantälleestimaatti}

saadaan ainoastaan normissa

k · k ¹

^.

In document In this thesis we introdue a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the paper okling problem (sivua 31-42)