Äärellinen tasokerros kahden eri väliaineen välissä;

J

. (5.57)

5.3.3 Äärellinen tasokerros kahden eri väliaineen välissä;

kohtisuora tulokulma

Tarkastellaan kuvan mukaista tapausta, jossa väliaineita 1 ja 3 erottaa väli-aineesta 2 muodostunut tasokerros, jonka paksuus on d.

1 1

J Z

2 2

J Z

3 3

J Z

x

x = 0 x = d

Kuva 5.4. Tasokerros kahden väliaineen välissä.

Lasketaan heijastuskerroin kohdassa x = 0, kun siihen saapuu kohtisuora ta-soaalto väliaineesta 1. Kaavan (5.57) perusteella akustinen ominaisim-pedanssi Z kohdassa x = 0 on

d Z

Z

d Z

Z Z Z

2 3 2

2 2 3 2

0 tanh

tanh J

J

. (5.58)

Heijastuskerroin R0 samalla tasolla saadaan tällöin kaavan (5.44) avulla.

Tuloksissa ei esiinny väliaineen 3 etenemiskerrointa, koska se jatkuu ääret-tömiin. Näin ollen vain sen karakteristinen impedanssi vaikuttaa tuloksiin.

Jos kaikki kolme väliainetta ovat häviöttömiä, kaava (5.58) saa muodon

Z Z Z Z k d

Z Z k d

0 2

3 2 2

2 3 2

j tan

j tan . (5.59)

Häviöttömässä tilanteessa heijastuskerroin kohdassa x = 0 on nolla, so. mi-tään heijastumista ei tapahdu, vaan kaikki teho etenee aineeseen 2 ja edel-leen aineeseen 3, jos Z0 = Z1, mikä toteutuu, kun lausekkeen (5.59) tangent-titermi on ääretön ja väliainekerroksen karakteristinen impedanssi on sen eri puolilla olevien väliaineiden karakterististen impedanssien keskiverto, eli

^{, 0 ,1 ,2,...,}

1 4

2 ²

3 1 2

O n

n d

Z Z Z

(5.60)

missä O2 on aallonpituus väliaineessa 2. Kaksi karakteristiselta impedanssil-taan erilaista häviötöntä materiaalia voidaan siis akustisesti sovittaa toisiin-sa käyttäen niiden välissä kolmannesta materiaalista valmistettua kerrosta, jonka paksuus on ao. materiaalissa pätevän aallonpituuden neljännes tai tä-män pariton monikerta. Kerros 2 toimii siis ”neljännesaaltomuuntajana”.

Yhtälöstä (5.59) havaitaan, että täydellinen sovitus saavutetaan myös eh-doilla

Z₁ Z₂ Z₃ (triviaaliratkaisu), (5.61) tai

Z Z

d n n

1 3

2

2 0

O , , 1 , 2, ...

(5.62)

Puolen aallonpituuden pituinen (väliaineen 2 aallonpituuksissa) väliaineker-ros asetettuna johonkin väliaineeseen ei siis aiheuta heijastuksia ympäröi-vään väliaineeseen. Kerroksen sisällä sitä vastoin esiintyy edestakaisia hei-jastuneita aaltoja.

5.3.4 Mielivaltainen tulokulma; häviöttömät materiaalit Oletetaan, että kahden häviöttömän väliaineen tasorajapinnalle saapuu taso-aalto kulmassa T1 sen normaaliin nähden.

T3

T1

T2

Z₂ k₂ Z₁

k₁

y

x

x = 0

Kuva 5.5. Kahden häviöttömän väliaineen rajapinta, mielivaltainen tulokul-ma.

Tuleva aalto on muotoa

p p

p

u p

Z p Z

i

k r

k x y

i

k r ui

k x y

x y

0 0 0 1 0 1

1 1

1

1 1 1

1

1 1 1

e e

e e

e cos e sin e

j

j cos sin

j

j cos sin

T T

T T T T

& &

& & ,

(5.63)

jossa r on kulman T1 rajapinnan normaalin kanssa muodostavan etenemis-suunnan koordinaatti ja ^&e_ui on ko. etenemissuuntainen eli tulevan hiukkas-nopeuden suuntainen yksikkövektori.

Käytetään samanlaisia merkintöjä heijastuneelle ja läpäisseelle aallolle, jol-loin

Negatiivinen etumerkki heijastuneen hiukkasnopeuden x-komponentissa johtuu edelleen siitä, että referenssisuunta on positiivisen x-akselin suuntai-nen. Äänenpaineen heijastus- ja läpäisykertoimia on merkitty R:llä ja T:llä, kuten edellä. On huomattavaa, että molemmat ovat tulokulman funktioita

R R

Paineen jatkuvuuden takia on rajapinnalla, jossa x = 0, oltava p0 ^{k y} Rp0 ^{k y} Tp0 ^{k y}

1 1 1 3 2 2

e^{j sinT} e^{j sinT} e^{j sinT} . (5.66) Tarkasteltaessa tasoaaltoa ja ääretöntä pintaa täytyy yhtälön (5.66) olla voi-massa y:stä riippumatta. Tämä puolestaan on mahdollista vain, jos

k₁sinT₁ k₁sinT₃ k₂sinT₂ . (5.67) Tuloksena saadun akustisen Snellin lain mukaan siis tulevan ja heijastuvan aallon etenemissuunnat muodostavat rajapinnan normaalin kanssa yhtäsuu-ret kulmat

T3 T1 (5.68)

ja etenevän aallon suunta saadaan selville yhtälöstä (k = Z/c)

k k

sin sin

sin sin

T T

T T

œ

.

(5.69)

Havaitaan läpäisseen aallon etenevän sitä tarkemmin rajapinnan normaalin suuntaisesti, mitä pienempi äänen nopeus ao. väliaineessa on. Esimerkiksi vedestä ilmaan etenevä aalto taittuu pinnalla enemmän kohtisuoraksi, kun taas ilmasta veteen etenevä aalto taittuu sivulle.

Annettaessa y:lle arvo 0 havaitaan yhtälöstä (5.66), että

1 R T , (5.70)

joka vastaa aikaisemmin kohtisuorassa tapauksessa saatua yhtälöä (5.41) häviöttömissä väliaineissa.

Hiukkasnopeuden normaalikomponentin jatkuvuus voidaan kirjoittaa

& &

& & &

u u u

p Z

Rp Z

Tp Z

i r x x t x x

k y k y k y

˜ ˜

œ

§

©¨ ·

¹¸

0 0

0 1

0 1

1 0 2

2

1 1 1 1 2 2

e e

e ^{j sinT} e ^{j sinT} cosT e ^{j sinT} cosT .

(5.71)

Yhtälöstä (5.71) saadaan yhtälöt (5.69) ja (5.70) huomioonottaen

1 1

1 1 2 2 2 2

R

Z

T Z

R Z

cosT cosT cosT , (5.72)

josta edelleen saadaan

R Z Z

Z Z

T Z

Z Z

2 2 1 1

2 2 1 1

2 2

2 2 1 1

2

cos cos

cos cos

cos

cos cos

T T

T T

T

T T .

(5.73)

Heijastus- ja läpäisykerroin ovat samaa muotoa kuin kohtisuoralla tulokul-malla, kun impedanssisuureet Z_i korvataan suureilla Z_i/cosTi, missä Ti on etenemissuunta väliaineessa i.

Havaitaan, että häviöttömässä tapauksessa heijastus- ja läpäisykerroin ovat reaalisia, mikäli sinT1 d k2/k1, koska tällöin kulma T2 on kaavan (5.69)

pe-rusteella reaalinen. Kahden häviöttämän väliaineen rajapinnalla ei tällöin ta-pahdu muuta vaihesiirtoa, kuin ehkä vaiheen kääntyminen 180q.

Kokonaisäänenpaineen ja -hiukkasnopeuden normaalikomponentin suh-teeksi etäisyydellä d (= – x) rajapinnasta saadaan

Kaavasta (5.73) havaitaan, että heijastuskerroin häviää, so. koko tuleva ää-niteho etenee rajapinnan läpi, mikäli

Z₁cosT₂ Z₂cosT₁ . (5.75) Yo. yhtälön mukaista tulokulmaa T1 kutsutaan Brewsterin kulmaksi (Lindell I. , 1997).

Jos äänen nopeus väliaineessa 1 on pienempi kuin väliaineessa 2

c₁c₂ , (5.76)

niin on olemassa ns. kriittinen kulma T1kr, joka saadaan lausekkeesta sinT_1kr ¹

2

c

c . (5.77)

Aalto väliaineessa 2 etenee rajapinnan suuntaisesti, kun tulokulma on kriit-tisen kulman suuruinen. Jos tulokulma on kriittistä kulmaa suurempi, syn-tyy väliaineeseen 2 epähomogeeninen tasoaalto, joka etenee rajapinnan suuntaisesti ja vaimenee eksponentiaalisesti rajapinnalta poispäin. Jos tulo-kulma on kriittinen tulo-kulma tai tätä suurempi, ei mitään äänienergiaa etene ai-neessa 2 rajapinnalta poispäin, vaan tapahtuu äänienergian kokonaisheijas-tus. Heijastuskertoimen itseisarvo on tällöin ykkönen ja vaihekulma nollasta poikkeava. Myös läpäisykulman vaihekulma on tällöin nollasta poikkeava.

Jos tulevan aallon tulokulma lähestyy arvoa 90q, so. etenee lähes rajapinnan suuntaisesti, cosT1 lähenee nollaa, jolloin kaavan (5.73) perusteella heijas-tuskerroin lähenee arvoa

Ro 1 (5.78)

riippumatta väliaineiden ominaisuuksista. Koska tuleva ja heijastunut aalto tällöin 90q tulokulmalla täysin kumoaisivat toisensa, ts. äänikenttä rajapin-nan molemmin puolin häviäisi täysin, puhutaan ”tasoaaltoparadoksista”, koska kentän häviäminen em. olosuhteissa luonnollisesti on mahdotonta.

Paradoksi häviää, kun homogeenisen tasoaallon sijasta tarkastellaan epäho-mogeenista tasoaaltoa ja sisällytetään häviöiden vaikutus eli poikittainen

”viskositeettiaalto” ja ”lämpöaalto” kenttämuotoon.

5.3.5 Mielivaltainen tulokulma; häviölliset materiaalit Tarkastellaan homogeenisen tasoaallon heijastumista ja läpäisyä kahden hä-viöllisen fluidin rajapinnalla tulokulman ollessa mielivaltainen.

T3

T1

T2

Z2

J2

Z1

J1

y

x

Kuva 5.6. Kahden häviöllisen väliaineen rajapinta, mielivaltainen tulokul-ma.

Väliaineessa 1 etenee tulokulmalla T1 homogeeninen tasoaalto, johon liitty-vä äänenpaine pi ja hiukkasnopeus u^&_i ovat

^{e cos e sin}

^.

e e

1 1

sin cos 1

0

sin cos 0

1 1 1

1 1 1

T

T T

T J

T T J

y x

y x i

y x i

Z u p

p p

&

&

& (5.79)

Merkitään rajapinnalta takaisin heijastuvan äänenpaineen amplitudia Rp₀:lla ja toiseen väliaineeseen etenevän aallon äänenpaineen amplitudia Tp0:lla.

Amplitudi tarkoittaa nytkin aaltojen suuruutta vaiheineen tasolla x = 0. R:ää ja T:tä kutsutaan nytkin äänenpaineen heijastus- ja läpäisykertoimiksi. Täl-löin heijastuva (alaindeksi r) ja läpäisevä (alaindeksi t) aalto sisältävät kent-täsuureet

Äänenpaineen jatkuvuusehdosta tasolle x = 0 seuraa

2

Koska tämän täytyy toteutua kaikilla y:n arvoilla, saadaan yhtälö separoitua kahdeksi

.

Jälkimmäinen jakautuu yhtälöihin T T

J T J T

1 3

2sin 2 1sin 1 . (5.83)

Yo. relaatiot esittävät Snellin lakia häviöllisissä väliaineissa. Etenemisker-toimien kompleksisuus aiheuttaa läpäisykulman T2 kompleksisuuden. Tämä tarkoittaa fysikaalisesti sitä, että väliaineeseen 2 syntyykin yleisessä tapauk-sessa epähomogeeninen tasoaalto. Tämä olisi saatu selkeämmin esille olet-tamalla läpäisevä aalto alun perin epähomogeeniseksi, jolloin fysikaalinen läpäisykulma olisi saatu reaaliseksi. Matemaattisesti nämä kaksi esitysmuo-toa ovat kuitenkin ekvivalentit.

Hiukkasnopeuden normaalikomponentin jatkuvuudesta seuraa

2 2

0 1 1

0 1 1

0cosT cosT cosT

Z Tp Z

Rp Z

p , (5.84)

josta saadaan

1 ₁

1

2 2

R Z

T Z cosT cosT

. (5.85)

Lausekkeista (5.82) (ylempi) ja (5.85) saadaan äänenpaineen heijastus- ja läpäisykertoimiksi muodollisesti samat lausekkeet kuin häviöttömässä tilan-teessa

R Z Z

Z Z

T Z

Z Z

2 2 1 1

2 2 1 1

2 2

2 2 1 1

2

cos cos

cos cos

cos

cos cos

T T

T T

T

T T .

(5.86)

Erona on, paitsi impedanssien kompleksisuus, niin myös läpäisykulman kompleksisuus.

Kokonaisäänenpaineen ja -hiukkasnopeuden normaalikomponentin suh-teeksi etäisyydellä d rajapinnasta saadaan tällöin analogisesti yhtälön (5.74) kanssa

1 1 2 2

1 1

1 1 1

1 2 2 1

1 /cos /cos tanh cos

cos tanh

cos / cos

cos /

/ T T J T

T J T

T T

d Z

Z

d Z

Z Z

Z . (5.87)

In document Acoustic Field Theory (sivua 186-194)